立體幾何中的向量方法(一)

1、高三一輪復(fù)習(xí)學(xué)案-第七章：立體幾何第七節(jié) 立體幾何中的向量方法(一)證明空間中的位置關(guān)系1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量定義：向量a所在直線與l_平行或重合，則a叫做l的方向向量；確定：通常在直線l上任取兩點(diǎn)構(gòu)成的向量.(2)平面的法向量定義：與平面 垂直 的向量，稱做平面的法向量；確定：設(shè)n是平面的法向量，在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線向量a,b，由方程組 來確定.2.空間位置關(guān)系的向量表示位 置 關(guān) 系向 量 表 示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1l2n1n2n1=n2l1l2n1n2n1·n2=0直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmn·m

2、=0lnmn·m=0平面,的法向量分別為n,mnmn=mnmn·m=0判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”).(1)直線的方向向量是唯一確定的.( )(2)平面的單位法向量是唯一確定的.( )(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.( )(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.( )【解析】(1)錯(cuò)誤.與直線平行的任意非零向量都是該直線的方向向量.(2)錯(cuò)誤.由于法向量的方向不同，所以平面的單位法向量不唯一.(3)正確.由平面平行的轉(zhuǎn)化定理可知.(4)正確.由直線平行的轉(zhuǎn)化定理可知其逆否命題正確，根據(jù)等價(jià)命題可知.答案：(1)× (2

3、)× (3) (4) 1.若直線l的方向向量為a=(1,0,2)，平面的法向量為u=(-2,0,-4),則( )(A)l (B)l(C)l (D)l與斜交【解析】選B.a=(1,0,2),u=(-2,0,-4), u=-2a,即ua,l.2.若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是( )(A)a(1,0,0)，n(2,0,0) (B)a(1,3,5)，n(1,0,1)(C)a(0,2,1)，n(1,0，1) (D)a(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】選D.若l，則a·n=0.經(jīng)驗(yàn)證知，D滿足條件. 3.若直線l1,l2的方向向量分別為a=(2,4,-4),

4、b=(-6,9,6),則直線l1,l2的位置關(guān)系是_【解析】由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得ab，從而l1l2 答案：l1l24.若平面，的法向量分別為a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),且，則y=_.【解析】,a·b=0, 即20-y-16=0, y=4. 答案：45.若A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量n=(x,y,z)，則xyz=_.【解析】由題知 =(1，-3，- )， =(-2,-1,- ).所以xyz=( y)y(- y)=23(-4) 答案：23(

5、-4) 考向 1 空間中的點(diǎn)共線、點(diǎn)共面問題 【典例1】已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),用向量法證明：(1)E，F(xiàn)，G,H四點(diǎn)共面.(2)BD平面EFGH.【思路點(diǎn)撥】(1)證明 根據(jù)共面向量定理即可得到結(jié)論；或證明FGEH，即可得到FG,EH確定一平面，故得四點(diǎn)共面(2)證明 共線，然后根據(jù)線面平行的判定定理解題即可.【規(guī)范解答】(1)方法一：E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，E,F,G,H四點(diǎn)共面方法二：E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)， FGEH且FG=EH，四邊形EFGH為平行四邊形 故E,F,G,H四點(diǎn)共面【拓

6、展提升】1.證明點(diǎn)共線的方法證明點(diǎn)共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題，如證明A,B,C三點(diǎn)共線，即證明 共線，亦即證明 2.證明點(diǎn)共面的方法 證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P,A,B,C四點(diǎn)共面，只要能證明 或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有 即可共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件【變式訓(xùn)練】如圖所示，已知ABCD是平行四邊形，P點(diǎn)是平面ABCD外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD.設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為PAB，PBC，PCD，PDA的重心.(1)試用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系，并用向量法證明你的判斷.【解析】

7、(1)分別連接PE,PF,PG,PH并延長交對邊于M,N,Q,R點(diǎn).因?yàn)镋,F,G,H分別是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R分別為所在邊的中點(diǎn)，連接MN,NQ,QR,RM得到的四邊形為平行四邊形，且有：連接MQ，EG，因?yàn)樗倪呅蜯NQR是平行四邊形，所以 由共面向量定理知E,F,G,H四點(diǎn)共面(2)平行.理由如下：由(1)得又因?yàn)镋GË平面ABCD，MQ平面ABCD，所以EG平面ABCD.因?yàn)樗訫NEF.又因?yàn)镋FË平面ABCD，MN平面ABCD，所以EF平面ABCD.由于EG與EF交于E點(diǎn)，所以平面EFGH平面ABCD.考向 2 利用空間向量證明平行關(guān)系 【典例2】

8、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F(xiàn)，E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點(diǎn).求證：CE平面C1E1F. 【思路點(diǎn)撥】要證明CE平面C1E1F，可證明向量 與平面C1E1F的法向量垂直.【規(guī)范解答】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(xiàn)(1，1，1)，E1(1， ，2).設(shè)平面C1E1F的一個(gè)法向量n=(x,y,z).【互動探究】在本例條件下，判斷平面C1E1F與平面CEF是否垂直，并給出證明.【拓展提升】利用向量處理平行問題的常用方法(1)證明兩條直線

9、平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量；利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量線性表示.(3)證明面面平行：證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向量)；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.考向 3 利用空間向量證明垂直關(guān)系 【典例3】(2013·長沙模擬)如圖，在三棱錐P-ABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)證明：APBC.(2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得平面A

10、MC平面BMC？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.【思路點(diǎn)撥】對(1)問線線垂直的證明易入手，利用兩非零向量的數(shù)量積為0即可進(jìn)行證明.對(2)問，平面AMC平面BMC，即平面AMC的法向量與平面BMC的法向量垂直，因此可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系求解.因?yàn)镸在線段AP上，故可利用A，M，P三點(diǎn)共線設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo).拓展提升】向量方法證明空間垂直關(guān)系的基本途徑(1)線線垂直：只要證明兩直線的方向向量垂直.(2)線面垂直：用線面垂直的定義，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的任意一條直線的方向向量垂直；用線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直；證明直線的方向向量與

11、平面的法向量平行.(3)面面垂直：平面與平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直外，還可證明兩平面的法向量垂直.【變式訓(xùn)練】在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).(1)求證：EFCD.(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論.1.(2013·邵陽模擬)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三點(diǎn)，n=(1,1,1)，則以n為方向向量的直線l與平面ABC的關(guān)系是( )(A)垂直 (B)不垂直 (C)平行 (D)以上都有可能【解析】選A.由題意知， =(-1，1，0)， =(

12、0，-1，1)，n· =0,n· =0, 以n為方向向量的直線l與平面ABC垂直.2.(2013·益陽模擬)如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB ，AF1，M在EF上且AM平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為( )3.(2013·懷化模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a,M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MAN 則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( )(A)斜交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能確定4.(2013·青島模擬)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)，PAa，二面角P-CD-B為45°.求證：(1)AF平面PCE.(2)平面PCE平面PCD.1.如圖，在四棱錐P-A