立體幾何中的向量方法(一)

1、高三一輪復(fù)習(xí)學(xué)案-第七章：立體幾何第七節(jié) 立體幾何中的向量方法(一)證明空間中的位置關(guān)系1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量定義：向量a所在直線與l_平行或重合，則a叫做l的方向向量；確定：通常在直線l上任取兩點構(gòu)成的向量.(2)平面的法向量定義：與平面 垂直 的向量，稱做平面的法向量；確定：設(shè)n是平面的法向量，在平面內(nèi)找兩個不共線向量a,b，由方程組 來確定.2.空間位置關(guān)系的向量表示位 置 關(guān) 系向 量 表 示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1l2n1n2n1=n2l1l2n1n2n1·n2=0直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmn·m

2、=0lnmn·m=0平面,的法向量分別為n,mnmn=mnmn·m=0判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”).(1)直線的方向向量是唯一確定的.( )(2)平面的單位法向量是唯一確定的.( )(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.( )(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.( )【解析】(1)錯誤.與直線平行的任意非零向量都是該直線的方向向量.(2)錯誤.由于法向量的方向不同，所以平面的單位法向量不唯一.(3)正確.由平面平行的轉(zhuǎn)化定理可知.(4)正確.由直線平行的轉(zhuǎn)化定理可知其逆否命題正確，根據(jù)等價命題可知.答案：(1)× (2

3、)× (3) (4) 1.若直線l的方向向量為a=(1,0,2)，平面的法向量為u=(-2,0,-4),則( )(A)l (B)l(C)l (D)l與斜交【解析】選B.a=(1,0,2),u=(-2,0,-4), u=-2a,即ua,l.2.若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是( )(A)a(1,0,0)，n(2,0,0) (B)a(1,3,5)，n(1,0,1)(C)a(0,2,1)，n(1,0，1) (D)a(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】選D.若l，則a·n=0.經(jīng)驗證知，D滿足條件. 3.若直線l1,l2的方向向量分別為a=(2,4,-4),

4、b=(-6,9,6),則直線l1,l2的位置關(guān)系是_【解析】由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得ab，從而l1l2 答案：l1l24.若平面，的法向量分別為a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),且，則y=_.【解析】,a·b=0, 即20-y-16=0, y=4. 答案：45.若A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面內(nèi)的三點，設(shè)平面的法向量n=(x,y,z)，則xyz=_.【解析】由題知 =(1，-3，- )， =(-2,-1,- ).所以xyz=( y)y(- y)=23(-4) 答案：23(

5、-4) 考向 1 空間中的點共線、點共面問題 【典例1】已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點,用向量法證明：(1)E，F(xiàn)，G,H四點共面.(2)BD平面EFGH.【思路點撥】(1)證明 根據(jù)共面向量定理即可得到結(jié)論；或證明FGEH，即可得到FG,EH確定一平面，故得四點共面(2)證明 共線，然后根據(jù)線面平行的判定定理解題即可.【規(guī)范解答】(1)方法一：E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊的中點，E,F,G,H四點共面方法二：E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊的中點， FGEH且FG=EH，四邊形EFGH為平行四邊形 故E,F,G,H四點共面【拓

6、展提升】1.證明點共線的方法證明點共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題，如證明A,B,C三點共線，即證明 共線，亦即證明 2.證明點共面的方法 證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P,A,B,C四點共面，只要能證明 或?qū)臻g任一點O，有 即可共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件【變式訓(xùn)練】如圖所示，已知ABCD是平行四邊形，P點是平面ABCD外一點，連接PA，PB，PC，PD.設(shè)點E，F(xiàn)，G，H分別為PAB，PBC，PCD，PDA的重心.(1)試用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系，并用向量法證明你的判斷.【解析】

7、(1)分別連接PE,PF,PG,PH并延長交對邊于M,N,Q,R點.因為E,F,G,H分別是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R分別為所在邊的中點，連接MN,NQ,QR,RM得到的四邊形為平行四邊形，且有：連接MQ，EG，因為四邊形MNQR是平行四邊形，所以 由共面向量定理知E,F,G,H四點共面(2)平行.理由如下：由(1)得又因為EGË平面ABCD，MQ平面ABCD，所以EG平面ABCD.因為所以MNEF.又因為EFË平面ABCD，MN平面ABCD，所以EF平面ABCD.由于EG與EF交于E點，所以平面EFGH平面ABCD.考向 2 利用空間向量證明平行關(guān)系 【典例2】

8、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F(xiàn)，E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點.求證：CE平面C1E1F. 【思路點撥】要證明CE平面C1E1F，可證明向量 與平面C1E1F的法向量垂直.【規(guī)范解答】以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)BC1，則C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(xiàn)(1，1，1)，E1(1， ，2).設(shè)平面C1E1F的一個法向量n=(x,y,z).【互動探究】在本例條件下，判斷平面C1E1F與平面CEF是否垂直，并給出證明.【拓展提升】利用向量處理平行問題的常用方法(1)證明兩條直線

9、平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)不共線的兩個向量線性表示.(3)證明面面平行：證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.考向 3 利用空間向量證明垂直關(guān)系 【典例3】(2013·長沙模擬)如圖，在三棱錐P-ABC中，ABAC，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)證明：APBC.(2)在線段AP上是否存在點M，使得平面A

10、MC平面BMC？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.【思路點撥】對(1)問線線垂直的證明易入手，利用兩非零向量的數(shù)量積為0即可進行證明.對(2)問，平面AMC平面BMC，即平面AMC的法向量與平面BMC的法向量垂直，因此可建立適當?shù)目臻g直角坐標系求解.因為M在線段AP上，故可利用A，M，P三點共線設(shè)出M點的坐標.拓展提升】向量方法證明空間垂直關(guān)系的基本途徑(1)線線垂直：只要證明兩直線的方向向量垂直.(2)線面垂直：用線面垂直的定義，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的任意一條直線的方向向量垂直；用線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直；證明直線的方向向量與

11、平面的法向量平行.(3)面面垂直：平面與平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直外，還可證明兩平面的法向量垂直.【變式訓(xùn)練】在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點.(1)求證：EFCD.(2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論.1.(2013·邵陽模擬)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三點，n=(1,1,1)，則以n為方向向量的直線l與平面ABC的關(guān)系是( )(A)垂直 (B)不垂直 (C)平行 (D)以上都有可能【解析】選A.由題意知， =(-1，1，0)， =(

12、0，-1，1)，n· =0,n· =0, 以n為方向向量的直線l與平面ABC垂直.2.(2013·益陽模擬)如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB ，AF1，M在EF上且AM平面BDE，則M點的坐標為( )3.(2013·懷化模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a,M，N分別為A1B和AC上的點，A1MAN 則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( )(A)斜交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能確定4.(2013·青島模擬)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點，PAa，二面角P-CD-B為45°.求證：(1)AF平面PCE.(2)平面PCE平面PCD.1.如圖，在四棱錐P-A