混凝土的徐變收縮理論

1、 混凝土的徐變收縮理論n徐變、收縮及其影響因素n徐變、收縮的數(shù)學(xué)模型n徐變效應(yīng)分析n徐變、收縮微分方程n徐變、收縮代數(shù)方程n徐變收縮有限元、擬彈性逐步分析法n小結(jié)n本章參考文獻(xiàn) 徐變、收縮是混凝土這種粘彈性材料的基本特性之一，它不但對橋梁結(jié)構(gòu)影響大，而且持續(xù)的時間長，且其變化過程復(fù)雜，不易把握。徐變、收縮及其影響因素(1) 徐變與收縮 徐變當(dāng)荷載作用在混凝土構(gòu)件上，試件首先發(fā)生瞬時彈性變形，隨后，隨時間緩慢地進(jìn)一步增加變形。這種緩慢增加的變形稱為混凝土的徐變變形。 收縮在無荷載情況下，混凝土構(gòu)件隨時間緩慢變形，這種變形稱為混凝土的收縮變形。 在實(shí)際混凝土結(jié)構(gòu)中，徐變、收縮與溫度應(yīng)變是混雜在一起

2、的。從實(shí)測的應(yīng)變中，應(yīng)扣除溫度應(yīng)變和收縮應(yīng)變，才能得到徐變應(yīng)變。在分析計(jì)算中溫度應(yīng)力與溫度應(yīng)變往往單獨(dú)考慮。徐變與收縮則可在一起考慮。根據(jù)1990年CEB-FIP標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范，在時刻 承受單軸向、不變應(yīng)力為 )(e的混凝土構(gòu)件，在時刻 的總應(yīng)變 可分解為 t)(t)()( )()()()()(ttttttnTsci加 載 時 初始應(yīng)變在 時刻時的徐變應(yīng)變t收縮應(yīng)變溫度應(yīng)變由應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變)()()(ttci不由應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變)()()(tttTsn在不包括溫度應(yīng)變時，混凝土的應(yīng)變可進(jìn)一步分解為（下圖）strfgfavet,)(ev 初始瞬時彈性應(yīng)變 e 滯后彈性應(yīng)變，屬可恢復(fù)的徐變 v 初始瞬時流

3、塑應(yīng)變，主要不可恢復(fù) a 基本徐變應(yīng)變，不可恢復(fù)gf , 干燥徐變應(yīng)變，部分可能恢復(fù)trf , 混凝土的徐變，通常采用徐變系數(shù) 來描述。目前國際上對徐變系數(shù)有兩種不同的定義。如在 時刻開始作用于混凝土的單軸向常應(yīng)力 至?xí)r刻 所產(chǎn)生的徐變應(yīng)變?yōu)?，第一種徐變系數(shù)采用混凝土在28天時的瞬時彈性應(yīng)變定義，即),(t)(t),(tc28)(),(),(Ettc采用這種定義的是CEB-FIP標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范（1990年版）及英國標(biāo)準(zhǔn)BS5400第四部分（1984年版）。徐變系數(shù)的另一種定義可表示為)()(),(),(Ettc這一定義是由美國ACI209委員會報告所建議的（1982年版）。在該建議中，混凝土的標(biāo)準(zhǔn)

4、加載齡期 ，對于潮濕養(yǎng)護(hù)的混凝土為7天，對于蒸汽養(yǎng)護(hù)的混凝土為13天從時刻 開始對混凝土作用單軸向單位應(yīng)力，在時刻所產(chǎn)生的總應(yīng)變通常定義為徐變函數(shù) 。對于上述兩種徐變系數(shù)的定義方法，徐變函數(shù)可分別表示為t),(tJ CEB-FIP ),(1)(1),(28tEEtJ AC1209 ),(1 )(1),(tEtJ 混凝土的收縮是混凝土硬固由于所含水分的蒸發(fā)及其它物理化學(xué)的原因（但不是由于應(yīng)力的原因）產(chǎn)生的體積的縮小。與收縮相反的是混凝土凝固因含水量的增加也導(dǎo)致的體積的增加?；炷恋氖湛s應(yīng)變，一般表達(dá)為的函數(shù)形式?；炷潦湛s應(yīng)變終值的預(yù)計(jì)，主要依據(jù)環(huán)境條件、混凝土成分及構(gòu)件尺寸，CFB-FIP建議

5、、ACI209委員會建議及BS5400規(guī)范都有相應(yīng)計(jì)算方法),(ts(2) 徐變、收縮對橋梁結(jié)構(gòu)的影響 混凝土的徐變、收縮對橋梁結(jié)構(gòu)的影響表現(xiàn)在： （a）在鋼筋混凝土、預(yù)應(yīng)力混凝土等配筋構(gòu)件中，隨時間而變化的混凝土徐變、收縮受到內(nèi)部配筋的約束將導(dǎo)致內(nèi)力的重分布。預(yù)應(yīng)力損失實(shí)際上也是預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件內(nèi)力重分布的一種 （b）預(yù)制的混凝土梁或鋼梁與就地灌筑的混凝土板組成的結(jié)合梁，將由于預(yù)制部件與現(xiàn)場澆筑部件之間不同的徐變、收縮值而導(dǎo)致內(nèi)力的重分布。同樣，梁體的各組成部分具有不同的徐變、收縮特性者亦將由于變形不同、相互制約而引起內(nèi)力或應(yīng)力的變化（c）分階段施工的預(yù)應(yīng)力混凝土超靜定結(jié)構(gòu)，如連續(xù)梁、剛架、

6、斜拉橋、拱橋等，在施工過程中發(fā)生體系轉(zhuǎn)換時，從前期結(jié)構(gòu)繼承下來的應(yīng)力狀態(tài)所產(chǎn)生的徐變受到后期結(jié)構(gòu)的約束，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)力與支點(diǎn)反力的重分布 （d）外加強(qiáng)迫變形如支座沉降或支座標(biāo)高調(diào)整所產(chǎn)生的約束內(nèi)力，也將在混凝土徐變的過程中發(fā)生變化，部分約束內(nèi)力將逐漸釋放 （e）徐變對細(xì)長混凝土壓桿會產(chǎn)生的附加撓度 混凝土的徐變、收縮及其對結(jié)構(gòu)性能影響的預(yù)計(jì)和控制，是十分復(fù)雜又難以獲得精確答案的問題。正如美國混凝土學(xué)會第209委員會1982年的報告所指出的那樣，幾乎所有影響徐變、收縮的因素，連同它們所產(chǎn)生的結(jié)果本身就是隨機(jī)變量，它們的變異系數(shù)最好也要達(dá)到15%20%左右。因此，對于一些特別重要的工程，應(yīng)該通過

7、模型試驗(yàn)或?qū)嵨餃y量的方法來校核計(jì)算中所用的參數(shù)，以提高計(jì)算結(jié)果與實(shí)際接近的程度。(3) 影響徐變、收縮的因素 徐變、收縮雖各有自身的特點(diǎn)，但它們都可以與混凝土內(nèi)水化水泥漿的特性聯(lián)系起來?；瘜W(xué)成分截然不同的水泥制造的混凝土，所反映的徐變、收縮性能并沒有本質(zhì)上的差異，這說明徐變、收縮的機(jī)理在于混凝土水化水泥漿的物理結(jié)構(gòu)，而不在于水泥的化學(xué)性質(zhì)。 關(guān)于混凝土收縮的原因及機(jī)理可歸納為： （a）自發(fā)收縮。這是在沒有水分轉(zhuǎn)移下的收縮，其原因是水泥水化物的體積小于參與水化反應(yīng)的水泥和體積，因此是一種水化反應(yīng)所產(chǎn)生的固有收縮。這種收縮的量值較小 （b）干燥收縮。這是混凝土內(nèi)部吸附水的消失而產(chǎn)生的收縮。也是混凝

8、土收縮應(yīng)變的主要部分（c）碳化收縮。這是由混凝土中的水泥水化物與空氣中的二氧化碳發(fā)生化學(xué)反應(yīng)而產(chǎn)生。碳化收縮是不久以前才發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象 關(guān)于混凝土徐變機(jī)理的各種理論和假設(shè)，迄今為止還沒有一種能被廣泛接受。美國混凝土學(xué)會209委員會在1972年的報告中將徐變的主要機(jī)理分為（a）在應(yīng)力和吸附水層的潤滑作用下，水泥膠漿體的滑動或剪切所產(chǎn)生的水泥石的粘稠變形。 （b）在應(yīng)力作用下，由于吸附水的滲流或?qū)娱g水轉(zhuǎn)移而導(dǎo)致的緊縮。（c）在水泥膠凝體對骨架彈性變形的約束作用所引起的滯后彈性變形 （d）由于局部發(fā)生微裂及結(jié)晶破壞以及重新結(jié)晶與新的聯(lián)結(jié)而產(chǎn)生的永久變形。 在下圖中，影響混凝土收縮因素是與荷載條件無關(guān)的部

9、分，但對混凝土徐變與收縮均有影響的因素，其作用不盡相同 對于混凝土徐變，另一項(xiàng)重要的影響因素就是荷載條件。在徐變試驗(yàn)中施加于構(gòu)件的應(yīng)力一般取低于混凝土強(qiáng)度45%左右的單軸向壓應(yīng)力。大量試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)壓應(yīng)力小于混凝土強(qiáng)度的50%時，徐變應(yīng)變可以被認(rèn)為與所施加應(yīng)力具有線性關(guān)系。超過這一應(yīng)力，將導(dǎo)致非線性關(guān)系。這種現(xiàn)象被認(rèn)為是由于骨料與凝固水泥漿交界面上出現(xiàn)的微裂所致。當(dāng)應(yīng)力小于混凝土強(qiáng)度的50%時，拉力徐變與所施應(yīng)力呈線性關(guān)系，拉力徐變初始速度較大但降速快，最終徐變可能小于壓力徐變?；炷列熳儾此杀纫话憧梢暈榕c彈性泊松比相等。 內(nèi)部因素1 骨料種類2 水泥品種 3 配合比 4 水灰比5 外加劑

10、6 構(gòu)件外形尺寸7 攪拌搗固8 養(yǎng)護(hù)時間 9 養(yǎng)護(hù)濕度 10 養(yǎng)護(hù)溫度 材料性質(zhì)構(gòu)件幾何性質(zhì)制造養(yǎng)護(hù)構(gòu)件性質(zhì)與荷載有關(guān)(無關(guān))的隨時間的應(yīng)變 外部因素 1 環(huán)境濕度2 環(huán)境溫度 3 環(huán)境介質(zhì)4 加載(或干燥)開始齡期 5 荷載持續(xù)時間 6 荷載循環(huán)次數(shù) 7 卸荷時間 8 應(yīng)力大小 9 應(yīng)力分布10 加荷速度 環(huán)境條件加載歷史荷載性質(zhì)荷載條件與荷載有關(guān)無關(guān)的隨時間的應(yīng)變 影響徐變、收縮的因素徐變、收縮的數(shù)學(xué)模型(1) 徐變、收縮數(shù)學(xué)表達(dá)式 （a）徐變數(shù)學(xué)表達(dá)式 目前國際上徐變系數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式有多種，但是可以分為兩類： 一類將徐變系數(shù)表達(dá)為一系列系數(shù)的乘積，每一個系數(shù)表示一個影響徐變值的重要因素；

11、另一類則將徐變系數(shù)表達(dá)為若干個性質(zhì)互異的分項(xiàng)系數(shù)之和。H.Tost與W.Rat在1967年提出徐變系數(shù) 的一般表達(dá)式可寫成),(t)(),(tfktN加載齡期 常應(yīng)力 持續(xù)作用的時間)(t)( 加載齡期的影響系數(shù)k 徐變隨時間發(fā)展的函數(shù)， )(tf0 . 1)(,; 0)(,tfttft 徐變系數(shù)特征值， ，其中 分別為取決于環(huán)境、混凝 土成分及稠度、構(gòu)件尺寸的系數(shù)N320CCN320,CC上式又可寫成),(),(),(tft加載齡期為 時徐變系數(shù)終值32),(CCkkN 在上式中，連乘系數(shù)的多少視考慮因素的多少而定，每一種系數(shù)可以從現(xiàn)成的圖表中查得，或按一定的公式計(jì)算。目前，采用這種表達(dá)式的

12、有英國規(guī)范BS5400（1984年版第四部分），及美國ACI209委員會的建議（1982年版）CEB-FIP標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范（1978年版）采用下述的徐變系數(shù)表達(dá)式),(),()(),(tttfda式中： 加載后最初幾天產(chǎn)生的不可恢復(fù)的變形系數(shù)；)(a 可恢復(fù)的彈性變形系數(shù)，或徐彈系數(shù)),(td 不可恢復(fù)的流變系數(shù)，或徐塑系數(shù)),(tfZ.P.Bazant提出了由基本徐變和干燥徐變組成的徐變表達(dá)式，稱為BP模式，用徐變函數(shù) 表示為總應(yīng)變),(0ttJ),(),(),()(1),(0000ttCttCtCEttJpd式中： 分別表示干燥齡期、加載齡期及計(jì)算徐變時 的齡期； tt,0 單位應(yīng)力產(chǎn)生的初始彈

13、性應(yīng)變；)(E1 單位應(yīng)力產(chǎn)生的基本（無水分轉(zhuǎn)移）徐變；),(tC0 干燥以后徐變的減小值。),(0ttCp1990年版CEB-FIP標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范的徐變系數(shù)表達(dá)式有很大變動，形式上也類似于系數(shù)乘積),()(),(),(0tBttcfcmRHc式中： 名義徐變系數(shù)0 環(huán)境相對濕度修正系數(shù)RH 混凝土強(qiáng)度修正系數(shù) fcm 加載齡期修正系數(shù))( 徐變進(jìn)程時間系數(shù)),(tc 以上 、 除與環(huán)境相對濕度有關(guān)，也與構(gòu)件的理論厚度有關(guān)。水泥品種、養(yǎng)護(hù)溫度對徐變的影響，通過修正加載齡期 予以考慮。RH),(tc 混凝土徐變隨加載齡期的增長而單調(diào)地衰減，又隨著加載持續(xù)時間的增加而單調(diào)地增加，但增加的速度隨時間的增加

14、而遞減。關(guān)于徐變系數(shù)是否存在極限的問題，學(xué)術(shù)界有著不同的意見。認(rèn)為極限存在者，一般用指數(shù)函數(shù)或雙曲線函數(shù)作為表達(dá)式,認(rèn)為不存在極限者，則多采用冪函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)作為表達(dá)式 指數(shù)函數(shù)表達(dá)式最有代表性的是老化理論表達(dá)式，也稱Dischinger法，假定不同加載齡期的徐變系數(shù)齡期曲線，可能由通過原點(diǎn)的徐變系數(shù)齡期曲線的垂直平移而得，即),(),(),(00tttt按指數(shù)形式可表達(dá)為1 )0 ,(),()(teet徐變速率這種表達(dá)式是F.Dischinger在1937年首先應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析而被稱為Dischinger法。 雙曲線冪函數(shù)系數(shù)表達(dá)式是D.E.Branson于1964年提出的，也是美國ACI

15、209委員會所建議的形式ddtBtt)()(),( 、 由試驗(yàn)確定的常數(shù)，美國ACI209委員會在1982年報 告中取Bd6 . 0,10dB1975年Z.P.Bazant提出了雙冪函數(shù)來表示基本徐變nmtaAtC)(),(0式中 是一些與影響徐變因素有關(guān)的函數(shù)。這是徐變系數(shù)最為復(fù)雜的時間函數(shù)，但其適合計(jì)算機(jī)編程運(yùn)算nam,（b）收縮應(yīng)變的數(shù)學(xué)表達(dá)式混凝土收縮應(yīng)變一般表達(dá)式為收縮應(yīng)變終值與時間函數(shù)的乘積，即)(),(,tftss收縮應(yīng)變發(fā)展的時間函數(shù)010.)(,;)(,tfttft 收縮應(yīng)變的終值取決于環(huán)境的相對濕度、混凝土成分和構(gòu)件理論厚度等因素。收縮應(yīng)變時間函數(shù)的表達(dá)式有如下幾種形式：美

16、國ACI209委員會建議的雙曲線函數(shù)表達(dá)式)()(tAttf與混凝土的養(yǎng)護(hù)條件有關(guān)的參數(shù)1978年Z.P.Bazant教授提出的BP模式中，采用平方根雙曲線函數(shù)形式表示收縮應(yīng)變的時間函數(shù))()(tAttf常數(shù)由構(gòu)件形狀、有效厚度及開始干燥的齡期等因素而定收縮應(yīng)變另一種時間函數(shù)是假定其發(fā)展速度同徐變一樣，故通常取指數(shù)函數(shù)的形式，即)(1)(tetf收縮的速率 （c）混凝土彈性模量隨時間的發(fā)展 在混凝土徐變的分析中，混凝土彈性模量隨時間的發(fā)展規(guī)律是一個重要的參數(shù)，尤其在較精確的分析計(jì)算中。根據(jù)美國ACI209委員會1982年的報告，混凝土的彈性模量的時間函數(shù)表示為2821)(EtccttE常數(shù)，根

17、據(jù)養(yǎng)護(hù)條件和水泥品種而定 1990年版的CEB-FIP標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范給出的混凝土的割線模量的時間函數(shù)則為)(6 . 028)()()()()(tsaccEEetttEttE與水泥品種有關(guān)的系數(shù)和與齡期有關(guān)的函數(shù) 以上兩種規(guī)范所給出的混凝土割線彈性模量函數(shù)的形式完全不同。事實(shí)上，由于決定混凝土彈性模量的因素復(fù)雜，隨著試驗(yàn)的深入，同一規(guī)范在不同時期也會有較大改變，如CEB-FIP1978年版的與其上式完全不同。（2） 徐變、收縮應(yīng)變、應(yīng)力的關(guān)系 （a）線性疊加原理如前所述，在工作應(yīng)力下，混凝土的彈性應(yīng)變和徐變應(yīng)變都與應(yīng)力呈線性關(guān)系。因此，只要總應(yīng)力不超過混凝土強(qiáng)度的50%左右，分批施加應(yīng)力所產(chǎn)生的應(yīng)變可

18、以采用疊加原理。至于卸載或減載后的徐變恢復(fù)是否可疊加和如何疊加的問題是值得進(jìn)一步探討的。1943年D.McHenry提出了徐變可逆性理論，他將卸載考慮為施加負(fù)荷載，其所產(chǎn)生的徐變與同一時刻施加的正荷載所產(chǎn)生的徐變相等，但方向相反?；炷猎嚰脑囼?yàn)都說明疊加原理對基本徐變符合得很好，但是對于包括干燥徐變的總徐變來說，由疊加原理所得出的徐變恢復(fù)一般大于實(shí)際恢復(fù)。因此，應(yīng)用疊加原理對遞減荷載將會產(chǎn)生少量偏差。疊加原理仍是設(shè)計(jì)工作中有價值的工具 根據(jù)疊加原理，對于在 時刻施加初應(yīng)力 ，又在不同的時刻 分階段施加應(yīng)力增量 的混凝土，其在以后任何時刻 包括收縮應(yīng)變在內(nèi)的總應(yīng)變可以表達(dá)為0)(0), 2 ,

19、 1(nii)(itnisiiittEtEt100000),(),(1 )()(),(1 )()(),( 對后加應(yīng)力為連續(xù)變化的應(yīng)力，則可寫出描述疊加原理的積分表達(dá)式tstEttEt0),(d)(),(1)(),(1 )()(),(00000進(jìn)行分部積分，并假定收縮應(yīng)變的發(fā)展進(jìn)程與徐變相似，即),(),(0,0ttss 則tstdtdEtEtt0),(d),()()()()(),(0,00（b）應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系的微分方程表達(dá)式 將不同的徐變系數(shù)表達(dá)式代入上式可推導(dǎo)出應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系的微分方程表達(dá)式。如對于Dischinger法，應(yīng)力、應(yīng)變的微分方程為tttEttttEtd),(d)()(d)(d)

20、(1dd但是，有些徐變系數(shù)表達(dá)式不能得出常微分方程，故不能利用微分方程求解，正因?yàn)槿绱?，Dischinger法在國內(nèi)外廣泛被采用，直到20世紀(jì)60年代后期才逐漸為Trost-Bazant法所取代 （c）應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系的代數(shù)方程表達(dá)式 1967年H.Trst教授在他的論文中，從混凝土應(yīng)力應(yīng)變的線性關(guān)系和疊加原理出發(fā)，引入了老化系數(shù)（松弛系數(shù)）的概念，并假定混凝土彈性模量為常數(shù)，推導(dǎo)出在不變荷載下，由徐變、收縮導(dǎo)致的應(yīng)變增量與應(yīng)力增量之間關(guān)系的代數(shù)方程表達(dá)式為),(),(),(1 ),(),()(),(tttEttEts),(),(),(1 ),(),(1 )()(tttEttEts從上式又可推導(dǎo)

21、出從應(yīng)變變化求應(yīng)力變化的公式，即),()(),()()()(),(),(1),(),(ttEttEtttts),()()(),(),(1),(),(1),(1)()(ttttEtttts 老化系數(shù)（當(dāng)初H.T.rost稱其松弛系數(shù)，1972年Z.P.Bazant改稱老化系數(shù)）),(ttiiiKtKt),()(),(表示加載齡期對徐變系數(shù)終值的影響系數(shù) 1972年Z.P.Bazant將),(),(1)(),(ttEtE定義為按齡期調(diào)整的有效模量 老化系數(shù)可根據(jù)所采用的徐變系數(shù)表達(dá)式進(jìn)行推算。如采用Dischinger法的表達(dá)式，則老化系數(shù)可以表示為),(111),(),(tett（d）徐變與松弛

22、從齡期 開始施加常應(yīng)變 至齡期 時的應(yīng)力 可表達(dá)為)(t),(t),()(),(tGt),(1)(),(tEtG松弛函數(shù)松弛系數(shù)松弛系數(shù)定義為從齡期 至 的應(yīng)力降低值對初應(yīng)力之比t)(),()(),(tt 在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，應(yīng)力和應(yīng)變往往是隨時間同時變化，交錯影響的。在靜定結(jié)構(gòu)中，應(yīng)變或變形的增減并不導(dǎo)致應(yīng)力的變化，但是應(yīng)力的變化往往導(dǎo)致應(yīng)變的變化。在超靜定結(jié)構(gòu)中，不僅應(yīng)力的變化將導(dǎo)致應(yīng)變的變化，而且應(yīng)變的變化也會導(dǎo)致應(yīng)力的變化。工程中一些重要的問題如： 已知支座的不均勻沉陷量，求支座反力與內(nèi)力的 變化問題； 結(jié)合梁的內(nèi)力重分布問題分階段施工的超靜定結(jié)構(gòu)在體系轉(zhuǎn)換后的內(nèi)力重分布問題等都屬于松弛問題

23、 松弛試驗(yàn)較為困難，資料很少。但是徐變和松弛具有內(nèi)在的聯(lián)系，往往需要從已知的徐變函數(shù)來推求松弛函數(shù)。Z.P.Bazant從徐變函數(shù)與松弛函數(shù)的基本概念出發(fā)，推導(dǎo)出從松弛函數(shù)到老化系數(shù)的計(jì)算公式：),(1),()()(),(ttGEEt徐變效應(yīng)分析（1） 老化理論分析 （a）徐變微應(yīng)變與微應(yīng)力關(guān)系若彈性模量取為常數(shù)，并不計(jì)彈性應(yīng)變和收縮影響，則應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系方程表達(dá)式為tcctEtEt0d),(1 d)(d1),()(),(00將老化理論的徐變系數(shù))()(),(tt把上式代入上式有 tcccEtEtEt0d)(d)(d1 )(1 )()()()(),(000EttdEEttEttccc)(d)(

24、t) )(d)(d)()(),(dc00)()()(0ttc 時刻總應(yīng)力t（b）徐變微應(yīng)變與內(nèi)力的關(guān)系 設(shè) 、 為 時實(shí)際結(jié)構(gòu)的初始彎矩和軸力，它可以是靜定的、超靜定的、或者部分靜定另一部分超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，視具體情況而定。在 后結(jié)構(gòu)成為超靜定， 為徐變引起超靜定結(jié)構(gòu)的贅余力（ ）， 為超靜次數(shù)， 和 為 =1作用于基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩和軸力，于是贅余力產(chǎn)生的任意截面的彎矩和軸力為)(0M)(0N0t0tnj, 2 , 1njMjNjtxjtxnjjtjctnjjtjctxMNxMM11由它產(chǎn)生的徐變應(yīng)力IyMANtctctc)( 軸力和徐變應(yīng)力以受拉為正，彎矩適用于右手規(guī)則，以指向 軸正向?yàn)檎?/p>

25、，如下圖所示。x結(jié)構(gòu)初始內(nèi)力產(chǎn)生的應(yīng)力IyMAN)()()(000消去Mct，Nct并微分有jtnjjjcxIyMANtd)(d1寫成應(yīng)力應(yīng)變式有yttc)(),(d00式中d)(d)(d)(1)(1100njnjjtjjtjxNtxNtNEAt)()()(njjtjnjjtjxMtxMtMEI110ddd1截面重心處的軸向應(yīng)變和重心軸的曲率 （c）變形協(xié)調(diào)及內(nèi)力求解設(shè)切口 方向的變形為 ，利用虛力原理得itxisMstNiiidd0)(將 和 表達(dá)式代入上式有)(0t dd ddddn1j100sxEIMMEANNstxEIMMEANNstEIMMEANNjtjijisjtnjjijisii

26、i)()()()(應(yīng)當(dāng)注意，結(jié)構(gòu)不同位置的徐變系數(shù)是不同的，如果最年輕混凝土的徐變系數(shù)為 ，那么，由老化理論知，其他齡期混凝土的徐變系數(shù)可表示成)(tettetssss )()()(則有njnjjtijjtijipixx11*dddsEIMMEANNsiiipd)()(00*sEIMMEANNsjijiijd*sEIMMEANNjijiijd 根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，應(yīng)當(dāng)有), 2 , 1( 0nii寫成矩陣形式為 0dd*xx 上式是老化理論求解超靜定結(jié)構(gòu)徐變二次內(nèi)力的基本微分方程組，當(dāng)混凝土齡期相同時，即 ，于是有1s * 0ddxx令 1x于是 xxddx由此解得 )1 (exx即njexxj

27、jt, 2 , 1 )1 (（d）討論如果用 、 表示后期結(jié)構(gòu)的彎矩和軸力，即一次落架的內(nèi)力， 、 為 時刻的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，則有g(shù)M2gN2gtMgtNtnjnjjjjjgtexMMxMMM1100)1 ()()(由于njjjgxMMM102)(有njgjjMMxM102)(得)1)()(020eMMMMggt類似可以推得)1)()(020eNNNNggt表明，當(dāng)結(jié)構(gòu)初始內(nèi)力是一次落架的內(nèi)力時，即gMM20)(gNN20)(那么這兩式右邊的第二項(xiàng)等于零，亦就是徐變的二次內(nèi)力等于零；另外，也表明， 、 的差值越大，徐變二次力亦越大，結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化亦越大，這些性質(zhì)對了解結(jié)構(gòu)的徐變效應(yīng)是十分重要的。)(0

28、2MMg)(02NNg（2） T-B分析法在應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系的代數(shù)方程式中舍去彈性應(yīng)變及收縮影響，則有EtEtcc)(),()(),(000仿 效 上 節(jié) 老化理論分析過程，有yttc)(),(00njjtjxAENtEANt1000),()()(njjtjxIEMtEIM100),()(利用虛力原理可以求出切口方向的變形為njnjjtijipjijijtiiiciixsIEMMAENNxstEIMMEANNsMdstN11000d d d*),()()()(stEIMMEANNiiipd),()()(000*sIEMMAENNjijiijd*根據(jù)切口處的變形協(xié)調(diào)條件有), 2 , 1( 0ni

29、i寫成矩陣形式 0*x上式是T-B法求解超靜定結(jié)構(gòu)徐變贅余力的基本方程，它是代數(shù)方程組，很容易求解當(dāng)結(jié)構(gòu)混凝土齡期相同，且初始內(nèi)力為一次落架時，則有 0 0*x 即徐變不引起此種超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力重分布徐變、收縮微分方程（1） 基本假定（a）橋梁結(jié)構(gòu)的所有構(gòu)件具有相同的徐變和收縮特性（b）體系轉(zhuǎn)換之前結(jié)構(gòu)繼承下來的荷載為 ，內(nèi)力為 ，體系轉(zhuǎn)換之后結(jié)構(gòu)具有 次超靜定。q1xn（2） 參數(shù) （a）從前期繼承下來的，在贅余力方向的初內(nèi)力為), 2 , 1(,1njxj（b）結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)換時刻為（c）體系轉(zhuǎn)換后時刻 產(chǎn)生于贅余力方向的次內(nèi)力 為 （ ）。t),(txjnj, 2 , 1（3） 相容方程 在體

30、系轉(zhuǎn)換后的任何時刻 的 時間內(nèi)，第 個贅余力方向的變位增量分別為：tdti（a）由次內(nèi)力增量 產(chǎn)生的變位增量：),(tdxjnjjijtx1),(（b）由徐變增量產(chǎn)生的變位增量：njjijttx1),(d),( （c）由荷載及初內(nèi)力 產(chǎn)生的變位增量：ix),(d1 ,ti （d）由混凝土收縮變化產(chǎn)生的變位增量：),(d,tsi則變位相容條件為 21 0dd dd111,n),(it(t,ttxtxiijnjjijnjjij),(),(),(),(,式中： 所產(chǎn)生于基本靜定結(jié)構(gòu)第 個贅余力方向的變位ij1jxi 由荷載 及初內(nèi)力 產(chǎn)生于基本靜定結(jié)構(gòu)第 個贅余力方向的變位1 , iq1xi 時間

31、混凝土的徐變系數(shù)),(tt 體系轉(zhuǎn)換后經(jīng) 的時間 內(nèi)，混凝土收縮產(chǎn)生于基本靜定結(jié)構(gòu)第 個贅余力方向的變位。),(d,tsitt di（4） 求解方法若收縮速度與徐變相似，則),(d),(,ttdsisinjjijqiix11 ,1 ,則變位相容條件式可化為njsiqijjjijnixtxttx1,1 ,), 2 , 1( ),(),(d),(d式中： 荷載 產(chǎn)生于基本靜定結(jié)構(gòu)第 個贅余力方向的變位；qi,qi 在 混凝土收縮產(chǎn)生于基本靜定結(jié)構(gòu)第 個贅余力方向的變位 ；ti),(,si 在 混凝土的徐變系數(shù)，即徐變系數(shù)終極值t),(,si 另一方面，若以同樣的外荷載和與收縮應(yīng)變終極值瞬時施加于經(jīng)

32、體系轉(zhuǎn)換的后期結(jié)構(gòu)中，令第 個贅余力方向的彈性次內(nèi)力為 ，則有相應(yīng)方程i),(,nixi212), 2 , 1( 1,2,nixnjsiqiiij比較式得到), 2 , 1( ),(),(d),(d2,1 ,nixxtxttxiiii解微分方程，并根據(jù)初始條件：0),(, 0),(,ttxti故)1)(),(),(1 ,2,tiiiexxtx), 2 , 1, (ni式中： 第 個贅余力方向因徐變與收縮而產(chǎn)生的內(nèi)力變化；),(txii 先期結(jié)構(gòu)在第 個贅余力方向的截面內(nèi)力；1 , ixi 先期結(jié)構(gòu)荷載加上與收縮應(yīng)變終極值時的瞬時荷載，按后期結(jié)構(gòu)計(jì)算得到的第 個贅余力方向的截面內(nèi)力2, ixi

33、可以看到，在推導(dǎo)過程中，忽略了實(shí)際存在的構(gòu)件施工節(jié)段之間徐變特性的差異，而經(jīng)過體系轉(zhuǎn)換后超靜定結(jié)構(gòu)幾乎毫無例外地存在著這種差異，這是該式的缺點(diǎn)。但是該式使我們能夠直接估計(jì)體系轉(zhuǎn)換后的徐變影響，看到實(shí)際的內(nèi)力線總是在前期結(jié)構(gòu)的內(nèi)力線和后期結(jié)構(gòu)的內(nèi)力線之間變動，變動的輻度與徐變大小有關(guān)徐變、收縮代數(shù)方程（1） 基本假定 （a）橋梁結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的徐變、收縮特性相同 （b）后期結(jié)構(gòu)為 次超靜定結(jié)構(gòu)n（2） 相容方程 體系轉(zhuǎn)換時刻為 ，轉(zhuǎn)換后任一時刻 ，因徐變、收縮產(chǎn)生于第 個贅余力方向的相容變位有：ti （a）由截面徐變次內(nèi)力 產(chǎn)生的變位：),(txj),(),(),(tttxijnjj11 （b）由荷

34、載及前期結(jié)構(gòu)繼承下來的初內(nèi)力產(chǎn)生的變位：),(1 ,ti （c）由收縮增量產(chǎn)生的變位),(,tsi則變位相容條件為njsiijjinittttxt1,1 ,), 2 , 1( 0),(),(),(1 ),(),(式中： 由荷載及前期結(jié)構(gòu)繼承下來的初內(nèi)力產(chǎn)生于基本靜定結(jié)構(gòu)第 個贅余力方向的變位； 1 , ii 從時刻 至?xí)r刻 的時間內(nèi)，產(chǎn)生于第個贅余力方向的截面徐變次內(nèi)力；),(txjtj 當(dāng) 時產(chǎn)生于基本靜定結(jié)構(gòu)第 個贅余力方向的變位；ij1jxj 從 到 時間內(nèi)的收縮增量產(chǎn)生的基本靜定結(jié)構(gòu)第 個贅余力方向的變位),(,tsiti（3） 求解方法假定收縮發(fā)展的速度與徐變相同，則),(),(,t

35、tsisi有njsiqijjijttxtxtt1,1 ,),(),(),(),(),(1 整理有), 2 , 1( )(),(),(1),(),(1 ,2,nixxttttxiii若認(rèn)為微分方程式與代數(shù)方程式（的求解結(jié)果相同，則),(1),(),(1),(tettt此即為前述的老化系數(shù)（4） 考慮不同徐變、收縮特性 如結(jié)構(gòu)各節(jié)段混凝土具有不同的徐變、收縮特性，則 、 、 等均應(yīng)按徐變特性分段計(jì)算。例如，以徐變系數(shù)為 者為 段，徐變系數(shù)為 者為 段等等，這有ij1 , isi,aabb )21( 0111,n,itttttttttxbbsbiaasaibbiaainjbbbijaaaijijj,

36、(),(),(),(),(),(),(),(),(,式中： 、 第 個贅余力在 段作用引起的第 個贅余力方向的變位；aijbijj,bai 荷載及前期結(jié)構(gòu)內(nèi)力對 段作用引起的第 個贅余力方向的變位；1 ,ai1 ,bi,bai徐變收縮有限元、擬彈性逐步分析法 用Dischinger法、TrostBazant法或其它方法，都可以表示徐變、收縮產(chǎn)生的應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系。以下將僅考慮TrostBazant法。設(shè) 為計(jì)算時刻，用較精確的形式將應(yīng)力與應(yīng)變增量的關(guān)系表達(dá)為it 1111111111ijiisjijijjiiiiiiicsiicstttttttEttttttEtttt),(),()

37、,()()(),(),()(),(),(式中： 、 至 時間內(nèi)由徐變與收縮引起的應(yīng)變增量和應(yīng)力增量；),(1iicstt),(1iicstt1itit 時刻的應(yīng)力增量；)(jtjt 至 時間內(nèi)發(fā)生的收縮應(yīng)變增量；),(1iistt1itit 時刻的彈性模量；)(jtEjt 上式考慮了混凝土彈性模量隨時間的變化，還考慮了初應(yīng)力和初應(yīng)變形成的歷史。同理，可寫出截面曲率增量與彎矩增量的關(guān)系),(),(),()()(),(),(1 )(),(),(111111111iisijjijicjjiiiiciiicsiicsttttttItEtMttttItEttMtt式中： 、 至 時間內(nèi)由徐變與收縮引起的

38、曲率增量和彎矩增量；),(1iicstt),(1iicsttM1itit 時刻的彎矩增量；)(jtMjt 至 時間內(nèi)收縮引起的曲率增量； ),(1iistt1itit 混凝土截面的抗彎慣性矩。cI注意到),(),(1),(),(1111iiiiiiiittttttEttE并設(shè) ),(),()(),(),(111jijijiiiitttttEttEtt代入應(yīng)力與應(yīng)變增量的關(guān)系式，若以 為通過形心點(diǎn)的應(yīng)力增量，則軸力增量可表示為),(1iicstt1111111),()(),(),(),(),(),(ijiisjiijiiicsiiciicstttttttttttEAttN混凝土截面面積同樣將 、

39、 代入截面曲率增量與彎矩增量式，表示為彎矩增量形式，即 ),(1iittE),(1iitt1111111),()(),(),(),(),(),(ijiiSjiijiiicsiiciicstttMttEttttttEIttM 由以上公式可知，如用按齡期調(diào)整得有效模量代替混凝土的彈性模量 ，則在第 個時間內(nèi)，因徐變、收縮產(chǎn)生的應(yīng)力或內(nèi)力增量與應(yīng)變增量之間具有線性關(guān)系，因而可以利用解彈性結(jié)構(gòu)的方法來求解混凝土結(jié)),(1iittEE1iitt的徐變和收縮問題。在采用剛度法時，只需將剛度矩陣中的 用 代替即可E),(1iittE 根據(jù)有限單元法形成荷載矩陣的原理，如對結(jié)構(gòu)中任一平面梁單元施加約束，使在第 個時間內(nèi)節(jié)點(diǎn)變位增量保持為0，則可得節(jié)點(diǎn)約束（或鎖定）產(chǎn)生的軸向力增量與節(jié)點(diǎn)彎矩增