典型信號的傅里葉變換

1、矩形脈沖矩形脈沖單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號直流信號直流信號符號函數(shù)符號函數(shù)升余弦脈沖信號升余弦脈沖信號一矩形脈沖信號 22jde tEFt22jej tEj2ee.22j2j E22sin E 2Sa E 2Sa EF幅度頻譜：幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜： , 2 , 1 , 022212212240 nnnnn EO tft2 2 12 fBB或或頻譜圖 2Sa EF幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜頻寬：頻寬： F E 2O 4 2 20 4 2 F E 2O 4 2 ttuEtfFttdee)(j F 0 000ettEtft 二單邊指數(shù)信號 jde0 j EtEt tfOtE頻譜圖 22

2、 EF 0, 0 FEF arctan 2,2,0, 0 幅度頻譜：幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜： FO E O 2 2 tEtf,)(三直流信號不滿足絕對可積不滿足絕對可積條件，不能直接條件，不能直接用定義求用定義求 FtO tf1 E EE2tO tfE推導(dǎo) tEFtdejlim jejlimtE jeejjlim E sin2lim E sin2lim E E2 O E2 F EE2 )(Salim 時域無限寬，頻帶無限窄時域無限寬，頻帶無限窄t11 )sgn(tO 0, 10, 1sgn)(ttttf四符號函數(shù)處理方法：處理方法： 0j0j1deedeettFtttt 222jj1j1

3、 j22j22010limlim FFte te 。求極限得到求極限得到，求，求 FFttft11esgn 做一個雙邊函數(shù)做一個雙邊函數(shù)不滿足絕對不滿足絕對可積條件可積條件 2je22jj2sgn t頻譜圖 是是偶偶函函數(shù)數(shù) F 是奇函數(shù)是奇函數(shù) O 22 2 )( FO 222F 0,20 ,202arctan 五升余弦脈沖信號 ttEtf0 cos12OtE tf 2E2 2 ttfFtdej t tEtdecos12j tEtEtEtttttdee4dee4de2jjjjj Sa2Sa2SaEEE頻譜圖 221Sa1sin EEF其頻譜比矩形脈沖更集中。其頻譜比矩形脈沖更集中。 O F

4、E 2 E 2 3 4 B 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)沖激函數(shù)沖激函數(shù)沖激偶沖激偶單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) ttFtde)(j 一沖激函數(shù) Bt,01時時的的矩矩形形脈脈沖沖，看看作作沖激函數(shù)積分是沖激函數(shù)積分是有限值有限值，可以用公式求。而，可以用公式求。而u(t)不不滿足滿足絕對可積絕對可積條件，不能用定義求。條件，不能用定義求。 tO 1 tf F1 O1 比較1)(t 21)( tO 1 tf F1 OO 1 F t tf21O二沖激偶的傅里葉變換 0dftttf jj e de0jj ttttttF 21 j1sgn21t三單位階躍函數(shù)Ot1 tu ttusgn2121 Ot21Ot2121

5、 tsgn21O O O F j1)( tu周期信號：周期信號：非周期信號：非周期信號：周期信號的傅里葉變換如何求？周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數(shù)的關(guān)系？與傅里葉級數(shù)的關(guān)系？ 離散譜離散譜傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 1 nFtf 連續(xù)譜連續(xù)譜傅里葉變換傅里葉變換 Ftf 葉葉變變換換統(tǒng)統(tǒng)一一的的分分析析方方法法：傅傅里里非非周周期期周周期期 tf由由歐拉公式歐拉公式由頻移性質(zhì)由頻移性質(zhì)一正弦信號的傅里葉變換 tttttt0000jj0jj0eej21sinee21cos 21 0j0j2e12e100 tt 000002221cos t同理同理 000jjsin t已知已知 )()(cos

6、000 t 000jjsin t0 0 F O頻譜圖:cos0頻譜圖頻譜圖t :sin0頻譜圖頻譜圖t 0 0 F o 0 0 2 2 o由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換其傅氏變換(用定義用定義)二一般周期信號的傅里葉變換112: T設(shè)設(shè)信信號號周周期期 ntjnnFtf1e1T tntnFnFnFFtfFF11j1j1TTee 112 nnF 112 nnF ; 1T的頻譜由沖激序列組成的頻譜由沖激序列組成tf 諧波頻率諧波頻率位置位置 :1 n 離散譜離散譜成正比成正比與與強(qiáng)度強(qiáng)度 , )( 2:11 nFnF幾點認(rèn)識 表示的是頻譜密度。表示的是頻譜密度。

7、因為因為譜線的幅度不是有限值譜線的幅度不是有限值 F, 2 ,1處處只存在于只存在于周期信號的周期信號的 nF 。幅度為幅度為頻率范圍無限小頻率范圍無限小 , 11T2 nnFF 三如何由 求 的關(guān)系的關(guān)系的譜系數(shù)的譜系數(shù)與周期信號與周期信號即單個脈沖的即單個脈沖的1T0 nFtfF tf0t2T 2T tfTT Ttoo 00 Ftf設(shè)設(shè) )1(de22j00 TTtttfF 0F 1 nF 22j11j1)2(de1e11TTtnTntnTttfTnFnFtf 比較式比較式(1),(2) 22jT11j1T)2(de1e11TTtnntnttfTnFnFtf tftfnT01 相同相同與與

8、內(nèi)內(nèi)在在tftfTTT02,2 10111 nFTnF 所以所以 1T0 nFtfF的譜系數(shù)的譜系數(shù)求周期函數(shù)求周期函數(shù)可由可由 )1( de22j00 TTtttfF nnTtt1T ntnntnTnFt11j1j1Te1e 所以所以四周期單位沖激序列的傅里葉變換t tT 1 1 1 1 1 1T1T 12T12T o 1 t 因因為為 的傅氏級數(shù)譜系數(shù)的傅氏級數(shù)譜系數(shù)所以所以tT 111TnF 1 nF11T1 12 1 12 o 1 1 1 1 1 12 1 1 12 Fo 。強(qiáng)強(qiáng)度度和和間間隔隔都都是是激激序序列列的的頻頻譜譜密密度度函函數(shù)數(shù)仍仍是是沖沖1T, t頻譜 ntnFTtFF1j1Te1 nnT112 nnT1121 nn11五周期矩形脈沖序列的傅氏變換 tf1Tto1T 2 2 E方法方法1 1)()()(10 FnFF 2Sa)(0 EF 10111 nFTnF 所以所以 112)( nnFFn 1112Sa nnEn 1112Sa2 nnTEn )()()(T0