87方向?qū)?shù)與梯度70310

1、實例實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標(biāo)是：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點處有一個在坐標(biāo)原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？到達較涼快的地點？問題的問題的實質(zhì)實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行一、問題的提出一、問題的提出 討論函

2、數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點p沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義oyxlp xyp引射線引射線內(nèi)有定義，自點內(nèi)有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lppuyxpyxfz)(),(),( ).(),(,puplyyxxplx 上的另一點且上的另一點且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) （如圖）（如圖） |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時，時，p pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考慮考慮是否存在？是否存在？.),(),(lim0

3、 yxfyyxxflf 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點點p沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,.的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向則稱這極限為函數(shù)在點則稱這極限為函數(shù)在點在，在，時，如果此比的極限存時，如果此比的極限存趨于趨于沿著沿著當(dāng)當(dāng)之比值，之比值，兩點間的距離兩點間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量定義定義lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(y

4、xp是可微分是可微分的，那末函數(shù)在該點沿任意方向的，那末函數(shù)在該點沿任意方向 l l 的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為x軸到方向軸到方向 l l 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求函數(shù)求函數(shù)yxez2 在點在點)0 , 1(p處沿從點處沿從點)0

5、, 1(p 到點到點)1, 2( q的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). 解解故故x軸到方向軸到方向l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù))4sin(2)4cos( lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 pq,例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù)22),(yxyxyxf 在點在點（1，1）沿與沿與x軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并并問在怎樣的方向上此方向?qū)栐谠鯓拥姆较蛏洗朔较驅(qū)?數(shù)有數(shù)有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零

6、？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時，時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時，時，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點，它在空間一點),(zyxp沿著方向沿著方向 l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyy

7、xxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ） 同理：當(dāng)函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點同理：當(dāng)函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 設(shè)設(shè)方方向向 l 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z例例 3 3 設(shè)設(shè)n是曲面是曲面632222 zyx 在點在點)1 , 1 , 1(p處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)2122)86(1yxzu 在此處沿方向在此處沿方向n的方向的方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù).解解

8、令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 ppzuyuxunu)coscoscos( .711 故故定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點dyxp ),(，都可定出一個向量都可定出一個向量jyfixf

9、 ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxp的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點函數(shù)在點問題問題p sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos( eyxgradf時，時，lf 有有最最大大值值.設(shè)設(shè)jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的函數(shù)

10、在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結(jié)論結(jié)論當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時時，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為xfyf tangradfgradf p),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgradf梯度為等高

11、線上的法向量梯度為等高線上的法向量p等高線的畫法等高線的畫法播放播放圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：向?qū)?shù)向?qū)?shù)的方的方于函數(shù)在這個法線方向于函數(shù)在這個法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的等高線，而梯度的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個方向相同，且線的一個方向相同，且在這點的法在這點的法高線高線的等的等的梯度的方向與點的梯度的方向與點在點在點函數(shù)函數(shù)cyxfpyxpyxfz ),(),(),( 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

12、對于每一點一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點gzyxp ),(，都可定義一個向量都可定義一個向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點的等量面，此函數(shù)在點),(zyxp的梯度的方向與的梯度的方向與過點過點 p的等量面的等量面czyxf ),(在這點

13、的法線的一在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 p處梯度為處梯度為 0.1、

14、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）四、小結(jié)四、小結(jié).),(最快的方向最快的方向在這點增長在這點增長梯度的方向就是函數(shù)梯度的方向就是函數(shù)yxf討討論論函函數(shù)數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點點處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故兩

15、個偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_._.2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場已

16、知場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場的梯度場的梯度方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是_._.4 4、 稱向量場稱向量場a為有勢場為有勢場, ,是指向量是指向量a與某個函數(shù)與某個函數(shù) ),(zyxu的梯度有關(guān)系的梯度有關(guān)系_._.練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 設(shè)設(shè)vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點點),(000zyxm處處沿沿點點的的向向徑徑0r的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), ,問問cba,具具有有什什么么關(guān)關(guān)系系時時此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函數(shù)二、求函數(shù))(12222byaxz 在點在點)2,2(ba處沿曲線處沿曲線 12222 byax在這點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)在這點的內(nèi)法