2022年初中函數概念大全

1、學習必備歡迎下載1、平面直角坐標系平面直角坐標系函數在平面內畫兩條相互垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系；其中，水平的數軸叫做x 軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y 軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點o（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面；為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x 軸和 y 軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限；留意： x 軸和 y 軸上的點，不屬于任何象限；2、點的坐標的概念點的坐標用（ a，b）表示，其次序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒；平

2、面內點的坐標是有序實數對，當a3、不同位置的點的坐標的特點各象限內點的坐標的特點b 時，（ a，b）和（ b， a）是兩個不同點的坐標；點 px,y 在第一象限x0, y0點 px,y 在其次象限x0, y0點 px,y 在第三象限x0, y0點 px,y 在第四象限坐標軸上的點的特點x0, y0點 px,y 在 x 軸上點 px,y 在 y 軸上y0 ， x 為任意實數x0， y 為任意實數點 px,y 既在 x 軸上，又在 y 軸上x， y 同時為零，即點 p 坐標為（ 0， 0）兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特點點 px,y 在第一、三象限夾角平分線上x 與 y 相等點 px,y 在其

3、次、四象限夾角平分線上x 與 y 互為相反數和坐標軸平行的直線上點的坐標的特點位于平行于 x 軸的直線上的各點的縱坐標相同；位于平行于 y 軸的直線上的各點的橫坐標相同；關于 x 軸、 y 軸或原點對稱的點的坐標的特點點 p 與點p關于 x 軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數點 p 與點p關于 y 軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數點 p 與點p關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數點到坐標軸及原點的距離點 px,y 到坐標軸及原點的距離：（ 1）點 px,y 到 x 軸的距離等于y（2） 點 px,y 到 y 軸的距離等于x（3） 點 px,y 到原點的距離等于x2y 2對稱性：如直角坐標系內一

4、點p（a，b），就 p 關于 x 軸對稱的點為p1（ a，b），p 關于 y 軸對稱的點為p2（ a，b） ，關于原點對稱的點為p3（ a，b） .坐標平移：如直角坐標系內一點p（ a，b）向左平移 h 個單位，坐標變?yōu)?p（ah，b），向右平移 h 個單位，坐標變?yōu)?p（ ah，b）；向上平移 h 個單位，坐標變?yōu)閜（ a，b h），向下平移 h 個單位，坐標變?yōu)閜（ a，b h） . 如：點 a（ 2， 1）向上平移 2 個單位，再向右平移5 個單位，就坐標變?yōu)閍（ 7，1）4、函數平移規(guī)律： 左加右減、上加下減函數及其相關概念1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數

5、值保持不變的量叫做常量；一般地，在某一變化過程中有兩個變量x 與 y，假如對于 x 的每一個值， y 都有唯獨確定的值與它對應，那么就說x是自變量， y 是 x 的函數；2、函數解析式用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式； 使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范疇；3、函數的三種表示法及其優(yōu)缺點（1） 解析法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法；（2） 列表法把自變量 x 的一系列值和函數y 的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法；（3） 圖像法用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法；4、由函

6、數解析式畫其圖像的一般步驟（1） 列表：列表給出自變量與函數的一些對應值（2） 描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點（3） 連線：依據自變量由小到大的次序，把所描各點用平滑的曲線連接起來；一次函數和正比例函數1、一次函數的概念：一般地，假如ykxb （k， b 是常數， k0），那么 y 叫做 x 的一次函數；特殊地，當一次函數ykxb 中的 b 為 0 時， ykx （ k 為常數， k0）；這時， y 叫做 x 的正比例函數；2、一次函數、正比例函數的圖像全部一次函數的圖像都是一條直線一次函數 ykxb k 0 的圖像是經過點（ 0， b）的直線 b 是直線與 y 軸的交

7、點的縱坐標，即一次函數在y 軸上的截距 ；正比例函數 ykx 的圖像是經過原點（ 0， 0）的直線；3、斜率：ktany2y1x2x1ypx0 y0da x1,y1y=kx+b直線的斜截式方程，簡稱斜截式: y kx b k 0由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式:b x2,y2bykxbtan xby2y1x2x1xxx1y1a0x由直線在 x 軸和 y 軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：xy1ab設兩條直線分別為，l1 ： yk1 xb1l 2 ： yk 2 xb2 如l 1l 2k 1k 21y如 l 1 /l 2 ，就有 l 1 / l 2k1k 2 且 b1b

8、2 ；kx 0y0bkx0y0ba點 p（ x0，y0）到直線 y=kx+b 即： kx-y+b=0的距離 :dk 21 2k 214、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）bx22如圖：點 a 坐標為（ x 1， y 1）點 b 坐標為（ x2， y2 ）就 ab 間的距離，即線段ab 的長度為x1x2y1y25、正比例函數和一次函數解析式的確定確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式ykx （ k0）中的常數 k；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式 ykxb （ k0）中的常數 k 和 b；解這類問題的一般方法是待定系數法；6、（1）一次函數

9、圖象是過兩點的一條直線，|k|的值越大，圖象越靠近于y 軸；（2） 當 k>0 時，圖象過一、三象限，y 隨 x 的增大而增大；從左至右圖象是上升的（左低右高）；（3） 當 k<0 時，圖象過二、四象限，y 隨 x 的增大而減??；從左至右圖象是下降的（左高右低）；（4） 當 b>0 時，與 y 軸的交點（ 0， b）在正半軸；當 b<0 時，與 y 軸的交點 0,b在負半軸；當 b 0 時，一次函數就是正比例函數，圖象是過原點的一條直線（5） 幾條直線相互平行時， k 值相等而 b 不相等；反比例函數1、反比例函數的概念一般地，函數 yk（ k 是常數， k0）叫做反比

10、例函數；反比例函數的解析式也可以寫成xykx1的形式；自變量 x 的取值范疇是x0 的一切實數，函數的取值范疇也是一切非零實數，也可寫成xy=kk 是常數， k0反比例函數中，兩個變量成反比例關系：由xy=k，由于 k 為常數， k0，兩個變量的積是定值，所以y 與 x 成反比變化，而正比例函數y=kxk 0 是正比例關系：由y =k k 0 ，由于 k 為不等于零的常數，兩個變量的商是定值；x2、反比例函數 y= k k 0 的圖象的畫法畫圖方法：描點法；x由于雙曲線的圖象有關于原點對稱的性質，所以只要描出它在一個象限內的分支，再對稱地畫出另一分支；肯定要留意： k>0 ，雙曲線兩分支

11、分別在第一、三象限；k<0 ，雙曲線兩分支分別在其次、四象限； 在每一象限內，從左向右上升 因此，它的增減性與一次函數相反反比例函數與正比例函數的交點關于原點對稱；特點： y=k =kx- 1k 0 中， x0，y0，就有雙曲線不過原點且與兩坐標軸永不相交；但無限靠近x 軸、 yx軸；畫圖時圖象要表達這種性質，千萬留意不要將兩個分支連起來；3、反比例函數的性質和圖像反比例函數k 的符yk k0 x號k>0k<0yy圖像oxox x 的取值范疇是 x0， y 的取值范疇是 y0；性質當 k>0 時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限；在每個象限內，y隨 x 的增大而減小

12、； x 的取值范疇是 x0， y 的取值范疇是 y0；當 k<0 時，函數圖像的兩個分支分別在其次、四象限；在每個象限內，y隨 x 的增大而增大；4、反比例函數解析式的確定確定的方法仍是待定系數法；由于在反比例函數y一個點的坐標，即可求出k 的值，從而確定其解析式；5、反比例函數中反比例系數的幾何的意義k中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上的x如下圖，過反比例函數yk k x0 圖像上任一點 p 作 x 軸、 y 軸的垂線 pm， pn，就所得的矩形pmon 的面積s=pmpn= yxxyy二次函數k ,xy xk , sk1、二次函數的概念：一般地，假如yax 2bxca

13、, b, c是常數， a0 ，那么 y 叫做 x 的二次函數；yax 2bxca, b, c是常數， a0 叫做二次函數的一般式；b2、二次函數的圖像：二次函數的圖像是一條關于3、二次函數圖像的畫法五點法：x對稱的曲線，這條曲線叫拋物線；2a（1） 先依據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點m ，并用虛線畫出對稱軸（2） 求拋物線 yax 2bxc 與坐標軸的交點：當拋物線與 x 軸有兩個交點時，描出這兩個交點a,b 及拋物線與 y 軸的交點 c，再找到點 c 的對稱點 d ；將這五個點按從左到右的次序連接起來，并向上或向下延長，就得到二次函數的圖像；當拋物線與 x 軸只有一個

14、或無交點時，描出拋物線與y 軸的交點 c 及對稱點 d；由 c、m 、d 三點可粗略地畫出二次函數的草圖；假如需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點a 、b ，然后順次連接五點，畫出二次函數的圖像4. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法（ 1）公式法： yax 2bxc2a xb 2a4acb2 4a，頂點是（b 4ac，2a4ab 2b），對稱軸是直線 x2a（ 2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為ya xh 2k 的形式，得到頂點為 h , k ，對稱軸是直線xh .（ 3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點；如已知拋物線上兩點

15、x ,y、 x, y （及 y 值相同），就對稱軸方程可以表示為：xx1x21225. 拋物線 yax 2bxc 中，a,b, c 的作用（ 1） a 打算開口方向及開口大小當a0 時，拋物線開口向上，頂點為其最低點；當a0 時，拋物線開口向下；頂點為其最高點；a 相等，拋物線的開口大小、外形相同.a 越大，圖像開口越小，a 越小，圖像開口越大； 平行于 y 軸（或重合）的直線記作xh . 特殊地， y 軸記作直線 x0 .（ 2） b 和 a 共同打算拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線 yax 2bxc 的對稱軸是直線 xb ，2a故： bb0 時，對稱軸為 y 軸； b a0 （即 a 、

16、b 同號）時，對稱軸在y 軸左側；0 （即 a 、 b 異號）時，對稱軸在y 軸右側 .a（ 3） c 的大小打算拋物線yax 2bxc 與 y 軸交點的位置 . 當 x0 時， yc ，拋物線 yax 2bxc 與 y 軸有且只有一個交點（ 0， c ）： c0 ，拋物線經過原點 ; c0 , 與 y 軸交于正半軸； c0 , 與 y 軸交于負半軸 .以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立. 如拋物線的對稱軸在y 軸右側，就b0 .a6、二次函數的解析式有三種形式：（1） 一般式： y2axbxca,b, c是常數， a0（2） 頂點式：ya xh 2ka, h, k是常數， a0（3） 交

17、點式：當拋物線yax 2bxc 與 x 軸有交點時，即對應二次好方程ax 2bxc0 有實根x1和x2 存在時 ， 根 據 二 次 三 項 式 的 分 解 因 式ax 2bxca xx1 xx2 ， 二 次 函數 yax 2bxc可 轉 化 為 兩 根 式ya xx1 xx2 ；假如沒有交點，就不能這樣表示；幾種特殊的二次函數的圖像特點如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標yax 2當 a0 時x0 （ y 軸）（0,0 ）yax2k開口向上x0 （ y 軸）0,k 當 a0 時ya xh 2ya xh 2k開口向下xhxh h ,0 h , k 2yaxbxcb2xb4acbya xb 24

18、acb22a4a2a，2a4a7、二次函數的最值假如自變量的取值范疇是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值 （或最小值） ，即當 xb4 acb 2時，y最值；2 a4a假如自變量的取值范疇是x1xx2 ，那么， 第一要看b是否在自變量取值范疇x12axx2內，如在此范疇內，b4acb 2就當 x=時， y最值；如不在此范疇內，就需要考慮函數在212 a4 ax1xx2 范疇內的增減性，假如在此范疇內， y 隨 x 的增大而增大，就當xx2 時，y最大ax 2bx2c ，當 xx1時，y最小ax 2bx1c ；假如在此范疇內， y 隨 x 的增大而減小，就當x8、二次函數的圖象x1 時，y最大

19、ax2bx1c ，當 xx2 時，y最小ax2bx2c ；1函數二次函數 yax 2bxca, b, c是常數， a0a>0a<0yy圖像0x（ 1）拋物線開口向上，并向上無限延長；（ 2）對稱軸是 x=b ，2a0x1（ 1）拋物線開口向下，并向下無限延長；（ 2）對稱軸是 x=b ，2a頂點坐標是（性質2b4acb，）；2a4a頂點坐標是（2b4acb，）；2a4a（ 3）在對稱軸的左側，即當x<b時， y 隨 x2a（ 3）在對稱軸的左側，即當x<b時， y 隨 x2a的 增 大 而 減 小 ； 在 對 稱 軸 的 右 側 ， 即 當b的增大而增大；在對稱軸的右側，即當b2x>時， y 隨 x 的增大而增大，簡記左減2 a右增；x>時， y 隨 x 的增大而減小，簡記左2 a增右減；（ 4）拋物線有最低點，當x=b時， y 有最小2a（ 4）拋物線有最高點，當x=b時， y 有最2a值， y最小值4acb 24a大值，y最大值4acb 24a9.拋物線的交點（ 1） y 軸與拋物線 yax 2bxc 得交點為 0,c .（ 2）拋物線與 x 軸的交點：二次函數yax 2bxc 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標x1、x2