斯普林菲爾德分配學(xué)生答案

1、1概述研究的背景斯普林菲爾德（Springfield ）學(xué)校董事會(huì)打算在年底關(guān)閉它的一所中學(xué)（包括6,7,8 年級(jí)），并在下一年將這些年級(jí)的學(xué)生分配到另外三所中學(xué)去。學(xué)校為離校距離 超過(guò)1英里的所有學(xué)生提供上下課的接送服務(wù)，因此，為了節(jié)省公交費(fèi)用，學(xué)校將對(duì)學(xué)生進(jìn)行分配。從該城市的六個(gè)居住區(qū)到各所學(xué)校，每個(gè)學(xué)生的一年的公交費(fèi)用如下表所示（表中還給出了下一年的其他一些基本數(shù)據(jù)）。其中，。表示不需要公交服務(wù)，而“”表示這種分配不可能。地區(qū)學(xué)生數(shù)量6年級(jí)比例7年級(jí)比例8年級(jí)比例每學(xué)生的校車(chē)成本（美元）學(xué)校1學(xué)校2學(xué)校3145032383030007002600372835一40050035503032

2、386003002004350284032200500一55003934270一40064503428385003000學(xué)校容量90011001000學(xué)校的董事會(huì)規(guī)定每個(gè)學(xué)校里，每一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)必須在總?cè)藬?shù)的30%- 36%之間，上表顯示了第二年每個(gè)地區(qū)學(xué)校的各年級(jí)的學(xué)生比例?？梢詣澇鰧W(xué)生上學(xué)的地區(qū)界限，以便于在多所學(xué)校之間分配學(xué)生。但是，不管如何分配，上表所要求的每所學(xué)校的各年級(jí)的比例 必須得到滿(mǎn)足。假設(shè)學(xué)校雇用你作為管理科學(xué)的顧問(wèn)，幫助學(xué)校決定如何在各所學(xué)校之間分配學(xué)生。2模型的建立2.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的建立<1>目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的確定通過(guò)觀察分析，我們可以知道：目標(biāo)函數(shù) 二各個(gè)居住

3、區(qū)分配到某個(gè)學(xué)校的人 數(shù)*該居住區(qū)到這個(gè)學(xué)校的學(xué)生公交費(fèi)用經(jīng)過(guò)調(diào)查分析，總結(jié)出各個(gè)居住區(qū)到學(xué)校的公交花費(fèi)， 我們統(tǒng)計(jì)了一個(gè)學(xué)生 每年從家里到學(xué)校所要花費(fèi)的公交費(fèi)用， 為了更加清晰明了，我們以表格的形式 進(jìn)行整理：1.3.1各個(gè)居住區(qū)的學(xué)生到不同學(xué)校的每年公交的費(fèi)用地區(qū)每位學(xué)生每年的公交成本學(xué)校1學(xué)校2學(xué)校3130007002一40050036003002004200500一50一40065003000注：“一”表示費(fèi)用無(wú)窮大，不分配學(xué)生。<2>居住區(qū)學(xué)生總?cè)藬?shù)以及各個(gè)年級(jí)學(xué)生的數(shù)量根據(jù)學(xué)校的調(diào)查結(jié)果，發(fā)現(xiàn)一共有6個(gè)居住區(qū)，每個(gè)居住區(qū)的學(xué)生數(shù)量、各個(gè)年級(jí)學(xué)生在這個(gè)居住區(qū)中所占的比例，

4、 都進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，由于數(shù)字比較多，為 了更加清晰的表達(dá)出來(lái)，我們進(jìn)行了一系列的整理與分析， 通過(guò)一定的計(jì)算，因 而得到如下表格1.3.2 A各個(gè)居住區(qū)學(xué)生總數(shù)量與各個(gè)年級(jí)的學(xué)生比例地區(qū)學(xué)生數(shù)量6年級(jí) 比例%7年級(jí) 比例%8年級(jí) 比例%145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838總計(jì)29001.3.2 b各個(gè)年級(jí)學(xué)生的總體數(shù)量地 區(qū)學(xué)生 數(shù)量6年級(jí) 比例%7年級(jí) 比例%8年級(jí) 比例%每個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)量總計(jì)6年 級(jí)7年級(jí)8年 級(jí)14503238301441711354502600372835222168210600355030

5、323816517620955043502840329814011235055003934271951701355006450342838153126171450總 計(jì)29009779519722900<3>各個(gè)學(xué)校的可容納量由于學(xué)校的規(guī)模不一樣，可容納的學(xué)生數(shù)量也就不一樣，因此通過(guò)學(xué)校的研 究，這些學(xué)校還可以容量的學(xué)生數(shù)量為，我們同樣通過(guò)表格來(lái)表示：1.3.3各個(gè)學(xué)校的可容納量（人）學(xué)校1學(xué)校2學(xué)校3總計(jì)學(xué)生容納量900110010002900<4>各個(gè)學(xué)校不同年級(jí)學(xué)生的可容納量由于校方規(guī)定，每個(gè)學(xué)校里，每一個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)必須在總?cè)藬?shù)的30%36%之間，則根據(jù)這個(gè)要

6、求我們又得到每個(gè)年級(jí)最大與最小接收量。經(jīng)過(guò)計(jì) 算，我們同樣通過(guò)表格體現(xiàn)：1.3.4各個(gè)學(xué)校不同年級(jí)學(xué)生的可容納量學(xué)校1學(xué)校2學(xué)校3學(xué)校容量90011001000各年級(jí)可 容納量最小最大最小最大最小最大6年級(jí)2703243303963003607年級(jí)2703243303963003608年級(jí)270324330396300360總計(jì)171097299011889961080<5>學(xué)?？扇菁{量的總數(shù)一定 學(xué)校可容納量的總數(shù)為30002.2變量的設(shè)定設(shè)各個(gè)居住區(qū)中各個(gè)年級(jí)分配到不同學(xué)校的數(shù)量分別是:由于變量相對(duì)比較多，寫(xiě)起來(lái)比文字?jǐn)⑹鲞^(guò)于復(fù)雜，我們就通過(guò)表格來(lái)表未清楚:變量居住 區(qū)各個(gè)居住

7、區(qū)中不同年級(jí)的學(xué)生分配到各個(gè)學(xué)校的人數(shù)學(xué)校1(x1)學(xué)校2(x2)學(xué)校3(x3)6年級(jí)7年級(jí)8年級(jí)6年級(jí)7年級(jí)8年級(jí)6年級(jí)7年級(jí)8年級(jí)1x11x12x13x111x112x113x121x122x123x131x132x1332x22x23x221x222x223x231x232x2333x31一x32x33x311x312x313x321x322x323函1x332x3334x41x42x411x412x413x421x422x4235x51x53x511x512x513x531x532x5336x61x62x63x611x612x613x621x622x623x631x632x6332.3

8、目標(biāo)函數(shù)的建立根據(jù)上述基礎(chǔ)數(shù)據(jù)可以得出如下目標(biāo)函數(shù)Minf(x)=300x11+600x31+200x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62 +700x13+500x23+200x33+400x53目標(biāo)函數(shù)=各個(gè)居住區(qū)分配到某個(gè)學(xué)校的人數(shù)*該居住區(qū)到這個(gè)學(xué)校的學(xué)生公交費(fèi)用要使總損益值最小，只需要該目標(biāo)函數(shù)取得極小值即可，這與研究問(wèn)題的目的是相一致的。限制條件案例中a題的約束條件<1>居住區(qū)的學(xué)生總數(shù)量的約束 x11+x12+x13=450x22+x23=600x31+x32+x33=550x41+x42=350 x51+x53=500x61+x6

9、2+x63=450< 2>各個(gè)學(xué)?？扇菁{量的約束x11+x31+x41+x51+x61-x1=0x21+x22+x32+x42+x62-x2=0x13+x23+x33+x53+x63-x3=0< 3>各個(gè)學(xué)校中各個(gè)年級(jí)人數(shù)的約束x111+x121+x131=144x112+x122+x132=171x113+x123+x133=135x221+x231=222x222+x232=168x223+x233=210x311+x321+x331=165x312+x322+x332=176x313+x323+x333=209x411+x421=98x412+x422=140x4

10、13+x423=112x511+x531=195x512+x532=170x513+x533=135x611+x621+x631=153x612+x622+x623=126x613+x623+x633=171< 4>各個(gè)居住區(qū)總學(xué)生人數(shù)的限制x111+x112+x113-x11=0x311+x312+x313-x31=0x411+x412+x413-x41=0x511+x512+x513-x51=0 x611+x612+x613-x61=0x121+x122+x123-x21=0 x221+x222+x223-x22=0x321+x322+x323-x32=0x421+x422+x

11、423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x131+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x132+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x33=0x531+x532+x533-x53=0x631+x632+x633-x63=0< 5>居住區(qū)各個(gè)年級(jí)人數(shù)的約束x111+x311+x411+x511+x611-0.3x1>0x111+x311+x411

12、+x511+x611-0.36x1<0x112+x312+x412+x512+x612-0.3x1>0x112+x312+x412+x512+x612-0.36x1<0x113+x313+x413+x513+x613-0.3x1>0x113+x313+x413+x513+x613-0.36x1<0x121+x221+x321+x421+x621-0.3x2>0x121+x221+x321+x421+x621-0.36x2<0x122+x222+x322+x422+x622-0.3x2>0x122+x222+x322+x422+x622-0.36x

13、2<0x123+x223+x323+x423+x623-0.3x2>0x123+x223+x323+x423+x623-0.36x2<0x131+x231+x331+x531+x631-0.3x3>0x131+x231+x331+x531+x631-0.36x3<0x132+x232+x332+x532+x632-0.3x3>0x132+x232+x332+x532+x632-0.36x3<0x133+x233+x333+x533+x633-0.3x3>0x133+x233+x333+x533+x633-0.36x3<0案例中c題的約束條件

14、同a題約束條件1-4,無(wú)條件5約束，但增加約束條件 6< 6>居住區(qū)學(xué)生分到同一學(xué)校的約束X(ijk )這些所有的變量均為整數(shù)3模型的求解及解的分析3.1模型的求解對(duì)該線(xiàn)性規(guī)劃進(jìn)行求解，結(jié)果如下所示a .為該問(wèn)題建立線(xiàn)性規(guī)劃模型。決籥變軍管區(qū)告坪根 實(shí)際人鼬學(xué)校編W6年蛆7r耳緞3斗緞地區(qū)110001441711.3F13QU0力也區(qū)？100-022221G曰2103000地區(qū)B地區(qū)41QQ1133.IbbJ17 EZ11 771981391122O1：口0地區(qū)511.7 i-iI.3S2000U3門(mén)Q0地區(qū)e1門(mén)門(mén)門(mén) 門(mén)口0；,31.5312a1.7112330*i25323GG

15、340331 S3 0-2346區(qū)號(hào)得區(qū)總學(xué)生5Q0打駒素2裝部襦出量駕Feb年孤小客際,筑學(xué)程下用口 3苔年策人瓢卜陽(yáng)36IEjS.>J3!2E8'、 一 ：' r- -sot. eoooooi1711, ,1B60.0404001 _2B&，S3. SOOCOOli 變.i司125 b1二手.：；sew. wnoai二一二222二If 蘭.射：2L. &&13S. ?,9S3E3.Er2li7222t. 6當(dāng)輜加蚣血1.331. &W3法 91 婚自的朝ij'. 1m27eS 1TC："!13 Ji£30：3

16、4 3,420?l，| 29C. i I-K 一 34B,4H1蟄閡；，- ii：_1_地區(qū)之手較d開(kāi)口 Iio地曲學(xué)d帆區(qū)=學(xué) F153iTFi打空，M?？?cè)藭?shū)脆 0 900102 1100小 1(X10目標(biāo)函數(shù) 426800學(xué)校編號(hào)各區(qū)校人數(shù)合計(jì)各區(qū)校公交成本地區(qū)。103002450030700地區(qū)N1Q260040030500地區(qū)31116002213003518200地區(qū)413492002150030一地區(qū)51500020一30400地區(qū)臺(tái)105002030034500b .你給學(xué)校董事會(huì)的最終建議是什么？由以上的求解結(jié)果可知，當(dāng)各個(gè)居住區(qū)的學(xué)生人數(shù)分配取得相對(duì)應(yīng)的值時(shí), 即為最終成本

17、達(dá)到426800美元。c .根據(jù)這一點(diǎn)調(diào)整你的建議，使同一個(gè)地區(qū)盡可能的分配在同一所學(xué)校里。（加人這一限制可能會(huì)使你不得不取消另外一些約束。）這樣做會(huì)增加多少公交成本？（在案例9.4中將會(huì)對(duì)這一類(lèi)的分析進(jìn)一步探討。）決策變星言區(qū)校人數(shù)學(xué)校1學(xué)和學(xué)校3地區(qū)101500地區(qū)206000地區(qū)300550地區(qū)43500oi地區(qū)550000地區(qū)601.450約束條件1料束條件2料市條件34他區(qū)口際人題臺(tái)理區(qū)總?cè)藚s專(zhuān)學(xué)校學(xué)三總卻不分配區(qū)域1450=450班 0|1050I1O0D0=0=和。WWW0=055。eoolioo looo0=0阪S350500=50045C450目標(biāo)函數(shù)-420000校車(chē)市學(xué)校

18、1學(xué)校2學(xué)校？地區(qū)13000700地區(qū)2400500地區(qū)36003002001地區(qū)42。0500地區(qū)50一400地區(qū)G5003000最終成本是 420000,成本較 a題減少6800元。d.將問(wèn)題a中的模型加人選項(xiàng)l重新考慮，并求解。將結(jié)果與b中的結(jié)果想比較，包括公交總成本的減少。決策變量學(xué)校編號(hào)6年級(jí)7年級(jí)8年級(jí)地區(qū)11000212生L7113S3000r地區(qū)2100220216821032000地區(qū)3100020083165176201地區(qū)41931401122000300地區(qū)511951702003000地區(qū)810012工0003LS31261S912況31025523姐 00000043393533337. 9999996302360目標(biāo)函數(shù)250400學(xué)校絹號(hào)臺(tái)區(qū)菽大數(shù)合計(jì)各區(qū)校公父成本地區(qū)103