D11_5對坐標曲面積分

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的概念與性質 三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系對坐標的曲面積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側曲面單側曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分左側和右側(單側曲面的典型) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側 0 為右側 0 為上側

2、 0 為下側外側內側 設 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側的規(guī)定 指定了側的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當0cos時當0cos時當0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、 對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的概念與性質 1. 引例引例 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnv

3、cosvS nvSnv目錄 上頁 下頁 返回 結束 對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設, 則 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,

4、(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標的曲面積2. 定義：定義：目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面 上對對 z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面 上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面 上對對 y, z 的曲面積分的

5、曲面積分;yxRxzQzyPdddddd若記 正側正側的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 性質性質(1) 若,1kiiki 1之間無公共內點, 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則SA dSASAddiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSA d目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法定理定理: 設光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側,),(

6、zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后負)(右正左負)說明說明: 如果積分曲面

7、取下側, 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 計算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側.解解: 利用對稱性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側 的底部 ),(:2222aaayxz取下側1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzyO目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對稱性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法

8、是否正確:例例2. 計算曲面積分,ddyxzyx其中 為球面2x外側在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr目錄 上頁 下頁 返回 結束 上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd例例3. 設S 是球面1222zyx的外側 , 計算SxxzyI2cosd

9、d2解解: 利用輪換對稱性, 有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd12220d1cos1r rrr21220d14cos1rr 1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx202d20目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQP

10、dcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫目錄 上頁 下頁 返回 結束 令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 位于原點電量為 q 的點電荷產(chǎn)生的電場為解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通過球面 : r = R 外側的電通量 .SE dSnEdSrrdrrq3目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxz111例例5. 設,1:22y

11、xz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n目錄 上頁 下頁 返回 結束 221cosyxx例例6. 計算曲面積分其中 解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側. )(2xz2211cosyx 目錄 上頁 下頁 返回 結束 原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)(

12、xxyxD22241)(yx 原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質性質:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)系聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos

13、思考思考:的方向有關, 上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?兩類曲面積分的定義一個與 的方向無關, 一個與目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 常用計算公式及方法常用計算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標)二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉化目錄 上頁 下頁 返回 結束 當yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDd

14、d),(,(dd),(（上側取“+”, 下側取“”)類似可考慮在 yOz 面及 zOx 面上的二重積分轉化公式 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. P227 題2提示提示: 設,),( ,0:yxDyxz則 取上側時,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下側時,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P244 題 13. P227 題3(3)目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側 , 計算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦,轉化成第一類曲面積分P227 題題3(3). 設作業(yè)作業(yè) P227 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,ddddddzyxyxzxzyI備用題備用