2022年函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性專題

1、精品資料歡迎下載函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性專題經(jīng)典例題透析類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明1. 證明函數(shù)上的單調(diào)性 .證明：在 0， + 上任取 x1、x2x1 x2， 令 x=x 2-x1 0就 x1 0， x2 0，上式 0， y=fx 2-fx 1 0上遞減 .總結(jié)升華：1 證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；2 如何比較兩個量的大??？作差 3 如何判定一個式子的符號？舉一反三：對差適當(dāng)變形【變式 1】用定義證明函數(shù)上是減函數(shù) .思路點撥：此題考查對單調(diào)性定義的懂得，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯獨途徑.證明：設(shè) x1， x2 是區(qū)間上的任意實數(shù)，且x1x2，就 0 x1 x2 1 x1-x2 0， 0 x

2、1x2 1 0 x1x2 1故，即 fx 1-fx 2 0 x1 x2 時有 fx1 fx 2上是減函數(shù) .總結(jié)升華：可以用同樣的方法證明此函數(shù)在上是增函數(shù)；在今后的學(xué)習(xí)中常常會遇到這個函數(shù)，在此可以嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象.類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2. 判定以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；1y=x 2-3|x|+2； 2解： 1由圖象對稱性，畫出草圖 fx 在上遞減，在上遞減，在上遞增.2圖象為 fx 在上遞增 .舉一反三：【變式 1】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1y=|x+1| ； 23.解： 1畫出函數(shù)圖象，函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為 -1， + ；2定義域為，其中 u=2x-1 為增函

3、數(shù)，在-， 0與 0， + 為減函數(shù)，就上為減函數(shù)；3定義域為 -， 0 0， + ，單調(diào)增區(qū)間為： -， 0，單調(diào)減區(qū)間為0， + .總結(jié)升華：1 數(shù)形結(jié)合利用圖象判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2 關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān).3 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).類型三、單調(diào)性的應(yīng)用 比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值-a+1 與的大小 .3. 已知函數(shù) fx在 0， + 上是減函數(shù)，比較fa 2解：又 fx 在0， +

4、 上是減函數(shù)，就.4. 求以下函數(shù)值域：1； 1x 5， 10 ； 2x -3， -2 -2， 1；2y=x 2-2x+3；1x -1 ， 1； 2x -2 ， 2.思路點撥： 1 可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；2 數(shù)形結(jié)合 .解：12 個單位， 再上移 2 個單位得到，如圖1fx 在5， 10上單增，；2；2畫出草圖1y f1 ， f-1 即2， 6；2.舉一反三：【變式 1】已知函數(shù).(1) 判定函數(shù) fx 的單調(diào)區(qū)間；(2) 當(dāng) x 1， 3時，求函數(shù) fx 的值域 .思路點撥：這個函數(shù)直接觀看唯恐不簡單看出它的單調(diào)區(qū)間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟識的形式.，其次問即是利用單調(diào)性求函數(shù)

5、值域 .解： 1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；2故函數(shù) fx 在1 ，3上單調(diào)遞增x=1 時 fx 有最小值， f1=-2x=3 時 fx有最大值x 1， 3時 fx的值域為.5. 已知二次函數(shù) fx=x 2-a-1x+5 在區(qū)間上是增函數(shù)，求：1 實數(shù) a 的取值范疇； 2f2 的取值范疇 .解： 1對稱軸是打算 fx 單調(diào)性的關(guān)鍵，聯(lián)系圖象可知只需；2 f2=2 2-2a-1+5=-2a+11 又 a 2， -2a -4f2=-2a+11 -4+11=7.類型四、判定函數(shù)的奇偶性6. 判定以下函數(shù)的奇偶性：123fx=x 2-4|x|+34fx=|x+3|-|x-3|567思路點撥：依據(jù)函數(shù)的

6、奇偶性的定義進(jìn)行判定.解： 1 fx 的定義域為，不關(guān)于原點對稱，因此fx 為非奇非偶函數(shù)；2 x-1 0， fx 定義域不關(guān)于原點對稱，fx為非奇非偶函數(shù)；3對任意 x r ，都有 -x r ，且 f-x=x 2-4|x|+3=fx ，就 fx=x 2-4|x|+3 為偶函數(shù) ；4 x r， f-x=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-fx ， fx 為奇函數(shù)；5， fx 為奇函數(shù)； 6 x r， fx=-x|x|+x f-x=-x|-x|+-x=x|x|-x=-fx， fx 為奇函數(shù)；7， fx為奇函數(shù) .舉一反三：【變式 1】判定以下函數(shù)的奇偶性：1；2fx=|x+1|

7、-|x-1| ；3fx=x 2+x+1 ；4.思路點撥：利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定.解：1；2f-x=|-x+1|-|-x-1|=-|x+1|-|x-1|=-fx fx為奇函數(shù)；+-x+1=x3f-x=-x 22-x+1 f-x -fx 且 f-x fx fx 為非奇非偶函數(shù)；4任取 x 0 就 -x 0， f-x=-x 2+2-x-1=x 2-2x-1=-x 2+2x+1=-fx任取 x 0，就 -x 0 f-x=-x 2+2-x+1=-x 2-2x+1=-x 2+2x-1=-fx x=0 時， f0=-f0 x r 時， f-x=-fx fx 為奇函數(shù) .舉一反三：【變式 2】已知 fx

8、 ，gx均為奇函數(shù)， 且定義域相同， 求證：fx+gx 為奇函數(shù)， fx ·gx為偶函數(shù) .證明：設(shè) fx=fx+gx ， gx=fx · gx就f-x=f-x+g-x=-fx-gx=-fx+gx=-fxg-x=f-x · g-x=-fx · -gx=fx · gx=gx fx+gx 為奇函數(shù)， fx · gx為偶函數(shù) .類型五、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合7.已知 fx=x 5+ax3-bx-8 ，且 f-2=10 ，求 f2.解：法一： f-2=-253+-2 a-2b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+

9、2b=10 8a-2b=-50f2=2 5+2 3a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令 gx=fx+8 易證 gx為奇函數(shù) g-2=-g2 f-2+8=-f2-8 f2=-f-2-16=-10-16=-26.8. fx 是定義在 r 上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 0 時， fx=x 2-x，求當(dāng) x 0 時， fx的解析式，并畫出函數(shù)圖象.解：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱， x 0 時， -y=-x 2-x即 y=-x 2-x 又 f0=0 ，如圖9. 設(shè)定義在 -3 ，3上的偶函數(shù) fx在 0，3上是單調(diào)遞增，當(dāng) fa-1 fa時，求 a的取值范疇 .解： fa-1 faf|a-1|

10、 f|a|而|a-1|， |a| 0， 3.類型六、綜合問題10. 定義在 r 上的奇函數(shù)fx 為增函數(shù)，偶函數(shù)gx在區(qū)間的圖象與 fx的圖象重合，設(shè) a b 0，給出以下不等式，其中成立的是 . fb-f-a ga-g-b ； fb-f-a ga-g-b ； fa-f-b gb-g-a ； fa-f-b gb-g-a.答案： .11. 求以下函數(shù)的值域：123思路點撥： 1 中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；2由單調(diào)性求值域， 此題也可換元解決；3單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟識二次函數(shù)情形，問題得到解決，需留意此時t 范疇 .解：1；(2) 經(jīng) 觀 察 知 ，；(3) 令.

11、12. 已知函數(shù) fx=x 2-2ax+a 2-1.(1) 如函數(shù) fx在區(qū)間 0， 2上是單調(diào)的，求實數(shù)a 的取值范疇；(2) 當(dāng) x -1， 1時，求函數(shù) fx 的最小值 ga ，并畫出最小值函數(shù)y=ga 的圖象 .解： 1 fx=x-a 2-1 a 0 或 a 221 °當(dāng) a -1 時，如圖 1， ga=f-1=a 2+2a2°當(dāng) -1 a 1 時，如圖 2，ga=fa=-13°當(dāng) a 1 時，如圖 3， ga=f1=a 2 -2a，如圖13. 已知函數(shù) fx 在定義域 0，+ 上為增函數(shù)， f2=1 ，且定義域上任意x、y 都滿意 fxy=fx+fy ，

12、解不等式： fx+fx-2 3.解：令 x=2， y=2 ， f2 × 2=f2+f2=2f4=2再令 x=4， y=2 ， f4 ×2=f4+f2=2+1=3 f8=3 fx+fx-2 3 可轉(zhuǎn)化為： fxx-2 f8.14. 判定函數(shù)上的單調(diào)性，并證明.證明：任取 0 x1 x2， 0 x1 x2， x1-x2 0， x1· x2 0 1當(dāng)時0 x1· x2 1， x1· x2-1 0 fx 1-fx 2 0 即 fx 1 fx 2上是減函數(shù) .2當(dāng) x1， x2 1， + 時，上是增函數(shù) .難點： x1· x2-1 的符號的確定

13、，如何分段.最小值 .15. 設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) fx=x 2+|x-a|+1， x r，試爭論 fx 的奇偶性，并求 fx 的解：當(dāng) a=0 時， fx=x 2+|x|+1，此時函數(shù)為偶函數(shù)； 當(dāng) a 0 時， fx=x 2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù) .(1) 當(dāng) x a 時，1且2上單調(diào)遞增，上的最小值為 fa=a 2+1.(2) 當(dāng) x a 時，1 上單調(diào)遞減，上的最小值為 fa=a 2 +12 上的最小值為綜上：.學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、挑選題1. 下面說法正確的選項a. 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是函數(shù)的定義域 b函數(shù)的多個單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間c具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關(guān)

14、于原點對稱d關(guān)于原點對稱的圖象肯定是奇函數(shù)的圖象2. 在區(qū)間上為增函數(shù)的是 abcd 3. 已知函數(shù)為偶函數(shù)， 就的值是 a.b.c.d.4. 如偶函數(shù)在上是增函數(shù)，就以下關(guān)系式中成立的是abcd5. 假如奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是 a. 增函數(shù)且最小值是b增函數(shù)且最大值是c減函數(shù)且最大值是d減函數(shù)且最小值是6. 設(shè)是定義在上的一個函數(shù)， 就函數(shù)，在上肯定是 a奇函數(shù)b偶函數(shù)c既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d非奇非偶函數(shù) .7. 以下函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是 abc d8. 函數(shù) fx 是定義在 -6 ， 6上的偶函數(shù)，且在 -6， 0上是減函數(shù)，就a. f3+f4 0b. f

15、-3-f2 0c. f-2+f-5 0d. f4-f-1 0二、填空題1. 設(shè)奇函數(shù)的定義域為，如當(dāng)時，的圖象如右圖， 就不等式的解是.2. 函數(shù)的值域是.3. 已知，就函數(shù)的值域是.4 如 函 數(shù)是 偶 函 數(shù) ， 就的 遞 減 區(qū) 間 是 .5 函數(shù)在 r上為奇函數(shù)，且，就當(dāng)， .三、解答題1. 判定一次函數(shù)反比例函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性 .2. 已知函數(shù)的定義域為，且同時滿意以下條件：1是奇函數(shù)；2在定義域上單調(diào)遞減；3求 的取值范疇 .3. 利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；4. 已知函數(shù). 當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值； 求實數(shù)的取值范疇，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù) .才能提升一、挑選題1. 以

16、下判定正確選項 a函數(shù)是奇函數(shù)b函數(shù)是偶函數(shù)c函數(shù)是非奇非偶函數(shù) d函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2. 如函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，就的取值范疇是 abcd3. 函數(shù)的值域為 abcd4. 已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)， 就實數(shù)的取值范疇是 abcd5. 以下四個命題： 1函數(shù)在時是增函數(shù)，也是增函數(shù)， 所以是增 函數(shù) ； 2 如 函 數(shù)與軸 沒 有 交 點 ， 就且； 3的遞增區(qū)間為； 4和表示相等函數(shù) .其中正確命題的個數(shù)是abcd 6定義在r上的偶函數(shù)，滿意，且在區(qū)間上為遞增，就abcd二、填空題1. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .2. 已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，那么時， .3. 如函數(shù)在上是奇函數(shù)，就的解析式為.4. 奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為 8，最小值為 -1，就 .5. 如函數(shù)在上是減函數(shù)，就的取值范疇為.三、解答題1. 判定以下函數(shù)的奇偶性122. 已知函數(shù)的定義域為，且對任意，都有， 且當(dāng)時，恒成立，證明： 1函數(shù)是上的減函數(shù)； 2函數(shù)是奇函數(shù) .3. 設(shè)函數(shù)與的定義域是且，是偶函數(shù)，是