2022年函數(shù)奇偶性經(jīng)典講義---新

1、奇偶性部分精品資料歡迎下載復(fù)習(xí)提問（一）奇偶函數(shù)的定義奇函數(shù)偶函數(shù)代數(shù)定義fxfx恒成立fxfx 恒成立幾何定義圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱且f00圖像關(guān)于 y 軸對稱備注定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是判定奇偶函數(shù)的前提，函數(shù)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；（二）、函數(shù)按奇偶分類： 奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) （非奇非偶）（三）、奇偶函數(shù)的性質(zhì)：1、奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)2、奇偶函數(shù)的加減： 奇 奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶 ；奇偶函數(shù)的乘除：同偶異奇3、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；4、定義在 r 上的任意函數(shù) fx 都可以唯獨(dú)

2、表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和fxfxfxfxfx奇偶22（四）、函數(shù)奇偶性的做題方法與步驟；第一步，判定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；其次步，求出fx 的表達(dá)式；第三步，比較 fx與fx的關(guān)系fx 與fxfx 與fx相等，函數(shù)為偶互為相反數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù) 題型與方法歸納題型與方法定義法： 1）看定義域是否關(guān)于0,0對稱，2）如fxfxfxfx0,就是奇函數(shù)0,就是偶函數(shù)一、判定奇偶性快速判定奇偶加減：奇奇=奇，偶 偶=偶，奇 偶=非奇非偶奇偶乘除：同偶異奇；例 1：判定以下函數(shù)的奇偶性21 x1fxxx212） fxlog 1 x3） fx1x2x214） fxx2x25） fx1 x21

3、x021 x21x02解： 1） fx 的定義域?yàn)?r，2fxxx1xx21fx 所以原函數(shù)為偶函數(shù)；精品資料歡迎下載2） fx 的定義域?yàn)?1 x0 即 1x1 ，關(guān)于原點(diǎn)對稱 fx1x1xlog1 xlog1 x1 x221log 21xfx ，所以原函數(shù)為奇函數(shù)；x3） fx 的定義域?yàn)?x202即x1 ，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f1f10 即x10f1f1 且f1f 1，所以原函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；4） fx 的定義域?yàn)閤20即 x2，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以原函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶2x0函數(shù)；5） 分段函數(shù) fx 的定義域?yàn)?00,關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng) x0 時(shí)， x0 ， fx1x 2

4、11 x211 x21fx222當(dāng) x0 時(shí)， x0， fx1x 211 x211 x21fx222綜上所述，在,00,上總有 fxfx所以原函數(shù)為奇函數(shù)；留意： 在判定分段函數(shù)的奇偶性時(shí)， 要對 x 在各個(gè)區(qū)間上分別爭論， 應(yīng)留意由 x 的取值范疇確定應(yīng)用相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；練習(xí) 1：判定以下函數(shù)的奇偶性1） fxx6x21x x62） fx2x2x223） fxx233x24） fxx2x25） fx2xxx0x2xx0二、利用奇偶性求函數(shù)解析式：例 2：設(shè) fx 是 r 上是奇函數(shù)，且當(dāng) x0,時(shí) fxx 13 x，求 fx 在 r 上的解析式解： 當(dāng) x0,時(shí)有 fxx 13 x，設(shè) x

5、,0， 就 x0,，從而有fxx13xx 13 x，fx 是 r 上是奇函數(shù)，fxfx所以 fxfxx 13 x，因此所求函數(shù)的解析式為 fxx 13 xx0x 13 xx0留意：在求函數(shù)的解析式時(shí)， 當(dāng)球自變量在不同的區(qū)間上是不同表達(dá)式時(shí)，要用分段函數(shù)是形式表示出來；x練習(xí) 2：已知 yfx 為奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，fxx22x，求 fx 的表達(dá)式；練習(xí) 3、已知 fx為奇函數(shù)， gx 為偶函數(shù)，且fxgxe ，求函數(shù) fx 的表達(dá)式；例 3：設(shè)函數(shù) fx 是定義域 r 上的偶函數(shù)， 且圖像關(guān)于 x2 對稱，已知 x2, 2 時(shí)，fxx12求 x6, 2 時(shí) fx 的表達(dá)式；解： 圖像關(guān)于

6、x2對稱，f2xf2x ，fxf22x= f4xf x4 fx4fxfx 4t4x6 ,2x42,2fx42x41fx所以 x6, 2時(shí) fx 的表達(dá)式為 fx =2x41練習(xí) 3：已知函數(shù)fx 為奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)， fx2x23x ，求 fx 的表達(dá)式；53例 4：已知函數(shù)f xxaxbx8 且 f210 ，求 f2 的值解：令g xx5ax3bx ，就fxg x8f2g281 0g21 8g x 為奇函數(shù)，g2g 218g 218f2g281 882 6練習(xí) 4：已知函數(shù)fxax7bx5cx3dx4 且 f3 9 ，求 f3 的值；例 5：定義在 r 上的偶函數(shù) fx 在區(qū)間,0 上單

7、調(diào)遞增，且有f2a2a1f3a22a1求a 的取值范疇；解： 2a22a12 a17480 ， 3a222a13 a12330 ，且 fx 為偶函數(shù)，且在區(qū)間,0 單調(diào)遞增，fx 在區(qū)間 0,上為減函數(shù)，2a 2a13a 2210a3所以 a 的取值范疇是0,3 ；點(diǎn)評：利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性， 將函數(shù)值之間的大小關(guān)系轉(zhuǎn)換為自變量的大小關(guān)系，從而應(yīng)用不等式有關(guān)學(xué)問求解 .練習(xí) 5：定義在1,1 上的奇函數(shù) fx 為減函數(shù)，且 f1af1a 20 ，求實(shí)數(shù) a 的取值范疇；練習(xí) 6：定義在2,2 上的偶函數(shù) g x ，當(dāng) x的取值范疇；三、抽象函數(shù)奇偶性的判定0 時(shí)， g x 為減函數(shù)，如 g

8、 1mg m 成立，求 m解題方法與步驟：（ 1）設(shè)/令 （2）求值（3）判定對任意的 x, y ，均有 fxyxfyyfx ，是判定函數(shù)奇偶性；解：設(shè) y=-1，就fxxf1fx ；令 x=y=-1,f11 f 12,令 x=y=1， f10 ,所以 fxfx ， fx 是奇函數(shù)；練習(xí) 1、已知fxyfxy2 fxfy, 且 f00 ，判定函數(shù) fx 的奇偶性；練習(xí) 2、 fxyfxfy ，x, yr ，判定函數(shù)的奇偶性；趁熱打鐵1、判定以下函數(shù)的奇偶性 .exe xexe x1 yxx95 ； 2 yloga xx21 ； 3y；4y222、設(shè)函數(shù)f x 定義在 a, a 上，證明：1f

9、xf x 為偶函數(shù)； 2f xf x 為奇函數(shù) .3、如函數(shù) fx 在區(qū)間a33,2a上是奇函數(shù)，就 a=a .-3 或 1b.3 或-1c.1d.-34、 已知函數(shù) fx3x34x2，就它是（）a奇函數(shù)b 偶函數(shù)c 即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)5.x, yr,fxyfxfy,判定 fx的奇偶性；溫故知新1. 判定以下函數(shù)的奇偶性1 y2x2x4;2 ysin x cosx;3 ysin xcosx;4 yln 1x .1x（ 5）fxx21x3（ 6） fxx1x00x0x1x02. 已知定義在 r 上的奇函數(shù)f x，滿意f x4f x ,且在區(qū)間 0,2上是增函數(shù) ,就

10、.a. f25f 11f 80b. f80f 11f 25c.f 11f 80f 25d.f 25f 80f 113. 已知函數(shù)f x是 , 上的偶函數(shù)，如對于x0 ，都有f x2）f x，且當(dāng) x0, 2 時(shí)，f xlog2x）1 ，就f 2021f 2021的值為（）a 2b 1c 1d 24. 函數(shù)f x的定義域?yàn)?r，如f x1 與f x1 都是奇函數(shù)，就af x是偶函數(shù)bf x是奇函數(shù)cf xf x2df x3 是奇函數(shù)5、已知函數(shù)f xa12x1 .（1） ）求證：不論 a 為何實(shí)數(shù) f x 總是為增函數(shù)；（2） ）確定 a 的值，使 f x 為奇函數(shù)；（3） ）當(dāng)f x 為奇函數(shù)

11、時(shí)，求f x 的值域；6、函數(shù) fx 是定義域?yàn)?r 的偶函數(shù)，且對任意的xr，均有 fx2fx 成立；當(dāng) x0,1 時(shí)，fxloga2x , a1（1） ） 當(dāng) x2k1,2 k1 kz 時(shí)，求 fx 的表達(dá)式；（2） ）如 fx 的最大值為 1 ，解關(guān)于 x 的不等式 fx1 ；24例 1. 判定以下函數(shù)的奇偶性（ 1 ）f x x22x2x（ 2 ）f x x222x, 2xx2（ 3 ）f xln xx211x（ 4 ）f xlg1x2例 1 判定函數(shù)x=3x, x的奇偶性；判定函數(shù)的奇偶性；判定函數(shù)的奇偶性；判定函數(shù)的奇偶性；判定函數(shù)例 2已知f x1x x211 , x02（ 1

12、） 判定 fx 的奇偶性；（ 2 ） 證明 fx>0.1 已知奇偶性求值例.（ 1 ）已知f x| x x1 |1 x| xa | 是奇函數(shù)，就aa 2021 .（ 2）如f x是奇函數(shù)，就 a=.x（ 3）已知函數(shù)f xx a2 x12a 221 x0 是偶函數(shù)，就 a= 1. 判定以下函數(shù)的奇偶性：11x2（ 1）f xxx（ 2）f xx22（ 3）f x2x12x1（ 4）f x11（ 5）f xx11x（ 6） yxa ar2 x121x（ 7）2. 如f xf xx2x4 xx2x4 xk2 x2kx0x03 x3 是偶函數(shù)，就f x 的遞減區(qū)間是3. 已知f xx5ax3b

13、x8 ，且f 210 ，就f 2等于（） a26 b18c10 d 104. 已知函數(shù)f x是定義 r在上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0 時(shí)，f xx2x1 ，求f x 的解析式 .5. 設(shè)f x 為偶函數(shù)，g x是奇函數(shù)，且f xg x1，求x1f x 、g x 的解析式 .6. 函數(shù)集 .yf xx0 是奇函數(shù)，且當(dāng)x0,時(shí)是增函數(shù)，如f 10 ，求不等式fxx10 的解27. 定義在1,1 上的偶函數(shù)f x ，當(dāng) x0 時(shí)，f x 為增函數(shù)，如f 1mf 2 m成立，求 m 的取值范疇 .8. 已知函數(shù)f xax2bx3ab 為偶函數(shù)，其定義域是a1,2 a ，求f x的值域9. 已知函數(shù)f xax

14、b 是定義在 1,1 上的奇函數(shù)， 且121）確定函數(shù)f x 的解析式； 2 用定義f x1x2f （25證明在 1,1 上是增函數(shù)（ 3）解不等式f t1f t 0 .高考題練習(xí)10.（ 07 廣東文 3）如函數(shù)f xx3 xr ，就函數(shù)yf x 在其定義域上是（）a 單調(diào)遞減的偶函數(shù)b單調(diào)遞減的奇函數(shù)c 單調(diào)遞增的偶函數(shù)d單調(diào)遞增的奇函數(shù)11.（ 10 安徽理 4）如 fx 是 r 上周期為 5 的奇函數(shù)，且滿意f11, f22 ，就 f3f4（）a. bc d12.（ 10 廣東文 3）如函數(shù) fx3x3 x 與 g x3x3 x的定義域均為 r ，就（）a fx 與 g x 均為偶函數(shù)

15、b fx 為奇函數(shù)， gx 為偶函數(shù)c fx 與 g x 均為奇函數(shù)d fx 為偶函數(shù)， gx 為奇函數(shù)13.（ 07 山東理 4）設(shè) a1113， ，2，就使函數(shù)yxa 的定義域?yàn)?r 且為奇函數(shù)的全部 a 值為（）a 1， 3b 1， 1c 1， 3d 1， 1， 314.（ 08 安徽理 11）如函數(shù)f x, g x分別是 r 上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿意f xgxe x ，就有（）a f 2f 3g 0b g 0f 3f 2c f 2g 0f 3d g 0f 2f 315.（ 08 湖北文 6）已知f x 在 r 上是奇函數(shù)，且f x4f x,當(dāng)x20,2時(shí)，f x2x ,就f 7（）a.-2b.2c.-98d.9816.（ 10 山東文5）設(shè) fx 為定義在 r 上的奇函數(shù)，當(dāng)（）x0 時(shí)， fx2x2xb b 為常數(shù) ，就 f1a 3b 1c