直線與橢圓的位置關(guān)系

1、直線與橢圓的位置關(guān)系（直線與橢圓的位置關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系 圍繞直線與橢圓的公共點(diǎn)展開(kāi)的，將直線方程與圍繞直線與橢圓的公共點(diǎn)展開(kāi)的，將直線方程與橢圓方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次橢圓方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，方程， 當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相切；時(shí)，直線與橢圓相切； 當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相交；時(shí)，直線與橢圓相交； 當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相離。時(shí)，直線與橢圓相離。 ex1.ex1.判斷直線判斷直線y=x+1y=x+1與橢圓與橢圓 的位置關(guān)系？的位置關(guān)系？22416xy2、y=kx+1與橢圓與橢圓 恰有公共點(diǎn)，則恰有公共點(diǎn)，則m的的范圍（范圍（ ）

2、 A、（、（0，1） B、（、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（、（1，+ ） 1522myxC一、直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷一、直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷)20(16201616)16(2042222mmmm直線與橢圓相交時(shí),52m52即 0時(shí),當(dāng)直線與橢圓相切時(shí),52即m 0時(shí),當(dāng)22416xy例：當(dāng)例：當(dāng)m m取何值時(shí)直線取何值時(shí)直線y=x+my=x+m與橢圓與橢圓 相交，相切，相離？相交，相切，相離？解：將解：將y=x+my=x+m代入代入 整理得整理得5x5x2 2+2mx+m+2mx+m2 2-16=0-16=0時(shí)，直線與橢圓相離或時(shí)，即當(dāng)52520mmlmm.P o

3、xy450mllxyk解：設(shè)直線 平行于 ，則 可寫成：lm.Pm分析：分析：思考：思考：的最值求上點(diǎn)已知橢圓yxyxPyx2),(12221、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及等價(jià)條件：、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及等價(jià)條件：小小 結(jié)結(jié):當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相切；時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相交；時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相離。時(shí)，直線與橢圓相離。 思考：如何判斷點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系？思考：如何判斷點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系？（2）直線）直線 過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。作業(yè)：作業(yè)：1、已知橢圓、已知橢圓 1422 yxmx

4、yl:（1）當(dāng)）當(dāng)m為何值時(shí)，直線為何值時(shí)，直線 與橢圓相交、相切、與橢圓相交、相切、相離？相離？mxyl:221164xy220 xy 2.求橢圓求橢圓 上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)到直線的最大距離的最大距離直線與橢圓的位置關(guān)系（直線與橢圓的位置關(guān)系（2）弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式:|AB| =通通法法A（x1,y1）B（x2,y2）221221221221)()()()(xxkxxyyxx21221222124)()1 ()(1 (xxxxkxxkbkxy設(shè)A（x1,y1）B（x2,y2）直線直線 的方程：的方程：l因因A（x1,y1），），B（x2,y2）在直線在直線 上上lbkxy22bkxy11)()(

5、)(212121xxkbkxbkxyy設(shè)而不求設(shè)而不求2121xxk21211yyk2121 xyx2+4y2=2解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y014x5x20因?yàn)橐驗(yàn)樗?，方程（）有兩個(gè)根，所以，方程（）有兩個(gè)根，練習(xí)練習(xí)1.已知直線已知直線y=x- 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判斷它們的位，判斷它們的位置關(guān)系？置關(guān)系？若相交，求所得的弦長(zhǎng)是多少若相交，求所得的弦長(zhǎng)是多少,交點(diǎn)坐標(biāo)交點(diǎn)坐標(biāo)?則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)2.2.過(guò)橢圓過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn)與的右焦點(diǎn)與x x軸垂直的直線與橢圓軸垂直的直線與橢圓交于交于A,BA,B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|AB|2

6、2113 12xy通徑通徑abbabyax222222)0( 1的通徑長(zhǎng)為：橢圓例例2：在橢圓：在橢圓x2+4y2=16中，求通過(guò)點(diǎn)中，求通過(guò)點(diǎn)M（2，1）且）且被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.三、中點(diǎn)弦問(wèn)題三、中點(diǎn)弦問(wèn)題-2-2-4-42 24 4x xy yM(2,1)M(2,1)0 0法法1：聯(lián)立直線與橢圓，：聯(lián)立直線與橢圓，利用利用韋達(dá)定理韋達(dá)定理建立建立k的方的方程程法法2：點(diǎn)差法點(diǎn)差法（將兩個(gè)點(diǎn)代（將兩個(gè)點(diǎn)代入橢圓再相減）入橢圓再相減）直線和橢圓相交有關(guān)直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，常用問(wèn)題，常用設(shè)而不求設(shè)而不求的思想方法的思想方法 2211

7、,11642xyyxABAB 例1.橢圓設(shè)直線與橢圓交于、 兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。 練練.點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由。為直徑的圓過(guò)的值，使以兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在橢圓交于與若直線）已知定點(diǎn)（）求橢圓的方程（。的直線與原點(diǎn)的距離為，過(guò)點(diǎn)的離心率已知橢圓例ECDkCDkkxyEaBbAebabyax)0(2),0 , 1(2123)0 ,(),0(,36)0( 1. 32222ex:中心在原點(diǎn)中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)為 的橢圓截直線的橢圓截直線 所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程方程23 xy21)25 , 0 (F直線與橢圓的位置關(guān)系（直線與橢圓的位置關(guān)系（3）.8,112

8、,. 1212221eABFFABkykxFFex，求的周長(zhǎng)是，若過(guò)點(diǎn)弦右焦點(diǎn)的左是橢圓已知ePBAPPyABxBFBAFbabyaxex求若軸于點(diǎn)交軸，直線在橢圓上，且點(diǎn)右頂點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為已知橢圓,2,)0( 1. 222222121范圍。的總在橢圓的內(nèi)部，求的點(diǎn)足是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿，已知eMMFMFFFex0. 32121)22, 0(的范圍。，求，使得果在橢圓上存在一點(diǎn)是它的左，右焦點(diǎn)，如分別，已知橢圓eMFFyxMFFbabyaxex3),(),0( 1. 42100212222) 1 ,215. 以橢圓的焦距為直徑并過(guò)兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓以橢圓的焦距為直徑并過(guò)兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于四個(gè)

9、不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率_31xyoF1F2M變式變式. 設(shè)設(shè)M點(diǎn)是橢圓點(diǎn)是橢圓 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， F1、F2為為橢圓的左右焦點(diǎn)，如果橢圓的左右焦點(diǎn)，如果MF1F2=600， MF2F1=300,求此橢圓的離心率求此橢圓的離心率22221xyab12( 3,0),(3,0)FF 90 xy 例例.已知橢圓的焦點(diǎn)已知橢圓的焦點(diǎn) ， 且和直線且和直線有公共點(diǎn)有公共點(diǎn),求其中長(zhǎng)軸最短的橢圓方程求其中長(zhǎng)軸最短的橢圓方程例例4、如圖，已知橢圓、如圖，已知橢圓 與直線與

10、直線x+y-1=0交交于于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設(shè)121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點(diǎn)22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 122yxbyxm 分析：存在直線與橢圓交與兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上。12AB

11、yxb 則兩點(diǎn)的直線可設(shè)為：:2,yxmA B解 假設(shè)橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)1122( ,), (,)A x yB xy設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)121213()222yyxxbb 3,)224bbAByxm中點(diǎn)(在直線上3242bbm4bm 242m 1122m2212143yxbxy 由22:30yxbxb消 得2224(3)3120bbb 22b 12xxb的方程，求直線且滿足交于點(diǎn)與橢圓的直線已知過(guò)點(diǎn)lOBOABAyxl,12)2 , 0(. 1222. 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為F，(1)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的直線被橢圓截