2017年度北京市東城區(qū)高三數(shù)學(xué)二模(理科)(希哥無(wú)錯(cuò)誤版)

1、北京東城區(qū)2017學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)（理科）學(xué)校_班級(jí)_姓名_考號(hào)_本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，則=（A）或 （B）或 （C） （D）（2）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A） （B）（C） （D）（3）若滿足則的最大值為（A） （B） （C） （D） （4）設(shè)是非零向量，則“共線”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條

2、件 （D）既不充分也不必要條件（5）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若，則（A） （B） （C） （D） （6）我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶（約）在他的著作數(shù)書(shū)九章中提出了多項(xiàng)式求值的秦九韶算法如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式的一個(gè)實(shí)例若輸入的，則程序框圖計(jì)算的是否是 結(jié)束束輸出 開(kāi)始輸入 （A） （B）（C）（D） （7）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為的平面圖形運(yùn)動(dòng)一周，兩點(diǎn)間的距離與動(dòng)點(diǎn)所走過(guò)的路程的關(guān)系如圖所示，那么動(dòng)點(diǎn)所走的圖形可能是 （A） （B） （C） （D）（8）據(jù)統(tǒng)計(jì)某超市兩種蔬菜連續(xù)天價(jià)格分別為，令，若中元素個(gè)數(shù)大于，則稱蔬菜在這天的價(jià)格低于蔬菜的價(jià)格，記作

3、：，現(xiàn)有三種蔬菜，下列說(shuō)法正確的是 （A）若，則 （B）若，同時(shí)不成立，則不成立 （C），可同時(shí)不成立（D），可同時(shí)成立 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 （10）在極坐標(biāo)系中，直線與圓相切，則_ （11）某校開(kāi)設(shè)類選修課門，類選修課門，每位同學(xué)需從兩類選修課中共選門若要求至少選一門類課程，則不同的選法共有_種.（用數(shù)字作答）（12）如圖，在四邊形中， ，則 ；三角形的面積為_(kāi).（13）在直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方若直線的傾斜角為，則 （14）已知函數(shù) 若有且只有一個(gè)根

4、，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 若關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（15）（本小題共13分）已知函數(shù)（）若，求的值；（）若在上單調(diào)遞減，求的最大值（16）（本小題共13分）小明計(jì)劃在8月11日至8月20日期間游覽某主題公園根據(jù)旅游局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，該主題公園在此期間“游覽舒適度”（即在園人數(shù)與景區(qū)主管部門核定的最大瞬時(shí)容量之比，40%以下為舒適，40%60%為一般，60%以上為擁擠）情況如圖所示小明隨機(jī)選擇8月11日至8月19日中的某一天到達(dá)該主題公園，并游覽2天.（）求小明連續(xù)兩天都遇上擁擠的概率；（）設(shè)是小明游覽

5、期間遇上舒適的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大？（結(jié)論不要求證明）（17）（本小題共14分）如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形為菱形，且，為中點(diǎn)（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值； （）在棱上是否存在點(diǎn)，使？ 若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由（18）（本小題共13分）設(shè)函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）設(shè)，若對(duì)任意的，存在使得成立，求的取值范圍（19）（本小題共13分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）若直線與直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為證明：點(diǎn)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)在直線上（20）（本

6、小題共13分）對(duì)于維向量，若對(duì)任意均有或，則稱為維向量.對(duì)于兩個(gè)維向量，定義.（）若，求的值.（）現(xiàn)有一個(gè)維向量序列：，若 且滿足：，.求證：該序列中不存在維向量.（）現(xiàn)有一個(gè)維向量序列：，若 且滿足：，若存在正整數(shù)使得，為維向量序列中的項(xiàng)，求出所有的.東城區(qū)2017年第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) （理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）A （2）B （3）C （4）B（5）D （6）A （7）C （8）C二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9） （10） （11）（12） （13） （14） 三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13

7、分）解：（）因?yàn)椋?3分所以 5分所以 6分（）由題意 ，其中8分 所以，且， 9分 所以當(dāng)時(shí)， 所以 10分 所以， 11分 所以 12分所以的最大值為 13分（16）（共13分） 解：設(shè)表示事件“小明8月11日起第日連續(xù)兩天游覽主題公園”（）. 根據(jù)題意，且. 1分（）設(shè)為事件“小明連續(xù)兩天都遇上擁擠”， 則. 2分所以. 5分（）由題意，可知的所有可能取值為， 6分，7分，8分 9分所以的分布列為 10分故的期望11分（）從月日開(kāi)始連續(xù)三天游覽舒適度的方差最大13分（17）（共14分）解：（）取 中點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以又平面且平面，所以平面， 因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形?/p>

8、以又平面且平面，所以平面， 2分又，所以平面平面 3分又平面，所以平面 4分（）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，因?yàn)?，所以為等邊三角形因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以因?yàn)閮蓛纱怪?，設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系 6分由題意得， 7分， 設(shè)平面的法向量為，則即 令，則，所以 9分設(shè)直線與平面成角為，所以直線與平面所成角的正弦值為 10分（）設(shè)是上一點(diǎn)，且， 11分因此點(diǎn) 12分由，解得所以在棱上存在點(diǎn)使得，此時(shí)14分 （18）（共13分）解：（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?1分 2分又因?yàn)椋?3分所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即 4分（）“對(duì)任意的，存在使得成立”等價(jià)于“在區(qū)間上，的最大值大于

9、或等于的最大值” 5分 因?yàn)椋?所以在上的最大值為 令，得或 7分 當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，的最大值為,由，得 9分 當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)所以的最大值為或,由，得；由，得又因?yàn)椋?11分 當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，的最大值為，由，得，又因?yàn)?，所?綜上所述，實(shí)數(shù)的值范圍是或13分（19）（共14分）解：（）由題意得 解得 4分 所以橢圓的方程為 5分（）“點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上”等價(jià)于“平分”6分 設(shè)直線的方程為，則7分 設(shè)點(diǎn)，由得，得 9分 當(dāng)軸時(shí)，此時(shí)所以此時(shí)，點(diǎn)在的角平分線所在的直線或，即平分 10分 當(dāng)時(shí)，直線的斜率為， 所以直線的方程為 11分所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上 14分（20）（共13分）解：（）由于，由定義， 可得. 4分（）反證法：若結(jié)論不成立，即存在一個(gè)含維向量序列，使得，.因?yàn)橄蛄康拿恳粋€(gè)分量變?yōu)?，都需要奇?shù)次變化，不妨設(shè)的第個(gè)分量變化了次之后變成，所以將中所有分量 變