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文檔簡介

1、習 題 1試利用托勒密定理證明以下問題:1. .證明:如圖,BD是直徑,記,根據(jù)托勒密定理有 ,由正弦定理可得 所以 。2. 正三角形的外接圓上一點到三角形三頂點的連線段中,長者等于其余兩者之和。證明:由托勒密定理知ABPC+ACPBPABC 因為ABACBC,所以 PAPB+PC,即正三角形的外接圓上一點到三角形三頂點的連線段中,長者等于其余兩者之和。3. 設P是AB=AC的等腰ABC的外接圓的BC弧上的一點,則 。證明:由托勒密定理知ABPC+ACPBPABC 因為ABAC,所以 。 4. 設P是正方形ABCD的外接圓的AB弧上的一點,則。證明:如圖,連AC,BD,由托勒密定理可得 (2分

2、)PACD+PCADPDAC,PBAD+PDBCPCBD,因為ABBCCDDA,ACBD,故兩式相除,得。又由托勒密定理可得ACPB+BCPAPCABBDPA+ADPBPDAB (4分)因為ABBCCDDA,ACBD,所以將以上二式相加,得 (2分)所以 。 (2分)5. 設P是正六邊形ABCDEF的外接圓的AB弧上的一點,則PD+PE=PA+PB+PC+PF。證明:易知ACE,ACE都是正三角形,那么應用第2題的結(jié)論可得PEPA+PC, PDPB+PF兩式相加即得PD+PE=PA+PB+PC+PF。6. 設P是正五邊形ABCDE的外接圓的弧AB上的一點,則PC+PE=PA+PB+PD。證明:

3、分別對圓內(nèi)接四邊形APBE、APBC和APBD應用托勒密定理可得PEABPABE+PBAE,PCABPABC+PBAC,PDABPABD+ PBAD,從而 (PC+PE)AB = (PA+PB)BC+PABE+PBAC= (PA+PB)BC + PABD+ PBAD= (PA+PB)BC + PDAB所以 PC+PE = PA+PB+PD。習 題 21. 設O1、O2內(nèi)切,切點為A,過A任作直線l,分別交O1、O2于另一點B、C,證明O1、O2在B、C處的切線平行。證明:如圖,A、M分別作切線AT,MS,那么由切線的性質(zhì)知 BDATAMSMA, 所以BC/SM,即O1、O2在B、C處的切線平行

4、。 2. 設O1、O2內(nèi)切,切點為A,證明:A是兩圓的位似中心。證明:連O1D、O2M,則O1DBC、O2MSM,故O1D/O2M。因為A、O1、O2共線所以,故A A是兩圓的位似中心。3. 設O1、O2內(nèi)切,切點為A,O2內(nèi)的弦BC切O1于點D,證明:直線AD過弧BC的中點。證明:如第1題圖,A、M分別作切線AT,MS,那么由切線的性質(zhì)知 BDATAMSMA, 所以 BC/SM。所以CAMCBMBMSBAM,所以直線AD過弧BC的中點。 4. 設O1、O2外切,又同時與O3分別內(nèi)切于A、B,O1、O2的一條外公切線與O1、O2切于點C、D,證明:(1)AC、BD交于O3上的一點;(2)A、B

5、、C、D共圓;(3)AC、BD、O1和O2的內(nèi)公切線三線共點;(4)AB、CD、O1O2三線共點。(5)設O1與O2的切點為T,CD交O3于K、L,O1與O2的內(nèi)公切線在CD的一側(cè)交O3于M,則MFMGME。(6)設O1與O2的切點為E,外位似中心為O,則OE2OA·OB。證明:(1)如圖,記CD與O3的交點為E、F,根據(jù)第3題結(jié)論知AC過弧EF的中點,BD也過弧EF的中點,所以AC、BD交于O3上的一點。 (10分)(2)連AB,那么由M是EF弧的中點知,BDF是BF弧和EN弧度數(shù)的半和,從而是BM弧的度數(shù)的半和,所以BDFBAM,所以A、B、C、D共圓。(3)如圖,記O2外的半徑

6、為r,那么 MDMB(MO2)2 r2= (MO2)2 O2T2, 所以MT是O2的切線。同理,MT也是O1的切線。從而有AC、BD、O1和O2的內(nèi)公切線三線共點。(4)考察AO1和BO2D,易知AO1, BO2交于O3,而M是弧EMF的中點,所以O3MCD, O1C/O2D/O3M,那么根據(jù)笛沙格逆定理知AB、CD、O1O2三線共點。(5)如圖,連BL,記O2外的半徑為r,那么 MDMB(MO2)2 r2= (MO2)2 O2T2, 所以MT是O2的切線。同理,MT也是O1的切線。根據(jù)第1題結(jié)論知M是弧KL的中點,所以MKML,故KLMLKM。由DLMLKMLBM,知MLBMDL, 所以,即

7、ML2MBMD。 但MT2MBMD,所以MKMLMT。 (6)如圖,設ME交CD于N,連EC、ED,易知CED900, 由CEN+NEDNED+DEO900,得CEOEDO。所以,即OE2OCOD。 又C、D、A、B共圓,故OCODOAOB,所以 OE2OA·OB。5. 給定三個圓A,B、C,證明:(1)設B與C的外位似中心為X,A與C外位似中心為Y,A與B外位似中心為Z,則X、Y、Z共線;(2)設B與C的內(nèi)位似中心為D,A與C外位似中心為E,A與B外位似中心為F,則AD、BE、CF共點。證明:習 題31在已知三直線上各取兩點,若能使每兩對點共圓,則三直線共點或此六點共圓。證明:若此

8、六點不共圓,則三直線即為此三圓確定的三條根軸,從而它們共點或平行。故結(jié)論成立。2一個固定圓與一個共軸圓系中每一圓的根軸共點。證明:對共軸圓系中的任意二圓,與固定圓一起,共三圓,由第1題的結(jié)論知,三圓確定的三條根軸共點。由此即得固定圓與一個共軸圓系中每一圓的根軸共點。3若一個四邊形有等角共軛點,則這對點在四邊上的射影共圓。證明:如圖,設P、Q是一對等角共軛點,那么A1BP=B2BQ, A2BQ=B1BP, 所以BA2BB1,BA1BB2,即 BA2BA1BB1BB2,所以A1, A2, B1, B2四點共圓。 同理,B1, B2, C1, C2四點共圓;C1, C2, D1, D2四點共圓;D1

9、, D2, A1, A2四點共圓。易知A1A2、B1B2、C1C2、D1D2的中垂線共點于PQ的中點O。從而由O點到A1、A2、B1、B2、D1、D2的距離相等,所以A1、A2、B1、B2、D1、D2共圓,即四邊形的等角共軛點對在四邊上的射影共圓。4若一個圓的內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直,則對角線的交點在四邊上的射影及各邊中點,共八點在一個圓上。證明:過P作PA1AB于A1, 過O作OB2BC于B2,連OB,那么A1PB=BAP=BDC=B2OB, 所以 ABP=OBC。 同理,BCP=DCO,CDO=ADP,BAP=DAO,即O與P是四邊形ABCD的一對等角共軛點。利用第3題的結(jié)論知O、P在四

10、邊上的射影共八點,它們是共圓的。但圓心O在各邊上的射影正好是各邊的中點,所以對角線的交點在四邊上的射影及各邊中點,共八點在一個圓上。5. 在凸五邊形ABCDE中,ABBC,BCDEAB900, P為形內(nèi)一點,使得APBE,CPBD。證明:BPDE。 證明一:過B作BQDE于Q,那么BR2RE2+EQ2QD2+DS2SB2AB2AE2+BE2BD2+CD2CB22AB2 2BC202-222所以AR、BQ、CS共點,故BPDE。證明二:因為APBE,CPBD,故PE2 PB2AE2 AB2BE2 2AB2, PD2 PB2CD2 BC2BD2 2BC2,兩式相減,得 PE2 PD2BE2 BD2

11、, 所以BPDE。證明三:設AP交ABE于A,CP交BCD于C,那么ARAR,CSCS。故PAPAAR2 PR2AB2 BR2 ( BP2 BR2)=AB2 BP2PCPCCS2 PS2BC2 BS2 ( BP2 BS2)=BC2 BP2所以PAPAPCPC,即P是關于二圓的一個等冪點,所以BP垂直于二圓的連心線。但二圓的圓心分別為BE、BD的中點,故連心線平行于DE,于是BPDE。6. 在AOB內(nèi)部一點C,過點C作CDOA于點D,作CEOB于點E,再過D作DNOB于點N,過點E作EMOA于點M。證明:OCMN。證明:設ME與DN交于R,連CR、OR,由DNOB,EMOA,可知O、N、R、M共

12、圓,圓心為OR的中點P。又MEO=NDO,故N、E、D、M共圓,圓心為CR的中點Q。二圓的根軸為MN,所以PQMN。而PQ/OC,所以OCMN。7. 設銳角ABC的外心為O,BOC的外心為T,點M為邊BC的中點,在邊AB、AC上分別取點D、E,使得ADMAEMBAC。證明:ATDE。證明:如圖,設DM、EM的延長線分別交AC、AB于P、Q,則ADP和AEQ都是等腰三角形。設K、L分別為AD、AE的中點,那么QLAE,PKAD。設KP與LQ交于R,則A、K、R、L共圓,圓心為AR的中點S。又K、L、P、Q共圓,且圓心為PQ的中點N。而KL是兩圓的根軸,故SNKL。另一方面,MTC=BOC2BAC

13、MPC,所以T、M、C、P共圓。故TPC=TMC900。于是TPAC。所以TP/QR。 同理,TQ/RP。所以RQTP是平行四邊形,故RT與PQ互相平分。從而SN/AT。但KL/DE,所以ATDE。習 題 41正交的二圓中,在交點處一個圓的切線必過另一圓的圓心。證明:根據(jù)定理“兩圓正交的充分必要條件是兩圓半徑的平方和等于兩連心線段的平方”知ACCB,即正交的二圓中,在交點處一個圓的切線必過另一圓的圓心。2以圓外一點為圓心可作一個圓與已知圓正交。證明:如上圖,過B作A的切線,切點為C,以B為心,BC為半徑作圓,易知B與A正交。3過已知圓上兩點可作一圓與已知圓正交。證明:如圖,C、D是A上的二點,

14、過C、D作A的切線交于B,以B為心,BC為半徑作圓,易知B與A正交。4與兩個已知圓都正交的圓,其圓心的軌跡是這兩圓的根軸在圓外的部分。證明:因為正交圓的交點處的切線經(jīng)過另一圓的圓心,故與兩個圓都正交的圓的圓心到兩圓的切線長相等,即與兩都正交的圓的圓心是到兩圓的冪相等的點,所以在兩圓的根軸上。由所作的是切線,故要求圓心在兩圓的外部,即與兩個已知圓都正交的圓,其圓心的軌跡是這兩圓的根軸在圓外的部分。5三個圓有且僅有一個公共的正交圓,其圓心是三個已知圓的根心,只要這個點在三個圓外。證明:設O與O1、O2、O3都正交,由第四題的結(jié)論可知,O在O1、O2的根軸上,也在O1、O3的根軸上,所以O就是O1、

15、O2、O3的根心,但要求三圓的根心在三圓的外部。6與兩定圓正交的圓構(gòu)成一個共軸圓系。證明:如圖,設O1 (r1) 、O2(r2)是兩個定圓,此二圓的根軸與連心線的交點為A,那么與二圓正交的任意O(R)的圓心在二圓的根軸上。設O交O1于D,交連心線于B,則AB2 = R2 OA2 = O1O2 r12 (O1O2 O1A2)= O1A2 r12從而AB的長為常數(shù),故O過兩個固定點,所以與兩定圓正交的圓構(gòu)成一個共軸圓系,其軸為二定圓的連心線。習 題 51 設O與直線l相離,過l上的點作O的切線、,則切點、的連線過定點。證明:設OP交AB于G,過O作m的垂線交m于K,交AB于H。 GHPG,PKKH

16、 P、G、K、H四點共圓。 OKOH=OGOP=OA2。 OK、OA都是常數(shù), H是定點,即AB過一個定點。(另證:因為P的直線m上,所以P的極線通過m的極點,即AB通過一個定點。)2 設O外有n個共線點Pi (i=1, 2, ,n),過Pi作O的切線,切點為i,Bi,則直線iBi共點。證明: 見第1題。3 過圓外一點任作一條割線交圓于兩點,則這兩點處的切線的交點在一條定直線上。證明:設圓外一點為P,過P的割線交圓于A、B,A、B處的切線交于Q,則Q的極線為AB,因為AB過P點,那么由配極原則知P的極線過Q點,即Q在P的極線上。所以過圓外一點任作一條割線交圓于兩點,則這兩點處的切線的交點在一條

17、定直線上。4 過圓外一點P作圓的切線PA、PB,切點為A、B,連AB、OP交于K。過K任作一弦CD,則OP平分CPD。證明:如圖,連OC、OD。 PA、PB是切線, OKKP=KB2=BKKA P、C、O、D共圓。 CPO=CDO=DCO=DPO,即OP平分CPD。 (另證:因為K的極線為過P且與OP垂直的直線m。設直線CB與m交于M,則(CD,KM)= 1 。由MPPK知,PM、PK為CPD的平分線。)5 設P為圓外一點,任作圓的直徑AiBi,則PAiBi的垂心在一條定直線上。證明:由第6題的結(jié)論知,PAiBi的垂心Hi在定直線(P的切點弦)上。6 設H為銳角ABC的垂心,由A向以BC為直徑

18、的圓作切線AP、AQ,切點為P、Q,求證:P、H、Q三點共線。(1996年,CMO)證明:如圖,連PQ、OA交于G,連OQ。 AP、AQ是切線, AGAO=AQ2。 H是垂心, AHAD=AEAC=AQ2。 AHAD= AGAO G、O、H、D共圓。 GHAO,即H在過G且與AO垂直的直線上。 P、H、Q共線。(另證:H是BE與CF的交點,從而H在A的極線上。但A的極線為PQ,所以H、P、Q共線。)7 直線m(不過圓心)與O相交,過m在圓外的點作圓的兩條切線,切點為A、B,則AB與OK交于定點(其中OKm于K)。證明:見第1題。8 過O內(nèi)任一點K作弦iBi(直徑除外),再過Ai、Bi分別作圓的

19、切線交于Pi,則所有Pi共線。證明:過K作OK的垂線交圓于Q、R兩點,設Q、R處的切線交于點H。連OAi、OBi、OQ、OR,HQ、HAi、HO、HBi、HPi。 易知H、Ai、O、Bi共圓,但P、Ai、O、Bi共圓,所以P、H、Ai、O、Bi共圓。所以 PHO=PAiO=900。即P在過H且與OK垂直的直線上。(另證:Pi為AiBi的極點,而AiBi以過K,從而Pi在K的極線上。)9 設K是O直徑MN上異于O的一點,過K任作一弦iBi,連iM、BiN交于Pi,則所有Pi共線。證明:過PiHMN于H連MBi、BiH。 MN是直徑, Bi、H、Pi、M共圓。 HBiPi=HMPi=NBiK,即B

20、iN是KBiH的內(nèi)角平分線。由MBiBiN知MBi是KBiH的外角平分線。 即 =常數(shù),從而H是一個定點。 Pi在過H且垂直于MN的一條定直線上。(另證:設MBi與NAi交于Qi,由四邊形MAiNBi的調(diào)和性可知,PiQi為K的極線。所以Pi共線。)10 設K是圓內(nèi)異于圓心的任一點,過K作兩條不等的弦iBi,CiDi,連AiCi、BiDi 交于Pi,則所有Pi共線。證明:作過K的直徑MN,連MAi與NBi交于點Ei,連MCi與NDi交于Fi,過Ei作MN的垂線,垂足為H,那么由第6題的結(jié)論知,Ei,F(xiàn)i,H在一條定直線上??疾霱AiCi與NBiDi應用,其對應頂點M、N;Ai、Bi;Ci、Di

21、的連線共點于K,那么由笛沙格定理知,它們的對應邊MAi與NBi的交點Ei,MCi與NDi的交點Fi,BiDi與AiCi的交點Pi三點共線。所以Pi在一條定直線上。(另證:設AiDi與BiCi的交點Qi,由四邊形AiCiBiDi的調(diào)和性可知,PiQi為K的極線。所以Pi共線。)11設AB是圓O的直徑,直線m過K且與AB垂直,Qi為m上任一點,連AQi、BQi分別交圓于Di、Ci,則CiDi共點。證明:如圖,Hi為ABQi的垂心。BKQiBCiA, (1)同理,可得 (2) (3) (4)(3)×(4)×(1)÷(2),得因為AK、BK、AB都是固定的,所以X也固定。

22、所以CiDi共點。(由四邊形ABCiDi的調(diào)和性可知,(AB,KX)= 1,但A、B、K固定,所以X是定點。即CiDi共點。)12設P是圓外定點,過P任作兩條不相等的割線PDiAi、PCiBi。設iBi、CiDi交于Qi,則所有Qi共線。證明:設PMN是圓心的割線,m為P的切點弦,m交MN于K點。由第11題題可知,Qi在P的切點弦m上。MBi與NCi的交點Ei,MAi與NDi的交點Fi都在m上,而MAiBi與NDiCi的對應頂點的連線共點于P,故由笛沙格定理知,AiBi與DiCi的交點Qi也在m上。(另證:由四邊形AiBiCiDi的調(diào)和性可知,Qi在P的極線m上。)13四邊形ABCD內(nèi)接于圓,

23、其邊AB和CD的延長線交于點P,AD與BC的延長線交于點Q,由Q作圓的兩條切線QE、QF,切點為E、F,求證P、E、F三點共線。證明:由第12題知,P在Q的切點弦上,但EF為Q的切點弦,所以E、F、P共線。 第12題圖 第13題圖14過圓外一點H作割線HBA(直徑除外),試問OH上是否存在一點K,使BKH=AKO。證明:這樣的點K存在。過H作切線HC,C為切點,再過C作CKOH于K。連OA、OB。 CKOH,OCCH HC2=HKHO又 HBHA=HC2, HKHO= HBHA A、O、K、B四點共圓。 BKH=BAO=OBA=OKA。15如圖,已知A為平面上兩半徑不等的O1和O2的一個交點,

24、兩外公切線P1P2,Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2;M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點,求證:O1AO2=M1AM2。證明:如圖,連HA。 AO1M1=HO1AO1A2=O1P12=O1M1O1H即 AO1M1HO1A。 O1AM1=O1HA。同理, O2AM2=O2HA。 O1AM1=O2AM2。 O1AO2=M1AM2。16設A、B、C、D是一條直線上依次排列的四個不同點,分別以AC、BD為直徑的兩圓相交于X和Y,直線XY交BC于Z。若P為直線XY上異于Z的一點,直線CP與以AC為直徑的圓相交于C及M,直線BP與以BD為直徑的圓相交于B及N。證明:AM、DN、XY三線共點

25、。證明:如圖,設AM交XY于S。 AC是直徑, CMAS。又 SZAC CZPSZA, 即 CZZA=SZPZ。 但A、X、C、Y共圓,故CZZA=ZZZY=XZ2。 PZSZ=XZ2,故S是P關于XY為直徑的圓的調(diào)和共軛點。同理,DN也過S點。17如圖,設PA、PB是O的切線,A、B是切點,割線PEC交AB于D,若PE=2,CD=1,求DE的長。證明:根據(jù)切點弦的性質(zhì)知,即 PEDC=EDPC 。所以PEDC=EDPC=ED(CD+DE+EP)。將已知代入,得 2=ED(3+ED),解得 。18直線AB與圓相切于B,弦CD經(jīng)過AB的中點M,直線AC交圓于E,AD交圓于F,證明:EF/AB。證

26、明:設CD與EF交于點S,連SB交FD于T。因為S、B都在A生成的直線上,故BT是A生成的直線。所以T是A生成的點,所以(DF,TA)= 1 設EF與AB的交點為P,通過以S為中心的中心投影知(MP,BA)= 1。因為M是AB的中點,所以P是無窮遠點,所以EF/AB。19在直角ABC中AB為斜邊,CH為斜邊上的高,以AC為半徑作A。過B作A的任一割線交A于D、E,交CH于F(D在B、F之間),又作ABG=ABD,G在A上,G與D在AB異側(cè),求證:E、H、G共線。證明:如圖,設BG交圓于另一點J。連AJ、AG、AE、AD、DHHG、HE。 ABG=ABD BDE和BGJ關于AB對稱,從而AGJA

27、DE。 ACCB BC是切線。 BGBJ=BC2。 CHAB BC2=BHBA BGBJ=BHBA,從而A、H、G、J四點共圓。同理,A、H、D、E共圓。 GHB=AJG=AGJ=ADE=AHE。 E、H、G共線。20. 設直線l被O截出的弦的中點為M,過M任作二弦AB、CD,AD、BC分別交l于P、Q,則M是PQ的中點。證明:延長AD、BC交于L,延長AC、BD交于K,則KLM是自極三角形,從而O是KLM的垂心,故OMLK。但OMl,所以l/KL,從而與KL的交點R是無窮遠點。 由完全四邊形ACBD的調(diào)和性知D、B、E、K是調(diào)和點列,以L為中心將其投射到l上,得P、Q、M、R。故P、Q、M、

28、R也是調(diào)和點列。由R是無窮遠點知M是PQ的中點。 (當與O相離時,設O在上的射影為M,則結(jié)論仍成立。)習 題 61. 過ABC的頂點A、B、C各作一直線,使交于一點P,而分別交ABC的外接圓于A、B、C。又在外接圓上任取一點Q,則Q A、QB、QC與BC、CA、AB對應的交點為X、Y、Z三點共線。證明:如圖,考察圓接六邊形QAACBB,由巴斯卡定理知QA與BC的交點X,AA與BB的交點,AC與BQ的交點Y,三點共線。 同理,由圓內(nèi)接六邊形可證P、Y、Z共線。所以X、Y、Z三點共線。2.已知A1、B1、C1分別為ABC的邊BC、CA、AB上的中點,P為ABC外接圓上的動點,PA1、PB1、PC1

29、分別與ABC的外接圓交于另外的點A、B、C。若A、B、C、A、B、C是不同的點,則直線AA、BB、CC交出一個三角形。證明:此三角形的面積不依賴于點P。證明:設A0、B0、C0是AA、BB、CC交出的三角形的三個頂點。考察圓內(nèi)接六邊形ABCCPA,根據(jù)巴斯卡定理知AB與CP,BC與PA,CC與AA的交點C1、A1、B0三點共線。從而B0在ABC的中位線A1C1上。同理A0、C0分別在B1C1和A1B1上。由AC/A1C1知B0C0A1AC0B1,故。同理,由BC/B1C1可知。所以B0B/A0A。故。3.設與ABC的外接圓內(nèi)切并與邊AB、AC相切的圓Ca,記ra為圓Ca的半徑,類似地再定義rb

30、,rc,r是ABC的內(nèi)切圓半徑。證明:ra + rb + rc r 。(第20屆伊朗數(shù)學奧林匹克)4.凸四邊形ABCD內(nèi)接于O,O與邊BC相交,與O內(nèi)切,且與BD、AC切于點P、Q。證明:ABC的內(nèi)心,DBC的內(nèi)心,P,Q四點共線。(07,中國國家集訓測試)證明:如圖,過兩圓的切點T作公切線KL,延長PQ與CD交于R,聯(lián)結(jié)TP并延長與大圓交于G,聯(lián)結(jié)CG分別PQ、BD交于I、H。設AC與BD交于點E,TC、TD分別交小圓于M、N。由KTB+BTP=KTP=BPT=PDT+DTP,KTB=PDT,故BTP=DTP,即G為弧BAD的中點。因此CI平分BCD。因為直線HIC、PQR分別截PDR、CD

31、E,所以又梅涅勞斯定理分別得。由EP=QE,所以 。因為GDPGTD,所以 。 (3)由TNM=MTL=TDC知MN/CD。故 即 。 (4)將(4)代入(3),得 。 (5)再將(5)、(2)代入(1),得 。故DI平分BDC。于是BCD的內(nèi)心I在直線PQ上。同理ABC的內(nèi)心也在直線PQ上。5.設ABC的內(nèi)部的點P在邊BC、CA、AB上的射影分別為D、E、F,過點A分別作直線BP、CP的垂線,垂足分別為M、N。求證:ME、NF、BC三線共點。(05, 中國國家集訓測試)證明:因為PFFA,PNNA,PEEA,PMMA,所以A、F、N、P、E、M六點共圓。 考察圓內(nèi)接六邊形AEMPNF,由巴斯

32、卡定理知AE與PN的交點C,EM與NF的交點,MP與FA的交點B三點共線,所以ME、NF、BC三線共點。6.已知ABC為銳角三角形,以AB為直徑的K分別交AC、BC于點P、Q,分別過A、Q作K切線交于點R,分別過B、P作K切線交于點S。證明:點C在線段RS上。(2002, 澳大利亞數(shù)學競賽)證明:如圖,設AB與PQ交于T,考察圓內(nèi)接六邊形AABQQP,由巴斯卡定理知AA與QQ的交點R,AB與PQ的交點T,BQ與AP的交點C,三點共線。同理,考察圓內(nèi)接六邊形ABBQPP,可得T、S、C共線。所以C、R、S、T共線,即點C在線段RS上。7. 設凸四邊形ABCD外接圓圓心為O,已知ACBD,AC與B

33、D交于點E。若P為四邊形ABCD內(nèi)部一點,使得PAB +PCB PBC +PDC900。求證:O、P、E三點共線。(第9屆香港數(shù)學奧林匹克)證明:習 題71試證圓心是圓外切完全四邊形的對角三角形的垂心。證明:如圖,設四邊形ABCD外切于O,AB、BC、CD、DA上的切點分別E、F、G、H,那么EG、FH、AC、BD共點。設EH與FG交于點Q,EF與GH交于點R,那么利用巴斯卡定理可得R、T、Q、S共線。利用巴斯卡定理,還可證明Q、B、P、D共線;R、C、P、A共線。從而ABCD的對角PQR是四邊形EFGH的對邊三角形,從而是自極三角形。由§4例2的結(jié)論即知O是PQR垂心。2. 設四邊

34、形ABCD內(nèi)接于圓O,對角線AC與BD相交于P,設ABP、BCP、CDP、DAP的外接圓圓心分別為O1, O2, O3, O4,求證:OP,O1O3, O2O4三直線共點。證明:根據(jù)外心的定義可知O1O2O3O4是平行四邊形。考察OO1O2與PO3O4。因為 O4O3P=DCA=DBA=O2O1O,所以 O3P/O1O。同理,可得 O4P/O2O。所以OO1O2與PO3O4的對應邊平行,從而它們的交點共線。根據(jù)笛沙格逆定理知OP,O1O3, O2O4三直線共點。3. 設ABCD是O內(nèi)接凸四邊形,ABC、BCD、CDA、DAB的內(nèi)心分別為E、F、G、H,證明:四邊形EFGH是矩形。證明:如圖,而

35、ACDABD,故AHDAGD,所以A、H、G、D共圓。同理,A、H、E、B;D、G、F、C;B、E、F、C都共圓。于是同理HEFEFGFGH900 。所以四邊形EFGH是矩形。4.設四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,則。證明:因為四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,所以A+CB+D1800,從而 B C A D,C DB A,所以sinA = sinC, sinB = sinD, sin(BC) = sin(D A), sin(CD) = sin(AB),所以 。5. 設四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,A的鄰邊記為a、d,C的鄰邊為b、c,則,其中2p = a + b + c + d。證明:記四邊形ABC

36、D的面積為S,因為ABCD是圓內(nèi)接四邊形,所以故 。6. 設四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,記ABa,BCb,CDc,DAd,則。證明:這是第8題的推論。7. 設四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,記ABa,BCb,CDc,DAd,圓的半徑為R, 則。 證明:由第5、6題的結(jié)論知,abe + cde = adf + bcf又,故由托勒密定理知ac+bd=ef,所以8. 設四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,記ABa,BCb,CDc,DAd,AC=e, BD=f,則 abe + cde = adf + bcf 。證明:因為ABCD是圓內(nèi)接四邊形,所以cosB+cosD=0故 于是 。 由托勒密定理知ac+bd

37、=ef,所以 abe + cde = adf + bcf 。9作圓內(nèi)接四邊形每雙對邊所在直線的交角的平分線,則所作四線交成一個矩形。證明: FQ是AFB的平分線, QFB=AFQ由 KHE=A+AFQ,HKE =QFB +KCF=QFB +EC =QFB +A知 KHE =HKE。 EHK是等腰三角形。 EG是HEK的平分線, EGFG,即圓內(nèi)接四邊形的對邊夾角的平分線互相垂直。又因為一個角的內(nèi)外平分線是垂直的,所以圓內(nèi)接四邊形每雙對邊所在直線的交角的平分線交成一個矩形。10在圓內(nèi)接四邊形中,設每邊兩端所引鄰接邊的垂線相交,則所得四交點與四邊形的對角線交點及外接圓心共線。證明:如圖,設ABCD

38、是O的內(nèi)接四邊形,過B垂直于AB的直線交O于F,過C垂直于CD的直線交O于E,BE與CF交于H。考察O的內(nèi)接六邊形AFBDEC,由巴斯卡定理知AF與DE的交點,F(xiàn)B與EC的交點H,BD與CA的交點P三點共線。由于AF、DE都是直徑,故AF與DE的交點是圓心O,所以O、P、H三點共線。同理,其它三個點也在OP上。所以圓內(nèi)接四邊形中每邊兩端所引鄰接邊的垂線相交,而得的四交點與四邊形的對角線交點及外接圓心共線。11圓上四點兩兩連成四個三角形,它們的內(nèi)心、旁心合計十六點分配在八條直線上,每線上四點,而這八線是兩組互相垂直的平行線,每組含四線。證明:如圖,設A1A2A3的內(nèi)心為I1, 其三個旁心為B1,

39、 C1, D1;的內(nèi)心為A2A3A4的內(nèi)心為I2, 其三個旁心為B2, C2, D2;、A3A4A1的內(nèi)心為I3, 其三個旁心為B3, C3, D3;A4A1A2的內(nèi)心為I4, 其三個旁心為B4, C4, D4, 那么由第3題的結(jié)論知四邊形I1I2I3I4是一個矩形。根據(jù)內(nèi)心、旁心的性質(zhì)可知因為A2A3A1=A2A4A1,所以A2D1A1=A2B4A1,所以A2, B4, D1, A1四點共圓。另一方面,A2, B4, A1, I4四點共圓,A2, D1, A1, I1四點共圓,從而A2, B4, D1, A1, I4, I1六點共圓。所以B4I4, D1I1都是直徑,故B4D1I4I1是矩形

40、。 同理,B1D2I1I2是矩形;B3D4I3I4是矩形;B2D3I2I3是矩形。由A2, B4, D1, A1, I4, I1六點共圓可知,所以A1, D1, A3, I3四點共圓。同理,A1, B1, A3, I3四點共圓。易知A1, C3, A3, I3四點共圓。所以A1, D1, C3, B1, A3, I3六點共圓。故D1C3B1I3是矩形。同理,B4I2D4C2是矩形;B3I1D3C1是矩形;B2C4B1I4是矩形。所以圓上四點兩兩連成四個三角形,它們的內(nèi)心、旁心合計十六點分配在八條直線上,每線上四點,而這八線是兩組互相垂直的平行線,每組含四線。12設四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,且A

41、CBD,則OAB、OBC、OCD、ODA的垂心共線。證明:如圖,設OAB、OBC、OCD、ODA的垂心分別為H1, H2, H3, H4,AC與BD的交點為P,那么 AH1 / CH2, ,故 。但 AP·PCBP·PD,所以 ,所以 APH1CPH2 。于是 APH1CPH2 ,所以 H1, P, H2 三點共線。同理,BPH1DPH4 ,H1, P, H4 三點共線;BPH2DPH3 ,H2, P, H3 三點共線。所以H1, H2, H3, H4, P共線,即OAB、OBC、OCD、ODA的垂心共線。13. 設四邊形ABCD外切于圓O,則OAB、OBC、OCD、ODA的垂心共線。證明:如圖,設OAB、OBC、OCD、ODA的垂心分別為H1, H2, H3, H4,AC與BD的交點為P,那么 AH1 / CH2, ,故 。另一方面,AB+CDBC+AD,所以 ,故。于是 APH1CPH2 ,從而 APH1CPH2 ,所以 H1, P, H2 三點共線。同理,BPH1DPH4 ,H1, P, H4 三點共線;BPH2DPH3 ,H2, P, H3 三點共線。所以H1, H2, H3, H4, P共線,即OAB、OBC、OCD、ODA的垂心共線。14四邊形是圓外

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