線性方程組和矩陣知識總結(jié)

1、線性方程組和矩陣知識總結(jié)吳榮魁 2013201363線性方程組的基本概念5內(nèi)+如勺+仏兀=b°2兀+°22無2 a2nxn = e。訕州+色”2兀2+色“兀3 =bn,其屮未知數(shù)的個數(shù)n和方程式的個數(shù)m不必相等.線性方程組的解是一個n維向量它滿足:當每個方中的未知數(shù)xi都用ki替代 時都成為等式.線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解，無窮多解.對線性方程組討論的主要問題兩個:判斷解的情況.求解bl=b2=bm=0的線性方程組稱為齊次線性方程組.n維零向量總是齊次線性方程組的解，稱為零解.因此齊次線性方程組解的情況只冇兩種:唯一解（即只要零解）和無窮多解（即冇罪零解）.把

2、一個非齊次線性方程組的每個方程的常數(shù)項都換成0,所得到的齊次線性 方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱導(dǎo)出組.線性方程組的解法alx + anx2 hanxn =6f21x, + cl22x2 +- + cl2nxn =2 卩”內(nèi)+色”2勺+ %衛(wèi)3 =bfn（1）、寫出線性方程組的增廣矩陣。（2）、用初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣。（3）、看階梯形矩陣的最后一個非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，則方程組無解；反之方程組冇解。（4）、在有解的情況下，找出階梯形炬陣屮非零行的個數(shù)r。如果則方程組有唯一解；如果vn,則方程組有無窮多解。（5）把第二步得到的階梯形矩陣通過初等行變換

3、化為簡化階梯形矩陣。（6）根據(jù)簡化階梯形矩陣，給出線性方程組的一般解或解集。一些特殊的矩陣(1)行矩陣只有一行的矩陣。列矩陣只冇一列的矩陣。零矩陣所有元素都等于0的矩陣。(4)當加=72時稱a = （aiy.）nxn為刃階方陣；。|,。22，'仏所在的對角線稱為方陣的主對角線。（5）主對角線下（上）方的元素全為零的方陣稱為上（下）三角陣。（6）主對角線以外的元索全為零的方陣稱為對角陣，記為dx 00d = °°，簡記為 £> = diag（d,2,d“）。 0 0 ”（7）單位陣記以e。注 （1）只有1列或1行的矩陣分別稱為列矩陣或行矩陣，也被稱為列

4、向 量或行向量。這樣，它們就冇了矩陣和向量的雙重“身份”。（2）hxa2矩陣也稱為刃階方陣或斤階矩陣，而1階矩陣被約定當作“數(shù)”（即 “元"本身）對待，當然“數(shù)"是不能當作1階矩陣來對待的。（3）單位陣、對角陣、三角陣是特別簡單的一些方陣，在今后討論的基木 運算中，它們各表現(xiàn)出一些簡單特性，這就使它們在形成或訓(xùn)練解決問題的矩陣 方法屮都將冇重耍作用。a an對線性方程組（1）人=稱為（1）的系數(shù)矩陣，_am amn_ a % f a=:稱為（1）的增廣矩陣。% h,n_矩陣的行（列）初等變換：（1）對換矩陣的兩行（列），用©（g表示對換門兩行（列）的行（列）初等變

5、換，即-導(dǎo)rj （ c.勺）； 用非零數(shù)乘矩陣的某一行（列），用巧伙）c伙）表示以kho乘矩陣的第i行（列）的行（列）初等變換，即斤t kr© i kcj ；（3）將矩陣的某行（列）乘以數(shù)r再加入另一行（列）小去，用©伙）©）表 示£乘矩陣的第"亍（列）后加到第丿行（列）的行（列）初等變換，即 匚 + kr£cj + kcj o4、矩陣的等價定義 將矩陣a的行經(jīng)有限次初等變換化為3,稱a與b等價，記作a3。5、行階梯形矩陣與最簡形矩陣定義3若矩陣a的零行（元素全為零的行）位于人的下方，且各非零行（元 素不全為零的行）的非零首元（第一個

6、不為零的元素）的列標隨行標的遞增而嚴 格增大，則稱a為行階梯形矩陣。定義4若行階梯形矩陣a的各非零首元均為1,且各非零首元所在列的其 余元素均為零，則稱a為最簡形。6、用初等變換線性方程組的解1）將（1）的增廣矩陣入用行初等變換化為最簡形；2）由最簡形對應(yīng)的方程組得到解。矩陣的秩矩陣秩的求法（1）定義法找出矩陣人中不為零的最高子式，算出它的階數(shù).（2）初等變換法（e 0、用初等變換（行、列均口j）將矩陣a化為標準形°，即可得出r（a） = r或化成階梯形矩陣，其非零行的個數(shù)即為秩.矩陣秩的性質(zhì)（1） /?（a） = /?（ar）(2)(ar¥ =r(a) + r(b)(3) max 7?(a),< r(a, b) < r(a) + r(b)(4) /?(a + b)</?(a) + /?(b)(5) 若 a b ,則r(a) = r(b)