用PDE Toolbox求解三類典型方程求解橢圓型方程

1、實(shí)驗(yàn)二用PDE Toolbox求解三類典型方程 -求解橢圓型方程一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋敬螌?shí)驗(yàn)在掌握PDE Toolbox的功能和PDE圖形用戶界面的基礎(chǔ)上，求解橢圓型方程。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、解橢圓型方程的一個(gè)例子單位圓上的Poisson方程邊值問題：這一問題的精確解為若使用圖形用戶界面（GUI），則首先在MATLAB的工作窗口中鍵入pdetool,按回車鍵確定，于是出現(xiàn)PDE Toolbox窗口，如果需要坐標(biāo)網(wǎng)格，單擊Options菜單下的Grid選項(xiàng)即可。下面分步進(jìn)行操作。 第一步：畫區(qū)域圖 單擊工具，大致在（0，0）位置單擊鼠標(biāo)右鍵同時(shí)拖拉鼠標(biāo)到適當(dāng)位置松開，繪制圓。為了保證所繪制的圓是標(biāo)準(zhǔn)的單位圓

2、，在所繪圖上雙擊，打開Object Dialog對(duì)話框,精確地輸入圓心坐標(biāo)X-center為0,Y-center為0及半徑Radius為1,然后單擊OK按鈕,這樣單位圓已畫好。第二步：設(shè)置邊界條件 單擊工具，圖形邊界變紅，逐段雙擊邊界，打開Boundary Condition對(duì)話框，輸入邊界條件。對(duì)于同一類型的邊界，可按shift鍵，將多個(gè)邊界同時(shí)選擇，統(tǒng)一設(shè)置邊界條件。本題選擇Dirichlet條件，輸入h 為1，r為0，然后單擊OK按鈕。也可以單擊Boundary菜單中Specify Boundary Conditions選項(xiàng)，打開Boundary Condition對(duì)話框，輸入邊界條件。

3、第三步：設(shè)置方程 單擊PDE菜單中PDE Specification選項(xiàng)，打開PDE Specification對(duì)話框，選擇方程類型。本題單擊Elliptic，輸入c為1，a為0，f為1，然后單擊OK按鈕。第四步：網(wǎng)格剖分 單擊工具，或者單擊Mesh菜單中Initialize Mesh選項(xiàng)，可進(jìn)行初始網(wǎng)格剖分，這時(shí)在PDE Toolbox 窗口下方的狀態(tài)欄內(nèi)顯示出初始網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)和三角形單元數(shù)。本題節(jié)點(diǎn)數(shù)為144個(gè)，三角形單元數(shù)為254個(gè)。如果需要網(wǎng)格加密，再單擊，或者單擊Mesh菜單中Refine Mesh選項(xiàng)，這時(shí)節(jié)點(diǎn)數(shù)變?yōu)?41個(gè)，三角形單元數(shù)為1016個(gè)。如此還可繼續(xù)加密。第五步：解方

4、程 單擊工具 ，或者單擊Solve菜單中Solve PDE選項(xiàng)，可顯示方程色彩解。如果單擊Plot菜單中Parameters選項(xiàng)，出現(xiàn)Plot Selection對(duì)話框，從中可以選擇Color, Contour, Arrows, Deformed mesh, Height(3-D plot)，還可以設(shè)置等值線的數(shù)目等。本例中選擇Height(3-D plot),Color, Contour和Show mesh四項(xiàng)，然后單擊Plot按鈕，方程的圖形解如圖所示。第六步：與精確解作比較 單擊Plot菜單中Parameters選項(xiàng)，打開Plot Selection對(duì)話框，在Height(3-D plo

5、t)行Property的下拉框中選user entry，且在該行的user entry輸入框中鍵入u-(1-x.2-y.2)/4，單擊Plot按鈕就可以看到解的絕對(duì)誤差圖形，可見在邊界處誤差為0。第七步：輸出網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的編號(hào)、單元編號(hào)以及節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 單擊Mesh菜單中Show Node Labels選項(xiàng)，再單擊工具或，即可顯示節(jié)點(diǎn)編號(hào)。若要輸出節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，只需單擊Mesh菜單中Export Mesh選項(xiàng)，這時(shí)打開的Expor對(duì)話框中的默認(rèn)值為p e t，這里p e t分別表示points(點(diǎn))、edges(邊)、triangles(三角形)，單擊OK按鈕。然后在MATLAB命令窗口鍵入p，按回車鍵確

6、定，即可顯示出節(jié)點(diǎn)按編號(hào)排列的坐標(biāo)（二維數(shù)組）；鍵入e，按回車鍵，則顯示邊界線段數(shù)據(jù)矩陣（7維數(shù)組）；鍵入t，按回車鍵，則顯示三角形單元數(shù)據(jù)矩陣（4維數(shù)組）。>> pp =Columns 1 through 6-1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.7071 0.7071-0.0000 -1.0000 0 1.0000 -0.7071 -0.7071Columns 7 through 120.7071 -0.7071 -0.9808 -0.9239 -0.8315 -0.55560.7071 0.7071 -0.1951 -0.3827 -0.5556 -0

7、.8315Columns 13 through 18-0.3827 -0.1951 0.1951 0.3827 0.5556 0.8315-0.9239 -0.9808 -0.9808 -0.9239 -0.8315 -0.5556Columns 19 through 240.9239 0.9808 0.9808 0.9239 0.8315 0.5556-0.3827 -0.1951 0.1951 0.3827 0.5556 0.8315Columns 25 through 300.3827 0.1951 -0.1951 -0.3827 -0.5556 -0.83150.9239 0.9808

8、 0.9808 0.9239 0.8315 0.5556Columns 31 through 36-0.9239 -0.9808 0.0096 -0.4919 0.4344 0.41740.3827 0.1951 0.0275 0.1926 0.2283 -0.3200Columns 37 through 42-0.1269 -0.0494 -0.5371 -0.4030 0.1942 0.6479-0.4927 0.5377 -0.2817 0.4847 -0.5961 -0.0626Columns 43 through 480.2906 -0.7248 0.6181 0.6544 -0.2

9、005 -0.07410.5585 0.1984 -0.4655 0.3774 -0.7018 0.7730Columns 49 through 54-0.3284 0.1635 0.3449 0.1221 -0.2130 -0.4589-0.0513 0.3109 -0.0420 -0.3243 0.2570 -0.5475Columns 55 through 60-0.7174 -0.6175 0.7301 0.1848 0.0515 0.7977-0.0750 0.5183 -0.2667 0.6991 -0.7234 0.0628Columns 61 through 660.5074

10、0.3780 -0.3139 -0.7045 0.3744 -0.83520.5346 -0.7121 0.6522 -0.3747 0.7284 0.2418Columns 67 through 720.6894 -0.0856 0.7630 -0.2495 -0.1154 -0.3813-0.5472 0.8796 0.4201 -0.8316 -0.2527 -0.3733Columns 73 through 78-0.5324 0.2505 -0.0174 0.3046 0.5935 0.3807-0.0988 -0.2073 0.2338 0.1041 0.1146 -0.5140C

11、olumns 79 through 84-0.5385 -0.3388 0.8075 0.1139 -0.0031 -0.49880.3474 0.1391 -0.1332 0.5561 -0.5613 0.6617Columns 85 through 900.2119 0.5371 -0.2152 0.3265 -0.8205 -0.3809-0.8010 -0.1840 0.5204 0.3835 0.0799 -0.7221Columns 91 through 960.7580 0.5477 -0.7271 -0.6318 -0.8081 0.74650.2617 -0.6037 0.3

12、539 -0.5469 -0.2201 -0.4030Columns 97 through 102-0.0858 0.0686 0.6451 -0.2273 0.2414 0.5365-0.8274 0.8354 0.5220 0.8071 0.8339 0.6535Columns 103 through 1080.1839 0.0410 0.5112 0.6019 -0.6233 -0.2693-0.0243 -0.1797 0.4034 -0.3259 0.0830 -0.5452Columns 109 through 114-0.1699 -0.2602 -0.6592 0.4338 0

13、.2437 -0.37420.0843 -0.2272 -0.2103 0.0732 -0.4028 0.3017Columns 115 through 120-0.1366 0.1539 -0.5424 -0.5470 -0.8650 0.0476-0.0998 0.1487 -0.4250 -0.6711 -0.0822 0.4134Columns 121 through 126-0.0254 -0.2642 0.1051 -0.1181 0.8371 0.0740-0.3778 0.3913 -0.4530 0.3926 -0.2762 -0.8670Columns 127 throug

14、h 132-0.3957 -0.0760 0.0170 -0.1437 -0.4618 0.40730.7755 -0.6832 0.6780 0.6620 0.0524 -0.1589Columns 133 through 1380.2771 -0.6205 -0.4069 0.1892 -0.1965 0.59090.2360 0.2346 -0.2067 0.4454 -0.3784 0.2777Columns 139 through 1440.5116 0.4134 0.6636 0.4932 -0.1362 0.4255-0.4462 0.4958 -0.1945 -0.0428 -

15、0.5976 0.5949>>>> ee = Columns 1 through 6 1.0000 9.0000 10.0000 11.0000 5.0000 12.0000 9.0000 10.0000 11.0000 5.0000 12.0000 13.0000 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.000

16、0 1.0000 0 0 0 0 0 0 Columns 7 through 12 13.0000 14.0000 2.0000 15.0000 16.0000 17.0000 14.0000 2.0000 15.0000 16.0000 17.0000 6.0000 0.7500 0.8750 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.8750 1.0000 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 1.0000 1.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0

17、0 0 0 0 0 Columns 13 through 18 6.0000 18.0000 19.0000 20.0000 3.0000 21.0000 18.0000 19.0000 20.0000 3.0000 21.0000 22.0000 0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 0 0.1250 0.6250 0.7500 0.8750 1.0000 0.1250 0.2500 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 3.0000 3.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0

18、Columns 19 through 24 22.0000 23.0000 7.0000 24.0000 25.0000 26.0000 23.0000 7.0000 24.0000 25.0000 26.0000 4.0000 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 1.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 Colum

19、ns 25 through 30 4.0000 27.0000 28.0000 29.0000 8.0000 30.0000 27.0000 28.0000 29.0000 8.0000 30.0000 31.0000 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 Columns 31 thro

20、ugh 32 31.0000 32.0000 32.0000 1.0000 0.7500 0.8750 0.8750 1.0000 4.0000 4.0000 1.0000 1.0000 0 0>>>> tt = Columns 1 through 11 32 14 20 26 29 17 23 100 11 66 89 1 2 3 4 8 6 7 28 5 32 1 89 97 81 98 84 92 99 127 94 89 119 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 12 through 22 1 9 94 5 12 13 97 2 62

21、6 67 9 10 5 12 13 14 2 15 17 18 18 119 95 118 118 90 70 126 126 92 67 96 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 23 through 33 96 3 60 22 99 24 65 25 4 8 56 19 21 21 23 7 25 25 26 27 30 30 125 60 91 69 102 65 101 101 68 56 93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 34 through 44 75 68 104 77 21 106 16 30 107 79 15 33 2

22、7 33 35 22 36 17 31 34 34 16 116 100 115 112 91 139 62 93 134 114 85 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 45 through 55 10 120 19 78 7 105 108 28 80 87 83 11 38 20 36 24 35 37 29 34 40 41 64 124 125 113 102 138 137 127 131 122 123 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 56 through 66 74 86 76 83 59 63 87 90 64 82 65

23、 36 42 35 37 41 40 38 47 39 38 43 132 142 133 143 83 87 130 108 111 120 144 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 67 through 77 81 88 121 76 80 75 73 70 64 73 66 42 43 71 51 49 50 39 47 11 49 44 141 136 137 112 109 120 135 90 94 131 93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 78 through 88 31 60 86 98 27 62 108 69 69

24、58 88 32 42 36 48 28 41 47 46 23 43 35 66 81 106 129 100 85 143 91 99 65 105 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 89 through 99 67 18 56 129 72 73 98 105 93 79 92 45 19 40 48 39 55 58 61 44 56 45 92 96 84 130 117 111 101 140 134 93 139 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 100 through 110 78 68 100 77 91 70 97 109

25、 113 94 110 62 48 63 60 46 14 59 49 52 54 71 92 98 130 91 138 97 128 115 123 117 115 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 111 through 121 110 89 103 104 74 122 71 88 35 42 74 49 55 33 71 51 53 104 50 76 60 52 135 107 104 121 103 124 115 133 112 77 113 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 122 through 132 41 80 40

26、107 75 106 3 53 43 121 59 62 53 56 73 53 57 60 75 58 83 83 78 114 79 131 109 141 81 124 82 123 128 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 133 through 143 8 40 41 16 96 112 114 63 99 116 95 56 63 59 62 57 51 53 87 61 76 55 84 84 85 85 106 142 122 130 105 133 119 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 144 through 154 4

27、4 72 13 22 35 6 36 31 34 90 39 66 54 70 69 77 67 78 66 79 54 64 89 108 90 91 138 92 139 93 134 118 117 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 155 through 165 95 10 81 45 85 47 82 4 140 46 84 64 64 57 67 59 70 58 68 61 69 63 111 95 125 96 126 97 129 98 144 99 127 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 166 through 176

28、48 58 26 24 61 50 51 52 74 102 46 68 65 98 65 99 75 76 74 103 65 99 100 101 101 102 102 116 103 104 104 144 105 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 177 through 187 57 45 55 44 110 54 33 53 37 39 39 81 96 73 89 72 90 75 80 83 72 73 141 106 107 107 137 108 109 109 121 135 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 1

29、88 through 198 55 42 132 36 41 40 34 33 49 103 33 95 77 86 74 78 79 80 109 110 76 103 111 142 142 113 113 114 114 115 115 116 116 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 199 through 209 54 64 12 54 55 9 120 43 52 72 38 72 94 90 94 89 95 50 82 104 108 87 117 117 118 118 119 119 136 136 121 137 124 1 1 1 1 1 1

30、1 1 1 1 1 Columns 210 through 220 40 41 52 75 87 20 57 15 59 29 63 114 113 121 120 122 81 96 85 97 84 100 122 123 123 124 124 125 125 126 126 127 127 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 221 through 231 47 128 38 58 48 38 49 34 51 36 35 97 83 82 98 100 129 80 107 74 86 88 128 143 129 129 130 130 131 131 13

31、2 132 133 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 232 through 242 50 79 44 49 72 50 82 71 37 77 46 116 93 107 73 110 88 120 110 121 91 105 133 134 134 135 135 136 136 137 137 138 138 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Columns 243 through 253 78 45 43 88 42 86 77 51 37 47 61 92 106 88 105 86 106 112 132 108 128 102 139 139

32、 140 140 141 141 142 142 143 143 144 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Column 254 43 140 144 1>>第八步：輸出解的數(shù)值 單擊Solve菜單中Export Solution選項(xiàng)，在打開的Export對(duì)話框中輸入u，單擊OK按鈕確定。再在MATLAB命令窗口鍵入u，按回車鍵確定，即顯示按節(jié)點(diǎn)編號(hào)排列的解的數(shù)值>> uu = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2498 0.1801 0.1899 0.1809

33、0.1850 0.1770 0.1580 0.1508 0.1519 0.1440 0.1509 0.1085 0.1000 0.1070 0.1166 0.0989 0.2225 0.2190 0.2197 0.2196 0.2220 0.1223 0.1198 0.0875 0.0986 0.1192 0.1184 0.0899 0.1138 0.0875 0.1189 0.0910 0.0824 0.0607 0.0560 0.0544 0.0600 0.0613 0.2304 0.1789 0.1768 0.2237 0.2364 0.2240 0.1588 0.1477 0.1472

34、 0.2164 0.0826 0.1693 0.1712 0.0783 0.0783 0.1693 0.1706 0.1866 0.0802 0.0835 0.0894 0.0840 0.0866 0.0753 0.0745 0.0700 0.0771 0.0744 0.0779 0.0743 0.0613 0.0711 0.2413 0.2417 0.1440 0.1328 0.1512 0.1576 0.2410 0.2201 0.1300 0.2013 0.1945 0.1921 0.2428 0.2384 0.1310 0.0623 0.0609 0.2066 0.2142 0.193

35、9 0.1956 0.2079 0.0554 0.0604 0.0602 0.1315 0.1349 0.1352 0.1957 0.2019 0.2166 0.1396 0.1976 0.1911 0.2044 0.1431 0.1345 0.1454 0.1301 0.1886 0.1557 0.1159 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0465 0.0467 0.1220 0.1370 0.1374 0.0478 0.0482 0.1194 0.0466 0.0466 0.1226 0.1

36、371 0.0484 0.0485 0.1266 0.0438 0.0435 0.1188 0.1030 0.0321 0.0319 0.0855 0.0297 0.0293 0.0788 0.0286 0.0287 0.0775 0.0318 0.0315 0.0844 0.0323 0.0323 0.0902 0.1704 0.1528 0.1694 0.2022 0.1504 0.2047 0.2239 0.2236 0.2457 0.2301 0.2316 0.2088 0.2232 0.1765 0.1535 0.1271 0.1667 0.1523 0.1201 0.1653 0.1513 0.1196 0.1998 0.2216 0.2211 0.0447 0.0434 0.1151 0.0921 0.0886 0.1748 0.1620 0.1458 0.1793 0.1640 0.1466 0.0420 0.0411 0.1170 0.0851 0.1007 0.0412 0.0419 0.11