2022年八年級(jí)上學(xué)期軸對(duì)稱練習(xí)題精選

1、八年級(jí)上學(xué)期軸對(duì)稱練習(xí)題精選一解答題1如圖， abc 中， o 是 bc 的中點(diǎn)， d 是 bac 平分線上的一點(diǎn)，且dobc，過點(diǎn) d 分別作 dm ab 于 m，dnac 于 n求證： bm=cn 2如圖， abc 中，點(diǎn) d 在 bc 上， ad 的垂直平分線ef 交 bc 延長線于點(diǎn)f，若 fac=b，求證： ad 平分 bac 3如圖， abc 中， abac ，df 垂直平分bc 交bac 的外角平分線ad 于點(diǎn) d，f 為垂足， deab 于 e，連接 bd ，cd求證： dbe= dca 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

2、 1 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -4 （2013?荊門）如圖1，在 abc 中， ab=ac ，點(diǎn) d 是 bc 的中點(diǎn)，點(diǎn)e 在 ad 上（1）求證： be=ce；（2）如圖 2，若 be 的延長線交ac 于點(diǎn) f，且 bfac ，垂足為 f， bac=45 ，原題設(shè)其它條件不變求證：aef bcf5 （2013?東營） （1）如圖（1） ，已知：在 abc 中， bac=90 ，ab=ac ，直線 m 經(jīng)過點(diǎn) a，bd直線 m，ce直線 m，垂足分別為點(diǎn)d、e證明： de=bd+ce （2）如圖（ 2） ，將（ 1）中的條件改為：在abc 中， ab=ac ，d、a

3、、e 三點(diǎn)都在直線m 上，并且有bda= aec= bac= ，其中 為任意銳角或鈍角請(qǐng)問結(jié)論de=bd+ce 是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3） ，d、e 是 d、a、e 三點(diǎn)所在直線m 上的兩動(dòng)點(diǎn)（ d、a、e 三點(diǎn)互不重合） ，點(diǎn) f 為bac 平分線上的一點(diǎn)，且abf 和acf 均為等邊三角形，連接bd、ce，若 bda= aec= bac ，試判斷def 的形狀精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -6 （2004?十堰）如圖，已知

4、abc 中， ab=ac ，d、e 分別是 ab 和 bc 上的點(diǎn)，連接de 并延長與ac 的延長線交于點(diǎn) f，若 de=ef ，求證： bd=cf 7 （2012?儀隴縣模擬）如圖，p 是等邊三角形abc 內(nèi)的一點(diǎn)，連接pa，pb，pc，以 bp 為邊作 pbq=60 ，且bq=bp ，連接 cq觀察并猜想ap 與 cq 之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論8 （2012?瀘州）如圖， abc 是等邊三角形，d 是 ab 邊上的一點(diǎn)，以cd 為邊作等邊三角形cde ，使點(diǎn) e、a在直線 dc 的同側(cè)，連接ae求證： ae bc9已知： 如圖， 點(diǎn) c 為線段 ab 上一點(diǎn)， acm ，cbn 都是

5、等邊三角形，an 交 mc 于點(diǎn) e，bm 交 cn 于點(diǎn) f（1）求證： an=bm ；（2）求證： cef 為等邊三角形精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -10題目：如圖1，abd ，aec 都是等邊三角形，求證：be=dc 由已知易證 abe adc ，得 be=dc擴(kuò)變：1如圖 2，若 abd ，aec 都是等腰直角三角形，d=e=90 ，那么be=dc 嗎？2如圖 3，若四邊形abfd 、四邊形acge 都是正方形， （1）那么be=dc 還成立嗎？（2）bedc3如圖 4

6、，若點(diǎn) a 在線段 bc 上， abd ，aec 都是等邊三角形，那么be=dc 嗎？4在 3 題的條件下，若ad 與 be 交于 f 點(diǎn)， ae 與 cd 交于 g 點(diǎn)，如圖5（1）af=ag 嗎？（2）afg 是等邊三角形嗎？為什么？11如圖，已知man=120 ，ac 平分 man b、d 分別在射線an 、am 上（1）在圖（ 1）中，當(dāng) abc= adc=90 時(shí)，求證： ad+ab=ac （2）若把（ 1）中的條件 “ abc= adc=90 ”改為 abc+ adc=180 ，其他條件不變，如圖（2）所示則（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由精品

7、學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -12 （2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（ 1） ：若點(diǎn) a、b 在直線 m 同側(cè)，在直線m 上找一點(diǎn)p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于直線m 的對(duì)稱點(diǎn)b ，連接 ab ，與直線 m 的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，線段 ab 的長度即為ap+bp 的最小值如圖（ 2） ：在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)， ad 是高，在ad 上找一點(diǎn)p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對(duì)稱點(diǎn)，恰

8、好與點(diǎn)c 重合，連接ce 交 ad 于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，故 bp+pe 的最小值為_（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3） ：已知 o 的直徑 cd 為 2，的度數(shù)為 60 ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)，在直徑cd 上作出點(diǎn)p，使 bp+ap的值最小，則bp+ap 的值最小，則bp+ap 的最小值為_（3）拓展延伸如圖（ 4） ：點(diǎn) p 是四邊形 abcd 內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊ab 、bc 上作出點(diǎn)m，點(diǎn) n，使 pm+pn 的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法13 （2009?益陽）如圖，abc 中，已知 bac=45 ，ad bc 于 d，bd=2 ，dc=3 ，求 ad 的長小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖

9、形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問題：（1）分別以ab 、ac 為對(duì)稱軸，畫出abd 、acd 的軸對(duì)稱圖形，d 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為e、f，延長 eb、fc 相交于 g 點(diǎn)，證明四邊形aegf 是正方形；（2）設(shè) ad=x ，利用勾股定理，建立關(guān)于x 的方程模型，求出x 的值14 （2008?恩施州）如圖，c 為線段 bd 上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)b、d 作 ab bd，edbd ，連接 ac 、ec已知ab=2 ，de=1 ，bd=8 ，設(shè) cd=x精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 29 頁 - - -

10、 - - - - - -（1）用含 x 的代數(shù)式表示ac+ce 的長；（2）請(qǐng)問點(diǎn)c 滿足什么條件時(shí)，ac+ce 的值最?。唬?）根據(jù)（ 2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值15 （2013?石景山區(qū)一模）問題解決：已知：如圖， d 為 ab 上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)a、b 作 ca ab 于點(diǎn) a，eb ab 于點(diǎn) b，聯(lián)結(jié) cd、de（1）請(qǐng)問：點(diǎn)d 滿足什么條件時(shí)，cd+de 的值最??？（2）若 ab=8， ac=4 ，be=2，設(shè) ad=x 用含 x 的代數(shù)式表示cd+de 的長（直接寫出結(jié)果） 拓展應(yīng)用：參考上述問題解決的方法，請(qǐng)構(gòu)造圖形，并求出代數(shù)式的最小值16（2012?青田縣

11、模擬） 為了探索代數(shù)式的最小值，小明巧妙的運(yùn)用了“ 數(shù)形結(jié)合 ” 思想 具體方法是這樣的： 如圖， c 為線段 bd 上一動(dòng)點(diǎn)， 分別過點(diǎn)b、d 作 abbd ，edbd，連接 ac、ec已知 ab=1 ，de=5，bd=8 ，設(shè) bc=x則，則問題即轉(zhuǎn)化成求ac+ce 的最小值（1）我們知道當(dāng)a、c、e 在同一直線上時(shí)，ac+ce 的值最小，于是可求得的最小值等于_，此時(shí) x=_；（2）請(qǐng)你根據(jù)上述的方法和結(jié)論，試構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值17 （2012?溧水縣一模）七年級(jí)我們?cè)鴮W(xué)過“ 兩點(diǎn)之間線段最短” 的知識(shí)，常可利用它來解決兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：如圖 1

12、，已知， a，b 在直線 l 的同一側(cè)，在l 上求作一點(diǎn)，使得pa+pb 最小我們只要作點(diǎn)b 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)b ， （如圖 2 所示）根據(jù)對(duì)稱性可知，pb=pb 因此，求ap+bp 最小就相當(dāng)于求ap+pb 最小，顯然當(dāng)a、p、b在一條直線上時(shí)ap+pb 最小，因此連接ab，與直線l 的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)p有很多問題都可用類似的方法去思考解決探究：（1）如圖 3，正方形abcd 的邊長為2，e 為 bc 的中點(diǎn)， p 是 bd 上一動(dòng)點(diǎn)連接ep，cp，則 ep+cp 的最小值是_；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 29 頁

13、 - - - - - - - - -運(yùn)用：（2）如圖 4，平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)a（6，4） 、b（4，6） 、c（0，2） ，在 x 軸上找一點(diǎn)d，使得四邊形abcd的周長最小，則點(diǎn)d 的坐標(biāo)應(yīng)該是_；操作：（3） 如圖 5， a 是銳角 mon 內(nèi)部任意一點(diǎn)， 在 mon 的兩邊 om ， on 上各求作一點(diǎn)b， c， 組成 abc ， 使abc周長最小（不寫作法，保留作圖痕跡）18 （2010?江干區(qū)模擬） 已知 a，b 兩點(diǎn)在直線l 的同側(cè)， 試用直尺 （沒有刻度） 和圓規(guī)， 在 l 上找兩點(diǎn)c 和 d（cd的長度為定值a） ，使得 ac+cd+db最短 （不要求寫畫法）19為慶祝 6

14、0 年國慶圣典，陽光中學(xué)八年級(jí)（2）班舉行一次文藝晚會(huì)，桌子擺成兩真線（如圖：ao，ob）ao桌子上擺滿蘋果，bo 桌子上擺滿桔子，坐在c 處的小華想先拿蘋果再拿桔子，然后回到座位c 處， aob 小于90 度，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使小華所走路程最短請(qǐng)作出路線圖，并用字母表示所走路線（保留作圖痕跡，不寫作法、不必說明理由）20作圖題：要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論（1）如圖所示，104 國道 oa 和 327 國道 ob 在曲阜市相交于o 點(diǎn)，在 aob 的內(nèi)部有工廠c 和 d，現(xiàn)要建一個(gè)貨站 p，使 p 到 oa 和 ob 的距離相等，且使pc=pd，用尺規(guī)作出p 點(diǎn)

15、的位置（2）在圖中直線上找到一點(diǎn)m，使它到a、b 兩點(diǎn)的距離和最小精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -21如圖（ 1） ，a、b 兩單位分別位于一條封閉街道的兩旁（直線l1、l2是街道兩邊沿） ，現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過街人行天橋（1）天橋應(yīng)建在何處才能使由a 經(jīng)過天橋走到b 的路程最短？在圖（2）中作出此時(shí)橋pq 的位置，簡(jiǎn)要敘述作法并保留作圖痕跡 （注：橋的寬度忽略不計(jì)，橋必須與街道垂直）（2）根據(jù)圖（ 1）中提供的數(shù)據(jù)計(jì)算由a 經(jīng)過天橋走到b 的最短路線的長 （單位：米）精品學(xué)習(xí)資

16、料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -八年級(jí)上學(xué)期軸對(duì)稱練習(xí)題精選參考答案與試題解析一解答題（共21 小題）1如圖， abc 中， o 是 bc 的中點(diǎn)， d 是 bac 平分線上的一點(diǎn)，且dobc，過點(diǎn) d 分別作 dm ab 于 m，dnac 于 n求證： bm=cn 考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)專題 ： 證明題分析：根據(jù) o 是 bc 的中點(diǎn)， do bc，可知 od 是 bc 的垂直平分線， 那么 bd=cd ，而 ad 是 bac 的平分線，dm ab ，dn

17、 ac ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得dm=dn ，再根據(jù)hl 可判定 rtbmd rtcnd ，從而有 bm=cn 解答：證明：連接bd ，cd，如圖， o 是 bc 的中點(diǎn)， dobc， od 是 bc 的垂直平分線， bd=cd ， ad 是 bac 的平分線， dm ab ，dn ac， dm=dn ，在 rtbmd 和 rt cnd 中， rtbmd rtcnd， bm=cn 點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的定義以及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)以及具體的應(yīng)用2如圖， abc 中，點(diǎn) d 在 bc 上， ad 的垂直平分線ef 交 bc

18、延長線于點(diǎn)f，若 fac=b，求證： ad 平分 bac 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -考點(diǎn) ： 線段垂直平分線的性質(zhì)專題 ： 證明題分析：由 ef 是 adad的垂直平分線，可得af=df ，然后由等邊對(duì)等角，可證得eaf= edf，然后利用三角形外角的性質(zhì)與fac=b，可證得ad 平分 bac 解答：解： ef 是 adad 的垂直平分線， af=df ， eaf= edf， eaf= fac+cad ， edf= bad+ b，又 fac=b， bad= cad ，即 a

19、d 平分 bac 點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3如圖， abc 中， abac ，df 垂直平分bc 交bac 的外角平分線ad 于點(diǎn) d，f 為垂足， deab 于 e，連接 bd ，cd求證： dbe= dca 考點(diǎn) ： 線段垂直平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 證明題分析：過 d 作 dgac ，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得bd=cd ，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得de=dg ，然后利用 “ hl ” 證明 rtdbe 和 rtdcg 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)

20、應(yīng)角相等證明即可解答：證明：過 d 作 dg ac， df 是 bc 的垂直平分線， bd=dc ， ad 是 abc 的外角平分線，deab ，dgac， de=dg ， deab ，dgac， deb= dgc=90 ，在 rtdbe 和 rtdcg 中， rtdbe 和 rtdcg（ hl） ， dbe= dca 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

21、質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵4 （2013?荊門）如圖1，在 abc 中， ab=ac ，點(diǎn) d 是 bc 的中點(diǎn)，點(diǎn)e 在 ad 上（1）求證： be=ce；（2）如圖 2，若 be 的延長線交ac 于點(diǎn) f，且 bfac ，垂足為 f， bac=45 ，原題設(shè)其它條件不變求證：aef bcf考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)專題 ： 證明題分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得bae= eac，然后利用 “ 邊角邊 ” 證明 abe 和 ace 全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（ 2）先判定 abf 為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的兩直角

22、邊相等可得af=bf ，再根據(jù)同角的余角相等求出eaf= cbf，然后利用 “ 角邊角 ” 證明 aef 和bcf 全等即可解答：證明：（1） ab=ac ，d 是 bc 的中點(diǎn)， bae= eac ，在 abe 和 ace 中， abe ace （sas） ， be=ce；（ 2） bac=45 ，bfaf， abf 為等腰直角三角形， af=bf ， ab=ac ，點(diǎn) d 是 bc 的中點(diǎn)， ad bc， eaf+ c=90 ， bfac ， cbf+ c=90 ， eaf= cbf，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共

23、29 頁 - - - - - - - - -在 aef 和bcf 中， aef bcf（asa ） 點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記三角形全等的判定方法與各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵5 （2013?東營） （1）如圖（1） ，已知：在 abc 中， bac=90 ，ab=ac ，直線 m 經(jīng)過點(diǎn) a，bd直線 m，ce直線 m，垂足分別為點(diǎn)d、e證明： de=bd+ce （2）如圖（ 2） ，將（ 1）中的條件改為：在abc 中， ab=ac ，d、a、e 三點(diǎn)都在直線m 上，并且有bda= aec= ba

24、c= ，其中 為任意銳角或鈍角請(qǐng)問結(jié)論de=bd+ce 是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3） ，d、e 是 d、a、e 三點(diǎn)所在直線m 上的兩動(dòng)點(diǎn)（ d、a、e 三點(diǎn)互不重合） ，點(diǎn) f 為bac 平分線上的一點(diǎn)，且abf 和acf 均為等邊三角形，連接bd、ce，若 bda= aec= bac ，試判斷def 的形狀考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定分析：（1）根據(jù) bd直線 m，ce直線 m 得 bda= cea=90 ，而 bac=90 ，根據(jù)等角的余角相等得 cae= abd ，然后根據(jù) “ aas ” 可判斷 adb cea

25、 ，則 ae=bd ，ad=ce ，于是 de=ae+ad=bd+ce；（ 2）與（ 1）的證明方法一樣；（ 3）與前面的結(jié)論得到 adb cea ，則 bd=ae ， dba= cae ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得 abf= caf=60 ，則 dba+ abf= cae+ caf，則 dbf= fae，利用 “ sas” 可判斷 dbf eaf，所以 df=ef ， bfd= afe，于是 dfe= dfa+ afe=dfa+ bfd=60 ，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到def 為等邊三角形解答：證明：（1） bd 直線 m， ce直線 m， bda= cea=90 ， bac=90 ， b

26、ad+ cae=90 ， bad+ abd=90 ， cae= abd ，在 adb 和cea 中， adb cea （aas ） ， ae=bd ，ad=ce ， de=ae+ad=bd+ce；（ 2） bda= bac= ， dba+ bad= bad+ cae=180 ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 29 頁 - - - - - - - - - cae= abd ，在 adb 和cea 中， adb cea （aas ） ， ae=bd ，ad=ce ， de=ae+ad=bd+ce；（ 3）由（ 2）知， ad

27、b cea ，bd=ae ， dba= cae， abf 和acf 均為等邊三角形， abf= caf=60 ， dba+ abf= cae+ caf ， dbf= fae， bf=af 在 dbf 和eaf 中， dbf eaf（ sas ） ， df=ef， bfd= afe， dfe= dfa+ afe= dfa+ bfd=60 ， def 為等邊三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“ sss” 、 “ sas” 、“ asa ” 、“ aas” ；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)6 （2004?十堰）如圖，已知abc 中， ab=ac

28、 ，d、e 分別是 ab 和 bc 上的點(diǎn)，連接de 并延長與ac 的延長線交于點(diǎn) f，若 de=ef ，求證： bd=cf 考點(diǎn) ： 等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 證明題分析：過 d 作 dgaf 交 bc 于 g， 證明 dge fce， 得出 dg=cf， 再證明 db=dg ， 通過等量代換得到bd=cf 解答：證明：過 d 作 dg af 交 bc 于 g，如圖，則 f=gde，de=ef ， deg= fec dge fce（asa ） ， gd=cf， ab=ac ， b=acb ，又 dgaf， acb= bgd，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

29、- - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 29 頁 - - - - - - - - - b=bgd ， bd=gd ，又 gd=cf， bd=cf 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；解題中主要利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等和等角對(duì)等邊的性質(zhì)解答，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)7 （2012?儀隴縣模擬）如圖，p 是等邊三角形abc 內(nèi)的一點(diǎn)，連接pa，pb，pc，以 bp 為邊作 pbq=60 ，且bq=bp ，連接 cq觀察并猜想ap 與 cq 之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論考點(diǎn) ： 等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 探究型

30、分析：先猜想 ap=cq，再在 abp 與cbq 中，由 ab=cb ，bp=bq，abc= pbq=60 可得出 abp= cbq，進(jìn)而可判斷出abp cbq，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論解答：猜想： ap=cq 證明：在 abp 與cbq 中， ab=cb ，bp=bq ， abc= pbq=60 ， abp= abc pbc=pbq pbc=cbq， abp cbq ， ap=cq 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出 abp cbq 是解答此題的關(guān)鍵8 （2012?瀘州）如圖， abc 是等邊三角形，d 是 ab 邊上的一點(diǎn)，以cd 為邊作

31、等邊三角形cde ，使點(diǎn) e、a在直線 dc 的同側(cè)，連接ae求證： ae bc考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定；等邊三角形的性質(zhì)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -專題 ： 證明題分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出bc=ac ，cd=ce ，abc= bca= ecd=60 ，求出 bcd= ace ，根據(jù) sas證 ace bcd ，推出 eac= dbc= acb ，根據(jù)平行線的判定推出即可解答：證明： abc 和dec 是等邊三角形， bc=ac ，cd=ce ，

32、abc= bca= ecd=60 ， bca dca= ecd dca ，即 bcd= ace，在 ace 和 bcd 中， ace bcd （sas） ， eac= b=60 =acb ， aebc點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，關(guān)鍵是求出ace bcd ，主要考查學(xué)生的推理能力9已知： 如圖， 點(diǎn) c 為線段 ab 上一點(diǎn)， acm ，cbn 都是等邊三角形，an 交 mc 于點(diǎn) e，bm 交 cn 于點(diǎn) f（1）求證： an=bm ；（2）求證： cef 為等邊三角形考點(diǎn) ： 等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 證明題分析：（1）

33、由等邊三角形可得其對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而可由sas 得到 acn mcb，結(jié)論得證；（ 2）由（ 1）中的全等可得can= cmb ，進(jìn)而得出mcf= ace，由 asa 得出 cae cmf，即ce=cf ，又 ecf=60 ，所以 cef 為等邊三角形解答：證明：（1） acm ，cbn 是等邊三角形， ac=mc ，bc=nc ， acm= ncb=60 ， acm+ mcn= ncb+ mcn ，即 acn= mcb ，在 acn 和 mcb 中， acn mcb （sas） ， an=bm （ 2） can cmb ， can= cmb ，又 mcf=180 acm ncb=

34、180 60 60 =60 ， mcf= ace，在 cae 和 cmf 中，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 29 頁 - - - - - - - - - cae cmf （asa ） ， ce=cf， cef 為等腰三角形，又 ecf=60 ， cef 為等邊三角形點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運(yùn)用10題目：如圖1，abd ，aec 都是等邊三角形，求證：be=dc 由已知易證 abe adc ，得 be=dc擴(kuò)變：1如圖 2，若 abd ，aec 都是等腰直角三角形

35、，d=e=90 ，那么be=dc 嗎？2如圖 3，若四邊形abfd 、四邊形acge 都是正方形， （1）那么be=dc 還成立嗎？（2）bedc3如圖 4，若點(diǎn) a 在線段 bc 上， abd ，aec 都是等邊三角形，那么be=dc 嗎？4在 3 題的條件下，若ad 與 be 交于 f 點(diǎn)， ae 與 cd 交于 g 點(diǎn)，如圖5（1）af=ag 嗎？（2）afg 是等邊三角形嗎？為什么？考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)專題 ： 證明題分析：1、由 abd ，aec 都是等腰直角三角形得到ab=ad ，ac=ae， dab= eac=45 ，由于 dac= bae ，

36、則可判斷 abe 和adc 不全等，于是be 與 dc 不相等2、 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到ab=ad ，ac=ae ， dab= eac=90 ，則 dac= bae ，根據(jù) “ sas” 可判斷 abe adc ，則 be=dc ；（ 2）由abe adc ，則aeb= acd ，而bnc= ane ，于是 acd+ bnc= aeb+ ane=90 ，即 bedc；3、根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ab=ad ，ac=ae ， dab= eac=60 ，則 dac= bae ，根據(jù) “ sas” 可判斷 abe adc ，則 be=dc ；4、 （1）由 abe adc 得到 abe= ad

37、c ，根據(jù) “ aas” 可判斷 abf adg （asa ） ，則 af=ag ；（ 2）由于 af=ag ，而 dae=60 ，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到afg 是等邊三角形解答：解： 1be dc理由如下： abd ，aec 都是等腰直角三角形， ab=ad ，ac=ae， dab= eac=45 ， dac= bae， abe 和 adc 不全等， be 與 dc 不相等2 （1）be=dc 成立理由如下：四邊形abfd 、四邊形acge 都是正方形，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 29 頁 - - - -

38、- - - - - ab=ad ， ac=ae ， dab= eac=90 ， dac= bae，在 abe 和 adc 中， abe adc （sas） ， be=dc ；（ 2）bedc理由如下： ac 與 be 相交于 n 點(diǎn)， abe adc ， aeb= acd ，而 bnc= ane acd+ bnc= aeb+ ane=90 ， bedc；3be=dc 理由如下： abd ，aec 都是等邊三角形， ab=ad ， ac=ae ， dab= eac=60 ， dac= bae，在 abe 和 adc 中， abe adc （sas） ， be=dc ；4 （1）af=ag 理由如

39、下： abe adc ， abe= adc 在 abf 和adg 中， abf adg （asa ） ， af=ag （ 2）afg 是等邊三角形理由如下： af=ag ，而 dae=60 ， afg 是等邊三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)11如圖，已知man=120 ，ac 平分 man b、d 分別在射線an 、am 上（1）在圖（ 1）中，當(dāng) abc= adc=90 時(shí)，求證： ad+ab=ac （2）若把（

40、 1）中的條件 “ abc= adc=90 ”改為 abc+ adc=180 ，其他條件不變，如圖（2）所示則（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；含30 度角的直角三角形分析：（1）由題中條件可得，dca= bca=30 ，在直角三角形中可得ac=2ad ，ac=2ab ，所以 ad+ab=ac （ 2）在 an 上截取 ae=ac ，連接 ce，可得 cae 為等邊三角形，進(jìn)而

41、可得adc ebc，即 dc=bc ，da=be ，進(jìn)而結(jié)論得證解答：（1）證明：man=120 ， ac 平分 man ， dac= bac=60 abc= adc=90 ， dca= bca=30 ，在 rtacd 中， dca=30 ，rtacb 中， bca=30 ac=2ad ，ac=2ab ， ad+ab=ac ；（ 2）解：結(jié)論ad+ab=ac成立理由如下：在an 上截取 ae=ac ，連接 ce， bac=60 ， cae 為等邊三角形， ac=ce ， aec=60 ， dac=60 ， dac= aec， abc+ adc=180 ， abc+ ebc=180 ， adc=

42、 ebc， adc ebc， dc=bc ，da=be ， ad+ab=ab+be=ae， ad+ab=ac 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了30 的直角三角形的邊角關(guān)系以及全等三角形的判定和性質(zhì)問題，能夠利用其性質(zhì)求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明問題12 （2013?六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（ 1） ：若點(diǎn) a、b 在直線 m 同側(cè)，在直線m 上找一點(diǎn)p，使 ap+bp 的值最小，做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于直線m 的對(duì)稱點(diǎn)b ，連接 ab ，與直線 m 的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，線段 ab 的長度即為ap+bp 的最小值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18

43、 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -如圖（ 2） ：在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)， ad 是高，在ad 上找一點(diǎn)p，使 bp+pe 的值最小，做法如下：作點(diǎn) b 關(guān)于 ad 的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)c 重合，連接ce 交 ad 于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)p，故 bp+pe 的最小值為（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3） ：已知 o 的直徑 cd 為 2，的度數(shù)為 60 ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)，在直徑cd 上作出點(diǎn)p，使 bp+ap的值最小，則bp+ap 的值最小，則bp+ap 的最小值為（3）拓展延伸如圖（ 4） ：點(diǎn) p 是四邊形 abcd 內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊a

44、b 、bc 上作出點(diǎn)m，點(diǎn) n，使 pm+pn 的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法考點(diǎn) ： 圓的綜合題；軸對(duì)稱-最短路線問題分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到ce 的長為 bp+pe 的最小值；由ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ceab ，bce=bca=30 ，be=1，再根據(jù)含30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得ce=；（ 2）實(shí)踐運(yùn)用：過b 點(diǎn)作弦 becd，連結(jié) ae 交 cd 于 p 點(diǎn)，連結(jié)ob、oe、oa 、pb，根據(jù)垂徑定理得到 cd 平分 be，即點(diǎn) e 與點(diǎn) b 關(guān)于 cd 對(duì)稱，則ae 的長就是bp+ap 的最小值；由于的度數(shù)為60 ，點(diǎn) b 是的

45、中點(diǎn)得到boc=30 ， aoc=60 ，所以 aoe=60 +30 =90 ，于是可判斷 oae 為等腰直角三角形，則ae=oa=；（ 3）拓展延伸： 分別作出點(diǎn)p 關(guān)于 ab 和 bc 的對(duì)稱點(diǎn) e 和 f，然后連結(jié)ef，ef 交 ab 于 m、 交 bc 于 n解答：解： （1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（ 2） ，ce 的長為 bp+pe 的最小值，在等邊三角形abc 中， ab=2 ，點(diǎn) e 是 ab 的中點(diǎn) ceab ， bce=bca=30 ， be=1， ce=be=；故答案為；（ 2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（ 3） ，過 b 點(diǎn)作弦 becd，連結(jié) ae 交 cd 于 p點(diǎn)，連結(jié)ob、oe、oa、p

46、b， becd， cd 平分 be，即點(diǎn) e 與點(diǎn) b 關(guān)于 cd 對(duì)稱，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -的度數(shù)為 60 ，點(diǎn) b 是的中點(diǎn)， boc=30 ， aoc=60 ， eoc=30 ， aoe=60 +30 =90 ， oa=oe=1 ， ae=oa=， ae 的長就是bp+ap 的最小值故答案為；（ 3）拓展延伸如圖（ 4） 點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱最短路

47、徑問題13 （2009?益陽）如圖，abc 中，已知 bac=45 ，ad bc 于 d，bd=2 ，dc=3 ，求 ad 的長小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問題：（1）分別以ab 、ac 為對(duì)稱軸，畫出abd 、acd 的軸對(duì)稱圖形，d 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為e、f，延長 eb、fc 相交于 g 點(diǎn)，證明四邊形aegf 是正方形；（2）設(shè) ad=x ，利用勾股定理，建立關(guān)于x 的方程模型，求出x 的值考點(diǎn) ： 翻折變換（折疊問題） 專題 ： 綜合題分析：（1） ：先根據(jù) abd abe ， acd acf ，得出 eaf=90 ；再根據(jù)

48、對(duì)稱的性質(zhì)得到ae=af ，從而說明四邊形aegf 是正方形；（ 2）利用勾股定理，建立關(guān)于x 的方程模型（ x 2）2+（x3）2=52，求出 ad=x=6 解答：（1）證明：由題意可得：abd abe ，acd acf （1 分） dab= eab， dac= fac，又 bac=45 eaf=90 （3 分）又 ad bc ， e=adb=90 ， f= adc=90 （4 分）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -又 ae=ad ，af=ad ， ae=af （5 分）四邊形

49、aegf 是正方形（6 分）（ 2）解：設(shè)ad=x ，則 ae=eg=gf=x ， （7 分） bd=2 ， dc=3， be=2，cf=3 bg=x 2，cg=x 3 （9 分）在 rtbgc 中， bg2+cg2=bc2（ x2）2+（x3）2=52（11 分） ，（ x2）2+（x3）2=52，化簡(jiǎn)得， x25x6=0解得 x1=6，x2=1（舍） ，所以 ad=x=6 （12 分） 點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換和利用勾股定理，建立關(guān)于x 的方程模型的解題思想要能靈活運(yùn)用14 （2008?恩施州）如圖，c 為線段 bd 上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)b、d 作 ab bd，edbd ，連接 ac 、

50、ec已知ab=2 ，de=1 ，bd=8 ，設(shè) cd=x（1）用含 x 的代數(shù)式表示ac+ce 的長；（2）請(qǐng)問點(diǎn)c 滿足什么條件時(shí)，ac+ce 的值最??；（3）根據(jù)（ 2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值考點(diǎn) ： 軸對(duì)稱 -最短路線問題專題 ： 綜合題；動(dòng)點(diǎn)型分析：（1）由于 abc 和cde 都是直角三角形，故ac， ce 可由勾股定理求得；（ 2）若點(diǎn) c 不在 ae 的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和第三邊知，ac+ce ae，故當(dāng) a、c、e 三點(diǎn)共線時(shí)， ac+ce 的值最?。唬?3）由（ 1） （2）的結(jié)果可作bd=12 ，過點(diǎn) b 作 ab bd ，過點(diǎn) d 作 ed

51、bd，使 ab=2 ， ed=3，連接ae 交 bd 于點(diǎn) c，則 ae 的長即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形afdb ，rt afe，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得ae 的值解答：解： （1）+； （ 2 分）（ 2）當(dāng) a、c、 e 三點(diǎn)共線時(shí)， ac+ce 的值最小；（4 分）（ 3）如右圖所示，作bd=12，過點(diǎn) b 作 ab bd，過點(diǎn) d 作 edbd ，使 ab=2 ，ed=3 ，連接 ae 交 bd于點(diǎn) c，設(shè) bc=x ，則 ae 的長即為代數(shù)的最小值過點(diǎn) a 作 afbd 交 ed 的延長線于點(diǎn)f，得矩形abdf ，則 ab=df=2 ，af=bd=12 ， ef=ed+

52、df=3+2=5 ，所以 ae=13，即的最小值為13 （8 分）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -點(diǎn)評(píng)：本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，求形如的式子的最小值，可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解15 （2013?石景山區(qū)一模）問題解決：已知：如圖， d 為 ab 上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)a、b 作 ca ab 于點(diǎn) a，eb ab 于點(diǎn) b，聯(lián)結(jié) cd、de（1）請(qǐng)問：點(diǎn)d 滿足什么條件時(shí)，cd+de 的值最?。浚?）若 ab=8， ac=4 ，be=2，設(shè) ad=x 用含 x 的代數(shù)式

53、表示cd+de 的長（直接寫出結(jié)果） 拓展應(yīng)用：參考上述問題解決的方法，請(qǐng)構(gòu)造圖形，并求出代數(shù)式的最小值考點(diǎn) ： 軸對(duì)稱 -最短路線問題分析：（1）由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)d、c、 e三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，cd+de 的值最??；（ 2）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（ 3）過點(diǎn) e 作 ab 的平行線交ca 的延長線于點(diǎn)f，再證明四邊形afeb 是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可出代數(shù)式的最小值解答：解： （1）當(dāng)點(diǎn) d、 c、e 三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，cd+de 的值最小，（ 2），（ 3）如圖，令ab=4 ，ac=1 ，be=2，設(shè) ad=x ，則 bd=4 x，=， d、c、e 三點(diǎn)在一條直線

54、上時(shí)，cd+de 的值最小， ce 的長即為的最小值，過點(diǎn) e 作 ab 的平行線交ca 的延長線于點(diǎn)f， caab 于 a， ebab 于 b， afbe，四邊形afeb 是矩形， af=be=2 ，ef=ab=4 ，在 rtcfe 中， f=90 ，cf=3，的最小值為5精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短的公理以及勾股定理的運(yùn)用和矩形的判定及其性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等16（2012?青田縣模擬） 為了探索代數(shù)式的最小值，小明巧妙的運(yùn)用了

55、“ 數(shù)形結(jié)合 ” 思想 具體方法是這樣的： 如圖， c 為線段 bd 上一動(dòng)點(diǎn)， 分別過點(diǎn)b、d 作 abbd ，edbd，連接 ac、ec已知 ab=1 ，de=5，bd=8 ，設(shè) bc=x則，則問題即轉(zhuǎn)化成求ac+ce 的最小值（1）我們知道當(dāng)a、c、e 在同一直線上時(shí)，ac+ce 的值最小，于是可求得的最小值等于10，此時(shí) x=；（2）請(qǐng)你根據(jù)上述的方法和結(jié)論，試構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值考點(diǎn) ： 軸對(duì)稱 -最短路線問題分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知ac+ce 的最小值就是線段ae 的長度過點(diǎn)e 作 efbd，交 ab 的延長線于 f 點(diǎn)在 rtaef 中運(yùn)用勾股定理計(jì)算求解（ 2）由

56、（ 1）的結(jié)果可作bd=12 ，過點(diǎn) a 作 afbd ，交 de 的延長線于f 點(diǎn)，使 ab=2 ，ed=3，連接 ae交 bd 于點(diǎn) c，然后構(gòu)造矩形afdb ，rtafe，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得ae 的值就是代數(shù)式的最小值解答：解： （1）過點(diǎn) e 作 efbd ，交 ab 的延長線于f 點(diǎn)，根據(jù)題意，四邊形bdef 為矩形af=ab+bf=5+1=6，ef=bd=8 ae=10即 ac+ce 的最小值是10=10， efbd ，=，=，解得： x=精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 29 頁 - - - -

57、 - - - - -（ 2）過點(diǎn) a 作 afbd ，交 de 的延長線于f 點(diǎn)，根據(jù)題意，四邊形abdf 為矩形ef=ab+de=2+3=5 ，af=db=12 ae=13即 ac+ce 的最小值是13點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了最短路線問題以及勾股定理應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵17 （2012?溧水縣一模）七年級(jí)我們?cè)鴮W(xué)過“ 兩點(diǎn)之間線段最短” 的知識(shí)，常可利用它來解決兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：如圖 1，已知， a，b 在直線 l 的同一側(cè)，在l 上求作一點(diǎn)，使得pa+pb 最小我們只要作點(diǎn)b 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)b ，

58、（如圖 2 所示）根據(jù)對(duì)稱性可知，pb=pb 因此，求ap+bp 最小就相當(dāng)于求ap+pb 最小，顯然當(dāng)a、p、b在一條直線上時(shí)ap+pb 最小，因此連接ab，與直線l 的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)p有很多問題都可用類似的方法去思考解決探究：（1）如圖 3，正方形abcd 的邊長為2，e 為 bc 的中點(diǎn)， p 是 bd 上一動(dòng)點(diǎn)連接ep，cp，則 ep+cp 的最小值是；運(yùn)用：（2）如圖 4，平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)a（6，4） 、b（4，6） 、c（0，2） ，在 x 軸上找一點(diǎn)d，使得四邊形abcd的周長最小，則點(diǎn)d 的坐標(biāo)應(yīng)該是（2，0）；操作：（3） 如圖 5， a 是銳角 mon 內(nèi)部任意一點(diǎn)

59、， 在 mon 的兩邊 om ， on 上各求作一點(diǎn)b， c， 組成 abc ， 使abc周長最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 29 頁 - - - - - - - - -考點(diǎn) ： 軸對(duì)稱 -最短路線問題分析：（1）由正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)a 是點(diǎn) c 關(guān)于 bd 的對(duì)稱點(diǎn)，連接ae，則 ae 就是 ep+cp 的最小值；（ 2）找點(diǎn) c 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)c，連接 ac ，則 ac 與 x 軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)d 的位置，先求出直線ac 的解析式，繼而可得出點(diǎn)d 的坐標(biāo)（ 3）分別作點(diǎn)a 關(guān)于 om

60、 的對(duì)稱點(diǎn)a、關(guān)于 on 的對(duì)稱點(diǎn) a ，連接 aa ，則 aa 與 om 交點(diǎn)為點(diǎn)b 的位置，與on 交點(diǎn)為 c 的位置解答：解： （1）點(diǎn) a 是點(diǎn) c 關(guān)于 bd 的對(duì)稱點(diǎn)，連接ae，則 ae 就是 ep+cp 的最小值， ep+cp 的最小值 =ae=；（ 2）作點(diǎn) c 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)c，連接 ac ，則 ac 與 x 軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)d 的位置，點(diǎn) c坐標(biāo)為（ 0， 2） ，點(diǎn) a 坐標(biāo)為（ 6， 4） ，直線 ca 的解析式為：y=x 2，故點(diǎn) d 的坐標(biāo)為（ 2， 0） ；（ 3）分別作點(diǎn)a 關(guān)于 om 的對(duì)稱點(diǎn)a、關(guān)于 on 的對(duì)稱點(diǎn) a ，連接 aa ，則 aa 與 om