武漢理工控制工程第四章習(xí)題解答

1、習(xí)題解答：4-1 負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：根軌跡有3個分支，分別起始于0，-1，-2，終止于無窮遠。，。實軸上的根軌跡是（-，-2及-1,0?？傻茫?；是分離點。根軌跡見圖4-28。圖4-284-2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試證明點在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益和開環(huán)增益。解：若點在根軌跡上，則點應(yīng)滿足相角條件，如圖4-29所示。圖4-29對于，由相角條件滿足相角條件，因此在根軌跡上。將代入幅值條件：所以， ， 4-3 已知開環(huán)零點，極點，試概略畫出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。 （1），； （2），； （3），； （4），；解： 圖4-30（1） 圖4-30（2） 圖4-3

2、0（3） 圖4-30（4）4-4 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試概略繪出其閉環(huán)根軌跡圖（要求確定根軌跡的分離點，起始角和與虛軸的交點）。解：系統(tǒng)有五個開環(huán)極點：1.實軸上的根軌跡： 2.漸近線： 3.分離點： , (舍去) , 4.與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入上方程，整理，令實虛部分別為零得： 可得， ，（舍去） 5.根軌跡的起始角為：由對稱性得，另一起始角為，根軌跡如圖習(xí)題4-31所示。圖4-314-5 已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試作出以b為參量的根軌跡圖。解：作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=1.實軸上的根軌跡：2.分離點： 解得：根軌跡如圖4-32所示。 圖4-324-6

3、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解：根軌跡繪制如下： 圖4-331.實軸上的根軌跡： 2.分離點： 可得： 3.與虛軸交點：把s=j代入上方程，令解得： 根軌跡如圖4-6所示。由圖可知系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為；又 ， 所以系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為。4-7 系統(tǒng)的框圖如圖4-26所示，試?yán)L制以為變量的根軌跡圖。圖4-26解:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，即除以得 得等效開環(huán)傳遞函數(shù) 令得等效開環(huán)極點 ，為時原系統(tǒng)的閉環(huán)極點。按常規(guī)根軌跡繪制方法作根軌跡。（1）根軌跡起點：，終點：0，-；（2）實軸上根軌跡：（-，0區(qū)段；（3）分離點：，取，分離

4、角。畫出根軌跡如圖4-34所示。圖4-344-8實系數(shù)特征方程要使其根全為實數(shù)，試確定參數(shù)的范圍。解：作等效開環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng)時，需繪制常規(guī)根軌跡。1.實軸上的根軌跡： ，2.漸近線： 3.分離點： 解得 根據(jù)以上計算，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖4-35(1)所示。當(dāng)時，需繪制根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為：， 。由圖4-35(2)可以看出，當(dāng)時，多項式的根全為實數(shù)。因此所求參數(shù)的范圍為或。因此所求參數(shù)的范圍為 圖4-35(1) 圖4-36(2)4-9 已知負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程1. 繪制系統(tǒng)根軌跡圖(0<<)；2. 確定使復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點的阻尼系數(shù)的值。解：1.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(1)

5、根軌跡的起點為：，終點在無窮遠處（無有限零點）。(2)分支數(shù)。(3)實軸上根軌跡為(-，-14區(qū)段。(4)漸近線為條。(5)根軌跡離開復(fù)極點的出射角由公式根軌跡如圖4-37所示圖4-372. ，按此角過(0,0)點作直線與根軌跡交點，為所求之閉環(huán)極點用幅值條件可得():4-10 系統(tǒng)的特征方程為1. 畫出，時的根軌跡。2. 求出根軌跡在實軸上沒有非零分離會合點時值的范圍。解：1）時，特征方程為根軌跡是-1及整個虛軸，見圖4-38(a)。，特征方程可寫為開環(huán)傳遞函數(shù)3支根軌跡，起于0，0，止于-1和無窮遠。漸近線與實軸交角是，交點為 ，；，在實軸上的分離會合點按下述方法計算。解得 當(dāng)時，實軸上根

6、軌跡是-1,2，(不在根軌跡上，舍去)分離點是1.186，對應(yīng)的根軌跡見圖4-38(b)，實軸上根軌跡是-6,-1，是復(fù)數(shù)，不是實軸上的分離會合點。根軌跡見圖4-38(c)，實軸上根軌跡是-9,-1對應(yīng)的。根軌跡見圖4-38(d)，實軸上根軌跡是-10,-1，對應(yīng)的，。根軌跡見圖4-38(e)2）當(dāng)分離會合點不是實數(shù)時，系統(tǒng)沒有非零分離會合點 圖3-38(a) 圖3-38(b) 圖3-38(c) 圖3-38(d)圖3-38(e)4-11 已知某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖，說明其穩(wěn)定性。如果在負(fù)實軸上增加一個零點，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有何影響，試仍以根軌跡圖來說明。解：1. 時

7、，(1)根軌跡起始于-1，0，0，終止于三個零點(為無限零點)；(2)根軌跡分支數(shù)；(3)實軸上的根軌跡位于（-，-1區(qū)段；(4)漸近線條。由圖4-39（1）可見，三條根軌跡分支，有兩條位于右半平面。當(dāng)從0時，三個閉環(huán)極點中有兩個位于右半平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。 圖4-39（1） 圖4-39（2）2.增加負(fù)實零點時， 。由圖4-39（2）可見，根軌跡漸近線，由三條變?yōu)槎l。根軌跡向左半平面變化，閉環(huán)極點全部處于左半平面，從0時，控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。4-12 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為1. 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖（不要求求出分離點）；2. 已知系統(tǒng)的一個閉環(huán)極點為-0.9，試求出其余的閉環(huán)極點；3

8、. 該系統(tǒng)是否可以用低階系統(tǒng)來近似？若能，則求出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)；若否，則給出理由。解：1. 繪制系統(tǒng)的根軌跡()，步驟如下：(1) 根軌跡起始于開環(huán)極點0，-2，-3；終止于開環(huán)零點-1和兩個無限零點。(2) 根軌跡的分支數(shù)條。(3) 實軸上的根軌跡區(qū)間為-3,-2，-1,0。(4) 根軌跡的漸近線，有條，與實軸的交點、交角為：(5) 根軌跡的分離點位于-3,-2區(qū)段內(nèi)。繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖4-40所示。圖4-402. 已知，；，設(shè)其余二個閉環(huán)極點為。用幅值條件可以求得將其代入系統(tǒng)特征方程，即解得 3.由和構(gòu)成一對閉環(huán)偶極子，故系統(tǒng)可以降階為二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為4-13 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡如圖4-27所示。1. 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；2. 設(shè)計補償器，使系統(tǒng)在任意k值時都穩(wěn)定。圖4-27解