2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試幾何題匯總2

1、歷年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試幾何題匯總 2007 聯(lián)賽二試類似九點圓如圖，在銳角abc中， abac ，ad是邊 bc上的高， p 是線段 ad內(nèi)一點。過p 作 peac，垂足為 e，作pfab ，垂足為f。1o、2o分別是bdf 、cde的外心。求證：1o、2o、e、f 四點共圓的充要條件為p是abc的垂心。（官方解答）證明：連bp 、cp 、1o2o、e2o、ef、f1o。因為 pdbc ，pfab，則 b、d、p、f 四點共圓，且bp為該圓的直徑。又因為1o是bdf的外心，故1o在 bp上且是 bp的中點。同理可證， c、d、p 、 e四點共圓，且2o是 cp的中點。于是，1o2o平行于 b

2、c ，則p2o1o=pcb 。因為 af*ab = ap*ad = ae*ac ，所以 b、c、e、f 四點共圓。充分性：設(shè) p是abc的垂心，由于 peac， pfab ， 所以，b、1o、 p、 e四點共線， c、2o、 p 、 f 四點共線，f2o1o=fcb =feb = fe1o，故1o、2o、 e、f 四點共圓必要性：設(shè)1o、2o、e、f 四點共圓，則1o2oe + ef1o = 注意到p2o1o=pcb=acb - acp ，又因為2o是直角cep的斜邊中點，也就是cep的外心，所以p2oe=2acp 。因為1o是直角bfp的斜邊中點，也就是bfp的外心，從而a b d c e

3、f p 1o2o精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -pf1o= 2 - bf1o= 2 - abp 因為 b、c 、 e、f 四點共圓，所以afe =acb ，pfe =2 - acb 于是，由1o2oe + ef1o = 得：（acb - acp+ 2acp ）+ (2 - abp +2 - acb) = ，即abp =acp 。又因為 abac ，adbc ，故 bdac ，過 a 作abc 的外接圓的切線l。又以 a 為圓心， ac 為半徑作圓分別交線段 ab 于 d；交直線

4、l 于 e、 f。證明：直線de、df 分別通過abc 的內(nèi)心與一個旁心。 （官方解答）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -證明：（1）先證 de 通過abc 的內(nèi)心。連結(jié) dc、 de，作bac 的平分線，交dc 于 g，交 de 于 i。又 ad=ac ，則gac 與gad 全等，即有iac=iad=21dac 又 d、c、e 在以 a 為圓心的圓上，則21dac=iec 故iac=iec ，即 a、 i、c、e 四點共圓。于是，aci=aei 又 f、d、e 在以 a 為圓心的

5、圓上，則aei =21fad 又因為相切有fad=acb ，故aci=21acb 所以， i 為內(nèi)心。(2) df 通過abc 的一個旁心。設(shè) fd 與 ai 的所在直線交于ai，連 bai， bi。則biai=2abcbac，而bdai=adf ，又 ad=af ，則adf=afd=2dae=2caebac，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -又因為相切有abc=cae ，故biai=bdai，即 i、d、b、ai四點共圓。于是，i bai=idai=90，又因為abc 的平分線與

6、其外角平分線互相垂直，故 bai為其外角平分線。所以，ai為abc 的 bc 邊外的旁心。2004 聯(lián)賽二試在銳角三角形abc 中， ab 上的高 ce 與 ac 上的高 bd 相交于點h，以 de 為直徑的圓分別交ab 、ac于 f、g 兩點， fg 與 ah 相交于點 k，已知 bc 25，bd=20， be7，求 ak 的長。解：在直角bce中， bc=25，be=7，則 ce=24；同理，在直角bcd中， bc=25， bd=20 ，則 cd=15 。sina = sin(b+c) = sinbcosc+cosbsinc =2524*2515+257*2520= 54于是， ac=ac

7、esin=30，則 ad=15 。同理， ab=abdsin=25，則 ae=18。注意到： ab=bc ，則a=c 由于cdb=ceb=90，c、d、e、b 四點共圓，則c=aed 。于是，a =aed ，則 de=ad 。連 fd，則 dfae，于是 af=21ae=9，則 ag=adaeaf *=554。由于afgs=afks+agks，即21af*agsina=21af*aksinfak+21ag*aksingak 其中， sinfak=sinbce=257，singak =sincbd=2515將數(shù)據(jù)代進(jìn)去，計算得：ak=25216（這里實際上使用了張角公式，而官方解答注意到gf 與

8、 bc 平行的關(guān)系）2003 聯(lián)賽二試兩點，、。所作割線交圓于，割線，切點為作圓的兩條切線和一條過圓外一點dcbap.pacdbqpbcdaqqcddpc，求證：，使上取一點之間，在弦、在簡證：連 ab，注意到：aqp=daq+qda=pbc+abc=abp 于是， p、a、q、b 四點共圓。那么，pab=pqb 即pac+bac = bdc+dbq 又因為bac =bdc ，所以pac =dbq2002 聯(lián)賽二試如圖，在abc中，a=60， abac ，點 o是外心。兩條高be 、cf交于精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共

9、20 頁 - - - - - - - - -h點。點 m 、n分別在線段bh 、hf上，且滿足bm=cn 。求ohnhmh的值。機械解法：設(shè)外接圓半徑為r，引理 1：aahcos = bbhcos = cchcos = 2r (銳角三角形 ) 引理 2：oh=oa+ob+oc引理 1 的證明： bh=abhbfcos=abasincos=2rcosb，同理有： ah=2rcosa ， ch=2rcosc 。引理 2 的證明：設(shè)h滿足ho=oa+ob+oc，則ha=ob+ocha*bc=(oc+ob)*(oc-ob) = oc2- ob2 = 0 ，所以 ahbc 同理， bhac ，所以h與

10、h重合。題目的證明：圖中h 在三角形內(nèi)部，可以判斷abc為銳角三角形。a=60，abac ，則cb。于是可設(shè)b=60-，c=60+，其中 00 于是，直線bc為 y=npkp(x - n) ，直線 df為 y=qmkq(x - m) ，于是交點g為gy=npkp(gx - n) =qmkq(gx - m) （ 1）gx = qpqnpmpqnmmnqp2)()(agk= ggxy=pqnmmnqpmnkpq)()()(同理，直線cd為 y=qnkq(x - n) ，直線 bf為 y=mpkp(x - m) ，于是交點e為ey=mpkp(ex - m) =qnkq(ex - n) （2）（直接對

11、調(diào)m與 n 的位置得出計算結(jié)果）ex = qpqmpnpqnmmnqp2)()(aek= eexy=pqnmmnqpnmkpq)()()(故agk= - aek，所以gac = eac 1998 聯(lián)賽二試如圖， o 、i 分別為abc外心和內(nèi)心， ad是 bc邊上的高， i 在線段 od上，求證：abc的外接圓半徑等于bc邊上的旁切圓半徑。注：abc的 bc邊上的旁切圓是與邊ab 、ac的延長線以及邊bc都相切的圓。純幾何證法：x y a b(p,kp) d(q,-kq) c(n,o) g e f(m,o) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

12、 第 8 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -bc邊上的旁切圓半徑：ar=acbs22s = a*ad 作 in ab，垂足為n，則 b+c a = 2an 故ar=anada2*要證明ar=r，即證明：adr = ana2連 ai 并延長交處接圓于k，連結(jié) ko 、 kb 。則 k、m 分別為弧bc 及弦 bc 的中點且okbc于是 okad ，又 ki=kb ，則adr = adok =aiki = aibk故只要證明：ana2 = aibk，亦即bka2 = aian而 a = 2bm, 故只要證明：bkbm = aian由于nai=mbk=2a，ani 與bmk 相似，

13、所以上式成立。故ar=r 1997 聯(lián)賽二試三點共線、的充分必要條件是兩點，求證：、內(nèi)切于分別與圓、圓兩點，且圓、相交于和圓相等的圓如圖，已知兩個半徑不tnsmnomtsooonmoo2121證明：充分性。設(shè)s、n、t三點共線。在s、t 所作的兩公切線相交于k，則 ks=kt ，且 k在圓1o和圓2o的根軸 mn上。設(shè) st交 ko于 d，由 os=ot 及 ks=kt有：stok。又skos，那么kds與kso相似，即有2*kskokd。又2*kskmkn, 所以kokdkmkn*，即 o 、 d、n、m四點共圓。故90odnomn，即mnom。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - -

14、 - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -必要性。設(shè)mnom。類似地，設(shè)在s、t 所作的兩公切線相交于k，則 ks=kt ，且 k 在圓1o和圓2o的根軸 mn上。設(shè)st分別交 ko 、km于 d、n，則stok，又nmom，故 o、d、n、m四點共圓， 于是2*kskokdkmnk。又2*kskmkn，故knnk，即n與 n重合，因此 s、n 、 t 共線。1996 聯(lián)賽二試垂直與求證直線點，的延長線交于、為切點，并且、都相切，的三邊所在的三條直線與和圓如圖，圓bcpapfheghgfeabcoo21梅氏定理證法：延長 pa與 bc

15、交于點 d。pge截acd ，由梅氏定理有：cgag*dece*apdp = 1 由于 ce 、 cg均為圓1o的切線，則ce = cg 于是，deag*apdp = 1 (1) 同理， phf截abd ，由梅氏定理有：bhah*dfbf*apdp = 1 d 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -由于 bh 、 bf均為圓2o的切線，則bh = bf 于是，dfah*apdp = 1 (2) 由（ 1）和（ 2）得：deag = dfah，亦即dfde=ahag（3）連結(jié) a1o、

16、 a2o、1og 、2oh，則ga1o=21gab =ha2o，1o、a 、2o三點共線。又ag1o=2 =ah2o，所以ag1o與ah2o相似。于是有ahag = 21aoao (4) 由（ 3）和（ 4）得：dfde=21aoao連結(jié) e1o、 f2o, 則 e1oef ，f2oef ，e1o平行于 f2o。又因為dfde=21aoao，所以 ad平行于 e1o。故 pabc。1995 聯(lián)賽二試npmqqdapcdnbcmaboghefhgfeoabcd/，求證：于，交于，交于交，于的切線交上分別作圓與弧，在弧、與各邊分別切于的內(nèi)切圓如圖，菱形分析：這個問題需要倒過來想，從結(jié)論出發(fā)。首先要

17、加強對mq 平行于 np 的理解，連結(jié)mp，將會發(fā)現(xiàn)證題目標(biāo)轉(zhuǎn)化為：amq=cpn，于是， 問題轉(zhuǎn)化為求證：amq 與cpn 相似， 考慮到a=c，也就是求證： am*cn=aq*cp。 這樣，只要考慮對稱的左邊的“am*cn ” ，再將其轉(zhuǎn)化為“公共的量”即可。1994 聯(lián)賽二試設(shè)abc的外接圓o半徑為 r，內(nèi)心為i ，b=60，a c，a的外角平分線交圓o于 e，證明：（1）io = ae ；（2）2r io + ia + ic (1+3)r . 機械證法：引理： ia = 4rsin2bsin2c，ic = 4rsin2asin2b，內(nèi)切圓半徑 r = 4rsin2asin2bsin2c

18、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -引理的證明：在aci 中，應(yīng)用正弦定理：)290sin(bb=2sincia=2sinaic，其中 b=2rsinb，故 ia=4rsin2bsin2c，ic=4rsin2asin2b，于是， r=aisin2a=4rsin2asin2bsin2c題目的證明：（1）b=60，a c，于是可設(shè)a=60-，c=60+，其中 060，那么abe=2，ae = 2rsin2。由引理知：r = 2rsin260sin260 = r （cos-21）由 eu

19、ler 定理知： io2 = r(r-2r) = 2r2（1-cos）= 4r2sin22故 io = ae = 2rsin2（2）由引理知：ia = 2rsin260，ic = 2rsin260故 io + ia + ic = 2r（sin2+ sin260+ sin260）= 2r（ sin2+cos2）= 22rsin(2+45) 因為 0230，則452+4575，所以 sin45sin(2+45)sin75故 22rsin45io + ia + ic22rsin75即 2r io + ia + ic bc0) ，則222222rxaraoap令trx22，那么taap22，即taap

20、2同理tbbq2，tccr2令22)*()*(bqacapbccrabg，則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -)()()()(22222tbcatacbtcbag)()()()()(22222tbcbbatacbtcba)()(2)()()()()(2)()()()(22222222222tbcbbatbcbtbbatatccbbatacbtcba)()(2)()()()(222222222tbtatccbbabacbbcba22)(2)()()(222tbtatcbacbcbb

21、acbba )()()(222tatctaccbba相切時，有x=r ，從而 t=0 ，g=0,(1) 式成立。相交時， 0 xr ，于是 t0 于是通過兩端平方及 t0 ，可驗證：tactatc)(22即 gr ，于是 t0 ，同樣可驗證 g0 ， （3）式成立。1992 聯(lián)賽二試設(shè) a1a2a3a4為 o 的內(nèi)接四邊形，h1，h2，h3，h4依次為 a2a3a4， a1a3a4， a1a2a4， a1a2a3的垂心，求證： h1，h2，h3，h4四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置引理：設(shè)o 、h分別為abc的外心、垂心，則oh = oa + ob + oc引理的證明：設(shè)h滿足ho=oa

22、+ob+oc，則ha=ob+ocha*bc=(oc+ob)*(oc-ob) = oc2- ob2 = 0 ，所以 ahbc 同理， bhac ，所以h與 h重合。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -題目的證明：由引理有：1oh = 2oa + 3oa + 4oa，2oh = 1oa + 3oa + 4oa12hh = 1oh-2oh = 2oa-1oa = 21aa于是，1a2a1h2h為平行四邊形，對角線1a1h與2a2h互相平分。設(shè)它們的交點為p，則1ap=p1h，2ap=p2

23、h同理，2a2h與3a3h互相平分，則交點為2a2h的中點 p。同理，3a3h與4a4h互相平分于點p。即3ap=p3h，4ap=p4h于是ia和ih（i=1 ，2，3，4）關(guān)于點p是中心對稱的。因為1a、2a、3a、4a共圓，所以1h、2h、3h、4h四點也共圓，其圓心是點o關(guān)于點 p的中心對稱點。連 op，延長 op 到o使 po=op，則o是1h、2h、3h、4h四點所決定的圓的圓心。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -1991 聯(lián)賽二試設(shè)凸四邊形abcd 的面積為1，求證在

24、它的邊上（包括頂點）或內(nèi)部可以找到四個點，使得以其中任意三點為頂點所構(gòu)成的四個三角形的面積均大于41。官方證明：考慮四個三角形abc，bcd，cda，dab的面積，不妨設(shè)dabs最小，分四種情況討論：(1)dabs41，這時，顯然a、b 、 c、d四點即為所求。(2) dabs41，設(shè) g為bcd的重心。因431dabbcdss，故4131bcdgdbgcdgbcssss于是， g、b 、 c、d四點即為所求。(3) dabs=41，則bcds=43，其余兩個三角形的面積均大于41。由于cdaabcss1 ac ，a的一個外角的平分線交abc的外圓于點e，過 e作 efab ，垂足為f。求證：

25、2af=ab-ac 。證明：在 fb 上取 fg=af，連 eg、ec、eb，于是 aeg 為等腰三角形，eg=ea又3=180-ega=180-eag=180-5=4，1=2于是 egbeac全等bg=ac， ab-ac=ag=2af1988 聯(lián)賽二試在abc中， p、 q 、 r將其周長三等分， 且 p 、 q在 ab邊上。 求證：abcpqrss92證明：由于p、q在 ab邊上，則有：3cbac。pqr以邊 pq=3cba為底，要使其面積達(dá)到最小值，就是要使pq邊上的高，即點r到 ab邊的距離達(dá)到最小。由于對稱性的關(guān)系，不妨設(shè)點r在邊 bc上。當(dāng)線段pq向點 a運動時，點r在 bc邊上向

26、點b運動。當(dāng)點p與 a重合時，pqr面積最小。此時有： br=3cba-bq=3cba-(c-3cba)=322cbaabcpqrss = abrpqr*abcabr = abpq*bcbr = ccba3*acba322= 91*acba*ccba22因為 b+ca，所以acba2；因為 a+bc，所以ccba221。故pqr面積最小時，abcpqrss92故任何情況下均有：abcpqrss921985 聯(lián)賽二試abcefg12345精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -在abc中角 a，b，c的對邊分別為a，b，c，若角 a，b， c的大小成等比數(shù)列，且acab22，求角b 解：如圖，作abc的外接圓。由于acab220，即 ba，弧 ac大于弧 bc 。于是，可以在弧ac上取一點 d，使得弧ad等于弧 bc ，即 ad=bc=a 。連 da,db，dc 。那么，弧bad等于弧 abc ，即 bd=ac=b 。應(yīng)用托勒密定理有：cdcab*22又題設(shè)acab22，故 cd=a 于是，弧ad 、弧 cd 、弧 bc均相等，則2ba那么，bbac23又題設(shè)cab*2，即)23(*22bbb故72b1983 聯(lián)賽二試在四邊形 ab