固體物理習(xí)題及解答

1、一、填空題1. 晶格常數(shù)為a的立方晶系 (hkl)晶面族的晶面間距為 ；該(hkl)晶面族的倒格子矢量為 。2. 晶體結(jié)構(gòu)可看成是將 基元 按相同的方式放置在具有三維平移周期性的 晶格 的每個(gè)格點(diǎn)構(gòu)成。3. 晶體結(jié)構(gòu)按晶胞形狀對(duì)稱性可劃分為 7 大晶系，考慮平移對(duì)稱性晶體結(jié)構(gòu)可劃分為 14 種布拉維晶格。4. 體心立方（bcc）晶格的結(jié)構(gòu)因子為 ， 其衍射消光條件是 。5. 與正格子晶列hkl垂直的倒格子晶面的晶面指數(shù)為 (hkl) ， 與正格子晶面（hkl）垂直的倒格子晶列的晶列指數(shù)為 hkl 。6. 由N個(gè)晶胞常數(shù)為a的晶胞所構(gòu)成的一維晶格，其第一布里淵區(qū)邊界寬度為 ，電子波矢的允許值為

2、的整數(shù)倍。7. 對(duì)于體積為V,并具有N個(gè)電子的金屬, 其波矢空間中每一個(gè)波矢所占的體積為 ，費(fèi)米波矢為 。8. 按經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論，N個(gè)自由電子系統(tǒng)的比熱應(yīng)為 ，而根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)得到的金屬三維電子氣的比熱為 ，比經(jīng)典值小了約兩個(gè)數(shù)量級(jí)。9在晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)中，電子能帶在 布里淵區(qū)邊界 將出現(xiàn)帶隙，這是因?yàn)殡娮有胁ㄔ谠撎幨艿?布拉格反射 變成駐波而導(dǎo)致的結(jié)果。10. 對(duì)晶格常數(shù)為a的簡(jiǎn)單立方晶體,與正格矢R=ai+2aj+2ak正交的倒格子晶面族的面指數(shù)為 (122) , 其面間距為 .11. 鐵磁相變屬于典型的 二級(jí) 相變，在居里溫度附近，自由能連續(xù)變化，但其 一階導(dǎo)數(shù)（比熱） 不連續(xù)。12. 晶體

3、結(jié)構(gòu)按點(diǎn)對(duì)稱操作可劃分為 32 個(gè)點(diǎn)群，結(jié)合平移對(duì)稱操作可進(jìn)一步劃分為 230 個(gè)空間群。 13等徑圓球的最密堆積方式有 六方密堆（hcp） 和 面心立方密堆（fcc） 兩種方式，兩者的空間占據(jù)率皆為74%。14. 面心立方（fcc）晶格的倒格子為 體心立方（bcc） 晶格； 面心立方（fcc）晶格的第一布里淵區(qū)為 截角八面體 。 15. 結(jié)構(gòu)因子Shkl 反映一個(gè)晶胞對(duì)于（hkl）布拉格衍射的衍射能力大??； 原子形狀因子 反映一個(gè)原子對(duì)于（hkl）布拉格衍射的衍射能力大小。16. 布里淵（Brillouin）區(qū) 定義為倒格子空間中的維格納-賽茨原胞；按照衍射的勞埃條件，布里淵區(qū)邊界包括了所有

4、能發(fā)生 布拉格(Brag)反射 。17. 根據(jù)布拉格方程，能滿足衍射條件的入射x射線的波長(zhǎng)不得大于 2d ；入射x射線波長(zhǎng)變大將導(dǎo)致衍射角 變大 。18. 晶體結(jié)構(gòu)中由原子或原子集團(tuán)組成的最小重復(fù)單元稱為 基元 ；由晶格（點(diǎn)陣）的三個(gè)平移基矢圍成的平行六面體稱為 晶胞 。 19. 六方密堆結(jié)構(gòu)的原子密排面為 （001） 晶面；垂直于 001 晶向按ABAB重復(fù)方式排列。最大配位數(shù)為12。20. 簡(jiǎn)立方格子的倒格子為 簡(jiǎn)立方 格子， 體心立方格子的倒格子為 面心立方 格子。21. 對(duì)于體積為V,并具有N個(gè)電子的金屬, 其費(fèi)米波矢為 ，費(fèi)米能量為 。22. 超導(dǎo)體最為根本的物理特征是具有 邁斯納（

5、Meisser）效應(yīng) 。 也就是說超導(dǎo)體除了具有完全導(dǎo)電性外，還具有 完全抗磁性 。23. 碳化硅（SiC）是一種常見的半導(dǎo)體材料，當(dāng)產(chǎn)生晶格振動(dòng)時(shí)，會(huì)形成 3 支聲學(xué)支格波和 3 支光學(xué)支格波。24. 晶體中電子的速度與波矢空間中能帶的 一階導(dǎo)數(shù)（斜率） 成正比；有效質(zhì)量與波矢空間中能帶的 二階導(dǎo)數(shù)（曲率） 成反比。25. 晶格振動(dòng)的愛因斯坦模型假定任何振動(dòng)模式都具有 相同 的振動(dòng)頻率，德拜模型則假定振動(dòng)頻率與 波矢 成正比。26. 順磁性物質(zhì)中原子具有磁矩，其磁化率為 正值 ，并遵從 居里 定律。27. 第一類超導(dǎo)體的相干長(zhǎng)度 大于 磁場(chǎng)侵入長(zhǎng)度，因此超導(dǎo)態(tài)和正常態(tài)的界面自由能為 正 值，

6、不能形成渦旋混合態(tài)。28. 對(duì)晶格常數(shù)為a的簡(jiǎn)單立方晶體,與正格矢R=2ai+2aj+3ak正交的倒格子晶面族的面指數(shù)為 (223) , 其面間距為 .29.各向同性磁介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率與磁化率的關(guān)系為，其中磁化率的定義式為 。30. 體心立方元素晶體, 111方向上的結(jié)晶學(xué)周期是 ； 實(shí)際周期為 /2 。31. 面心立方元素晶體中最小的晶列周期是 ； 該晶列在 （111） 晶面內(nèi)。32. 氯化銫結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的是 體心立方 布拉菲格子，其配位數(shù)是 8 。33. 碳化硅SiC晶體產(chǎn)生晶格振動(dòng)時(shí)，總共會(huì)形成 6 支格波； 其中聲學(xué)支和光學(xué)支格波各為 3 支。34. 鈦酸鍶SrTiO3晶體產(chǎn)生晶格振動(dòng)時(shí)，

7、會(huì)形成 15 支格波，其中聲學(xué)支和光學(xué)支格波各為 3和12 支。35. 當(dāng)X射線照射在一個(gè)晶體時(shí)，產(chǎn)生衍射的必要條件是 滿足Brag方程 ，而產(chǎn)生衍射的充要條件是 該衍射的結(jié)構(gòu)因子不為零 。36. X射線的衍射方向主要取決于 晶胞的形狀和大小 , 而衍射強(qiáng)度主要取決于    晶胞內(nèi)的原子種類、數(shù)目和分布   。37 一級(jí)相變 在相變點(diǎn)處有潛熱，體系的自由能不連續(xù)變化； 二級(jí)相變 在相變點(diǎn)處無潛熱，體系的自由能連續(xù)變化，但其一階導(dǎo)數(shù)（比熱）不連續(xù)變化。38.金剛石晶體的結(jié)合類型是典型的 共價(jià)結(jié)合 晶體,每個(gè)原子具有正四面體構(gòu)型的 sp3

8、 原子雜化軌道.39. 當(dāng)電子遭受到某一晶面族的強(qiáng)烈反射時(shí), 電子平行于晶面族的平均速度 不為 零, 電子波矢的末端處在 布里淵區(qū) 邊界上.40. 兩種不同金屬接觸后,  費(fèi)米能級(jí)高的帶 正 電. 對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的是 費(fèi)米面附近 的電子.41. 具有平移對(duì)稱性的晶體結(jié)構(gòu)不可能具有 5重 對(duì)稱軸，并且晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸最高為 6重 對(duì)稱軸。42. 晶體結(jié)構(gòu)按點(diǎn)對(duì)稱操作可劃分為 32個(gè) 點(diǎn)群，結(jié)合平移對(duì)稱操作可進(jìn)一步劃分為 230個(gè) 空間群。 43 等徑圓球的最密堆積方式有六方密堆（hcp）和 面心立方密堆（fcc）兩種方式，兩者的空間占據(jù)率皆為 74% 。44. 面心立方（fcc

9、）結(jié)構(gòu)具有最大原子面密度的為 （111） 晶面；六方密堆（hcp）結(jié)構(gòu)具有最大原子面密度的為 （001） 晶面。45立方晶系具有簡(jiǎn)單立方（bcc）、 體心立方(bcc) 和 面心立方(fcc) 三種布拉維晶格。46. 面心立方（fcc）晶格的倒格子為 體心立方（bcc） 晶格； 面心立方（fcc）晶格的第一布里淵區(qū)為 截角八面體 。 47. 體心立方（bcc）晶格的倒格子為 面心立方（fcc） 晶格； 體心立方（bcc）晶格的第一布里淵區(qū)為 正菱形十二面體 。 48. 布里淵（Brillouin）區(qū) 定義為倒格子空間中的維格納-賽茨原胞；按照衍射的勞埃條件，布里淵區(qū)邊界包括了所有能發(fā)生 布拉格

10、(Brag)反射 的波的波矢。49金剛石晶體具有 面心立方（fcc） 晶格，每個(gè)晶胞包含 8個(gè) 碳原子。50.面心立方金剛石結(jié)構(gòu)每個(gè)碳原子的最鄰近原子配位數(shù)為 4 ；碳原子之間通過 共價(jià)鍵 結(jié)合。51. 巖鹽(NaCl)晶體具有 面心立方（fcc） 晶格，每個(gè)晶胞包含 4個(gè) NaCl基元。 52. 對(duì)于體積為V,并具有N個(gè)電子的金屬, 其費(fèi)米波矢為 ，費(fèi)米能量為 。53. 對(duì)于體積為V,并具有N個(gè)電子的金屬, 其費(fèi)米波矢為 ，費(fèi)米速度為 。54. 超導(dǎo)體最為根本的物理特征是具有 邁斯納（Meisser）效應(yīng) 。 也就是說超導(dǎo)體除了具有完全導(dǎo)電性外，還具有 完全抗磁性 。55. 金剛石結(jié)構(gòu)可看成

11、是由兩套 fcc 晶格沿體對(duì)角線平移 1/4 體對(duì)角線長(zhǎng)度相互穿套而成的復(fù)式格子。56. 金剛石結(jié)構(gòu)的晶胞包含 8 個(gè)原子，其基元由位于（0,0,0）和 (1/4,1/4,1/4) 原子坐標(biāo)的兩個(gè)原子構(gòu)成。57. 氯化鈉結(jié)構(gòu)的晶胞包含 8 個(gè)離子，其基元由位于（0,0,0）的鈉離子和 (1/2,0,0) 的氯離子構(gòu)成。58 一級(jí)相變 在相變點(diǎn)處有潛熱，體系的自由能不連續(xù)變化； 二級(jí)相變 在相變點(diǎn)處無潛熱，體系的自由能連續(xù)變化，但其一階導(dǎo)數(shù)（比熱）不連續(xù)變化。59. 晶格振動(dòng)的愛因斯坦模型假定任何振動(dòng)模式都具有 相同 的振動(dòng)頻率，德拜模型則假定振動(dòng)頻率與 波矢 成正比。60. 晶格振動(dòng)的愛因斯坦

12、模型假定任何振動(dòng)模式都具有 相同 的振動(dòng)頻率，能近似描述 光頻支 的貢獻(xiàn)。61. 晶格振動(dòng)的德拜模型假定振動(dòng)頻率與 波矢 成正比，能較好描述 聲頻支 的貢獻(xiàn)。62. 根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律，固體晶格振動(dòng)熱容在高溫時(shí)趨近 3R ,與溫度無關(guān)；低溫時(shí)偏離增大，與溫度的 三次方 成正比。63. 由于電磁感應(yīng)原理，所有的物質(zhì)都具有 逆磁性 ；其磁化率為很小的 負(fù)值 ，并且與溫度幾乎無關(guān)。64. 鐵磁性物質(zhì)中原子不僅具有磁矩，同時(shí)磁矩之間還具有 交換相互作用 ， 因此在外磁場(chǎng)為零時(shí)，具有 自發(fā)磁化 。65. 根據(jù)費(fèi)米分布函數(shù) ，在一定溫度下,電子在費(fèi)米能級(jí)處的占據(jù)概率為 1/2 。66. 原子磁矩在外磁

13、場(chǎng)作用下的轉(zhuǎn)向表現(xiàn)為 郎之萬 順磁性；導(dǎo)電電子的自旋磁矩在外磁場(chǎng)作用下的轉(zhuǎn)向表現(xiàn)為 泡利 順磁性；67. 一定溫度下，鐵磁性物質(zhì)的特征物理性質(zhì)由 磁滯回線 表征。高于居里溫度時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)轫槾判?，并遵?居里外斯 定律。68. 鐵磁性物質(zhì)高于居里溫度時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)轫槾判?，并遵?居里外斯 定律，居里溫度與 交換相互作用強(qiáng)度 成正比。69. 第二類超導(dǎo)體的相干長(zhǎng)度 小于 磁場(chǎng)侵入長(zhǎng)度，因此超導(dǎo)態(tài)和正常態(tài)的界面自由能為 負(fù) 值，可形成渦旋混合態(tài)。70. 晶體衍射的必要條件是滿足 Brag 方程，但由于系統(tǒng)消光，其中 結(jié)構(gòu)因子為零 的衍射不能被觀察到。二、論述題1. 幾何結(jié)構(gòu)因子是如何表示的，它的物理意義如何？

14、與哪些因素有關(guān)？答：結(jié)構(gòu)因子Fhkl反映一個(gè)晶胞對(duì)于（HKL）布拉格(Brag)衍射的衍射能力大?。?其大小取決于： 1）晶胞內(nèi)原子種類、數(shù)目和分布 2）衍射方向： 2. 根據(jù)結(jié)合力的不同，晶體可分為幾種類型？其各自的結(jié)合力分別是什么？答： 1）離子晶體正負(fù)離子間靜電庫侖力 2）分子晶體范德華力 3）金屬晶體電子云和原子實(shí)之間的靜電庫侖力 4）共價(jià)晶體共價(jià)鍵 5）氫鍵晶體氫鍵作用 3. 描述超導(dǎo)體的基本物理特征和重要物理參數(shù)，并從經(jīng)典電磁理論說明完美導(dǎo)體與超導(dǎo)體的根本區(qū)別。答：超導(dǎo)體具有如下四大基本物理特征1）零電阻完全導(dǎo)體2）Meissner 效應(yīng)完全抗磁性 3）Josephson 效應(yīng)4）

15、磁通量子化 0=(h/2e) 超導(dǎo)體具有如下個(gè)重要物理參數(shù)：臨界溫度TC 、臨界磁場(chǎng)HC、臨界電流密度JC、相干長(zhǎng)度x、侵入長(zhǎng)度l、超導(dǎo)能隙D 完美導(dǎo)體不具備完全抗磁性，而超導(dǎo)體具有完全抗磁性，此為兩者間最根本的區(qū)別。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：，若將超導(dǎo)體僅僅視為電阻率為零的完美導(dǎo)體，內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度必為零，其旋度必為零，則磁場(chǎng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率亦必為零。因此完美導(dǎo)體內(nèi)部的磁場(chǎng)強(qiáng)度保持不變，根據(jù)外加磁場(chǎng)可為零或一定值；而對(duì)于超導(dǎo)體，無論外加磁場(chǎng)有無，在超導(dǎo)態(tài)其內(nèi)部磁場(chǎng)強(qiáng)度始終保持為零，具有完全抗磁性，其磁化率為1。4. 試從熱力學(xué)的角度，說明第一類超導(dǎo)體和第二類超導(dǎo)體的基本區(qū)別。答：超導(dǎo)體單位面積界面

16、自由能為： 上式中x為超導(dǎo)相干長(zhǎng)度，l為磁場(chǎng)侵入長(zhǎng)度。對(duì)于第一類超導(dǎo)體，相干長(zhǎng)度x大于磁場(chǎng)侵入長(zhǎng)度l，界面自由能為大于零的正值， 不利于形成正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)共存的混合態(tài)，磁束量子無法穿透第一類超導(dǎo)體，因此第一類超導(dǎo)體只有一個(gè)臨界磁場(chǎng)，小于臨界磁場(chǎng)為超導(dǎo)態(tài)，大于臨界磁場(chǎng)為正常態(tài)。 對(duì)于第二類超導(dǎo)體，相干長(zhǎng)度x小于磁場(chǎng)侵入長(zhǎng)度l，界面自由能為小于零的負(fù)值，磁束量子可以穿透第二類超導(dǎo)體，有利于形成正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)共存的混合態(tài)，因此第一類超導(dǎo)體具有上下兩個(gè)臨界磁場(chǎng)，小于下臨界磁場(chǎng)為超導(dǎo)態(tài)，大于上臨界磁場(chǎng)為正常態(tài)，在上下兩個(gè)臨界磁場(chǎng)之間為正常態(tài)和超導(dǎo)態(tài)共存的混合態(tài)。 第一類超導(dǎo)體的臨界磁場(chǎng)一般較小，實(shí)際應(yīng)用

17、受限。第二類超導(dǎo)體的上臨界磁場(chǎng)可以延伸至很大值，通過提高磁束量子的釘扎效應(yīng)就會(huì)具有很大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。5.在下圖中，試求： 1）晶列ED，F(xiàn)D和OF的晶列指數(shù)； 2）晶面AGE和FGIH的密勒指數(shù)。答：1）ED- FD- OF- 2） AGE- FGIH- （6.請(qǐng)寫出圖(e)中的晶面ABC的密勒指數(shù)，B、C均為立方體的面心。 圖e中 晶面ABC密勒指數(shù)7. 在固體物理中為什么要引入“倒格子空間”的概念？答：波的最主要的指標(biāo)是波矢K，波矢K的方向就是波傳播的方向，波矢的模值與波長(zhǎng)成反比，波矢的量綱是1/m。討論晶體與波的相互作用是固體物理的基本問題之一。一般情況下晶體的周期性、對(duì)稱性等均在正空

18、間描述，即在m的量綱中描述。為了便于討論晶體與波的相互作用，必須把二者放到同一個(gè)空間，同一坐標(biāo)系中來。我們的選擇是把晶體變換到量綱是1/m的空間即倒空間來，即把正空間晶體 “映射”到倒空間，所以需引入倒空間。引入“倒空間”的概念后，可以將晶面族特征用一個(gè)矢量綜合體現(xiàn)出來，矢量的方向代表晶面的法向，矢量的模值比例于晶面的面間距。用數(shù)學(xué)方法將晶體結(jié)構(gòu)中不同位向的晶面族轉(zhuǎn)化成了倒格子空間的倒格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)都表示了晶體中一族晶面的特征。8. 波矢空間與倒格空間有何關(guān)系? 為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)是準(zhǔn)連續(xù)的?答：波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間, 倒格空間的基矢分別為 , 而波矢空間的基矢分別為 , N

19、1、N2、N3分別是沿正格子基矢 方向晶體的原胞數(shù)目. 倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為 波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為 即波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積, 是倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積的1/N. 由于N是晶體的原胞數(shù)目, 數(shù)目巨大, 所以一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積與一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積相比是極其微小的. 也就是說, 波矢點(diǎn)在倒格空間看是極其稠密的. 因此, 在波矢空間內(nèi)作求和處理時(shí), 可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的. 9. 簡(jiǎn)述晶向指數(shù)和晶面指數(shù)的定義及確定步驟。答：晶向指數(shù)表示晶格中某平移矢量的方向，一般記為uvw, 其中uvw為某平移矢量在三個(gè)晶軸上投影分量的最小整數(shù)比。確定步驟如

20、下： 1）建立坐標(biāo)系：以任一格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)陣基本平移矢量為坐標(biāo)軸和坐標(biāo)軸上的單位矢量；2）通過坐標(biāo)原點(diǎn)引一直線，使其平行于待標(biāo)志的晶向；3）選取該直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；4）將三個(gè)坐標(biāo)值按比例化為最小整數(shù)，即為所求的晶向指數(shù)uvw。 在結(jié)晶學(xué)中一般用(hkl)來表示一組相互平行且等間距的晶面，hkl為該晶面在三個(gè)晶軸上截距倒數(shù)的最小整數(shù)比，(hkl)稱為晶面指數(shù)或米勒指數(shù)。確定步驟如下： 1）建立坐標(biāo)系：以任一格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)陣基本平移矢量為坐標(biāo)軸和坐標(biāo)軸上的單位矢量； 2）求出待標(biāo)志晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，截距大小分別以三個(gè)基矢長(zhǎng)度為單位； 3）取三個(gè)截距值的倒數(shù)，將其按比例化為互質(zhì)

21、的最小整數(shù)比。10. 簡(jiǎn)述倒易點(diǎn)陣的定義以及特點(diǎn)。答：倒易點(diǎn)陣是一種由晶體點(diǎn)陣按一定規(guī)則變換過來的虛點(diǎn)陣，對(duì)于解釋X射線和電子衍射極為有用。其定義如下： 若為某晶體點(diǎn)陣的基本平移矢量，則與之對(duì)應(yīng)的倒易點(diǎn)陣基本平移矢量為： 倒易點(diǎn)陣具有如下特點(diǎn)：1） ； 2）正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣一一對(duì)應(yīng)，且互為倒易；正點(diǎn)陣的晶胞體積和倒易點(diǎn)陣的晶胞體積互為倒數(shù) 3）倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)點(diǎn)代表了正點(diǎn)陣中的一個(gè)同指數(shù)晶面，此晶面的法線就是該倒易點(diǎn)矢量，該倒易點(diǎn)矢量的模等于對(duì)應(yīng)晶面間距dhkl的倒數(shù)。 11. 聲子有哪些性質(zhì)？答： 聲子的性質(zhì)有： 聲子是量子諧振子的能量量子；3NS格波與3NS個(gè)量子諧振振子一一對(duì)應(yīng)；聲子為玻

22、色子；平衡態(tài)時(shí)聲子是非定域的；聲子是準(zhǔn)粒子，遵循能量守恒 定律和準(zhǔn)動(dòng)量選擇定則；非熱平衡態(tài)，聲子擴(kuò)散伴隨著熱量傳導(dǎo)；平均聲子數(shù)。三、證明題和計(jì)算題1. 某物質(zhì)具有具有簡(jiǎn)單立方晶格，其晶格常數(shù)a=3.000Å, 試確定該物質(zhì)的粉末X射線衍射圖中最初三條衍射線的Bragg角（2q）和相應(yīng)的晶面間距和衍射指數(shù)。（已知入射X射線波長(zhǎng)lKa=1.540 Å）解： 根據(jù)Bragg方程： 若q取最低值，則dHKL應(yīng)為最大值根據(jù)立方晶系的晶面間距公式： 若dHKL取最大值，則H2+K2+L2應(yīng)為最小值，因此最初三條衍射線的Bragg角（2q）、相應(yīng)的晶面間距和衍射指數(shù)分別為：1) (100

23、) d100=3Å 2q=29.7° 2) (110) d110=2.12Å 2q=42.6° 3) (111) d111=1.73Å 2q=52.9° 2.已知-Fe屬立方晶系，點(diǎn)陣參數(shù)a=2.866Å。如用CrKX射線（=2.291Å）照射，試求（110）及（211）晶面可發(fā)生衍射的掠射角q。解：根據(jù)立方晶系的晶面間距公式： 又根據(jù)Bragg方程： 3銅靶發(fā)射=0.154nm的X射線入射鋁單晶（面心立方結(jié)構(gòu)），如鋁（111）面一級(jí)布拉格反射角=19.2º，試據(jù)此計(jì)算鋁（111）面族的面間距d與鋁的晶格

24、常數(shù)a。解： 由布拉格定律：2dsin=n，可知：，有題目可知：n=1，=0.154nm，=19.2º所以：鋁（111）面族的面間距d=0.234nm，鋁（111）面的方向?yàn)槊嫘牧⒎浇Y(jié)構(gòu)的體對(duì)角線方向，則：， 4. 說明原子散射因子f和結(jié)構(gòu)因子FHKL的物理意義。并據(jù)此推導(dǎo)體心立方晶格的系統(tǒng)消光規(guī)律。答： 原子散射因子f表示一個(gè)原子對(duì)于X射線散射能力的大小，定義為某散射方向上一個(gè)原子的散射波振幅與一個(gè)電子散射波振幅的比值。 原子散射因子f是sinq/l的函數(shù)，隨散射角q增加和波長(zhǎng)變短而減少；在sinq/l=0處，原子散射因子f等于其原子序數(shù)Z, 在其他方向上總是小于原子序數(shù)Z。 結(jié)構(gòu)

25、因子FHKL表示一個(gè)晶胞對(duì)于X射線散射能力的大小，定義為某散射方向上一個(gè)晶胞的散射波振幅與一個(gè)電子散射波振幅的比值。 衍射強(qiáng)度正比于結(jié)構(gòu)因子FHKL的平方，表征了晶胞內(nèi)原子種類、原子數(shù)量、原子位置對(duì)于(HKL)晶面衍射強(qiáng)度的影響。體心立方晶格包含二個(gè)同類原子，其原子坐標(biāo)分別為（0,0,0）和（1/2，1/2，1/2），代入上式可得： 可見當(dāng)H+K+L為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)HKL=2f;當(dāng)H+K+L為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)HKL=0;因此對(duì)于體心立方晶格只出現(xiàn)H+K+L為偶數(shù)的衍射，H+K+L為奇數(shù)的衍射系統(tǒng)消光。 5. 推導(dǎo)面心立方晶格的系統(tǒng)消光規(guī)律。面心立方晶格包含四個(gè)同類原子，其原子坐標(biāo)分別為（0,0,0）和（

26、1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），代入上式可得：當(dāng)H, K, L同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)， FHKL=4f當(dāng)H, K, L奇偶混雜時(shí)，F(xiàn)HKL=0即面心立方晶格只出現(xiàn)同為奇數(shù)或同為偶數(shù)晶面的衍射。 6. 利用德拜（Debye）模型推導(dǎo)一維簡(jiǎn)單晶格的比熱。一維單式晶格的q點(diǎn)密度為， dw區(qū)間格波數(shù)為： g(w)dw2 所以一維單式晶格的格波密度函數(shù)：g(w) 由德拜模型可知，只有w的格波才能被激發(fā)，已激發(fā)的格波數(shù)為； A 在極低溫度下，一維單式格子主要是長(zhǎng)聲波激發(fā)，對(duì)滿足<<1的格波能量為KBT。 此時(shí)晶格的內(nèi)能為：則晶格熱容為： 7.證明正交晶系(h

27、kl)晶面族的晶面間距。8.證明立方晶系(hkl)晶面族的晶面間距證：對(duì)于正交晶系，晶胞基矢 相互垂直，但晶格常數(shù).設(shè)沿晶軸的單位矢量分別為 ，則正格子基矢為： 倒格子基矢為： 與晶面族正交的倒格矢為： 由晶面間距與倒格矢的關(guān)系式： 得： 8. 試推導(dǎo)自旋量子數(shù)S=1/2原子體系順磁性的居里定律。證： S=1/2 則ms=+1/2, -1/2, g=2 則原子磁矩為： 原子磁矩在磁場(chǎng)方向的分量為： 磁場(chǎng)中的原子能級(jí)為： 設(shè)單位體積中原子個(gè)數(shù)為N, N1為低能級(jí)上的原子數(shù)，N2為高能級(jí)上的原子數(shù)，則在上述兩個(gè)能級(jí)上的原子占據(jù)比例分別為： 令 ； 單位體積總磁化強(qiáng)度M為： 若 ，則 9.試從布拉格(Brag)方程出發(fā)，導(dǎo)出勞埃（Laue）方程。10. 試從勞埃（Laue）出發(fā)，導(dǎo)出布拉格(Brag)方程。 證： 11.計(jì)算三價(jià)Fe3+離子（3d5）的總自旋量子數(shù)S、總軌道量子數(shù)L、總角動(dòng)量量子數(shù)J、g因子以及離子有效磁矩Peff。解：Fe3+-3d5組態(tài)：根據(jù)洪德（Hund）規(guī)則，基態(tài)電子排布為：m+2+10-1-2因此：總自旋量子數(shù) S=5/2 總軌道量子數(shù) L=0 總角