天津大學(xué)幾何光學(xué)

1、5 光在單球面上的近軸成像光在單球面上的近軸成像一一. 基本概念和符號規(guī)則基本概念和符號規(guī)則 光軸：光軸：若光學(xué)系統(tǒng)由球面組成，各球心的連線在若光學(xué)系統(tǒng)由球面組成，各球心的連線在一條直線上，則稱為共軸球面系統(tǒng)，這條直線為該光一條直線上，則稱為共軸球面系統(tǒng)，這條直線為該光學(xué)系統(tǒng)的學(xué)系統(tǒng)的光軸光軸(主軸主軸)。球面與光軸的交點(diǎn)稱。球面與光軸的交點(diǎn)稱頂點(diǎn)頂點(diǎn)。nnrdhQODCQs-sM光軸頂點(diǎn) （1）線段：光軸方向上，以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，沿光線）線段：光軸方向上，以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，沿光線進(jìn)行方向?yàn)檎?，反之為?fù)；垂直方向上，光軸上方為進(jìn)行方向?yàn)檎?，反之為?fù)；垂直方向上，光軸上方為正，反之為負(fù)。正，反之為負(fù)。

2、（2）球面的曲率半徑：球心在球面頂點(diǎn)的右方為）球面的曲率半徑：球心在球面頂點(diǎn)的右方為正，反之為負(fù)。正，反之為負(fù)。( (自左向右為正方向）自左向右為正方向）符號規(guī)則：符號規(guī)則： （3）物距：物距：自參考點(diǎn)（球面頂點(diǎn)、薄透鏡的光心）自參考點(diǎn)（球面頂點(diǎn)、薄透鏡的光心）到物點(diǎn)，沿光線方向?yàn)檎?，反之為?fù)。到物點(diǎn)，沿光線方向?yàn)檎?，反之為?fù)。 （4）像距：像距：自參考點(diǎn)（球面頂點(diǎn)、薄透鏡的光心）自參考點(diǎn)（球面頂點(diǎn)、薄透鏡的光心）到像點(diǎn)，沿光線方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。到像點(diǎn)，沿光線方向?yàn)檎?，反之為?fù)。 （5）物高和像高：物高和像高：物高和像高垂直于光軸，向上物高和像高垂直于光軸，向上為正，反之為負(fù)。為正，反之為負(fù)

3、。 （6）角度：角度：以光軸或界面法線為始邊，旋轉(zhuǎn)到該以光軸或界面法線為始邊，旋轉(zhuǎn)到該光線光線(銳角銳角), 旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針, 角度為正角度為正; 反之為負(fù)。反之為負(fù)。此外，還規(guī)定在圖上此外，還規(guī)定在圖上只標(biāo)記角度和線段的絕對值只標(biāo)記角度和線段的絕對值，若某一字母表示負(fù)的數(shù)值，則在其前面標(biāo)以負(fù)號。若某一字母表示負(fù)的數(shù)值，則在其前面標(biāo)以負(fù)號。nnrdhQODCQs-sM二二. 球面反射對單心性的破壞球面反射對單心性的破壞yQ P ACOP -s -r -s-u i-i-ull從主軸上P點(diǎn)發(fā)出單心光束，其中一條光線在球面上 A點(diǎn)反射, 反射光與主軸交于P點(diǎn)。即P為P的像。球心C.

4、()()()()()()()()cos2cos22222rsrrsrlsrrsrrl-+-=-+-+-=在PAC和PAC中由余弦定理有：不適用符號規(guī)則！對,ll P ACOP -s -r -s-u i-i-ull對給定的物點(diǎn)，不同的入射點(diǎn)，對應(yīng)著不同的入射線和反射線，對應(yīng)著不同的 。()()()()()()()()cos2cos22222rsrrsrnsrrsrrnnlnlPAP-+-+-+-+-=+=D光程： 對一定的球面和發(fā)光點(diǎn)P（s一定）, 不同的入射點(diǎn)對應(yīng)有不同的s。即：同一個(gè)物點(diǎn)所發(fā)出的不同光線同一個(gè)物點(diǎn)所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面反射后不再交于一點(diǎn)。經(jīng)球面反射后不再交于一點(diǎn)。 由由P點(diǎn)所

5、發(fā)出的單心光束經(jīng)球面反射后，點(diǎn)所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面反射后，單心性被單心性被破壞。破壞。()()+=+=-=-+-=DD=DlslsrlllrslsrrsrlnsrrlnddddPAPPAPPAP111:0:0sin2sin2).(,0:即化簡有由此處是恒定值取得極值時(shí)當(dāng)由費(fèi)馬原理可知：三三. 近軸光線下球面反射的物像公式近軸光線下球面反射的物像公式1.近軸光線條件近軸光線條件()()()()()()()()()()()()2222222 2 111:,cos1112:lrrsrrsrrsslrsrrsrrsrssslrlllsrs-+-+-=-+-= -+-=-= -+=+=當(dāng)很 小 時(shí)由得

6、即：對一定的反射球面，s和 s一一對應(yīng)，而與入射點(diǎn)無關(guān)。近軸條件下球面反射的物像公式近軸條件下球面反射的物像公式 在近軸條件下，由P點(diǎn)所發(fā)出的單心光束，經(jīng)球面反射后將交于一點(diǎn)P，光束的單心性得以保持。一個(gè)物點(diǎn)將有一個(gè)確定像點(diǎn)與之對應(yīng)。 光學(xué)上稱： 很小的區(qū)域?yàn)榻S（或傍軸）近軸（或傍軸）區(qū)域，此區(qū)域內(nèi)的光線稱為近軸光線。近軸光線。 近軸條件下球面反射不破壞光束的單心性。2.物像公式的其它形式物像公式的其它形式 ACOP -s -r -sFf-有當(dāng)s -2sr =2r ACOP -s -r -sFf-有當(dāng)s -2sr=2r焦距：焦距：焦點(diǎn)到球面頂點(diǎn)的距離 （ ）。2rff=近軸條件下球面反射的物

7、像公式近軸條件下球面反射的物像公式 高斯公式高斯公式焦點(diǎn)：焦點(diǎn)：沿主軸方向的平行光束經(jīng)球面反射后將會聚于主軸上一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為反射球面的像方焦點(diǎn)(F)。反之，若從主軸上一點(diǎn)發(fā)射的光束經(jīng)球面反射后成為平行光束，則該點(diǎn)稱為反射球面的物方焦點(diǎn)(F)。rss211=+fss=+111由有 P ACOP -s -r -s-u i-i-ull P ACOP -s -r -s - x -x - f F如圖，有xfs-=-xfs-=-fss=+111代入高斯公式：考慮到：2rff=化簡，得f fxx=近軸條件下球面反射的物像公式近軸條件下球面反射的物像公式 牛頓公式牛頓公式說明： 1、物像公式、高斯公式、牛頓公

8、式是球面反射成像的基本公式，只在近軸條件下成立；2、式中各量必須嚴(yán)格遵從符號法則；3、對凸球面反射同樣適用。四四. 球面折射對光束單心性的破壞球面折射對光束單心性的破壞()()()()cos2cos2:,2222rsrrsrlsrrsrrlACPPAC-+-+=-+=DD由余弦定理有中和在 Pn -u-i1 A -i2n uCP O r -s sll設(shè)nn從主軸上P點(diǎn)發(fā)出單心光束，其中一條光線在球面上A點(diǎn)折射，折射光與主軸交于P點(diǎn)。即P為P的像。符號規(guī)則！不適用對,ll()()()() 22222cos2cosPAPnlnln rrsr rsnrsrr srD=+=+-+-+-光程：對給定的物

9、點(diǎn)，不同的入射點(diǎn)，對應(yīng)著不同的入射線和折射線，對應(yīng)著不同的 。 Pn -u-i1 A -i2n uCP O r -s sll()()():0,.2sin2sin 0()():0PAPPAPPAPdddnnr rsr srdlln rsn srllD=DD=-+-=-=由費(fèi)馬原理可知 當(dāng)時(shí)取得極值 此處是極小值由化簡有 對一定的球面( r一定)和發(fā)光點(diǎn) P ( s一定)，不同的入射點(diǎn)對應(yīng)有不同的s。即：同一個(gè)物點(diǎn)所發(fā)出同一個(gè)物點(diǎn)所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面折射后不再交于一點(diǎn)。的不同光線經(jīng)球面折射后不再交于一點(diǎn)。 由由P點(diǎn)所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面折射后，點(diǎn)所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面折射后，單心性單心性被破壞。

10、被破壞。1:nnn snsllrll+=+即五五. .近軸光線下球面折射的物像公式近軸光線下球面折射的物像公式1.1.近軸光線條件及物像公式近軸光線條件及物像公式當(dāng)cos1很小時(shí)()()()()()()222222 221:lrrsr rsrrsslrsrr srrsrsnnnsnsnnnnllrllssr+-=-=-+-+-=+-=-+=+-=由得2.討論及物像公式的其它形式討論及物像公式的其它形式當(dāng)介質(zhì)和球面一定（n,n,r 一定）時(shí)，s與s一一對應(yīng)，即：在近軸光線條件下，光束的單心性得到保持。近軸條件下球面折射的物像公式近軸條件下球面折射的物像公式 當(dāng)介質(zhì)和球面一定（即n,n,r 一定）

11、時(shí)，constrnn=-稱光焦度光焦度：表征球面的光學(xué)性質(zhì). 單位：屈光度屈光度(D)nnr- =計(jì)算時(shí)r 取米為單位焦點(diǎn)、焦距(A) 像方焦點(diǎn) F、像方焦距fF f nn O -sss -當(dāng):nfsrnn=-得（常數(shù)）(B) 物方焦點(diǎn)F、物方焦距fnn O -ssF -f(C)nnff-= ffnn當(dāng)s +時(shí) “”號表示物、像方焦點(diǎn)一定位于球面兩側(cè)。ff與永遠(yuǎn)異號，即: nfsrnn= -得物方焦距nnnnssr-=遍除右邊，得：1nrnrsnns nn-=-nfsrnn=-像方焦距：物方焦距：nfsrnn= -1ffss+=由上面近軸條件下近軸條件下單球面折射物像公式單球面折射物像公式：得

12、到：近軸條件下單球面折射近軸條件下單球面折射物像公式物像公式高斯公式高斯公式nPs PnC O rx-f-xf FF -s 如圖，有xfs-=-xfs+=1=+sfsf代入高斯公式：化簡，得f fxx=近軸條件下單球面折射的近軸條件下單球面折射的物像公式物像公式牛頓公式牛頓公式 不論凹、凸球面折射，物像公式、高斯公式、牛頓公式均適用，僅須注意符號規(guī)則。三個(gè)公式等價(jià)。得：1=+xffxffnnnnssr-=單球面折射單球面折射物像公式物像公式1ffss+=單球面折射單球面折射高斯公式高斯公式f fxx=單球面折射單球面折射牛頓公式牛頓公式球面反射球面反射物像公式物像公式球面反射球面反射高斯公式高

13、斯公式rss211=+fss=+111f fxx=球面反射球面反射牛頓公式牛頓公式近軸條件下球面折射與反射物像公式的關(guān)系近軸條件下球面折射與反射物像公式的關(guān)系球面反射時(shí)，物、像空間重合，反射光線與入射光線傳播方向相反。數(shù)學(xué)處理上可認(rèn)為：像方介質(zhì)的折射率就等于物方介質(zhì)折射率的負(fù)值，即 。這樣，就可由折射物像公式直接得到反射物像公式。高斯公式轉(zhuǎn)換還須利用折射焦距公式 得到。nn-=nnff-=例例1 111111:5,2,1,1.6scm rcmnnnnnnssr= -=-=已知由折射成像公式一個(gè)折射率為1.6的玻璃啞鈴，長20cm，兩端的曲率半徑為 2cm。若在離啞鈴左端5cm處的軸上有一物點(diǎn),

14、試求像的位置和性質(zhì)。 O2s1nn -s1n O1 -s2-s2 P1 P2 P解：解：兩次折射成像問題1、P為物對球面O1折射成像P12、P1為物對球面O2折射成像P2()22222:20 164,2,1.6,1:10scm rcm nnnscmnnnrs= -= -= -=-+已知同理有代入數(shù)據(jù)111:16nscmnnnrs=-+得代入數(shù)據(jù)P1為實(shí)像P2為虛像6 薄透鏡薄透鏡一一. 透鏡透鏡1、定義、定義：用玻璃或其它透明介質(zhì)研磨拋光為兩個(gè)球面或一個(gè)球面一個(gè)平面所形成的薄片。通常為圓形。2、分類、分類： 凸透鏡凸透鏡：中間部分比邊緣厚的透鏡。2c1o2o1c2r-1r-彎凸1o2o2c1r

15、2r-平凸2c2o1c1o2r-1r雙凸 連接兩球面（平面可視為曲率半徑無限大）曲率中心的直線，稱為透鏡的主光軸主光軸。兩球面頂點(diǎn)間的距離稱為透鏡的厚度厚度。若透鏡的厚度遠(yuǎn)小于透鏡表面的曲率半徑，則稱該透鏡為薄透鏡薄透鏡。 凹透鏡凹透鏡：中間部分比邊緣薄的透鏡。1c2c1o2o1r-2r1o2o1c1r-2r1c2c1o2o1r-2r-雙凹平凹彎凹二二. 近軸條件下薄透鏡的物像公式近軸條件下薄透鏡的物像公式1、物像公式、物像公式 在近軸光線條件下，對透鏡兩面的折射過程分別應(yīng)用球面折射成像公式（逐個(gè)球面成像法）：2c2o1c1o2n1nnPPs-st2r-1rAA P s111 rnnsnsn-

16、=- 第一個(gè)球面： 第二個(gè)球面：22 2rnntsnsn-=-nnnnssr-=利用單球面折射 物像公式：221112rnnrnnsnsn-+-=-對薄透鏡 : ,0stt即略去 后，兩式相加得：t近軸條件下近軸條件下薄透鏡物像公式薄透鏡物像公式2、其它物像公式、其它物像公式2112121s1212limnnnnnnssrrnfsnnnnrr-=+= -+由:物像公式得:物方焦距 s1ffss+=物像公式變?yōu)椋?11ssf-=公 式 變 為：2s1212limnfsnnnnrr=-+像方焦距sff = -當(dāng)透鏡兩邊介質(zhì)相同 時(shí)：)(21nn =兩式稱為：近軸條件下薄透鏡成像的高斯公式近軸條件下

17、薄透鏡成像的高斯公式O PPf-FFf xsx-s-如圖，有xfs-=-xfs+=1=+sfsf代入高斯公式：化簡，得f fxx=近軸條件下薄透鏡近軸條件下薄透鏡成像的牛頓公式成像的牛頓公式得：1=+xffxff 不論薄凸、凹透鏡成像，物像公式、高斯公式、牛頓公式均適用，僅須注意符號規(guī)則。三個(gè)公式等價(jià)。nnnnssr-=1ffss+=f fxx=近軸條件下球面反射近軸條件下球面反射單球面折射單球面折射薄透鏡物像公式薄透鏡物像公式nnff-=rss211=+fss=+111f fxx=221112rnnrnnsnsn-+-=-1ffss+=f fxx=2rff=當(dāng)兩側(cè)介質(zhì)相同時(shí)，21nn =ff-=nn-=薄透鏡簡化模型薄透鏡簡化模型凸透鏡凹透鏡oFFf-f1111ssff-=-利用公式理解焦點(diǎn)記法：=凹0凸0凹0凸0sfssfsoFFff-F