高考一輪復(fù)習(xí)必備—圓錐曲線講義

1、直線與圓錐曲線復(fù)習(xí)提問(wèn)一、直線及圓錐曲線C的位置關(guān)系的判斷判斷直線及圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線的方程（A，B不同時(shí)為0）代入圓錐曲線C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，即聯(lián)立消去y后得（1）當(dāng)時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則及C相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線及雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行。（2）當(dāng)時(shí)，直線及曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；，直線及曲線C相切，即有唯一公共點(diǎn)（切點(diǎn)）；，直線及曲線C相離。二、圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式相交弦AB的弦長(zhǎng)三、中點(diǎn)弦所在直線的斜率（1）若橢圓方程為時(shí)，以為中點(diǎn)的弦所在直線

2、斜率，即；若橢圓方程為時(shí)，相應(yīng)結(jié)論為，即；（2）是雙曲線內(nèi)部一點(diǎn)，以P為中點(diǎn)的弦所在直線斜率，即； 若雙曲線方程為時(shí)，相應(yīng)結(jié)論為，即；（3）是拋物線內(nèi)部一點(diǎn)，以P為中點(diǎn)的弦所在直線斜率； 若方程為時(shí)，相應(yīng)結(jié)論為。題型及方法一、直線及圓錐曲線的位置關(guān)系（1）直線及圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判斷：通法為直線代入曲線判斷；另一方法就是數(shù)形結(jié)合，如直線及雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過(guò)判定直線的斜率及雙曲線漸近線的斜率大小得到。（2）直線及圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線及雙曲線的一條漸近線平行，或直線及拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行，或直線及圓錐曲線相切。例1.已知兩點(diǎn)，給出下列曲線方程：在曲線上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足的

3、所有曲線方程是 （填序號(hào)）。練1:對(duì)于拋物線C：，我們稱(chēng)滿(mǎn)足的點(diǎn)M（）在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)M（）在拋物線的內(nèi)部，則直線：及拋物線C的位置關(guān)系是。練2：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線及x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線及拋物線有共點(diǎn)點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是例2.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過(guò)y軸正方向上一點(diǎn)C（0，c）（c>0）任作一條直線，及拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，一條垂直于x軸的直線分別及線段AB和直線：y=-c交于P，Q兩點(diǎn)。（1）若，求c的值；（2）若p為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切線。練1：（12安徽理）如圖所示，分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)，過(guò)作直線x軸的垂線交橢圓C的上半部分于

4、點(diǎn)P，過(guò)作直線的垂線交直線于點(diǎn)Q，求證：直線PQ及橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)。練2：（14湖北理）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F（1,0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C，（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P（-2，1）分別求直線l及軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍。二、中點(diǎn)弦問(wèn)題例1：已知過(guò)點(diǎn)M（，）的直線l及橢圓交于A，B 兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程。練1：（14江西理）過(guò)點(diǎn)M（1,1）作斜率為的直線及橢圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于。練2：已知橢圓方程。（1）求斜率為2的平行弦

5、的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（2,1）的直線l及橢圓相交，求被l截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。例2：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A 兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k，求證：對(duì)任意k>0,都有PAPB。練1：已知曲線C：，過(guò)原點(diǎn)斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對(duì)任意帶你k>0,都有PQPH？若存在，求m的值，不存在，說(shuō)明理由。例3已知橢圓C：，試確定m的范圍，使得對(duì)于直線l：y=

6、4x+m，橢圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)。練1：如圖所示，已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,3），對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)，在x軸上，離心率，（1）求橢圓E的方程；（2）求的角平分線所在直線l的方程；（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出，不存在，說(shuō)明理由。練2：已知A，B，C是橢圓W：上的三點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形面積；（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，說(shuō)明理由。3.已知橢圓C：的離心率為，右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)A在圓F：上。（1）求橢圓C和圓F的方程。（2）已知過(guò)點(diǎn)A的直線l及橢圓C交于另一點(diǎn)

7、B，及圓F交于另一點(diǎn)P，請(qǐng)判斷是否存在斜率不為0的直線l，使點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由。二、弦長(zhǎng)及面積問(wèn)題。在弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題中，一般有三類(lèi)問(wèn)題：（1）弦長(zhǎng)公式（2）及焦點(diǎn)相關(guān)的弦長(zhǎng)計(jì)算，利用定義（3）涉及面積的計(jì)算問(wèn)題例1.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則P為多少？練1：已知橢圓C：，過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線及橢圓C交于A，B，求弦長(zhǎng)。練2：已知圓M：，若橢圓C：的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為。（1）求橢圓C的方程；(2)已知直線：，若直線及橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，及圓M分別交于G，H兩點(diǎn)（其

8、中點(diǎn)G在線段AB上），且，求k的值。例2：已知橢圓C：，過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓的切線交橢圓G于A，B兩點(diǎn)。（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率。（2）將表示為m的函數(shù)，并求 的最大值。練1已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其離心率為（1）求橢圓C的方程。（2）設(shè)直線：y=kx+m及橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平形四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍。2.已知橢圓C：的右頂點(diǎn)A（2,0）離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）（1）求橢圓C的方程。（2）已知P是（異于點(diǎn)A）為橢圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作線段AP垂線交橢圓C于點(diǎn)E，D。如圖所示，求的取值范圍。例3：已知是橢圓的左右焦點(diǎn)

9、，AB是過(guò)點(diǎn)的一條動(dòng)弦，求AB的面積最大值。練1：（14新課標(biāo)理）已知點(diǎn)A（0，-2），橢圓E：的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線及E相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程。例：已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)。（）若，求直線的斜率；（）設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求四邊形面積的最小值。練：（北京）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（,），為橢圓上頂點(diǎn)，且。（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）已知直線：及橢圓交于，兩點(diǎn)，直線：（）及橢圓交于，兩點(diǎn)，且，如圖所示，（）求證：（）求四邊形的面積的最大值。2

10、.(14年湖南理21)如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，已知，且。（1）求，的方程 （2）過(guò)作的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM及交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值。3.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A,B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且。過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M。（1）求證：為定值；（2）設(shè)ABM的面積為S，寫(xiě)出的表達(dá)式，并求S的最小值。三、平面向量在解析幾何的應(yīng)用常見(jiàn)的兩個(gè)應(yīng)用（1）用向量的數(shù)量積解決有關(guān)角的問(wèn)題，其步驟是:先寫(xiě)出向量坐標(biāo)式，再用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，當(dāng)不共線時(shí)，有為：直角；鈍角；銳角

11、（2）利用向量的坐標(biāo)表示解決共線問(wèn)題.向量共線的充要條件是或1.夾角問(wèn)題直線及拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則：（1）直線在y軸上的截距等于2P時(shí)，（2）直線在y軸上的截距大于2P時(shí)，（1）直線在y軸上的截距大于0且小于2P時(shí)，。例1：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：ABO為鈍角三角形。練1：設(shè)A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，P為直線上不同于點(diǎn)（4,0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別及橢圓相交于A，B的點(diǎn)M，N.求證：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。練2：已知m>1,直線：，橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為。（1）當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)直線及橢圓C交于A，B兩

12、點(diǎn)，A和B的重心分別為G，H，若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2.向量共線問(wèn)題。例1：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，）且斜率為k的直線及橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)P，Q。（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)橢圓及x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B是否存在常數(shù)k，使得向量及共線？如存在，求k值，不存在說(shuō)明理由。練1：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，直線：，如圖所示，M，N是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（1）若，求的值；（2）求證：當(dāng)取最小值時(shí)，及共線。例2：設(shè)A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，并且點(diǎn)N（-2,0）滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，求直線AB斜率的取值范圍。練1：已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的

13、長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于，垂足為D，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M。（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程。（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P和Q，設(shè)。若，求的取值范圍。2.過(guò)點(diǎn)F（1,0）的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交直線：x=-1于點(diǎn)M，已知，求的值。四、定點(diǎn)問(wèn)題1.求定點(diǎn)問(wèn)題的方法及步驟一般地，解決動(dòng)曲線（包括動(dòng)直線）過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，其解題步驟可歸納為：一選，二求，三定點(diǎn)。2.兩點(diǎn)說(shuō)明（1）對(duì)于曲線過(guò)定點(diǎn)，要求曲線方程關(guān)于參變量進(jìn)行整理，即為參數(shù)，若方程有兩個(gè)參數(shù)，需在題中尋找它們之間的關(guān)系，消去其中一個(gè)。若有解，則曲線過(guò)定點(diǎn)，否則不過(guò)定點(diǎn)。(2)對(duì)于直線過(guò)定點(diǎn)，我們有以下重要結(jié)論：若直線：，為常數(shù)，則直

14、線必過(guò)定點(diǎn)（0，m）若直線：，n為常數(shù)，則直線必過(guò)定點(diǎn)（-n，0）若直線：，n，b為常數(shù)，則直線必過(guò)定點(diǎn)（-n，b）若直線：，為常數(shù)，則直線必過(guò)定點(diǎn)（m，0）若直線：，n為常數(shù)，則直線必過(guò)定點(diǎn)（0，-n）若直線：，n，b為常數(shù)，則直線必過(guò)定點(diǎn)（b，-n）。題型（一）三大圓錐曲線中的頂點(diǎn)直角三角形斜邊所在的直線過(guò)定點(diǎn)。例1：已知橢圓，直線：及橢圓交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。練1：已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，不過(guò)點(diǎn)A的直線：及橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q。當(dāng)時(shí)，求k及b的關(guān)系，并證明直線過(guò)定點(diǎn)。2.（12北京高三期末理）已知焦點(diǎn)在

15、x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)（0,1），且離心率為，Q為橢圓C的左頂點(diǎn)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）已知過(guò)點(diǎn)（）的直線及橢圓C交于A，B兩點(diǎn)。（）若直線垂直于x軸，求AQB的大?。ǎ┤糁本€及x軸不垂直，是否存在直線使得QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；不存在說(shuō)明理由。3.已知橢圓M：的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為（1）求橢圓M的方程（2）設(shè)直線及橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)C，求ABC的面積。例2:已知拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A，B滿(mǎn)足以AB為直徑的圓過(guò)頂點(diǎn)，求證：AB所在過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。練1：如圖，已知定點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P

16、作兩直線，分別交拋物線于A，B,且以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)。2.已知拋物線方程過(guò)點(diǎn)M（1,2）作兩直線，分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且，的斜率，滿(mǎn)足=2.求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)。題型（二）三大圓錐曲線中，若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB，則焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸上存在唯一定點(diǎn)N，使得為定值。例1：（12北京海淀模擬）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F（1,0）且點(diǎn)在橢圓C上。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€過(guò)點(diǎn)F，且及橢圓C交于A，B兩點(diǎn)。在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。練：已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線及雙曲線相交

17、于，兩點(diǎn)。在軸上是否存在點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。五定值問(wèn)題解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)思想方法來(lái)解決。證明過(guò)程可總結(jié)為“變量函數(shù)定值”方法有（）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值及變量無(wú)關(guān)。（）直接推理，計(jì)算，消去變量，從而得到定值。題型（一）三大圓錐曲線中，曲線上的一定點(diǎn)及曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足直線及直線的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率為定值。例.已知橢圓：，為橢圓上的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，），是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率及的斜率互為相反數(shù)。求證：直線的斜率為定值，并求出該定值練：已知，是長(zhǎng)軸為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)橢圓的中心

18、，且，。（）求橢圓方程；（）如果橢圓上的兩點(diǎn)，使得的平分線垂直于，問(wèn)是否總存在實(shí)數(shù)，使得？說(shuō)明理由。.已知橢圓：的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線：及橢圓交于點(diǎn)（在第一象限）。（）求橢圓的方程；（）已知為橢圓的左頂點(diǎn)，平行于的直線及橢圓相交于，兩點(diǎn)，判斷直線，是否關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，并說(shuō)明理由。題型（二）三大圓錐曲線中，設(shè)過(guò)焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，其垂直平分線交焦點(diǎn)所在軸于點(diǎn)，則例.已知橢圓：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線及相交于，兩點(diǎn)，若，則。練1：已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為。2.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的

19、延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D，且，則C的離心率為。題型（三）三大曲線中（雙曲線需同一支）,設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F且不平行于坐標(biāo)軸的弦為AB，則為定值（L為通經(jīng)長(zhǎng)）例1：（1）已知過(guò)拋物弦的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，=2，=。（2）已知過(guò)拋物弦的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。練1：如圖所示，拋物線C1：和圓C2：，其中p>0，直線經(jīng)過(guò)C1的焦點(diǎn)，依次交C1，C2于A，B，C，D四點(diǎn)，則的值為。題型四：已知橢圓，直線及橢圓交于A，B兩點(diǎn)，在AOB中，AB邊上的高為OH。（1）若 （2）若（2）若例1：已知橢圓E：，是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線及橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由。練1.在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，-），（0，）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線及C交于A，B兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出C的方程；（2）若，求k的值。2.如圖所示，橢圓的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)n為過(guò)原點(diǎn)的直線，是及n垂直相交于P點(diǎn)、及橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，是否存在上述直線使成立？存在，求出的方程；不存在，說(shuō)明理由。3.如圖所示，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1,0