直角三角形的邊角關系講義

1、 直角三角形的邊角關系講義第1節(jié) 從梯子的傾斜程度談起本節(jié)內容：正切的定義 坡度的定義及表示（難點） 正弦、余弦的定義 三角函數的定義（重點）1、正切的定義在確定，那么A的對邊及鄰邊的比便隨之確定，這個比叫做A的正切，記作tanA。即tanA=例1如圖，ABC是等腰直角三角形，求tanC.例2 如圖， 已知在RtABC中，C=90°，CDAB，AD=8，BD=4，求tanA的值。2、坡度的定義及表示（難點我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值關系是：注意：（1）坡度一般寫成1：m的形式（比例的前項為1，后項可以是小數

2、）；（2）若坡角為a，坡度為，坡度越大，則a角越大，坡面越陡。例3如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬BC為6m，壩高為3.2m，為了提高水壩的攔水能力，需要將水壩加高2m，并且保持壩頂寬度不變，迎水坡CD的坡度不變，但是背水坡的坡度由原來的i1：2變成i1：2.5，（有關數據在圖上已注明）求加高后的壩底HD的長為多少？3、正弦、余弦的定義在Rt中，銳角A的對邊及斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA。即sinA=A的鄰邊及斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA。即cosA=例4在ABC中，C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通過計算你有什么發(fā)

3、現？請加以證明。4、三角函數的定義（重點）銳角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函數。直角三角形中，除直角外，共5個元素，3條邊和2個角，它們之間存在如下關系：（1）三邊之間關系：；（2）銳角之間關系：A+B=90°；（3）邊角之間關系：sinA=，cosA=，tanA=。（其中A的對邊為a，B的對邊為b，C的對邊為c）除指教外只要知道其中2個元素（至少有1個是邊），就可以利用以上關系求另外3個元素。例5方方和圓圓分別將兩根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墻上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判斷誰的木棒更陡嗎？說明理由。本節(jié)作業(yè)：1、C=90°，點D在BC上，BD

4、=6，AD=BC，cosADC=，求CD的長。2、P是a的邊OA上一點，且P點的坐標為（3，4），求sina、tana的值。3、在ABC中，D是AB的中點，DCAC，且tanBCD=，求tanA的值。4、在RtABC中，C=90°，tanA=，周長為30，求ABC的面積。5、（2008·浙江中考）在RtABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2，AC=3，則sinB的值是多少？第2節(jié) 30°，45°，60°角的三角函數值本節(jié)內容：30°，45°，60°角的三角函數值（重點）1、30°，45°

5、，60°角的三角函數值（重點）根據正弦、余弦和正切的定義，可以得到如下幾個常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。例1求下列各式的值。（1）；（2）。本節(jié)作業(yè)：1、 求下列各式的值。（1）；（2）。(3)6tan2 30°sin 60°2tan45°(4)2、 已知a為銳角，且tana=5，求的值。3、 ABC表示光華中學的一塊三角形空地，為美化校園環(huán)境，準備在空地內種植草皮，已知某種草皮每平方米售價為a元，則購買這種草皮至少花費多少元？4、（2008·成都中考）2的值等于_。5、（2008·義烏中考）計算。6、（2009深圳）（6分）計算

6、：7、（2010深圳）( )22sin45º (3.14)0(1)3第3節(jié) 三角函數的有關計算本節(jié)內容：利用計算器求任意銳角的三角函數值（重點） 銳角三角函數計算的實際應用（難點）1、利用計算器求任意銳角的三角函數值（重點）計算三角函數的具體步驟大體分兩種情形：（1）先按三角函數鍵，再按數字鍵；（2）或先按數字鍵，再按三角函數鍵。利用計算器還可以求角度的大小。例1利用計算器求下列銳角的三角函數值。（1）；（2）；（3）；（4）。2、銳角三角函數計算的實際應用（難點）仰角：當從低處觀測高處的目標時，視線及水平線所成的銳角稱為仰角。俯角：當從高處觀測低處的目標時，視線及水平線所成的銳角成

7、為俯角。例2小剛面對黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一個字看作點E，過點E的該矩形的高為BC，把小剛眼睛看做點A?，F測得BC=1.41米，視線AC恰及水平線平行,視線AB及AC的夾角為25°,視線AE及AC的夾角為20°，求AC及AE的長（精確到0.1米）。典型例題：例1用計算器求下列三角函數值。（精確到0.001）（1）（2）（3）例2已知下列銳角的三角函數值，利用計算器求銳角。（精確到1）（1）（2）（3）例3某校教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，如圖。BC/AD，斜坡AB長22m，坡角BAD=68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對土

8、坡進行改造，經地質人員勘測，當坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡。（1） 求改造前坡頂及地面的距離BE的長；（精確到0.1m）（2） 為確保安全，學校計劃改造時，保持坡腳A不動，坡頂B沿BC前進到F點處，問BF至少是多少？（精確到0.1m）（）例4如圖，矩形ABCD是供一輛機動車停放的車位示意圖，請你參考圖中數據，計算車位所占街道的寬度EF。（參考數據：結果精確到0.1m）例5要求的值，可構造如圖所示直角三角形,作RtABC,使C=90°,兩直角邊AC=BC=，則ABC=45°,所以。你能否在此基礎上，求出的值？例6（2009·婁底中考）在學習實踐科學

9、發(fā)展觀的活動中，某單位在如圖所示的辦公樓迎街的墻面上垂直掛了一長為30米的宣傳條幅AE，張明同學站在離辦公樓的地面C處測得條幅頂端A的仰角為50°，測得條幅底端E的仰角為30°。問張明同學是在離該單位辦公樓水平距離多遠的地方進行測量？（精確到整數米）例7某輪船自西向東航行，在A處測得某島C在其北偏東60°方向上，前進8千米到達B，測得該島在輪船的北偏東30°方向上，問輪船繼續(xù)前進多少千米及小島的距離最近？第4節(jié) 船有觸礁的危險嗎本節(jié)內容：方向角的定義 解直角三角形（重點） 解直角三角形的實際應用（難點）1、方向角的定義方向角：方向角是以觀察點為中心（方向

10、角的頂點），以正北或正南為始邊，旋轉到觀察目標所形成的銳角，方向角也稱象限角。如圖，目標方向線0A、0B、0C的方向角分別為北偏東15°、南偏東20°、北偏西60°。其中南偏東45°習慣上又叫東南方向，同樣北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角為南偏東45°，OG的方向角為南偏西45°，那么，G、E可以說在O的哪個方向呢？由方向角的定義可知，G在O的西南方向，E在O的東南方向。例1某次臺風襲擊了我國南部海域。如圖，臺風來臨前，我們海上搜救中心A接到一越南籍漁船遇險的報警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援隊B立即前往

11、施救。已知漁船所處位置C在A的南偏東34°方向，在B的南偏東63°方向，此時離臺風來到C處還有12小時，如果救援船每小時行駛20海里，試問能否在臺風來到之前趕到C處對其施救？（參考數據：）2、解直角三角形（重點）在直角三角形中，由已知一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫做解直角三角形。在RtABC中，C=90°，A、B、C所對的邊分別為。（1） 三邊之間關系：（2） 銳角之間關系：A+B=90°（3） 邊角之間關系：（4） 面積公式： 在直角三角形中，除直角的五個量中，若已知其中的兩個量（其中至少有一條邊），就可以求出另外三個未知量，有如下四種類型：R

12、tABC中，C=90°已知選擇的邊角關系斜邊和一直角邊由，求A；B=90°-A，兩直角邊由，求A；B=90°-A，斜邊和一銳角B=90°-A；一直角邊和一銳角B=90°-A；，注意：（1） 在解直角三角形中，正確選擇關系式是關鍵：若求邊：一般用未知邊比已知邊，求尋找已知角的某一個三角函數；若求角：一般用已知邊比已知邊，去尋找未知角的某一個三角函數；求某些未知量的途徑往往不唯一。選擇關系式常遵循以下原則：一是盡量選可以直接應用原始數據的關系式；二是設法選擇便于計算的關系式，若能用乘法計算就避免用除法計算。（2） 對于含有非基本量的直角三角形，比如

13、有些條件中已知兩邊之和，中線、高線、角平分線長，角之間的關系，銳角三角函數值，周長、面積等等。對于這類問題，我們常用的解題方法是：將非基本量轉化為基本量，或由基本量間關系通過列方程（組），然后解方程（組），求出一個或兩個基本量，最終達到解直角三角形的目的。（3） 在非直角三角形的問題中，往往是通過作三角形的高，構成直角三角形來解決，而作高時，常從非特殊角的頂點作高；對于較復雜的圖形，往往通過“補形”或“分割”的方法，構造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，實現問題的有機轉化。例2某公園“六一”親新增設一臺滑梯，如圖?；莞叨華C=2m，滑梯著地點B及梯架之間的距離BC=4m。（1）求滑梯AB

14、的長；（結果精確到0.1m）（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（ABC）不超過45°屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符合要求？3、解直角三角形的實際應用（難點）在解決實際問題時，解直角三角形有著廣泛的應用，我們要學會將千變萬化的實際問題轉化為數學問題來解決，具體地說，要求我們善于將某些實際問題中的數量關系歸結為直角三角形中的元素（邊、角）之間的關系，這樣就可運用解直角三角形的方法了。一般有以下幾個步驟：1.審題：認真分析題意，根據題目中的已知條件，畫出它的平面圖，弄清已知和未知；2.明確題目中的一些名詞、術語的漢語，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根

15、據邊角關系進行計算；若不是直角三角形，應大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形，把實際問題轉化為直角三角形進行解決；4.確定合適的邊角關系，細心推理計算。例3臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數千米范圍內形成旋風暴，有極強的破壞力。根據氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風中心，其中心的最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，臺風就會弱一級。臺風中心現正以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風中心風力不變，若城市風力達到或超過4級，則稱為受臺風影響。（1） 該城市是否會受到這次臺風的影響？請說明理由。（2） 若會受到臺風影響

16、，那么臺風影響該市的持續(xù)時間有多長？典型例題：例1在ABC中，已知AB=1，AC=，ABC=45°，求BC的長。例2如圖，甲、乙兩只捕撈船同時從A港出海捕魚。甲船以每小時15千米的速度沿北偏西60°方向前進，乙船以每小時15千米的速度沿東北方向前進。甲船航行2小時到達C處，此時甲船發(fā)現魚具丟在了乙船上，于是甲船快速（勻速）沿北偏東75°的方向追趕，結果兩船在B處相遇。（1） 甲船從C處追趕乙船用了多長時間？（2） 甲船追趕乙船的速度是每小時多少千米？例3某年入夏以來，松花江哈爾濱段水位不斷下降，一條船在松花江某段自西向東沿直線航行，在A處測得航標C在北偏東60&#

17、176;防西哪個上。前進100m到達B處，又測得航標C在北偏東45°方向上（如圖），在以航標C為圓心，120m為半徑的圓形區(qū)域內有淺灘，如果這條船繼續(xù)前進，是否有被淺灘阻礙的危險？（）第5節(jié) 測量物體的高度本節(jié)內容：測量底部可以到達的物體的高度（重點） 測量底部不可以到達的物體的高度（難點）1、測量底部可以到達的物體的高度（重點）簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支桿組成。如圖。使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：（1） 把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合,這時度盤的頂線PQ在水平位置。（2） 轉動轉盤,使度盤的直徑對準目標M,記下此時鉛垂線所指的度數。此

18、度數就是測點相對于被測點的仰角或俯角。說明：（1）所謂“底部可以到達“，就是在地面上可以無真納干礙地直接測得測點及被測物體的底部之間的距離。（2）測量步驟如圖（測量物體MN的高度）：在測點A處安置測傾器，測得M的仰角MCE=；量出測點A到物體底部N的水平距離AN=；量出測傾器的高度AC=（即頂線PQ成水平位置時，它及地面的距離）。（3）物體MN的高度 = 。例1升國旗時，沈杰同學站在離旗桿底部24m處行注目禮，當國旗升到旗桿頂部時，測得該同學視線的仰角為30°，若雙眼離地面1.5m，則旗桿有多高？（結果精確到0.1m）2、測量底部不可以到達的物體的高度（難點）（1）所謂“底部不可以到

19、達”，就是在地面上不能直接測得測點及被測物體底部之間的距離。（2）測量步驟（如圖。測量物體MN的高度）：在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角MCE=；在測點A及物體之間的B處擬制測傾器（A、B及N在一條直線上，且A、B之間的距離可以直接測得），測得此時M的仰角MDE=；量出測傾器的高度AC=BD=，以及測點A、B之間的距離AB= 。（3）物體高度MN=ME+EN=米。提示：測量底部不可以到達的物體的高度，求解時常要解兩個直角三角形。例2：如圖，從山頂A處看到地面C點的俯角為60°，看到地面D點的俯角為45°，測得CD=米，求山高AB。（精確到0.1米，1.732）典型例題

20、：例1如圖，兩建筑物的水平距離為36m，從A點測得D點的俯角為36°，測得C點的俯角為45°，求這兩座建筑物的高度。（sin36°0.588,cos36°0.412,tan36°0.723,結果保留2位小數）例2如圖，河邊有一條筆直的公路，公路兩側是平坦的草地，在數學活動課上，老師要求測量河對岸一點B到公路的距離，請你設計一個測量方案。例3如圖,某一時刻太陽光從教室窗戶射入室內，及地面的夾角BPC的度數為30°，窗戶的一部分在教室地面所形成的影長PE為3.5m，窗戶的高度AF為2.5m，求窗外遮陽篷外端一點D到窗戶上緣的距離AD。（結

21、果精確到0.1m）測試題一、選擇題1等腰三角形的底角為30°，底邊長為，則腰長為（）A4BC2D2如圖1，在菱形ABCD中，ABC=60°，AC=4，則BD長為（）ABCD8 (1) (2) (3) 3在ABC中，C90°，下列式子一定能成立的是（）ABCD4ABC中，A，B均為銳角，且有，則ABC是（）A直角（不等腰）三角形B等腰直角三角形C等腰（不等邊）三角形D等邊三角形5已知，那么的值等于（）ABC1D6如圖2，沿AC方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工從AC上的一點B，取ABD=145°，BD=500米，D=55°，

22、要使A，C，E成一直線，那么開挖點E離點D的距離是（）A500sin55°米B500cos55°米 C500tan55°米D500tan35°米7如圖3，在矩形ABCD中，DEAC，垂足為E，設ADE=，且cos=，AB=4，則AD的長為（）A3BCD8如圖4，已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點B旋轉后，點D落在CB的延長線上的D處，那么tanBAD等于（）A1BCD (4) (5) (6)二、填空題（每小題3分，共24分）9在ABC中，C=90°，則cosB的值為10化簡11如圖5，DBC=30°，AB=DB，利用此

23、圖求tan75°=12如圖6，P是的邊OA上一點，且P點的坐標為（3，4），則cos=13若某人沿坡度i=34的斜坡前進10m，則他比原來的位置升高了m14如圖7，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”他們僅僅少走了步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草 (7) (8) (9)15如圖8所示，是某超市自動扶梯的示意圖，大廳兩層之間的距離h=6.5米，自動扶梯的傾角為30°，若自動扶梯運行速度為v=0.5米/秒，則顧客乘自動扶梯上一層樓的時間為_秒16如圖9，一人乘雪撬沿坡比1的斜坡筆直滑下，滑下的距離s（米）及時間t（秒）間的關系為若

24、滑到坡底的時間為4秒，則此人下降的高度為17、如圖，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，過直角頂點C作CA1AB，垂足為A1，再過A1作A1C1BC，垂足為C1，過C1作C1A2AB，垂足為A2，再過A2作A2C2BC，垂足為C2，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1，則CA1=，三、解答題（本大題共52分）18. (1)·tan 30°； (2)(tan30°)2007·(2sin45°)2006 19（本題10分）如圖,為住宅區(qū)內的兩幢樓，它們的高AB=CD=30m，兩樓間的距離AC=24m，現需了解甲樓對乙樓采光的影響情況當

25、太陽光及水平線的夾角為30°時，求甲樓的影子在乙樓上有多高？（精確到0.1m，1.41，1.73）20（本題12分）為了測量一棵大樹的高度AB，在離樹25米的C處，用高1.4米的測角儀CD測得樹的頂端B的仰角21°，求樹AB的高(用21°角的三角函數值表示即可 )21.如圖，在觀測點E測得小山上鐵塔頂A的仰角為60°，鐵塔底部B的仰角為45°。已知塔高AB20m，觀察點E到地面的距離EF35cm，求小山BD的高.22如圖，PQ表示南充至綿陽的一段高速公路的修筑設計路線圖在點P測得點Q在它的南偏東30°的方向，測得另一點A在它的南偏東60