高三文科數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合復(fù)習(xí)講義

1、高三文科數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合復(fù)習(xí)講義一、基礎(chǔ)學(xué)問【懂得去記】1橢圓的定義，第肯定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長（大于兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即|pf1|+|pf2|=2a 2a>|f1f2|=2c.其次定義：平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e0<e<1的點的軌跡（其中定點不在 定直線上） ，即| pf | de 0<e<1.2橢圓的方程，假如以橢圓的中心為原點，焦點所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，如焦點在x 軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y2a 2b21a>b>0 ，參數(shù)方程為x acosy bs

2、in（為參數(shù)）；2如焦點在y 軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為：ya 2y221a>b>0 ；bx 2y 23橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓：2a21 ，ba 稱半長軸長，b 稱半短軸長，c 稱為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標(biāo)分別為±a, 0 , 0,± b, ±c,0；與左焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線（即其次定義中的定直線）為a 2x，與右焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線為ca 2x；定義中的比ce 稱為離心率，且ec ， 由 c2+b2=a2 知 0<e<1.a橢圓有兩條對稱軸，分別是長軸、短軸；x 2y 24橢圓的焦半徑公式：對于橢圓點，就 |

3、pf1|=a+ex, |pf2|=a-ex.5.補充學(xué)問點： 幾個常用結(jié)論：a 2b 21a>b>0, f 1-c, 0, f 2c, 0 是它的兩焦點；如px, y 是橢圓上的任意一1）過橢圓上一點px0, y0的切線方程為：x0 x a 2y0 y222b 21 ；2）斜率為k 的切線方程為ykxa kb； 3）過焦點f2c, 0 傾斜角為 的弦的長為2ab 2la 2；c 2 cos26雙曲線的定義，第肯定義：滿意 |pf1 |-|pf2|=2a2a<2c=|f1f2|, a>0的點 p 的軌跡；其次定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e>1 的點的軌

4、跡； 7雙曲線的方程：中心在原點，焦點在x 軸上的雙曲線方程為x 2y2221 ，ab1參數(shù)方程為x a secy b tan（為參數(shù)）；焦點在 y 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y 2x21 ；a 2b 22x8雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點，焦點在x 軸上的雙曲線：2y1 a, b>0,a 2b 2a 稱半實軸長，b 稱為半虛軸長，c 為半焦距，實軸的兩個端點為-a, 0, a, 0.左、右焦點為f1-c,0, f 2 c, 0，對應(yīng)22的左、右準(zhǔn)線方程分別為xa, x ca. 離心率 cce，由 a2+b2=c2 知 e>1；兩條漸近線方程為y ak x ，雙ax 2y 2x 2y

5、2曲線1與a 2b 2a 2b 21 有相同的漸近線，它們的四個焦點在同一個圓上；如a=b，就稱為等軸雙曲線；9補充學(xué)問點： 雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線x2y 2a 2b 21 ，f1（-c,0） , f2c, 0 是它的兩個焦點；設(shè)px,y 是雙曲線上的任一點，如p 在右支上，就|pf1|=ex+a, |pf2 |=ex-a；如 p（ x,y）在左支上，就|pf1|=-ex-a， |pf2|=-ex+a.2ab 22 過焦點的傾斜角為 的弦長是2a；c2 cos210拋物線：平面內(nèi)與一個定點f 和一條定直線l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點f 叫焦點，直線l 叫做拋物線

6、的準(zhǔn)線；如取經(jīng)過焦點f 且垂直于準(zhǔn)線l 的直線為x 軸， x 軸與 l 相交于 k ，以線段kf 的垂直平分線為y 軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|kf|=p ，就焦點 f 坐標(biāo)為11補充學(xué)問點 p ,0 ，準(zhǔn)線方程為x 2p ，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2pxp>0 ，離心率 e=1.2拋物線常用結(jié)論：如px 0, y0為拋物線上任一點，p1）焦半徑 |pf|= x；22 p2）過點 p 的切線方程為y0y=px+x 0 ；3）過焦點傾斜角為 的弦長為2；二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1cos一、學(xué)問整理：1.考點分析：此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù)，并以橢圓、拋物線為載體較多；多數(shù)涉及求圓錐曲

7、線的方程、求參數(shù)的取值范疇等等；2解答直線與圓錐曲線相交問題的一般步驟：設(shè)線、設(shè)點，聯(lián)立、消元，韋達(dá)、代入、化簡；第一步：爭論直線斜率的存在性，斜率存在時設(shè)直線的方程為y=kx+b （或斜率不為零時，設(shè)x=my+a ）；其次步：設(shè)直線與圓錐曲線的兩個交點為ax 1 ,y1bx 2,y2;第三步：聯(lián)立方程組ykxb，消去 y 得關(guān)于 x 的一元二次方程；f x, y02第四步：由判別式和韋達(dá)定理列出直線與曲線相交滿意的條件二次系數(shù)不為零，0x1x 2x1x 2第五步：把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為x 1+x2 、x 1x 2，然后代入、化簡；3弦中點問題的特殊解法- 點差法：即如已知弦ab 的中點為mx

8、 o,yo，先設(shè)兩個交點為ax 1,y1 ，bx 2,y2;分別代入圓錐曲線的方程，得 f x 1, y1 入其中，即可求出直線的斜率；0, f x 2 , y 2 0 ，兩式相減、 分解因式， 再將 x 1x 22x o , y 1y 22y o 代4. 弦長公式 :| ab |1k 2| x1x 2 |1k 2 xx 2 4x 1 x 2 k為弦 ab 所在直線的斜率12高考真題 :x2y23a1【.2021 高考新課標(biāo)文4】設(shè) f1f2 是橢圓e : a 221abb0 的左、右焦點， p 為直線 x上一點，2f2 pf1是底角為 30 的等腰三角形，就e 的離心率為（） a 12b 2

9、 3c d 【答案】 c【命題意圖】此題主要考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，是簡潔題.【解析】f2 pf1 是底角為300 的等腰三角形，pf a600 ， | pf| | f f|2c ， | af|= c ， 2c3 a ， e = 3 ，2應(yīng)選 c.2122242.【2021 高考新課標(biāo)文10】等軸雙曲線c 的中心在原點，焦點在 x 軸上， c 與拋物線y 216x 的準(zhǔn)線交于a, b 兩點，ab43 ；就 c 的實軸長為（） a2 b22c d 【答案】 c【命題意圖】此題主要考查拋物線的準(zhǔn)線、直線與雙曲線的位置關(guān)系，是簡潔題.【解析】由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為：x4 ，設(shè)等軸雙曲線方程為：

10、x2y2a2 ，將 x4 代入等軸雙曲線方程解得 y =16a2， | ab| = 43 ，216a2= 43 ，解得 a =2， c 的實軸長為4，應(yīng)選 c.x2y223.【2021 高考山東文11】已知雙曲線c1 ：221aab0,b0 的離心率為2.如拋物線c2 : x2 py p0) 的焦點到雙曲線c1 的漸近線的距離為2，就拋物線c2 的方程為(a) x283 3ybx 21633yc2x8 yd2x16y【答案】 d考點：圓錐曲線的性質(zhì)解析： 由雙曲線離心率為2 且雙曲線中a，b，c 的關(guān)系可知b3a ，此題應(yīng)留意c2 的焦點在y 軸上， 即（ 0，p/2）到直線y3x的距離為2，

11、可知 p=8 或數(shù)形結(jié)合，利用直角三角形求解；3【2021 高考全國文10】已知f 、 f 為雙曲線 c : x2y22 的左、右焦點，點p 在 c 上， | pf |2| pf|，就1212cosf1 pf2（ a） 14【答案】 c3（b ）53（c）44（ d）5【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質(zhì)的運用，以及余弦定理的運用；第一運用定義得到兩個焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可；【解析】解：由題意可知，a2 b,c2 ，設(shè)| pf1 |2x,| pf2 |x ，就| pf1 | pf2 |x2a22 ，故| pf1 |42,|pf2|22 ， f1f24 ，

12、利用余弦定理可得cosf1 pf21212；pf 2pf 2f f 242 222 24232pf1pf2222424520xx年高考廣東卷文科8 設(shè) 圓 c 與圓錯誤！未找到引用源；外切，與直線y0 錯誤！未找到引用源；相切就 c 的圓心軌跡為（）a 拋物線b 雙 曲線c 橢圓d 圓6.【2021 高考四川文9】已知拋物線關(guān)于x 軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點o ，并且經(jīng)過點m 2, y0 ；如點 m 到該拋物線焦點的距離為3 ，就 | om |（）a 、 22b、 23c、 4d、 25【答案】 b 解析 設(shè)拋物線方程為y2=2pxp>0, 就焦點坐標(biāo)為（m在拋物線上，p ,0 ），準(zhǔn)線

13、方程為x=p ,22m到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即（2 -p22y）02（2p）2 32解得： p1, y022點m（2,22），依據(jù)兩點距離公式 有：| om |22 22 2234 點評 此題旨在考查拋物線的定義: |mf|=d,m為拋物線上任意一點，f 為拋物線的焦點，d 為點 m 到準(zhǔn)線的距離.x2y27. （ 20xx年高考湖南卷文科6 設(shè)雙曲線21aa90 的漸近線方程為3x2 y0, 就 a 的值為（）a 4b 3c 2d 1答案： c解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為yx2y 23 x ，故可知 a2 ； a8.【2021 高考四川文15】橢圓21a 為定值， 且 aa55

14、 的的左焦點為f ，直線 xm 與橢圓相交于點a 、b ，fab 的周長的最大值是12，就該橢圓的離心率是 ；，2【答案】3 解析 依據(jù)橢圓定義知：4a=12, 得 a=3 ,又a 2c 25c2,ec2a3 點評 此題考查對橢圓概念的把握程度.突出呈現(xiàn)高考前的復(fù)習(xí)要回來課本的新課標(biāo)理念.229. 【2021 高考遼寧文15】 已知雙曲線xy=1, 點 f1,f 2 為其兩個焦點，點p 為雙曲線上一點，如p f 1p f2 , 就 p f 1+ p f 2的值為 .【答案】 23【命題意圖】此題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及轉(zhuǎn)化思想和運算求解才能，難度適中；【解析】 由雙曲線的方程可知a1

15、,c2,pf1pf22 a2,2pf12 pf1pf22pf24222pfpf ,pfpf2c8,2 pfpf4,121212 pfpf 28412,pfpf231212【點評】 解題時要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實現(xiàn)差積和的轉(zhuǎn)化；x 2y210. 【2021 高考江蘇8】（ 5 分） 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，如雙曲線【答案】 2；【考點】 雙曲線的性質(zhì)；mm21 的離心率為5 ，就 m 的值為4x2【解析】 由y1 得 a=m，b=m24，c=mm24 ；2mm24cmm24 e=5 ，即 amm24m4=0 ，解得m=2 ；511【.2021 高考安徽文14】過拋物線y24x 的

16、焦點 f 的直線交該拋物線于a, b 兩點，如 | af|3 ，就 | bf| = ；【答案】32【解析】設(shè)afx0 及 bfm ；就點 a 到準(zhǔn)線l : x1 的距離為 3得： 323coscos1 又 m 32 m cosm231cos212. （20xx 年高考遼寧卷文科7 已知 f是拋物線 y2x的焦點， ab 是該拋物線上的兩點,|af|+|bf|=3,就線段ab 的中點到y(tǒng) 軸的距離為；解析： 設(shè) a 、b 的橫坐標(biāo)分別是m、n，由拋物線定義，得 afbf3 =m+ 141+n+41= m+n+25=3，故 m+n=，2mn5245，故線段ab 的中點到y(tǒng) 軸的距離為；413、【2

17、021 高考廣東文20】（本小題滿分14 分）x2y2在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知橢圓上 .c1 ：221（ ab ab0 ）的左焦點為f1 1,0 ，且點p0,1在 c1（1）求橢圓c1 的方程；（2）設(shè)直線 l 同時與橢圓c1 和拋物線c2 ：y24x 相切，求直線l 的方程 .【解析】（ 1）由于橢圓c1 的左焦點為f1 1,0 ，所以 c1 ，x2y21點 p0,1 代入橢圓221，得21 ，即 b1 ，abb所以 a 2b2c22 ，所以橢圓x2c1 的方程為2y21.（ 2）直線 l 的斜率明顯存在，設(shè)直線l 的方程為ykxm ，2xy 212，消去 y 并整理得12k 2 x

18、24kmx2m220 ，ykxm由于直線 l 與橢圓c1 相切，所以16k 2m2412k 2 2m220 ，整理得 2k 22m106y24xykxm，消去 y 并整理得k2 x22km4 xm20 ；由于直線 l 與拋物線c2 相切，所以2km424k2 m20 ，整理得 km1綜合，解得22kk2或2；m2m2所以直線 l 的方程為y2 x22 或 y2 x2 ；214、【2021 高考安徽文20】（本小題滿分13 分）如圖，x 2f1 , f2 分別是橢圓c ：2ay2+2 =1（a bb0 ）的左、 右焦點， a 是橢圓 c 的頂點， b 是直線af2與橢圓 c 的另一個交點，f1

19、af2 =60° .（）求橢圓c 的離心率；（）已知af1b 的面積為403 ，求 a, b 的值 .【解析】（ i）f1af260a2cec1 a2（）設(shè)bf2m ；就bf12am在bf1f2 中，2bf12bf22f1 f22 bf2f1f2cos1202am2m2a2amm3 a 5s1f fabsin 601aa3 a34032af1 b 面積21a10, c5,b5325215.【2102 高考北京文19】本小題共14 分2已知橢圓c： xa 2兩點 m,ny2+ b2=1（a b 0）的一個頂點為a （ 2,0），離心率為2 ， 直線 y=kx-1 與橢圓 c 交與不同的

20、2（）求橢圓c 的方程（）當(dāng) amn的面積為103時，求 k 的值【考點定位】此題難度集中在運算，但是整體題目難度的確不大，從形式到條件的設(shè)計都是特別熟識的，信任平常對曲線的練習(xí)程度不錯的同學(xué)做起來應(yīng)當(dāng)是比較簡潔的；7解：（ 1）由題意得a2c2解得 b22 .所以橢圓c 的方程為x2y1 .yk xa242a 2b2c21（ 2）由x2y得 12k2 x2214k 2 x2k 240 .424 k 22k 24設(shè)點 m,n 的坐標(biāo)分別為x1, y1 ， x2 , y2 ，就 y1k x11 ， y2kx21 ， x1x22 ， x1x22 .所以 |mn|=xx 2 yy2 =1k2 xx

21、24x x21 =k 2 46k 2 12 k.12k2121121 212k2由由于點a2,0 到直線yk x1）的距離 d| k |，12k 21| k |46k 2| k |46k 210所以 amn的面積為 s| mn | d212k 2. 由12k2，解得k1 .316.【2102 高考福建文21】（本小題滿分12 分）如圖，等邊三角形oab 的邊長為 83 ，且其三個頂點均在拋物線e： x2=2py（ p 0）上；（ 1）求拋物線e 的方程；（ 2）設(shè)動直線l 與拋物線e 相切于點p，與直線y=-1 相較于點 q；證明以pq 為直徑的圓恒過y 軸上某定點；考點： 圓錐曲線的定義，直

22、線和圓錐曲線的位置關(guān)系，定值的證明；難度： 難；分析： 此題考查的學(xué)問點為拋物線方程的求解，直線和圓錐曲線的聯(lián)立，定值的表示及運算；解答：（ i）設(shè)a x , y , b x , y ；就 x22 py , x22 py11221122oaobx2y 2x 2y22 pyy2 2 pyy211221122 y1y 22 py 1y 20y1 y 2 2 p, y , y102 得：點a, b 關(guān)于 y 軸對稱（ lfxlby ）oaobab83a43,12, b43,122代入拋物線e 的方程得：px22 y拋物線 e 的方程為x24 y8x211（ ii ）設(shè)p x0 ,0 ；就 yx2yx442過點 p 的切線方程為y1 x21 x xx 即 y1 x x1 x2令 y1q04x22x0000004224,1設(shè) m 0, t 滿意：mp mq0及 mp00 x , yt , mq x04 ,1t22 x0得： 4t 2t21t x20 對 x00 均成立0t 2t20,1t0t1以 pq 為直徑的圓恒過y 軸上定點 m 0,117.【2021 高考上海文22】（此題滿分16 分）此題共有3 個小題，第1 小題滿分5 分，第 2 小題滿分5 分，第 3 小題滿分 6 分在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知雙曲線c : 2x2y21（ 1）設(shè) f 是