填空題本題共6小題,每小題4分,滿分24分把答案填在題

1、2005年數(shù)學(xué)四試題分析、詳解和評注22、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)2x(1)極限 lim xsin= 2 .xx2 1 本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可.lim xsin，=limx，2.xx 1 x x 1若在某變化過程下， (x) (x)，則lim f (x)【分析】【詳解】【評注】(x) lim f(x)(x).xy 2.(2)微分方程xy y 0滿足初始條件y(1)2的特解為【分析】直接積分即可.【詳解】 原方程可化為(xy) 0，積分得 xy C，代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2.【評注】 本題雖屬基本題型，

2、也可先變形dyydxx再積分求解.(3)設(shè)二元函數(shù)xex y (x 1)ln(1 y)，則 dz(1,0)2edx (e 2)dy .【分析】【詳解】基本題型,z直接套用相應(yīng)的公式即可xex yln(1 y),xex ydz(1,0)2edx (e2)dy.(4)設(shè)行向量組(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,11a)，(4.3.2.1)線性相關(guān)，且1，則1a= 2【分析】【詳解】四個4維向量線性相關(guān)，必有其對應(yīng)行列式為零，由此即可確定 由題設(shè)，有a.(a 1)(2a 1)0 ,得a 1,a-，但題設(shè)a 1，故2【評注】完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南當向量的個數(shù)小于維數(shù)時,一般通過初等

3、變換化階梯形討論其線性相關(guān)性(經(jīng)濟類)P.312【例3.3】2005年數(shù)學(xué)四試題分析、詳解和評注A (1,2 ,3)， B (1(5)設(shè)1, 2, 3均為3維列向量，記矩陣23 ,12243 ,13293 )，如果A 1，那么B 2【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的形式， 再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可【詳解】由題設(shè)，有1 1 1=(1, 2, 3)1 2 3149111于是有A1231 2 2.149【評注】本題相當于矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示,關(guān)鍵是將其26轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示。一般地，若mam1 1am2 2則有12ma11a21am1a12a22am21 ,

4、2 ,> na1na2namna mn n ，(經(jīng)濟類)P.268【例1.5】完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南1a11 1a12 2a1n n，2a21 1a22 2a2n n(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從1,2, ,X中任取一個數(shù)，記為Y,則PY 2=1348【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式，且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分【詳解】 PY 2= PX 1PY 2X 1 + PX 2PY 2X 2+ PX3PY2X 3+ PX 4PY 2X 4113) 448【評注全概率公式綜合考查了加法公式、乘法公式和條件概率，這類題型

5、一直都是 考查的重點完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.407【例1.31二、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有 項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)當a取下列哪個值時，函數(shù)f(x) 2x3 9x212x a恰好有兩個不同的零點(A) 2.(B)4.(C)6.(D)8. B 【分析先求出可能極值點，再利用單調(diào)性與極值畫出函數(shù)對應(yīng)簡單圖形進行分析， 當恰好有一個極值為零時，函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點.【詳解】f (x) 6x218x12 = 6(x1)(x2)，知可能極值點為 x=1,x=2，且f(1)5 a, f (2)a，

6、可見當a=4時，函數(shù)f(x)恰好有兩個零點,故應(yīng)選(B).【評注】對于三次多項式函數(shù)f(x)=ax3 bx2cxd，當兩個極值同號時，函數(shù) f(x)當兩個極值異號時，函數(shù)只有一個零點；f(x)有兩個零點完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南f(x)有三個零點;(經(jīng)濟類)P.151當兩個極值有一為零時,【例6.26，函數(shù)(8)設(shè) I1cos x2 y2d,I2cos(xD)d,I3cos(x2D22y ) d其中 D (x,y)x2y21，則(A) I3I1.(B) I1(C)1211(D) I3I1【分析鍵在于比(x2在區(qū)域2D (x, y) x1上的大小.【詳解在區(qū)域D ( x, y) x21上，有x2

7、從而有2/22、2cy (x y )0由于cosx在(0,-)上為單調(diào)減函數(shù),22z 2222 20 cos., x y cos(x y ) cos(x y )因此cos. x2 y2dDcos(x2y2)dDcos(x2y2)2d ，故應(yīng)選(A).D【評注】本題比較二重積分大小，本質(zhì)上涉及到用重積分的不等式性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào) 性進行分析討論完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.183【例8.2dx與1 dx都發(fā)散. x(x 1)0 x(x 1)(9) 下列結(jié)論中正確的是(A)與1 一dx一 都收斂.(B)1 x(x 1)0 x(x 1)(C)1dxdx發(fā)散，x(x 1)1 dxdxdx收斂.

8、(D)dx收斂，1 dxdx發(fā)散0 x(x 1)0 x(x1)1 x(x 1)D 【分析直接計算相應(yīng)積分，判定其斂散性即可.【詳解dx=ln -1In 2，積分收斂，1 x(x 1)|x1 11 dxx1In0()，積分發(fā)散.0 x(x 1)x 10 ' r故應(yīng)選(D).【評注廣義積分斂散性的判斷，一般只要求掌握通過計算能判定的情形完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.123【例4.52(10) 設(shè)f(x) xsinx cosx,下列命題中正確的是(A)f(0)是極大值,f ()是極小值.(B)f(0)是極小值,f (-)是極大值(C)f(0)是極大值,f ()也是極大值(D)f(0

9、)是極小值,f(?)也是極小值.B 【分析先求出f (x), f (x)，再用取極值的充分條件判斷即可【詳解f (x) si nx xcosx si nx xcosx，顯然 f (0)0,匕)0,f (x)cosx xsin x，且 f (0)10, f (-)20，故f(0)是極小值，是極大值，應(yīng)選(B).【評注本題為基本題型，主要考查取極值的充分條件對應(yīng)定理公式見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.141(11) 以下四個命題中，正確的是(A) 若f(X)在(0, 1)內(nèi)連續(xù)，貝U f(x)在(0，1)內(nèi)有界.(B) 若f (x)在(0, 1)內(nèi)連續(xù)，貝U f(x)在(0, 1)內(nèi)有界.(C) 若f

10、 (x)在(0, 1)內(nèi)有界，貝U f(x)在(0, 1)內(nèi)有界.(D) 若f (x)在(0, 1)內(nèi)有界，則f(X)在(0, 1)內(nèi)有界.C 【分析】通過反例用排除法找到正確答案即可11【詳解】設(shè)f(x)二一，則f(x)及f(X)均在(0, 1)內(nèi)連續(xù)，但f(x)在(0, 1)xxr 1 內(nèi)無界，排除(A)、(B);又f(x) 在(0, 1)內(nèi)有界，但f (x) 在(0, 1)內(nèi)2 J x 無界，排除(D).故應(yīng)選(C).【評注】 本題也可直接證明：用拉格朗日中值定理，有1 1f (x)f(2) f ( )(x2)，在(0,1)之間，由此容易推知若 f(X)在(0,1)內(nèi)有界，貝y f(x)

11、在(0, 1)內(nèi)有界.(12) 設(shè)A,B,C均為n階矩陣，E為n階單位矩陣，若 B=E+AB,C=A+CA，貝U B-C為(A) E. ( B) -E.(C) A. (D) -A A 【分析】 利用矩陣運算進行分析即可【詳解】 由B=E+AB,C=A+CA，知(E-A)B=E,C(E-A)=A,可見，E-A與B互為逆矩陣，于是有 B(E-A)=E.從而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而 E-A 可逆，故 B-C=E. 應(yīng)選(A).【評注】 本題考查矩陣運算性質(zhì)，注意當(E-A)B=E時，表明E-A,B均可逆，且互為逆矩陣，從而利用逆矩陣的定義，它們還可互換已知隨機事件X0與X Y 1相互獨

12、立，則(A)a=0.2, b=0.3(B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2(D) a=0.1, b=0.4(13)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率分布為0100.4a1b0.1【分析】首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=0.5又事件X 0與X Y 1相互獨立，于是有PX 0, X Y 1 PX 0PX Y 1,即 a=(0.4 a)(a b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1,故應(yīng)選(B).【評注】 本題考查二維隨機變量分布律的性質(zhì)和獨立隨機事件的概念，均為大綱要求 的

13、基本內(nèi)容.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南（經(jīng)濟類）P.528【習題二，1.（ 9）】（14）設(shè)X1，X2， ,Xn，為獨立同分布的隨機變量列，且均服從參數(shù)為（1）的指數(shù)分布，記（X）為標準正態(tài)分布函數(shù)，則nXi n(B) lim P i 1xnJn(x).nX i n(A) lim Px (x).n山nXi n(C) lim P" 1 一 x (x).nJn(D)limnPXix (x).nE Xi 耳，i 1nD Xii 1nXi丄根據(jù)中心極限定理，知i 1n【分析】只需求出 Xj的期望與方差，再根據(jù)中心極限定理將其標準化即可i 11 1【詳解】由題設(shè)，EXi -, DXi ，i 1,

14、2,n,，于是 n2 ，nXi ni 1其極限分布服從標準正態(tài)分布，故應(yīng)選、n（C）.【評注】 本題考查中心極限定理，應(yīng)注意中心極限定理的條件和結(jié)論，特別是注意結(jié) 論之間的轉(zhuǎn)換.三、解答題（本題共9小題, （15）（本題滿分 求 lim （x 0 1 e x【分析】"滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）8分）丄）.x"型未定式，般先通分，再用羅必塔法則完全類似結(jié)論見數(shù)學(xué)復(fù)習指南（經(jīng)濟類）P.484【詳解lim:Xe1XXe1 2X2XX叫H XXeXX 223 - 2X 2 - 叫HX【評注】 本題屬基本題型，在里用羅必塔法則求極限的過程中，應(yīng)注意利用無窮

15、小量 的等價代換進行簡化完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南（經(jīng)濟類）P.29【例1.45（16）（本題滿分8分）2 2 設(shè)f（u）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g（x,y）f（y）yf（-），求X2gy2gxyxy【分析先求出二階偏導(dǎo)數(shù)，再代入相應(yīng)表達式即可.詳解由已知條件可得& 爲 f()fd) xxxy_gy丄fd)f(-)yxx2g212f (y)x f2 1yxxy22所以gx -2y -g2xy（乂2)占f(-)xxxy2丄f百，yyyx ,xf(),yy2百x f2 1G)x3fG,yyy yy222x ,xy , yX ” xf()f r)f ()yyxxy y2 o 234x x x x

16、a®x x【評注本題屬基本題型，但在求偏導(dǎo)數(shù)的過程中應(yīng)注意計算的準確性完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南（經(jīng)濟類）P.171【例7.18(17) (本題滿分9分)2 2x yD被積函數(shù)含有絕對值，計算二重積分1d ，其中 D (x, y) 0 x 1,0 y 1.【分析】分即可.應(yīng)當作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積【詳解】記 Di( x, y)y21,(x,y)D，D2(x, y)x2y2 1,(x,y)D，y2 1d(x2D11)dxdy(x2D22y 1)dxdy1 (r2 1)rdr(x21)dxdy2 2(x y 1)dxdyD1dx 1 (x2 y20 0 '1)

17、dy(r2 1)rdr=-043形如積分f(x,y)dmaxf(x,y),g(x,y)dD值和最小值，可能在區(qū)域的內(nèi)部達到, 化為求條件極值.【詳解】2xx0,y2y 0得可能極值點為x=0,y=0. 且2fA 一2x(0,0)(0,0) 0，(0,0) 2，sgnf (x, y) g(x, y)d 等的被積函minf(x, y),g(x, y)d 、 f (x,y)d、DDD數(shù)均應(yīng)當作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.193【例8.18】(18) (本題滿分9分)2求 f(x,y)= x2y22在橢圓域D (x, y) x2 h 1上的最大值和

18、最小值.4【分析】根據(jù)全微分和初始條件可先確定f(x,y)的表達式.而f(x,y)在橢圓域上的最大也可能在區(qū)域的邊界上達到，且在邊界上的最值又轉(zhuǎn)B2 AC 40,所以點(0,0)不是極值點，從而也非最值點2再考慮其在邊界曲線 x2匚 1上的情形：令拉格朗日函數(shù)為422 yF(x,y, ) f(x, y) (x1),4Fxx2 x2(1)x解Fyfy2y1yy222F2 xy 10,4得可能極值點x0,y2,4 ；0,0,x 0, y 2,4 ； x 1, y 0,1 ;x 1,y0,1.代入 f(x,y)得 f (0, 2)2, f( 1,0)3，可見 z=f(x,y)在區(qū)域D ( x, y)

19、 x221內(nèi)的最大值為3，最小值為-2.4【評注】 本題綜合考查了多元函數(shù)微分學(xué)的知識，涉及到多個重要基礎(chǔ)概念，特別是通過偏導(dǎo)數(shù)反求函數(shù)關(guān)系，要求考生真正理解并掌握了相關(guān)知識當在區(qū)域邊界上求極值時，也可將y24 4x2代入f(x,y)= 5x22,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極值.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.178【例7.29】(19) (本題滿分8分)設(shè)f(x),g(x)在0,1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0, f (x) 0 , g (x)0.證明：對任何a 0,1,有a10g(x)f(x)dx 0f(x)g(x)dx f(a)g(1).【分析】可用參數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積

20、函數(shù)的形式，通過分部積分討論.【詳解】方法一：設(shè)x1F(x) 0g(t)f (t)dt 0 f(t)g(t)dt f (x)g(1)，則F(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且F (x) g(x)f (x) f (x)g(1) f (x)g(x)g(1)，由于x 0,1時，f (x)0,g (x)0，因此F (x)0,即F(x)在0，1上單調(diào)遞減.注意到1 1F(1)0g(t)f (t)dt 0 f(t)g (t)dt f (1)g(1)，1 1 11而 0g(t)f(t)dt 0g(t)df(t) g(t)f(t) 00f(t)g(t)dt1=f(1)g(1)0 f(t)g (t)dt,故 F(1

21、)=0.因此x 0,1時，F(xiàn)(x) 0,由此可得對任何 a 0,1，有方法g(x) f (x)dxg(x) f (x)dxf (x)g (x)dxf(a)g(1).g(x)f(x)f (x)g (x)dxa=f (a)g(a)0 f (x)g (x)dx，g(x) f (x)dxf (x)g (x)dx=f(a)g(a)(x)g (x)dxf (x)g (x)dx1f (a)g(a) a f (x)g (x)dx.由于x 0,1時，g (x)0,因此f (x)g (x) f (a)g (x)，x a,1，從而f (x)g (x)dxf (a)g (x)dxf(a)g(1) g(a)，g(x)

22、f (x)dxf (x)g (x)dxf (a)g(a) f (a)g(1)g(a)f(a)g(1).二是通【評注】對于積分不等式的證明，主要有兩個途徑：一是轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式,過恒等變形，如變量代換、分部積分等，再用積分的不等式性質(zhì)進行討論完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.115【例4.4246】(20) (本題滿分13分) 已知齊次線性方程組X12x23x30,(i)2X13x25x30,X1X2ax30,(ii)x1 bx2cx3 0,2 2x1 b x2 (c 1)x30,同解，求a,b, c的值.【分析】 方程組（ii）顯然有無窮多解，于是方程組（i）也有無窮多解，從而可確定 a

23、,這樣先求出（i）的通解，再代入方程組（ii）確定b,c即可.【詳解】 方程組（ii）的未知量個數(shù)大于方程個數(shù)，故方程組方程組（ ii）有無窮多解 因為方程組（門與（ii）同解，所以方程組（i）的系數(shù)矩陣的秩小于3.對方程組（i）的系數(shù)矩陣施以初等行變換123101235011 ，11a00a 2從而a=2.此時,方程組（i)的系數(shù)矩陣可化為123101235011 ，112000故（1, 1,1）T是方程組（i）的一個基礎(chǔ)解系.將洛1, x21,x31代入方程組（ii）可得b 1,c2 或 b 0,c 1.當 b 1,c2時，對方程組（ii）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有顯然此時方程組（i ）

24、與（ii）同解.0,c1時，對方程組（ii）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有顯然此時方程組（i ）與（ii）的解不相同綜上所述，當a=2,b=1,c=2時，方程組（與（ii）同解.a 20，得 a=2.123【評注】本題求a也可利用行列式23511a本題也可這樣考慮:X12x23x30,2x13x25X30,方程組X1X2ax30,必存在無窮多解，化系數(shù)矩陣為階梯形，可確定X1bx2cx30,22xi b X2(c 1)X30a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再對兩組數(shù)據(jù)進行討論即可完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.355【習題3( 7)】(21) (本題滿分13分)設(shè)A為三階

25、矩陣，2, 3是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足A 1123， A 2 2 23， A32 2 3 3.(I)求矩陣 B,使得 A( 1, 2, 3) ( 1, 2, 3)B ；(II)求矩陣A的特征值；(III )求可逆矩陣P,使得P 00可知 B 122.113(II)因為1, 2, 3是線性無關(guān)的三維列向量，可知矩陣C 1, 2,3可逆，所以C 1AC B，即矩陣A與B相似，由此可得矩陣 A與B有相同的特征值1 0 0 122(1) (4)0，113得矩陣B的特征值，也即矩陣 A的特征值121, 34.(III)對應(yīng)于121，解齊次線性方程組(E-B)X=0，得基礎(chǔ)解系1( 1,1,0)T，

26、2( 2,0,1)T ；AP為對角矩陣【分析】 利用(I)的結(jié)果相當于確定了A的相似矩陣，求矩陣 A的特征值轉(zhuǎn)化為求 A的相似矩陣的特征值1 0 0【詳解】 A( 1, 2,3)( 1,2,3) 122 ,113對應(yīng)于4，解齊次線性方程組(4E-B)X=0，得基礎(chǔ)解系3 (0,1,1)T.,_1 11因 Q BQ Q C ACQ1(CQ) A(CQ)，記矩陣P CQ1 2 0231010 112,213,23，令矩陣120Q 123101011100則1Q 1BQ010 .004故P即為所求的可逆矩陣【評注】本題未知矩陣A的具體形式求其特征值及相似對角形，問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為A的相似矩陣進行分析

27、討論，這種處理思路值得注意完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習指南(經(jīng)濟類)P.370【例5.19(22) (本題滿分13分)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為1,0 x 1,0 y 2x,f(x，y)0,其他.'求：(I) (X,Y)的邊緣概率密度fX (x), fY(y)；(II)Z 2X Y的概率密度fz(z).(III )PY 12【分析 用分布函數(shù)法, 式計算即可.【詳解(I)關(guān)于X的邊緣概率密度求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機變量函數(shù)的概率密度，一般 即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度；直接用條件概率公(II)3)fx（X）=關(guān)于Yfy(y) =令 Fz(z)即分布函數(shù)為:f (X, y)dy =2x,0 x 1,0,其他.的邊緣概率密度f (X, y)dx =0時,2x0 dy,°0,1y dx, 020,x 1,其他.y 2,其他.y 02,0,PZy 2,其他.z P2XFz(z) P2X Yz 2 時，F(xiàn)z(z) P2X2 時，F(xiàn)z(z)Fzz故所求的概率密度為：f Z （z）(III) PY 1 X 12 2=zP2X0,1 2z41,zz，z1 24z ;Y z1