2022年一輪復(fù)習(xí)配套講義：第2篇第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、第 5 講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱 1了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景2理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算3理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,3,10，12，13的指數(shù)函數(shù)的圖象4體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 知 識(shí) 梳 理1根式(1)根式的概念根式的概念符號(hào)表示備注如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根n1 且 nn*當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n 次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 n 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)na 零的 n次方根是零當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n 次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)na 負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根(2)兩個(gè)重要公式nana，n

2、為奇數(shù)，|a|a，a0，a，a0，n 為偶數(shù)(na)na. 2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念零指數(shù)冪： a01(a0)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： ap1ap(a0，pn*)；正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：anmnam(a0，m，n n*，且 n1)；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：anmanm11nam(a0，m，nn*，且 n1)；0 的正分?jǐn)?shù)指

3、數(shù)冪等于0,0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)arasars(a0，r，sq)；(ar)sars(a0，r，sq)；(ab)rarbr(a0，b0，rq)3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yaxa10a1 圖象定義域r值域(0， ) 性質(zhì)過(guò)定點(diǎn) (0,1) 當(dāng) x0 時(shí)，y1；x0 時(shí)，0y1 當(dāng) x0 時(shí)，0y1；x0 時(shí)，y1 在(， )上是增函數(shù)在(， )上是減函數(shù)辨 析 感 悟1指數(shù)冪的應(yīng)用辨析(1)(42)42.() (2)(教材探究改編 )(nan)a.() 2對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解(3)函數(shù) y3 2x是指數(shù)函數(shù) () (4)y1ax是 r 上的減函數(shù) () (5)指數(shù)函數(shù)在同一直角

4、坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)的大小關(guān)系如圖，無(wú)論在 y 軸的左側(cè)還是右側(cè)圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小() (6)(2013 金華調(diào)研改編 )已知函數(shù)f(x)4ax1(a0 且 a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)p，則點(diǎn)p 的坐標(biāo)是(1,5)() 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -感悟 提升 1“nan”與“nan”的區(qū)別當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，或當(dāng) n

5、 為偶數(shù)且 a0 時(shí)，nana，當(dāng) n 為偶數(shù)，且 a0 時(shí)，nana，而(na)na 恒成立如 (1)中42不成立， (2)中6223232. 2兩點(diǎn)注意一是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是底數(shù)a 的大小決定的， 因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a 按 0a1 和 a1 進(jìn)行分類討論，如 (4)；二是指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象與底數(shù)的大小關(guān)系，在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在 y 軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大如(5). 學(xué)生用書第 22 頁(yè)考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算【例 1】 (1)計(jì)算：20.5321132234350.0080.020.3289 0.062 50.25；(2)若12x12x3

6、，求33222223xxxx的值解(1) 原 式 3282712499231000850 4 210146251000049732515 24 21012 1792 229. (2)由12x12x3，得 xx129，xx17，x2x2249，x2x247.3322xx1122xx331122xx27918，原式18247325. 規(guī)律方法進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序需注意下列問(wèn)題：(1)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示；(2)應(yīng)用平方差、完全平方公式及精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

7、- - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -apap1(a0)簡(jiǎn)化運(yùn)算答案c 考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【例 2】 (1)(2014 鄭州模擬 )已知函數(shù) f(x)2x2，則函數(shù) y|f(x)|的圖象可能是 ()(2)下列各式比較大小正確的是()a1.72.51.73b0.610.62c0.80.11.250.2d1.70.30.93.1解析(1)y2x向下平移2個(gè)單位y2x2 把x軸下方的部分翻折

8、上去y|f(x)|. (2)a 中，函數(shù) y1.7x是增函數(shù)， 2.53，1.72.51.73. b 中， y0.6x是減函數(shù)， 10.62. c 中， (0.8)11.25，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與 1.250.2的大小y1.25x是增函數(shù)， 0.10.2，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -1.250.11.250.2，即 0.

9、80.11,0.93.10.93.1. 答案(1)b(2)b 規(guī)律方法 (1)對(duì)指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等 )的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得解(2)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解【訓(xùn)練 2】 已知實(shí)數(shù) a，b 滿足等式 2 011a2 012b，下列五個(gè)關(guān)系式： 0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有()a1 個(gè)b2 個(gè)c3 個(gè)d4 個(gè)解析設(shè) 2 011a2 012bt，如圖所示，由函數(shù)圖象，可得(1)若 t1，則有 ab0；(2)若 t1，則有 a

10、b0；(3)若 0t1，則有 ab0. 故可能成立，而不可能成立答案b 考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【例 3】 已知函數(shù) f(x)12x112x3. (1)求函數(shù) f(x)的定義域；(2)討論 f(x)的奇偶性；(3)求證： f(x)0. 審題路線由 2x10 可求 f(x)的定義域 ? 分別求 g(x)12x112與 h(x)x3的奇偶性 ? 可利用 g(x) g(x)0 判斷 g(x)的奇偶性 ? 利用“奇奇偶，奇 偶奇 ”判斷 f(x)的奇偶性 ? 先證 x0 時(shí)，f(x)0? 再證 x0 時(shí)，f(x)0. 解(1)由 2x10 可解得 x0，定義域?yàn)?x|x0(2)令 g(x)12x1

11、12，h(x)x3. 則 h(x)為奇函數(shù)， g(x)g(x)12x11212x1122x12x12x110. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -g(x)為奇函數(shù)，故 f(x)為偶函數(shù)(3)證明當(dāng) x0 時(shí)，2x10，12x112x30，即 f(x)0.又f(x)是偶函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)f(x)0，f(x)在(， 0)(0， )

12、上恒大于零 f(x)0. 規(guī)律方法 (1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，與前面所講一般函數(shù)的求解方法一致，只需根據(jù)條件靈活選擇即可. 學(xué)生用書第 23 頁(yè)【訓(xùn)練 3】 已知定義域?yàn)?r 的函數(shù) f(x)2xb2x1a是奇函數(shù)(1)求 a，b 的值；(2)解關(guān)于 t 的不等式 f(t22t)f(2t21)0. 解(1)因?yàn)?f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù)，所以f(0)0，即1b2a0，解得 b1，所以 f(x)2x12x1a.又由 f(1)f(1)知214a1211a.解得 a2. (2)由(1)知

13、 f(x)2x12x121212x1. 由上式易知 f(x)在(， )上為減函數(shù) (此外可用定義或?qū)?shù)法證明函數(shù)f(x)在 r 上是減函數(shù) )又因?yàn)?f(x)是奇函數(shù)， 所以不等式 f(t22t)f(2t21)0 等價(jià)于 f(t22t)2t21，即 3t22t10，解不等式可得t t1或t13. 1判斷指數(shù)函數(shù)圖象的底數(shù)大小的問(wèn)題，可以先通過(guò)令x1 得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較2對(duì)和復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成3畫指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)， 1，1a. 4熟記指數(shù)函數(shù)y10 x，y2x，y110 x，y12x在

14、同一坐標(biāo)系中圖象的相對(duì)位置，由此掌握指數(shù)函精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -數(shù)圖象的位置與底數(shù)大小的關(guān)系易錯(cuò)辨析 2忽略討論及驗(yàn)證致誤【典例】 (2012 山東卷 )若函數(shù) f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值為 4，最小值為 m，且函數(shù) g(x)(14m) x在0， )上是增函數(shù)，則 a_. 解析若 a1，有 a24，a1m，

15、此時(shí) a2，m12，此時(shí) g(x)x為減函數(shù)，不合題意若0a1，有 a14，a2m，故 a14，m116，檢驗(yàn)知符合題意答案14易錯(cuò)警示 (1)誤以為 a1，未進(jìn)行分類討論從而求得錯(cuò)誤答案(2)對(duì)條件 “g(x)在0，)上是增函數(shù) ”不會(huì)使用，求得結(jié)果后未進(jìn)行檢驗(yàn)得到兩個(gè)答案防范錯(cuò)施 (1)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)， 單調(diào)性不明確， 從而無(wú)法確定其最值， 故應(yīng)分 a1 和 0a1兩種情況討論(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法之一，熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是求解的基礎(chǔ)【自主體驗(yàn)】當(dāng) x2,2時(shí)，ax0，且 a1)，則實(shí)數(shù) a 的范圍是 ()a(1，2) b.22，1c.22，1 (1，2) d(0,1)(1，2) 解析x2,2時(shí)，ax0，且 a1)，若 a1，yax是一個(gè)增函數(shù)，則有a22，可得 a2，故有 1a2；若 0a1，yax是一個(gè)減函數(shù)，則有a222，故有22a7是定義域上的遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是()a.13，12b.13，611c.12，23d.12，611解析函數(shù) f(x)13a x10a，x7，