用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征2

1、 第二章第二章 統(tǒng)計統(tǒng)計2.2.2 2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計用樣本的數(shù)字特征估計 總體的數(shù)字特征總體的數(shù)字特征眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù) 思考：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖思考：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個小矩形內(nèi)？由此估計總體的眾數(shù)中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個小矩形內(nèi)？由此估計總體的眾數(shù)是什么？是什么？ 月 均 用 水月 均 用 水量量/t頻率頻率組距組距0.50.50.40.40.30.30.20.20.10.10.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

2、 O取最高矩形下端取最高矩形下端中點的橫坐標(biāo)中點的橫坐標(biāo)2.252.25作為眾數(shù)作為眾數(shù). . 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是，平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是，平均數(shù)有時也會使我們作出對總體的片面判斷，難平均數(shù)有時也會使我們作出對總體的片面判斷，難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)，而數(shù)據(jù)的離散程度可以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)，而數(shù)據(jù)的離散程度可以用以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述。來描述。為了表示樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度，通常要求為了表示樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度，通常要求出出樣本方差樣本方差或者它的或者它的算術(shù)平方根算術(shù)平方根. .思考思考1

3、1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊1010次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 47 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 79 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？77xx乙甲， 思考思考2 2：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？的頻率分布條形圖，你能說明其水平

4、差異在那里嗎？環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（甲）（甲）環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（乙）（乙）甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，比較穩(wěn)定比較穩(wěn)定. .環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)思考思考3 3：對于樣本數(shù)據(jù)：對于樣本數(shù)據(jù)x x1 1，x x2 2，x xn n，設(shè)想通過各數(shù)，設(shè)想通過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，據(jù)到其平均數(shù)的平均距離

5、來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個平均距離如何計算？那么這個平均距離如何計算？ nxxxxxxn.21標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量。小的重要的量。222121()()() nsxxxxxxn計算標(biāo)準(zhǔn)差的算法：計算標(biāo)準(zhǔn)差的算法： 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差方差方差（1 1）方差方差：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，x x1 1，x x2 2，x xn n中，各數(shù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x x的差的平方分別是的差的平方分別是2221

6、2() ,() ,()nxxxxxx那么我們用它們的平均數(shù)，即那么我們用它們的平均數(shù)，即2222121()()() nsxxxxxxn 來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的方差方差，一組數(shù)據(jù)方差越大，則這組數(shù)據(jù)波動，一組數(shù)據(jù)方差越大，則這組數(shù)據(jù)波動越大。越大。 思考思考4 4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s s表示表示. .假設(shè)樣本數(shù)據(jù)假設(shè)樣本數(shù)據(jù)x x1 1，x x2 2，x xn n的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，則標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式是：，則標(biāo)準(zhǔn)差的計

7、算公式是： 那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0 0的樣本數(shù)據(jù)的樣本數(shù)據(jù)有何特點？有何特點？ s0s0，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為0 0的樣本數(shù)據(jù)都相等的樣本數(shù)據(jù)都相等. . xnxxxxxxsn22221)()(）（思考思考5 5：對于一個容量為：對于一個容量為2 2的樣本：的樣本：x x1 1，x x2 2(x(x1 1x x2 2) )，則則 , , 在數(shù)軸上，這兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)有什么幾何意義？由此說明標(biāo)在數(shù)軸上，這兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)有什么幾何意義？由此說明標(biāo)準(zhǔn)差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？準(zhǔn)差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？ 122xxx+=212xxs-=標(biāo)準(zhǔn)

8、差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小離標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍. . 知識補充知識補充1.1.標(biāo)準(zhǔn)差的平方標(biāo)準(zhǔn)差的平方 稱為方差，有時用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測稱為方差，有時用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測量樣本數(shù)據(jù)的離散度量樣本數(shù)據(jù)的離散度. .方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測量效果是一致方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測量效果是一致的，在實際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差的，在實際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差. .2s2.2.現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往很多，總體的平均現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，我們通常用樣本的平均數(shù)和標(biāo)

9、準(zhǔn)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，我們通常用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，但要求樣本有較好的差去估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，但要求樣本有較好的代表性代表性. .例例1 1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點說明他們的異同點. .(1) (1) ，；，；(2) (2) ，；，；O O頻率頻率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （1）50 xs=O O頻率頻率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （2）50. 82xs=(3) (3) ，；，；

10、(4) (4) ，. .頻率頻率1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 O O（3 3）頻率頻率1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 O O（4 4）51. 49xs=52. 83xs=例例2 2 甲、乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為甲、乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm25.40mm的一種零件，的一種零件，為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比，從他們生產(chǎn)的零件中為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比，從他們生產(chǎn)的零件中各隨機抽取各隨機抽取2020件，量得其內(nèi)

11、徑尺寸如下（單位：件，量得其內(nèi)徑尺寸如下（單位：mmmm）：）：甲甲 ：25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.3925.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙：乙：25.40 25.43 25.44 25.4

12、8 25.48 25.47 25.49 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.4825.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產(chǎn)零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的零件質(zhì)量較高？從生產(chǎn)零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的零件質(zhì)量較高？ 甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)，且穩(wěn)定程度較高，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑更接近內(nèi)

13、徑標(biāo)準(zhǔn)，且穩(wěn)定程度較高，故甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量較高故甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量較高. . 說明：說明：. .生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個角度來衡量，但甲、乙兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都角度來衡量，但甲、乙兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的，我們就用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差估計總是不知道的，我們就用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差. . 068.0037.0406.25401.25乙甲乙甲ssxx例例2. 2. 計算數(shù)據(jù)計算數(shù)據(jù)5 5，7 7，7 7，8 8，1010，1111的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差. .解：解：S1 x= =85+7+7+8

14、+10+116數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) xiS1 xS2 xixS3 (xix)258397811781188001082411839S4 s2= =4；9+1+1+0+4+96S5 .24 s所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是2.2.例例3 3 以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學(xué)錄取的新生高考總以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學(xué)錄取的新生高考總分的中位數(shù)基本穩(wěn)定在分的中位數(shù)基本穩(wěn)定在550550分，若某同學(xué)今年高考得了分，若某同學(xué)今年高考得了520520分，他想報考這所大學(xué)還需收集哪些信息？分，他想報考這所大學(xué)還需收集哪些信息？要點：（要點：（1 1）查往年錄取的新生的平均分?jǐn)?shù)）查往年錄取的新生的平均分?jǐn)?shù). .若

15、平均數(shù)小于中位數(shù)若平均數(shù)小于中位數(shù)很多，說明最低錄取線較低，可以報考；很多，說明最低錄取線較低，可以報考；（2 2）查往年錄取的新生高考總分的標(biāo)準(zhǔn)差）查往年錄取的新生高考總分的標(biāo)準(zhǔn)差. .若標(biāo)準(zhǔn)差較大，說明若標(biāo)準(zhǔn)差較大，說明新生的錄取分?jǐn)?shù)較分散，最低錄取線可能較低，可以考慮報考新生的錄取分?jǐn)?shù)較分散，最低錄取線可能較低，可以考慮報考. .例例4 4 在去年的足球甲在去年的足球甲A A聯(lián)賽中，甲隊每場比賽平均失球數(shù)聯(lián)賽中，甲隊每場比賽平均失球數(shù)是是1.51.5，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.11.1；乙隊每場比賽；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是平均失球數(shù)是2.12.1，全年比

16、賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4.0.4.你你認(rèn)為下列說法是否正確，為什么？認(rèn)為下列說法是否正確，為什么？ （1 1）平均來說甲隊比乙隊防守技術(shù)好；（）平均來說甲隊比乙隊防守技術(shù)好；（2 2）乙隊比甲隊）乙隊比甲隊技術(shù)水平更穩(wěn)定；（技術(shù)水平更穩(wěn)定；（3 3）甲隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又）甲隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；（非常好；（4 4）乙隊很少不失球）乙隊很少不失球. .小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.對同一個總體，可以抽取不同的樣本，相應(yīng)的平均數(shù)對同一個總體，可以抽取不同的樣本，相應(yīng)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都會發(fā)生改變與標(biāo)準(zhǔn)差都會發(fā)生改變. .如果樣本的代表性差，則對總?cè)绻麡颖镜拇硇圆?，則對總體所作的估計就會產(chǎn)生偏差；如果樣本沒有代表性，則體所作的估計就會產(chǎn)生偏差；如果樣本沒有代表性，則對總體作出錯誤估計的可能性就非常大，由此可見