高二數(shù)學(xué)橢圓地第二定義

1、實用文檔 文案大全 高二數(shù)學(xué)橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系知識精講 一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系 知識點 1. 第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù) ecaeM?()01的動點的軌跡叫做橢圓，定點為橢圓的一個焦點，定直線為 橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 注意：對對應(yīng)于右焦點，的準(zhǔn)線稱為右準(zhǔn)線，xaybabFc22222100?()() 方程是，對應(yīng)于左焦點，的準(zhǔn)線為左準(zhǔn)線xacFcxac?2120() e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比。 2. 焦半徑及焦半徑公式： 橢圓上一個點到

2、焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。 對于橢圓，設(shè)，為橢圓上一點，由第二定義：xaybabPxy22210?()() 左焦半徑·左左rxaccarexcaacaex02020? 右焦半徑右右racxcaraex200? 3. 橢圓參數(shù)方程 問題：如圖以原點為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx，垂足為N，過點B作BNAN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞實用文檔 文案大全 O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡的參數(shù)方程。 解：設(shè)點的坐標(biāo)是，是以為始邊，為終邊的正角，取為Mxy()?Ox? 參數(shù)。 那么xONOAyNMOBxayb?|cos

3、|sincossin()?1 這就是橢圓參數(shù)方程：為參數(shù)時，稱為“離心角”? 說明：<1> 對上述方程（1）消參即 xaybxayb?cossin?22221普通方程 <2>由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進行三角變形即得參數(shù)方程。 4. 補充 名稱 方程 參數(shù)幾何意義 直線 xxtyytt?00cossin()?為參數(shù) Pxy000()，定點，?傾斜角,tPP?0，P（x，y）動點 圓 xarybr?cossin()?為參數(shù) A（a，b）圓心，r半徑， P（x，y）動點，?旋轉(zhuǎn)角 橢圓 xayb?cossin()?為參數(shù) a長半軸長，b短半軸長 ?離心角不是與的夾角

4、()OMOx 一般地，?、取，02 5. 直線與橢圓位置關(guān)系： （1）相離 實用文檔 文案大全 xaybykxb22221? 相離無解?xaybykxb22221 求橢圓上動點P（x，y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結(jié)合，求平行線間距離，作l'l且l'與橢圓相切） 關(guān)于直線的對稱橢圓。 （2）相切 相切有一解?xaybykxb22221 過橢圓上一點，的橢圓的切線方程為Pxyxxayyb00002021()? ()312222相交有兩解?xaybykxb 弦長公式： |()()ABxxyy?122122 ?14212212kxxxx() 實用文檔

5、文案大全 ?1212kxx| ?12ka·?| 作差法中點：斜率?)( 例 1. 已知，是橢圓的右焦點，點在橢圓上移動，當(dāng)AFxyM()?231612122 |MA|2|MF|取最小值時，求點M的坐標(biāo)。 分析：結(jié)合圖形，用橢圓的第二定義可得|'|MAMFMAMPAA?2 這里|MP|、|AP|分別表示點A到準(zhǔn)線的距離和點M到準(zhǔn)線的距離。 解：設(shè)直線是橢圓的右準(zhǔn)線，垂足為，則，lMPlPMFMPeMPe|?1 |MFabceMPeMF，由已知方程得，由此得?4232121 2|MF，從而得 |'|MAMFMAMPAAMAPMAP?2，即當(dāng)點、三點共線且是內(nèi)分點 時，等號

6、成立，此時取得最小值，點的坐標(biāo)為，|()MAMFM?2233 例 2. 橢圓的焦點為、，點為其上的動點，當(dāng)為鈍角xyFFPFPF221212941? 時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是_。（2000年全國高考題） 分析：可先求F1PF290°時，P點的橫坐標(biāo)。 解：法一 在橢圓中，依焦半徑公式知，abcPFx?3253531| 實用文檔 文案大全 |PFxFPFPFPFFF2121222122353?，由余弦定理知為鈍角 ()()()3533532595552222?xxxx，應(yīng)填 法二 設(shè)，則當(dāng)°時，點的軌跡方程為，PxyFPFPxy()1222905? 由此可得點的橫坐標(biāo)

7、77;，點在軸上時，；點在軸上PxPxFPFPy?35012 時，為鈍角，由此可得點橫坐標(biāo)的取值范圍是FPFPx123535? 小結(jié)：本題考查橢圓的方程、焦半徑公式，三角函數(shù)，解不等式知識及推理、計算能力。 例 3. 過橢圓內(nèi)一點，引一條弦，使弦被點平分，求這條xyMM22164121?() 弦所在的直線方程。 分析：本例的實質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進一步的研究。 解：法一 設(shè)所求直線方程為，代入橢圓方程并整理，得ykx?12() ()()()4124211602222kxkkxk?，又設(shè)直線與橢圓的交點為 AxyBxyxxxxkkk()(

8、)()11221212228241，、，則、是方程的兩個根，于是，? 又為的中點，解之得，故所求直線方MABxxkkkk122224241212?() 程為xy?240 法二 設(shè)直線與橢圓的交點為，、，為的中點，AxyBxyMAB()()()112221 ，又、兩點在橢圓上，則，xxyyABxyxy121212122222424164? ?164012221222，兩式相減得()()xxyy yyxxxxyy12121212412?() 實用文檔 文案大全 即，故所求直線為kxyAB?12240 法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A（x，y），由于中點為M（2，1）， 則另一個交點為，Bxy(

9、)42? 、兩點在橢圓上，有，ABxyxy222241644216?()() 得：?xy240 由于過、的直線只有一條，故所求直線方程為ABxy?240 法四 直線方程為xtyt?21cossin? 代入橢圓得：(cos)(sin)24116022?tt? 444841602222?ttttcoscossinsin? (sincos)(sincos)48480222?tt ，tt122208440?sincossincos? 820sincos? ，8212sincostan? 即，故所求直線為kxyAB?12240 例4. 已知橢圓，在橢圓上求一點，使到直線：xyPPlxy228840? 的

10、距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？ 解：法一 設(shè)，由參數(shù)方程得P(cossin)()22? 則d?|cossin|sin()|2242342? 其中，當(dāng)時，tanmin?2221222d 此時，cossinsincos?22313 實用文檔 文案大全 即點坐標(biāo)為，PP()?8313 法二 因與橢圓相離，故把直線平移至，使與橢圓相切，則與的距離，llllll''' 即為所求的最小值，切點為所求點最大('')l? 設(shè)：，則由消得lxymxymxyx'?008822 9280449802222ymymmm?，令×?() 解之得±

11、;，為最大，由圖得mm?333() 此時，由平行線間距離得Pl()min?831322 例 5. 已知橢圓：，是橢圓上一點ExyPxy2225161?() ()122求的最大值xy? （2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點A的橫坐標(biāo)為5，點C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形ABCD的最大面積。 分析：題（1）解題思路比較多。法一：可從橢圓方程中求出y2代入x2+y2，轉(zhuǎn)化為 xxyxy的二次函數(shù)求解。法二：用橢圓的參數(shù)方程，將、代入，轉(zhuǎn)化為三角22? 問題求解。法三：令，則利用圓與橢圓有公共點這一條件求的最xyrr2222? 值，解題時可結(jié)合圖形思考。得最大值為25，最小值為16。 題（2）可將四邊形A

12、BCD的面積分為兩個三角形的面積求解，由于AC是定線段，故長度已定，則當(dāng)點B、點D到AC所在直線距離最大時，兩個三角形的面積最大，此時 四邊形的面積最大。求得ABCD202 解：()()125161161252222法一由得，xyyx? 實用文檔 文案大全 則，xyxxx2222216125169251625?() 的最大值為，最小值為xy222516? 法二：令，xy?54cossin? 則，xy2222225161691625?cossincos? 法三令，則數(shù)形結(jié)合得，xyrr22221625? （2）由題意得A（5，0），C（0，4），則直線AC方程為：4x5y20 ?054，又設(shè)，則

13、點到直線的距離BBAC(cossin)? d120202041202420412022041?|cossin|sin()|? 同理點到直線的距離DACd22022041? 四邊形的最大面積SACdd?|()12202 例 6. 已知橢圓，是橢圓上兩點，線段的垂直平xaybabABAB222210?() 分線與x軸相交于點P（x0，0）。 求證：?abaxaba22022 （1992年全國高考題） 分析：本題證明的總體思路是：用、兩點的坐標(biāo)、及、來表示，ABxxabx120 利用證明?2212axxa 證明：法一 設(shè)，、，由題意知且，AxyBxyxxPx()()()11221200 由得|()(

14、)PAPBxxyxxy?1021221222 又、兩點在橢圓上，ABybxaybxa12212222222211?()() 實用文檔 文案大全 代入整理得，22102212222()()xxxxxaba? ，有·xxxxxaba120122222? 又，且?axaaxaxx1212 ?2212axxa 由此得?abaxaba22022 法二 令，則以為圓心，|PArP? rxxyr為半徑的圓的方程為()?0222 圓與橢圓交于、兩點PxaybabAB222210?() 由、消去整理得yabaxxxxrb22220022220? 由韋達定理得，xxaxabaa122022222?()

15、?abaxaba22022 法三 設(shè)，、，的中點為、AxyBxyABMmn()()()1122 ，xxmyyn121222? 又、兩點在橢圓上，ABxaybxayb12212222222211? 則兩式相減得()()()()xxxxayyyyb12122121220? 將及，代入整理得：yyxxmxnxxmyyn12120121222? xabamxxaba0222122222?·，下略 實用文檔 文案大全 這種解題方法通常叫做“端點參數(shù)法”或叫做“設(shè)而不求”。 例 7. 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在軸，離心率，已知點，xeP?32032() 到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢

16、圓的方程，并求橢圓上到點的7P 距離等于的點的坐標(biāo)7 解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 xaybab?cossin()?，其中，002 由，得ecabaab22221342?() 設(shè)橢圓上的點，到點的距離為()xyPd 則dxy22232?() ?ab22232cos(sin)? ?31243222bbb(sin)? 如果即12112bb? 那么當(dāng)時，取得最大值sin()()?1732222db 由此得與矛盾bb?7321212 因此必有，此時當(dāng)時，取得最大值12112743222bbdb?sin()? 解得，ba?12 所求橢圓的參數(shù)方程是xy?2cossin? 實用文檔 文案大全 由，±

17、;sincos?1232 求得橢圓上到點的距離等于的點是，與，P7312312()()? 解法二：設(shè)所求橢圓的方程為xaybab222210?() 由，解得ecababa222213412?() 設(shè)橢圓上的點，到點的距離為()xyPd 則dxy22232?() ?aabyy2222232() ?3349422yyb ?3124322()yb 其中，如果，則當(dāng)時?bybbyb12 db222732取得最大值()()? 解得與矛盾bb?7321212 故必有b?12 當(dāng)時，取得最大值ydb?12743222() 解得，ba?12 所求橢圓方程為xy2241? 由可求得到點的距離等于的點的坐標(biāo)為&#

18、177;，yP?127312() 小結(jié)：橢圓的參數(shù)方程是解決橢圓問題的一個工具，但不是所有與橢圓有關(guān)的問題必須用參數(shù)方程來解決。 實用文檔 文案大全 【模擬試題】 1. 已知橢圓xaybab222210?()的焦點坐標(biāo)是FcFcPxy120000()()()?，和，是橢圓上的任一點，求證：|PFaexPFaexe1020?，其中是橢圓的離心率。 2. 在橢圓xy222591?上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍。 3. 橢圓()()|xyxy?1143331022的長軸長是_。 4. 橢圓yaxbabFcFcc22221210000?()()()()的兩焦點為， ，離心率e?3

19、2 ，焦點到橢圓上點的最短距離為23?，求橢圓的方程。 5. 已知橢圓的一個焦點是F（1，1），與它相對應(yīng)的準(zhǔn)線是xy?40， 離心率為22，求橢圓的方程。 6. 已知點P在橢 圓yaxbab222210?()上，F(xiàn)F12、為橢圓的兩個焦點，求|PFPF12·的取值范圍。 7. 在橢圓xyt2281?內(nèi)有一點A（2，1），過點A的直線l的斜率為1，且與橢圓交于B、C兩點，線段BC的中點恰好是A，試求橢圓方程。 8. 已知橢圓xy2225161?，在橢圓上求一點M，使它到兩焦點距離之積為16。 9. 如圖，已知曲線49360022xyxy?()，點A在曲線上移動，點C（6，4），以AC

20、為對角線作矩形ABCD，使ABx軸，ADy軸，求矩形ABCD的面積最小時點A坐標(biāo)。 實用文檔 文案大全 參考答案 1. 證明：橢圓xayb2222?10()ab的兩焦點FcFc1200()()?，、，相應(yīng)的準(zhǔn)線 方程分別是xacxac?22和。 橢圓上任一點到焦點的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個橢圓的離心率， |PFxacePFacxe102220?，。 化簡得|PFaexPFaex1020?，。 點評：|PFPF12、都是橢圓上的點到焦點的距離，習(xí)慣稱作焦半徑，|PFaexPFaex1020?，稱作焦半徑公式，結(jié)合這兩個公式，顯然到焦點距離最遠（近）點為長軸端點。 2. 解：設(shè)P點的坐

21、標(biāo)為（x，y），F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點。 橢圓的準(zhǔn)線方程為x?±254， |PFxPFx12254254? |PFPF122? ，2254254251222|PFxPFxx? 把代入方程xxy?2512259122 得±y?1194 因此，P 點的坐標(biāo)為()25121194，±。 點評：解決橢圓上的點到兩焦點的距離（焦半徑）問題，常利用橢圓的第二定義或焦半徑公式。如果利用焦半徑公式，應(yīng)先利用第二定義證明焦半徑公式。 3. 323 解析：橢圓的方程可寫成 實用文檔 文案大全 ()()|xyxy?11433351222， ca?12 一個焦點是（1，1），相對應(yīng)的準(zhǔn)線方程是43330xy?， acc2433358?| 由、得aa?1632323，。 4. 解：橢圓的長軸的一個端點到焦點的距離最短， ac?23 又eca?32， ，故ab?21 橢圓的方程為yx2241? 5. 解：設(shè)P（x，y）為橢圓上任意一點， 橢圓的一個焦點是F（1，1）， 與它相對應(yīng)的準(zhǔn)線是xy?40 ，離心