2022年《高中數(shù)學(xué)通過“猜想”培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力》

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高中數(shù)學(xué)通過“猜想”培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力個 案 分 析上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)張勇華數(shù)學(xué)是一種應(yīng)用的工具，是提高思維能力的有力手段。它給予學(xué)生的不只是知識，更重要在于使學(xué)生受到數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。目前新教材內(nèi)容在知識呈現(xiàn)方面重視知識的形成過程，注意創(chuàng)新能力的開發(fā)和形象思維能力的培養(yǎng)。教學(xué)內(nèi)容的改革，要求教學(xué)方法改革相并而行。創(chuàng)造性思維是思維能力的重要組成部分。數(shù)學(xué)創(chuàng)造性是指對數(shù)學(xué)知識的提高和飛躍。它是最可寶貴的，而數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力的培養(yǎng)發(fā)展又是最困難的。本人曾進(jìn)行一些通過引導(dǎo)學(xué)生猜想來培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的實(shí)踐，取得較好效果。猜想是對研究的問題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、

2、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測性想象的思維方法;猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，數(shù)學(xué)理論的重大突破，常常起源于立意深邃的猜想；猜想是一種創(chuàng)造性思維活動，是發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論、研究解題問題的重要途徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，指導(dǎo)學(xué)生從特殊中尋找一般規(guī)律、尋找和解決自己所未發(fā)現(xiàn)及所未解決的問題。猜想的基本形式是多樣的，諸如探索性猜想、歸納性猜想、類比性猜想、構(gòu)造性猜想、數(shù)形結(jié)合性猜想等。下面就以本人的兩個教學(xué)實(shí)例來談?wù)勅绾瓮ㄟ^數(shù)形結(jié)合猜想和類比歸納性猜想來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。實(shí)例一 ：數(shù)形結(jié)合引出的猜想：),(nmnnm的一個性質(zhì)。數(shù)形結(jié)

3、合引出猜想是指圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展,從中得到新命題、新知識的猜想。一、基本知識 :兩個基本等式及相應(yīng)的直觀圖：135()212nn() 7 5 3 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 123333+321 (3n2)n() 27 8 1 二、猜想 1 1:提出問題 :基本等式 ()可理解為自然數(shù)的平方(n2)可寫成

4、前n 個連續(xù)奇數(shù)之和。通過對直觀圖 ()觀察能得到什么 ?具體地講 ;23 4333,是否可以分別寫成2 個,3 個4 個數(shù)之和 ?這幾個數(shù)是怎樣的數(shù) ? 2:學(xué)生經(jīng)過仔細(xì)觀察 ,一致認(rèn)為是可以的 ,并列又等式235 37911 413 15 1719333,。3:猜想 1:任意自然數(shù) n 的立方(n3)可寫成連續(xù)的 n 個奇數(shù)之和。4:論證 :學(xué)生通過分組討論 ,認(rèn)為問題的關(guān)鍵是找到這幾個奇數(shù),主要是確定第一個和最后一個數(shù)即可。學(xué)生列出三種方法: 方法1:當(dāng) n 是奇數(shù)時 ,所求n 個奇數(shù)的中間一個是23nnn,第一個數(shù)設(shè)x,則, 1,2)121(22nnxnxn最后一數(shù)12)1(122nn

5、nnn;當(dāng) n 是偶數(shù)時 ,則所 求n個 奇 數(shù) 的 中 間 兩 個 是, 1,122nn設(shè) 第 一 個 數(shù) 為x, 則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載,1,2)12(122nnxnxn最后一數(shù)12)1(122nnnnn。方 法2:第1 個 數(shù)應(yīng) 是 第123221)1(2nnn個 奇 數(shù) ,即 該 數(shù) 為12)122(1

6、22nnnn,最后一數(shù)nn21。方 法3: 設(shè) 第 一 個 數(shù) 為x, 從 該 數(shù) 開 始 連 續(xù)n個 奇 數(shù) 之 和)1(22)1(nxnnnnxsn,就有3) 1(nnxn,xnn21,最后一數(shù)nn21。最后教師歸納結(jié)論 : )3()1(223nnnnn)1(2nnniinn12)12()(i=1, 2,n) 證明:nni221(i=1,2,n)顯然是 n 個連續(xù)奇數(shù)。()()()innninnnn12222113()nnn221n nn()2135()21nnnnn3223說明:方法 3 采用了待定系數(shù)法 ,這是數(shù)學(xué)解題和解決問題的重要方法。三、猜想 2 1.由()與()看到n2與n3都

7、能寫成n 個連續(xù)奇數(shù)之和,相應(yīng)是否可以推廣?即nn45,情況怎樣 ?一般地,nmnm()可否寫成 n 個連續(xù)奇數(shù)之和 ? 2.猜想 2:nmnm()可寫成 n 個連續(xù)奇數(shù)之和。3.論證:經(jīng)過分析 ,一致認(rèn)為問題的關(guān)鍵還是能否找到這n 個奇數(shù)。而要找到n 個奇數(shù),采用上面的方法 1,方法 2 比較困難 ,方法 3 不妨試一試 :設(shè)第一個數(shù)為 x,從該數(shù)開始連續(xù) n 個奇數(shù)之和,1,)1(),1(1nnxnnxnnxnsmmn最后一數(shù)為12)1(111nnnnnmm,得出結(jié)論nnnnnmmm()()1113)12()1(111innnnmnim證明:nniim 1211 2()(, , )n是連續(xù)

8、 n 個奇數(shù)。)3()1()12(1111nnnninnmmmni)12(1innmn nnm()1135()21nnnnnmm22四、練習(xí) (解略) 例 1.把4345,分別寫成 4 個,3 個連續(xù)奇數(shù)和。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 2.把奇數(shù)列以如下方式分組,第 n 組含有 n 個奇數(shù) ,1|3,5|7,9,1

9、1|13,15,17,19| (1)求第 10 組的第 1 個數(shù); (2)求 2005 位于第 n 組第幾位 ; (3)求 2005 所在組的所有奇數(shù)之和 ; (4)求 2005 所在組及它前面的所有組的全體奇數(shù)之和。實(shí)例二:類比歸納猜想 :二項(xiàng)式定理。類比歸納性猜想是指運(yùn)用類比方法,通過觀察、比較 ,從特殊中得到信息 ,從中得出新知識的猜想。二項(xiàng)式定理第一教時難點(diǎn)是容量大,證明過程繁 ,書寫多 ,筆者就從系數(shù)特點(diǎn)入手,進(jìn)而猜想 ,取得較好效果。一:基本知識 :110:cn2:ccnmnn m及cccnmnmnm11二:提出問題 :請學(xué)生仔細(xì)觀察比較下面展開式及系數(shù)特點(diǎn): 系數(shù)特點(diǎn)()ab1a

10、b1 1 ()ab2aabb2221 2 1 ()ab3aa babb3223331 3 3 1 三:猜想 1:4)(ba展開式有幾項(xiàng) ?按字母a的降冪整理結(jié)果怎樣 ?系數(shù)各是什么 ? 猜想得出后 ,按)()()()(4bababababa展開,驗(yàn)證猜想是正確的。四:猜想 2:()ab7情況怎樣 ?()ab100情況又怎樣 ?(按上面規(guī)律()ab7可得到結(jié)論 ,但100)(ba很困難 !) 五:知識分析 :()abaa ba babb4432244464展開式中每項(xiàng)是四個括號,每個里面任取一個字母的乘積 ,因而各項(xiàng)都是四次 ,次數(shù)呈現(xiàn)“a降 b 升”以 b 為標(biāo)準(zhǔn)分析各項(xiàng)的系數(shù) ,四個標(biāo)號都不

11、取b,共有c401種,恰有 1 個取 b,共有c414種,恰有 2 個取 b 共c426種 , 恰 有3個 取b, 共 有c434種 ,4個 都 取b, 共 有c441種 , 因 此()abc ac a bc a bc abc b44044134222433444。六:猜想 3:()ab7的展開式形式 ?即()abc ac a bc a bc a bc a bc a bc abc b77077167232734374347525766777與“四”中猜想比較,結(jié)論是一致的。七;猜想 4:對于任意精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，

12、共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載nnabc ac abc abnnnnnnn,()011222c abnrnrrc bnnn以后證明、楊輝三角介紹、小結(jié)、作業(yè)按常規(guī)不再敘述。上面兩個實(shí)例是“猜想”在新授課及知識新發(fā)現(xiàn)上的應(yīng)用,至于例題教學(xué)中 ,用猜想、歸納、論證例子更多,新教材也增加這部分內(nèi)容,這里不再贅述。在以上兩個實(shí)例教學(xué)中 ,我用各種數(shù)學(xué)思想諸如比較、分類、類比、數(shù)形結(jié)合,歸納演繹和分析綜合等方法,展開知識的形成過

13、程 ,使學(xué)生知道知識的來龍去脈,知其然 ,更知其所以然。通過數(shù)學(xué)猜想訓(xùn)練,提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平和解決問題的能力,更重要的是學(xué)生從中受到數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練,會數(shù)學(xué)地提出問題 ,數(shù)學(xué)地分析和解決問題 ,培養(yǎng)了創(chuàng)造精神 ;學(xué)生在這樣的訓(xùn)練中 ,感到了成功的滿足 ,激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣 ,養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和思維品質(zhì),得到了數(shù)學(xué)美的教育。我以為教“猜測”對所有層次學(xué)生都具有普遍意義。在教學(xué)中運(yùn)用這種教學(xué)方法時,應(yīng)注意循序漸進(jìn) ,要與教科書相結(jié)合 ,舉例盡量要設(shè)置情景,因?yàn)榫唧w、形象的情景,富有魅力 ,能引起學(xué)生觀察、思考、猜想的激情,設(shè)計(jì)時要有梯級 ,讓不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué) ,增加趣味性。通過大膽猜想,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維這一教學(xué)方法