高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理(二)課件 北師大版必修5

1、第二章 解三角形1.2余弦定理(二)1.熟練掌握余弦定理及其變形形式.2.會(huì)用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡(jiǎn)、證明及形狀判斷等問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考知識(shí)點(diǎn)一已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形能.在余弦定理b2a2c22accos b中，已知三個(gè)量acb，abc，cos b，代入后得到關(guān)于a的一元二次方程，解此方程即可.答案梳理梳理已知兩邊及其一邊的對(duì)角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為0,1,2，具體判斷方法如下：設(shè)在abc中，已知a，b及a的值.由正弦定理 ，可求得sin b .(1)當(dāng)a為鈍角

2、時(shí)，則b必為銳角，三角形的解唯一；(2)當(dāng)a為直角且ab時(shí)，三角形的解唯一；(3)當(dāng)a為銳角時(shí)，如圖，以點(diǎn)c為圓心，以a為半徑作圓，三角形解的個(gè)數(shù)取決于a與cd和b的大小關(guān)系：當(dāng)acd時(shí)，無解；當(dāng)acd時(shí)，一解；當(dāng)cdab，則有ab，所以b為銳角，此時(shí)b的值唯一.知識(shí)點(diǎn)二判定三角形的形狀思考1不需要.如果所知條件方便求角，只需判斷最大的角是鈍角，直角，銳角；如果方便求邊，假設(shè)最大邊為c，可用a2b2c2來判斷cos c的正負(fù).而判斷邊或角是否相等則一目了然，不需多說.三角形的形狀類別很多，按邊可分為等腰三角形，等邊三角形，其他；按角可分為鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形.在判斷三角形的形狀時(shí)

3、是不是要一個(gè)一個(gè)去判定？答案思考2a，b(0，)，2a,2b(0,2)，2a2b或2a2b，即ab或ab .abc中，sin 2asin 2b.則a，b一定相等嗎？答案梳理梳理判斷三角形形狀，首先看最大角是鈍角、直角還是銳角；其次看是否有相等的邊(或角).在轉(zhuǎn)化條件時(shí)要注意等價(jià).知識(shí)點(diǎn)三證明三角形中的恒等式思考前面我們用正弦定理化簡(jiǎn)過acos bbcos a，當(dāng)時(shí)是把邊化成了角；現(xiàn)在我們學(xué)了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成邊？答案梳理梳理證明三角恒等式的關(guān)鍵是借助邊角互化減小等式兩邊的差異.題型探究類型一利用余弦定理解已知兩邊及一邊對(duì)角的三角形例例1已知在abc中，a8，b7，b60，求c

4、.由余弦定理b2a2c22accos b，得7282c228ccos 60，整理得c28c150，解得c3或c5.解答引申探究引申探究例1條件不變，用正弦定理求c.解答sin csin(ab)sin(ab)sin acos bcos asin b反思與感悟相對(duì)于用正弦定理解此類題，用余弦定理不必考慮三角形解的個(gè)數(shù)，解出幾個(gè)是幾個(gè). 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1在abc中，角a、b、c所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a ，a ，b1，則c等于 答案解析類型二利用正弦、余弦定理證明三角形中的恒等式例例2在abc中，有(1)abcos cccos b；(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos

5、 a，這三個(gè)關(guān)系式也稱為射影定理，請(qǐng)給出證明.證明方法一(1)由正弦定理，得b2rsin b，c2rsin c，bcos cccos b2rsin bcos c2rsin ccos b2r(sin bcos ccos bsin c)2rsin(bc)2rsin aa.即abcos cccos b.同理可證(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos a.方法二(1)由余弦定理，得同理可證(2)bccos aacos c；(3)cacos bbcos a.反思與感悟證明三角形中邊角混合關(guān)系恒等式，可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，正弦借助正弦定理

6、轉(zhuǎn)化，余弦借助余弦定理轉(zhuǎn)化；二是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2在abc中，a、b、c分別是角a、b、c的對(duì)邊，求證：證明類型三利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀例例3在abc中，已知(abc)(bca)3bc，且sin a2sin bcos c，試判斷abc的形狀.解答由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即b2c2a2bc，又sin a2sin bcos c.由正弦、余弦定理，反思與感悟(1)判斷三角形形狀，往往利用正弦定理、余弦定理將邊、角關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，經(jīng)過化簡(jiǎn)變形，充分暴露邊、角關(guān)系，繼而作出判斷.(2)在余弦定理中，注意整體思想的運(yùn)用，如：b

7、2c2a2 2bccos a，b2c2(bc)22bc等等.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3在abc中，若b60，2bac，試判斷abc的形狀.解答方法一根據(jù)余弦定理，得b2a2c22accos b.b60，2bac，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2c，即bc.abc是等邊三角形.方法二根據(jù)正弦定理，2bac可轉(zhuǎn)化為2sin bsin asin c.又b60，ac120，c120a，2sin 60sin asin(120a)，a(0，120)，整理得sin(a30)1，a30(30，150)，a3090，a60，c60.abc是等邊三角形.當(dāng)堂訓(xùn)練b2a2c22accos ba2c2ac，cos

8、 b ，0b180，b120.1.在abc中，若b2a2c2ac，則b等于 a.60 b.45或135c.120 d.30答案解析1232.在abc中，若2cos bsin asin c，則abc的形狀一定是 a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等邊三角形1232cos bsin asin c，答案解析ab.故abc為等腰三角形.3.在abc中，若b30，ab ，ac2，則滿足條件的三角形有幾個(gè)？123解答設(shè)bca，acb，abc，由余弦定理得b2a2c22accos b，123即a26a80，解得a2或a4.滿足條件的三角形有兩個(gè).規(guī)律與方法1.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形，一般情況下，利用正弦定理求出另一邊所對(duì)的角，再求其他的邊或角，要注意進(jìn)行討論.如果采用余弦定理來解，只需解一個(gè)一元二次方程，即可求出邊來，比較兩種方法，采用余弦定理較簡(jiǎn)單.2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換.3.在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四