概率論與數(shù)理統(tǒng)計4

1、1第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞：契比雪夫不等式（數(shù)學(xué)工具）大數(shù)定律中心極限定理21 大數(shù)定律 背景 本章的大數(shù)定律，對第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證。 為了證明大數(shù)定理，先介紹一個重要不等式，切比雪夫不等式3 大數(shù)定律、中心極限定理都是描述大大數(shù)定律、中心極限定理都是描述大量重復(fù)或量重復(fù)或“近似重復(fù)近似重復(fù)”的試驗中的概率規(guī)律的試驗中的概率規(guī)律的定律。這兩類定律從數(shù)學(xué)上嚴格證明了現(xiàn)的定律。這兩類定律從數(shù)學(xué)上嚴格證明了現(xiàn)實中的真實現(xiàn)象，例如實中的真實現(xiàn)象，例如“頻率趨于概率頻率趨于概率”、“正態(tài)分布常見于各類誤差的分布中正態(tài)分布常見于各類誤差的分布中”。4兩個問題 問

2、題5.1、設(shè)想一個人在淘寶上購物。發(fā)現(xiàn)一件衣服的好評率為96%。試問，是否可能顧客給這件衣服好評的概率小于0.9？ 問題5.2、拋硬幣1000次，有592次正面朝上。是判斷，硬幣朝上的概率是否是0.5？（如果硬幣朝上的次數(shù)為800次呢？）硬幣朝上的次數(shù)為多少時我們可以認為硬幣朝上的概率不是0.5？ 222225.1 ,0, 1XE XD XP XE XP XE X 定理契比雪夫不等式 ： 設(shè)隨機變量 具有數(shù)學(xué)期望方差 則對于任意都有：定理的為：等價形式 ,f x證明： 僅就X為連續(xù)型時證之 設(shè)X的概率密度為 xP Xf x dx則 22xxf x dx 221xf x dx222D X( )f

3、 x6幾個常見的大數(shù)定律幾個常見的大數(shù)定律111,nnkkE YEXnnn證明：由于11nnkkD YDXn211nkkD Xn2221nnn22111nkknPXn 由契比雪夫不等式得：111nknklim PXn定理定理5.2（切比雪夫大數(shù)定律）（切比雪夫大數(shù)定律）7幾個常見的大數(shù)定律幾個常見的大數(shù)定律定理定理5.2（切比雪夫大數(shù)定律的一般形式）（切比雪夫大數(shù)定律的一般形式）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 設(shè)設(shè) X1, X2, 是是兩兩不相關(guān)兩兩不相關(guān)的隨的隨機變量序列，它們都有有限的方差，機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，

4、即 Var(Xi) K，i=1, 2, ，則對任意小的，則對任意小的 有有切比雪夫切比雪夫（證明與之前條件較強的切比雪夫大數(shù)定律完全相同）5.3 ,0,1AAnApnnnAlim Ppn 定理貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗中發(fā)生的概率為 ，記為 次獨立重復(fù)試驗 中 發(fā)生的次數(shù) 則有：證明：顯然此大數(shù)定律可以從切比雪夫大數(shù)定律直接推出。 只需在切比雪夫大數(shù)定律中，令只需在切比雪夫大數(shù)定律中，令否則，發(fā)生次試驗如第，01AiXii=1,2,nniinXnnS11是事件是事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率顯然，E(Xi) = P(A)，Var(Xi) =P(A)(1-P(A)00，有，有11lim1ni

5、inXnP1nii=1XXn或或者者， 序 序列列 依概率收斂于依概率收斂于 PX 即即 辛欽辛欽辛勤大數(shù)定律中沒有假設(shè)方差存在，但假設(shè)了Xi，相互獨立同分布122 中心極限定理背景： 有許多隨機變量隨機變量，它們是由大量大量的相互相互獨立的獨立的隨機變量的綜合影響所形成的，而其中每個個別的因素作用都很小很小，這種隨機變隨機變量量往往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極限分布是正態(tài)分布。中心極限定理正是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象的存在，它在長達兩個世紀的時期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 13 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受例如：炮彈射擊的落點與目

6、標的偏差，就受著許多隨機因素的影響著許多隨機因素的影響.14 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.15 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正自從高斯指出測

7、量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見在自然界中極為常見. 5.4 定理獨立同分布的中心極限定理設(shè)X1,X2,Xn,是一列獨立同分布的隨機變量。滿足， ，令則對任意固定的，有：（其中Z是標準正態(tài)隨機變量）2)( ,)(iiXVarXEnnXYniin1RAdteAZPAYPAtnn2221)()(lim定理定理5.4表明，當表明，當n充分大時，充分大時，n個具有期望和方差個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布.17中心極限定理對比大數(shù)定律不嚴格的來說，中心極限定理顯然蘊含大數(shù)定律。

8、因為，對任意A 成立蘊含對任意小的 (請嘗試自行證明)因此假設(shè)Xi是相互獨立且同分布的，則中心極限定理5.4的結(jié)論能推出關(guān)于Xi的大數(shù)定律。中心極限定理不僅說明Xi的前n個的算數(shù)平均依概率收斂，還刻畫了其收斂速度（注意到 ，從而 收斂到的速度為 ）dteAZPAYPAtnn2221)()(lim11lim1niinXnPn1)(nnXnYnX185.5 定理德莫佛-拉普拉斯定理2215.4,(1)2txAnnnplim Pxedtnpp由定理1 0 iiAiA第 次試驗時 發(fā)生證明：令X第 次試驗時 未發(fā)生 2201 ,1lim( ),(1)2AtxAnnnAP AppnnpxPxedtxnp

9、p 設(shè)為 次貝努里試驗中 發(fā)生的次數(shù)，則對任意 ，有：12, (1, ).nXXbpi則X相互獨立同分布,X12,AnnXXX由于() (,(1).N np nppA即:n近似()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp 二項分布和正態(tài)分布的關(guān)系示意例圖20 例2：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指 數(shù)分布，現(xiàn)隨機取得16只，設(shè)它們的壽命是相互 獨立的,求這16只元件的壽命的總和大于1920小 時的概率。121616,XX解：記只電器元件的壽命分別為X16116iiX則只電器元件的壽命總和為X,2100,100iiE XD X由題設(shè)16116 10016000,14 10

10、0400iiXXN根據(jù)獨立同分布的中心極限定理: Y近似服從 192011920P XP X 1920 16001400 10.80.2119 21 例3：某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加，每人每年交200 元,若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人1萬元。設(shè)老年人死亡率為0.017，試求保險公司在一年內(nèi)這項保險虧本的概率。200P X,10000,0.017b n pnp解：設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù)，則X由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，保險公司虧本的概率為：1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考題：求保險公司至少盈利萬元的概率。答案： 0.93722 例4：設(shè)某工廠有400臺同類機器，各臺機器發(fā)生故障的概 率都是0.02，各臺機器工作是相互獨立的，試求機 器出故障的臺數(shù)不小于2的概率。400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP XP Xnpq ,400,0.02 b解：設(shè)機器出故障的臺數(shù)為X 則X，分別用三種方法