概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4

1、1第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞：契比雪夫不等式（數(shù)學(xué)工具）大數(shù)定律中心極限定理21 大數(shù)定律 背景 本章的大數(shù)定律，對(duì)第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證。 為了證明大數(shù)定理，先介紹一個(gè)重要不等式，切比雪夫不等式3 大數(shù)定律、中心極限定理都是描述大大數(shù)定律、中心極限定理都是描述大量重復(fù)或量重復(fù)或“近似重復(fù)近似重復(fù)”的試驗(yàn)中的概率規(guī)律的試驗(yàn)中的概率規(guī)律的定律。這兩類定律從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了現(xiàn)的定律。這兩類定律從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了現(xiàn)實(shí)中的真實(shí)現(xiàn)象，例如實(shí)中的真實(shí)現(xiàn)象，例如“頻率趨于概率頻率趨于概率”、“正態(tài)分布常見(jiàn)于各類誤差的分布中正態(tài)分布常見(jiàn)于各類誤差的分布中”。4兩個(gè)問(wèn)題 問(wèn)

2、題5.1、設(shè)想一個(gè)人在淘寶上購(gòu)物。發(fā)現(xiàn)一件衣服的好評(píng)率為96%。試問(wèn)，是否可能顧客給這件衣服好評(píng)的概率小于0.9？ 問(wèn)題5.2、拋硬幣1000次，有592次正面朝上。是判斷，硬幣朝上的概率是否是0.5？（如果硬幣朝上的次數(shù)為800次呢？）硬幣朝上的次數(shù)為多少時(shí)我們可以認(rèn)為硬幣朝上的概率不是0.5？ 222225.1 ,0, 1XE XD XP XE XP XE X 定理契比雪夫不等式 ： 設(shè)隨機(jī)變量 具有數(shù)學(xué)期望方差 則對(duì)于任意都有：定理的為：等價(jià)形式 ,f x證明： 僅就X為連續(xù)型時(shí)證之 設(shè)X的概率密度為 xP Xf x dx則 22xxf x dx 221xf x dx222D X( )f

3、 x6幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律111,nnkkE YEXnnn證明：由于11nnkkD YDXn211nkkD Xn2221nnn22111nkknPXn 由契比雪夫不等式得：111nknklim PXn定理定理5.2（切比雪夫大數(shù)定律）（切比雪夫大數(shù)定律）7幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律定理定理5.2（切比雪夫大數(shù)定律的一般形式）（切比雪夫大數(shù)定律的一般形式）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 設(shè)設(shè) X1, X2, 是是兩兩不相關(guān)兩兩不相關(guān)的隨的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，

4、即 Var(Xi) K，i=1, 2, ，則對(duì)任意小的，則對(duì)任意小的 有有切比雪夫切比雪夫（證明與之前條件較強(qiáng)的切比雪夫大數(shù)定律完全相同）5.3 ,0,1AAnApnnnAlim Ppn 定理貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，記為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中 發(fā)生的次數(shù) 則有：證明：顯然此大數(shù)定律可以從切比雪夫大數(shù)定律直接推出。 只需在切比雪夫大數(shù)定律中，令只需在切比雪夫大數(shù)定律中，令否則，發(fā)生次試驗(yàn)如第，01AiXii=1,2,nniinXnnS11是事件是事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率顯然，E(Xi) = P(A)，Var(Xi) =P(A)(1-P(A)00，有，有11lim1ni

5、inXnP1nii=1XXn或或者者， 序 序列列 依概率收斂于依概率收斂于 PX 即即 辛欽辛欽辛勤大數(shù)定律中沒(méi)有假設(shè)方差存在，但假設(shè)了Xi，相互獨(dú)立同分布122 中心極限定理背景： 有許多隨機(jī)變量隨機(jī)變量，它們是由大量大量的相互相互獨(dú)立的獨(dú)立的隨機(jī)變量的綜合影響所形成的，而其中每個(gè)個(gè)別的因素作用都很小很小，這種隨機(jī)變隨機(jī)變量量往往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說(shuō)它的極限分布是正態(tài)分布。中心極限定理正是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象的存在，它在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 13 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目

6、標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響著許多隨機(jī)因素的影響.14 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.15 觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測(cè)量誤差服從正自從高斯指出測(cè)

7、量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn)在自然界中極為常見(jiàn). 5.4 定理獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)X1,X2,Xn,是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。滿足， ，令則對(duì)任意固定的，有：（其中Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量）2)( ,)(iiXVarXEnnXYniin1RAdteAZPAYPAtnn2221)()(lim定理定理5.4表明，當(dāng)表明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.17中心極限定理對(duì)比大數(shù)定律不嚴(yán)格的來(lái)說(shuō)，中心極限定理顯然蘊(yùn)含大數(shù)定律。

8、因?yàn)?，?duì)任意A 成立蘊(yùn)含對(duì)任意小的 (請(qǐng)嘗試自行證明)因此假設(shè)Xi是相互獨(dú)立且同分布的，則中心極限定理5.4的結(jié)論能推出關(guān)于Xi的大數(shù)定律。中心極限定理不僅說(shuō)明Xi的前n個(gè)的算數(shù)平均依概率收斂，還刻畫了其收斂速度（注意到 ，從而 收斂到的速度為 ）dteAZPAYPAtnn2221)()(lim11lim1niinXnPn1)(nnXnYnX185.5 定理德莫佛-拉普拉斯定理2215.4,(1)2txAnnnplim Pxedtnpp由定理1 0 iiAiA第 次試驗(yàn)時(shí) 發(fā)生證明：令X第 次試驗(yàn)時(shí) 未發(fā)生 2201 ,1lim( ),(1)2AtxAnnnAP AppnnpxPxedtxnp

9、p 設(shè)為 次貝努里試驗(yàn)中 發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)任意 ，有：12, (1, ).nXXbpi則X相互獨(dú)立同分布,X12,AnnXXX由于() (,(1).N np nppA即:n近似()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp 二項(xiàng)分布和正態(tài)分布的關(guān)系示意例圖20 例2：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指 數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取得16只，設(shè)它們的壽命是相互 獨(dú)立的,求這16只元件的壽命的總和大于1920小 時(shí)的概率。121616,XX解：記只電器元件的壽命分別為X16116iiX則只電器元件的壽命總和為X,2100,100iiE XD X由題設(shè)16116 10016000,14 10

10、0400iiXXN根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理: Y近似服從 192011920P XP X 1920 16001400 10.80.2119 21 例3：某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加，每人每年交200 元,若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人1萬(wàn)元。設(shè)老年人死亡率為0.017，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)虧本的概率。200P X,10000,0.017b n pnp解：設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù)，則X由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，保險(xiǎn)公司虧本的概率為：1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考題：求保險(xiǎn)公司至少盈利萬(wàn)元的概率。答案： 0.93722 例4：設(shè)某工廠有400臺(tái)同類機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概 率都是0.02，各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)立的，試求機(jī) 器出故障的臺(tái)數(shù)不小于2的概率。400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP XP Xnpq ,400,0.02 b解：設(shè)機(jī)器出故障的臺(tái)數(shù)為X 則X，分別用三種方法