電磁場6.1-6.3

1、第6章 電磁波的傳播本章敘述電磁波的基本傳播規(guī)律，下一章敘述電磁波的輻射即電磁波的產(chǎn)生。所謂波是一種向外傳播的擾動(或振動)，使能量從一點傳播到另一點。在電磁波傳播過程中物質(zhì)沒有位移。從電磁波的發(fā)生次序上看，只有先輻射出來，然后才能傳播，似乎應(yīng)該先敘述電磁波的輻射。但從歷史的發(fā)展順序看恰恰相反，1873年麥克斯韋首先提出了光的電磁學(xué)說，研究了平面波及其在結(jié)晶介質(zhì)中的傳播，而15年后的1888年才由赫茲做出電磁波輻射實驗。本書大體是按歷史發(fā)展順序敘述的。本章由三部分組成：第一部分為電磁波在理想介質(zhì)中的傳播規(guī)律，包括理想介質(zhì)中電磁波方程、均勻平面電磁波的基本特點與偏振、均勻平面電磁波在介質(zhì)交界面上

2、的反射和折射；第二部分為電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中的基本傳播規(guī)律；第三部分為電磁波的定向傳播，主要討論電磁波在矩形金屬波導(dǎo)管中的傳播規(guī)律。6.1 理想介質(zhì)中的時諧電磁波方程理想介質(zhì)（電導(dǎo)率）是指沒有能量損耗的介質(zhì)。真空是一種理想介質(zhì)。電導(dǎo)率很小的介質(zhì)可以近似看作是理想介質(zhì)。6.1.1 時諧電磁波的約束方程以下使用相量法導(dǎo)出復(fù)有效值矢量和分別滿足的方程。設(shè)電磁波的角頻率為，場量隨時間的變化規(guī)律為， 當(dāng)電磁波離開波源后，它在電容率和磁導(dǎo)率都是常量的理想介質(zhì)中的運動服從以下兩個旋度方程 (6-1-1) (6-1-2)兩個散度方程和不必再列出。在方程(6-1-2)兩端取旋度并利用式(6-1-1)，得由，從而時

3、諧電場滿足的約束方程組為 (6-1-3) (6-1-4)式中 (6-1-5)同理，可寫出時諧磁場滿足的約束方程組為 (6-1-6) (6-1-7)已知時諧電場后，可由式(6-1-2)得到時諧磁場： (6-1-8)已知時諧磁場后，可由式(6-1-1)得到時諧電場： (6-1-9)6.1.2 時諧電磁波的分類時諧電磁波是正弦波。設(shè)標(biāo)量形式的時諧波為 (6-1-10)為了看清時諧波在空間的變化情況，可以觀察任意固定時刻的等幅面和等相面的形狀。等幅面是指時諧波的振幅為常量的曲面，它的方程是(常量) (6-1-11)等相面是指時諧波的相角為常量的曲面，它的方程是(常量) (6-1-12)等相面又稱為波陣

4、面。我們把等相面是平面、柱面和球面的波分別稱為平面波、柱面波和球面波。當(dāng)?shù)确媾c等相面重合時，稱為均勻波，反之稱為非均勻波。也可以這樣說，在等相面上振幅處處相等的波是均勻波，反之是非均勻波。6.2 均勻平面電磁波的基本概念本節(jié)研究線性、各向同性、均勻、定常、無限大理想介質(zhì)中的平面波解。平面波是電磁波的一種最重要的傳播形式，例如圖6-2-1 是頻率為20MHz的電流元（電偶極子）天線所輻射電磁波的等相面，可以看出距離波源越遠(yuǎn)，等相面越接近平面。因此研究平面波的傳播規(guī)律具有重要意義。圖6-2-1 電磁波（頻率20MHz）的等相面6.2.1 基本波函數(shù)在直角坐標(biāo)系中，時諧電磁場的復(fù)有效值矢量和可分別

5、表示為 (6-2-1) (6-2-2)將以上兩式分別代入方程和中，得以下分量方程：，以上六個場量分量的方程可統(tǒng)一表示為 (6-2-3)下面用分離變量法求解方程(6-2-3)的非零解。設(shè)函數(shù)是以下三個單變量函數(shù)的乘積： (6-2-4)代入方程(6-2-3)，整理后得到 (6-2-5)要使以上三項共處于一個表達(dá)式中，只能是每項都分別等于某個常量，即 (6-2-6) (6-2-7) (6-2-8)其中 (6-2-9)三個常量所處的位置對稱，根據(jù)式(6-2-9)可知，這三個常量都應(yīng)是實數(shù)。不失一般性，可設(shè),，以上三個方程的通解可分別表示為 (6-2-10) (6-2-11) (6-2-12)觀察以上、

6、的表達(dá)式可知，它們都分別由兩個復(fù)指數(shù)函數(shù)之和所組成，這兩個復(fù)指數(shù)函數(shù)都有明確的物理意義。我們以為例來討論。先把它寫成瞬時式：它是距離和時間的二元函數(shù)。這種隨著時間的增長而不斷向方向移動的波，我們稱它為入射波或正向行波。入射波的一般表達(dá)式是同理，的瞬時式表示以速度沿軸的方向勻速直線運動的行波，我們稱它為反射波或反向行波。反射波的一般表達(dá)式是同樣，和分別表示沿方向和方向傳播的入射波，和分別表示沿方向和方向傳播的反射波。而無限大均勻介質(zhì)中不可能有反射波，所以應(yīng)取，。于是方程的基本解函數(shù)為 (6-2-13)式中，k是傳播矢量： (6-2-14)它的模。利用式(6-2-13)，場矢量可寫成 (6-2-1

7、5) (6-2-16)式中和均為與空間坐標(biāo)無關(guān)的常矢量。以上兩個表達(dá)式分別是方程和的基本解。6.2.2 均勻平面電磁波的性質(zhì)線性、各向同性、均勻、定常、無限大理想介質(zhì)中的場量隨時間按正弦規(guī)律變化時，電場強度在直角坐標(biāo)系中可以表示成 (6-2-17)于是場量沿x，y，z軸的三個瞬時值分量為 (6-2-18) (6-2-19) (6-2-20)這三個分量都具有相同的變化規(guī)律，所不同的是振幅與初相角。在任意固定時刻，以上三個分量的等相面方程都具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式 (6-2-21)這是一個關(guān)于坐標(biāo)變量x，y，z的一次方程，它所表示的圖形是平面。利用解析幾何知識可知，在直角坐標(biāo)系中，平面方程的一次項系數(shù)

8、是這個平面的一個法向矢量的坐標(biāo)。因此，和都是等相面的法向矢量。這里取 (6-2-22)為直角坐標(biāo)系中任意電場分量的等相面的單位法向矢量，如圖6-2-2所示。圖6-2-2 平面電磁波的等相面根據(jù)時諧電磁波的分類，是均勻平面波。同樣，分量和也都是均勻平面波。根據(jù)均勻平面波表達(dá)式和，可得出特點如下。(1) 橫波特性 利用矢量微分公式 和 可得 (6-2-23) (6-2-24) (6-2-25)式中?？梢?，k互相垂直，并構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。矢量k的方向代表了波的傳播方向，這就是把叫做傳播矢量的原因。定義波的振動方向與波的傳播方向相垂直的波為橫波。均勻平面電磁波是橫波。例如，設(shè)電場的振動方向是，磁場的振

9、動方向是，則波的傳播方向就是方向，圖6-2-3描繪了這種情況下某一時刻均勻平面波振動矢量和在空間的分布情況。圖6-2-3電場方向固定的均勻平面電磁波在某時刻的空間分布例6.2.1 均勻平面電磁波的電場為（是常矢量），證明電場是橫波。解 因，即和垂直，而的方向是電磁波傳播方向，所以是橫波。(2) 相速 等相面向波的傳播方向移動的速度稱為相速。設(shè)是起點位于坐標(biāo)原點、終點位于等相面上的位置矢量，則等相面移動的速度為 (6-2-26)利用等相面方程，由上式可得相速即 (6-2-27)特別地，真空中均勻平面電磁波的相速為真空中，。(3) 波長 均勻平面電磁波是正弦波。定義在同一時刻，相位差為的兩個等相面

10、之間的距離是波長。在這個特定的直角坐標(biāo)系中，根據(jù)波長的定義，有于是 (6-2-28)(4) 周期 定義在同一場點相位改變所需要的時間為周期T，則從而 (6-2-29)同一場點波的傳播見兩個動畫，并判斷電場方向和磁場方向。(5) 波阻抗 波阻抗是指電磁波的橫向電場分量與橫向磁場分量的比值。設(shè)均勻平面電磁波的電場和傳播矢量分別為 和 可得磁場 這樣，均勻平面電磁波的波阻抗為 (6-2-30)真空中的波阻抗。通過本節(jié)分析可以看到，在線性、各向同性、均勻、定常、無限大理想介質(zhì)(是正常量)中傳播的電磁波是橫波，波的振幅在傳播過程中保持不變，電場和磁場同相、方向互相垂直。以上通過在直角坐標(biāo)系中求解波動方程

11、得到了平面波解，如果在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中分別求解波動方程，則會分別得到柱面波解和球面波解。例6.2.2 無限大真空中電場有效值為、振動方向為的均勻平面電磁波，傳播方向為，角頻率為，初相角為，試分別寫出電場強度和磁場強度的瞬時表達(dá)式。解 因傳播矢量，從而場量的瞬時表達(dá)式為 式中。6.3 均勻平面電磁波的偏振波有縱波與橫波之分，縱波的振動方向與傳播方向相一致，橫波的振動方向與傳播方向相垂直?？v波的振動矢量相對于傳播方向呈對稱分布，橫波的振動矢量相對于傳播方向呈不對稱分布。橫波的振動矢量呈現(xiàn)的這種不對稱分布稱為波的偏振?？v波不存在偏振問題。均勻平面電磁波是橫波。均勻平面電磁波中的振動矢量和振動矢

12、量互相垂直，兩者的偏振情況相同。這樣，研究波的偏振只需要研究其中一個振動矢量的偏振情況即可。在電磁場理論中，偏振波的振動矢量特指電場強度矢量。本節(jié)討論均勻平面電磁波的偏振及其應(yīng)用。6.3.1 偏振波的參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，時諧均勻平面電磁波的電場為假設(shè)，根據(jù)均勻平面電磁波的性質(zhì)，必有，。此時電場強度的瞬時表達(dá)式為 (6-3-1)式中，。為了形象地表示均勻平面電磁波的振動矢量(6-3-1)相對于傳播方向的分布情況，可用電場強度矢量端點隨時間的變化軌跡來表示。在直角坐標(biāo)系中，取軸表示分量，軸表示分量，設(shè)平面波在時，則以時間為變量的空間軌跡的參數(shù)方程為 (6-3-2)式中是均勻平面電磁波沿軸正方向

13、傳播的相速。這樣，不同的偏振波對應(yīng)不同的空間曲線。6.3.2 兩個垂直電場分量的合成當(dāng)電場的振動被限制在一個平面內(nèi)時，電場的大小隨時間和距離按正弦規(guī)律變化，如圖6-2-3所示。這種電場方向固定不變的情況是一種特殊情況。一般情況下，電場具有兩個相互垂直的振動分量，合成后的電場方向隨時隨地變化，那么此時的偏振情況如何描述呢？設(shè)，由參數(shù)方程(6-3-2)的第二式，得 (6-3-3)再由參數(shù)方程(6-3-2)的第一式，得 和 把以上兩式代入式(6-3-3)的右端，得移項后，成為上式兩端平方，整理后可得 (6-3-4)由解析幾何理論數(shù)學(xué)手冊. 1979. pp.363-364可知，當(dāng)時，這是一個以軸為中

14、心線的長直橢圓柱面方程，因此兩個相互垂直的電場振動分量的合成運動軌跡一般為橢圓。利用參數(shù)方程(6-3-2)，可知電場矢量與軸正方向的夾角 (6-3-5)從而，電場矢量端點繞軸旋轉(zhuǎn)的角速度為 (6-3-6)上式右端是時間的函數(shù)，說明電場矢量端點繞軸非勻速旋轉(zhuǎn)。6.3.3 偏振波的三種形式將方程(6-3-4)與參數(shù)方程聯(lián)立，就得到一條空間曲線?？臻g曲線的形狀與相位差相對應(yīng)，不同的有不同的形狀。下面分別討論。1線偏振波當(dāng)相位差時，和同相，這兩個正弦量同時達(dá)到最大值，同時過零點，式(6-3-4)變成線性方程 (6-3-7)此式與參數(shù)方程聯(lián)立，表示位于振動方向和傳播方向所決定的平面內(nèi)的一條正弦曲線，如圖

15、6-3-1(a)所示。這條曲線被限制在一個平面內(nèi)，稱這種偏振波為線偏振波。圖6-2-3所示平面波就是線偏振波。在式(6-3-4)中，當(dāng)時，和反相，這兩個正弦量同時過零點，一個是最大值時另一個是最小值，式(6-3-4)變成線性方程 (6-3-8)此式與參數(shù)方程聯(lián)立，也表示一條正弦曲線，曲線形狀如圖6-3-1(b)所示。此時的偏振波也是線偏振波。圖6-3-1 線偏振波2 圓偏振波當(dāng)（相位正交）和(常量)時，式(6-3-4)變成圓方程 (6-3-9)此式與參數(shù)方程聯(lián)立，表示位于長直圓柱面上的一條螺旋線，曲線形狀如圖6-3-2所示，平頭螺絲釘?shù)穆菁y就是這樣的空間曲線。這條曲線被限制在一個長直圓柱面內(nèi)，

16、稱這種偏振波為圓偏振波。在圖6-3-2(a)和(b)中所描繪的都是圓偏振波，但這兩個波中的電場矢量端點繞軸的旋轉(zhuǎn)方向不同：當(dāng)時，即隨著時間的增加夾角增加，見圖6-3-2(a)；當(dāng)時，即隨著時間的增加夾角減少，見圖6-3-2(b)。為區(qū)別這兩種旋轉(zhuǎn)方向，規(guī)定：當(dāng)電場矢量端點旋轉(zhuǎn)方向與波的傳播方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系時，稱為右旋圓偏振波；反之，稱為左旋圓偏振波。這個規(guī)定是國際電工委員會(IEC)和國際電信聯(lián)盟(ITU)所制定的，成為電氣和電信領(lǐng)域的國際標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)這個規(guī)定可知，圖6-3-2(a)是右旋圓偏振波，圖6-3-2(b)是左旋圓偏振波。 （a）右旋 （b）左旋圖6-3-2 圓偏振波例6.3.1

17、無限大真空中的平面波為式中，。試判斷該平面波的偏振形式。解 因，所以電場的兩個分量為從而得 這是一個半徑為、中心軸線為軸的圓柱面方程。接下來確定偏振波的旋向。如圖6-3-3所示，在紙面上畫出一個空間直角坐標(biāo)系，在任意的平面內(nèi)，令時刻時，則，電場矢量端點位于點；再令后一個時刻()時，則，電場矢量端點位于點。于是，電場矢量端點的繞向就是從點到點。由因子，可知平面波的傳播方向為。這樣，伸出左手，將拇指指向方向，四指的指向就與電場矢量端點的繞向相同(從點到點)。這說明本題所討論的平面波是一個向方向傳播的左旋圓偏振波，如圖6-3-3所示。圖6-3-3 向軸正方向傳播的左旋圓偏振波3 橢圓偏振波一般情況下

18、，此時電場矢量端點的變化軌跡是長直橢圓柱面上的螺旋曲線。這條曲線被限制在一個長直橢圓柱面內(nèi)，稱這樣的偏振波為橢圓偏振波。從式(6-3-6)可見，當(dāng)時，即隨著時間的增加夾角增加，這是右旋橢圓偏振波；當(dāng)時，即隨著時間的增加夾角減少，這是左旋橢圓偏振波。圖6-3-4(a)和(b)分別描繪出了這兩種旋向的橢圓偏振波在平面上的投影曲線。 圖6-3-4 橢圓偏振波的旋向6.3.4 偏振波的應(yīng)用把均勻平面電磁波劃分為線偏振波、圓偏振波和橢圓偏振波，主要是為了波的接收。接收電磁波要使用天線，天線是指能夠輻射或接收電磁波的部件。與三種偏振波對應(yīng)，根據(jù)天線在遠(yuǎn)場區(qū)最大輻射方向上偏振波的不同，將天線分為線偏振天線、圓偏振天線和橢圓偏振天線。對稱細(xì)直天線輻射線偏振波、圓螺旋細(xì)天線輻射圓偏振波，所以對稱細(xì)直天線是線偏振天線，圓螺旋細(xì)天線是圓偏振天線。與地面平行的對稱細(xì)直天線輻射水平線偏振波，與地面垂直的對稱細(xì)直天線輻射垂直線偏振波；左旋的圓螺旋細(xì)天線輻射左旋圓偏振波，右旋的圓螺旋細(xì)天線輻射右旋圓偏振波。這里以線偏振波為例，說明天線不能接收與其垂直的偏振波。如圖6-3-5所示，T和R分別是一套微波裝置的發(fā)射機和接收機。