第5章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5.1 5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 5.2 5.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 5.3 5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（RouthRouth判據(jù)判據(jù)）判據(jù)判據(jù)） 5.4 5.4 乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（NyquistNyquist判據(jù)）判據(jù)） 5.5 5.5 應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5.6 5.6 由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5.7 5.7 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性控制系統(tǒng)

2、的相對穩(wěn)定性 * *5.8 5.8 李雅普諾夫穩(wěn)定性方法李雅普諾夫穩(wěn)定性方法自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論5.1 5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念acbd穩(wěn)穩(wěn)定定的的擺擺不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的擺擺自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論控制系統(tǒng)在外部擾動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動作用消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復(fù)到原來的初始平衡狀態(tài)。(a) 外加擾動注意：以上定義只適注意：以上定義只適用于線性定常系統(tǒng)。用于線性定常系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義( )x t0t控制系統(tǒng)( )x t( )y t自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論注意：注意：穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自

3、身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。(b) 穩(wěn)定(c) 不穩(wěn)定自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定: :不論擾動引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。（a a） 大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定A AB B自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論（b b）小范圍穩(wěn)定）小范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定: :當(dāng)擾動引起的初始偏差在一定范圍內(nèi)，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)；而擾動引起的初始偏差超出其范圍內(nèi)，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)不能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。a ab bc cd de e自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理

4、 論（C C）不穩(wěn)定）不穩(wěn)定A AB B不穩(wěn)定不穩(wěn)定: :只要擾動引起一點(diǎn)初始偏差，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)也不能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。原因原因：(1) 在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，所依賴的模型通常是簡化或線性化； (2) 實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性； (3) 系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論5.2 5.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定

5、性 關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性理論，是俄國學(xué)者李亞普諾夫（. . ）于1892年確立的。 線性定常系統(tǒng)，在脈沖擾動的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動隨著時(shí)間的增長，可以逐漸趨于零，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的（系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定）。否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。定義：定義：若系統(tǒng)在初始偏差作用下若系統(tǒng)在初始偏差作用下, ,其過渡過程隨時(shí)間其過渡過程隨時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定性能，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定, ,簡稱穩(wěn)定。反之為不簡稱穩(wěn)定。反之為不穩(wěn)定。穩(wěn)定。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論1110111011.( )( )( )( ).

6、( )( )()()()mmmmnnnnKrnijjjjijb sbsb sbC sM ssR sa sasa saD sB saspsjsj設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為: :理想脈沖函數(shù)作用下 R(s)=1。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，t 時(shí),輸出量 c(t)=0。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論11( )(cossin)jikrtptijjjjijc tceeAt Bt由上式可知，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有：11( )( )( )( )()()krjjiijijjjjscBsC sRsDss psjsj0 c(t)=0t ，即：0 0ijp，自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理

7、論系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，即：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。111011( )()()()0nnnnKknijjjjijD sa sasa saaspsjsj系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論3P2P1P4P5PnPS平面jO穩(wěn)穩(wěn)定定區(qū)區(qū)不不穩(wěn)穩(wěn)定定區(qū)區(qū)臨臨界界穩(wěn)穩(wěn)定定mIeRS S平面平面注：注：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論5.3 5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)代

8、數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)10110nnnna sa sasa不用求解代數(shù)方程的根，基于各次項(xiàng)的，來判別系統(tǒng)的方法稱為代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。5.3.1 5.3.1 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程要使特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部的必要條件：（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)（2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號全部相同 即：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)全部大于0。0 (012)iain， ，自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論02411352123312311201nnnnsaaasaaasbbbscccsvvsw充分條件充分條件：“勞斯陣列”第一列所有項(xiàng)全部為正。勞斯陣列勞斯陣列021311aaaaba 0415

9、21aaaaba 131211aabbcb 注：第一列符號改變次數(shù)= 系統(tǒng)特征方程含有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論【例】：特征方程為 ， 試判斷穩(wěn)定性。22100a sa sa【解】：勞斯陣為：210sss201100aaaba所以二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：v 均大于零210,aa a自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論【例】：特征方程為 ， 試判斷穩(wěn)定性。0012233asasasa【解】：勞斯陣為：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：v 均大于零0123,aaaa00321aaaav且自 控 控

10、 制 理 論自 控 控 制 理 論【例例】 已知特征方程為 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解 作勞斯表如下 43223450ssss12 34 112b 22 50 152b 第一列中有出現(xiàn)，不全部大于零，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。432101352415605sssss11 45 261c 自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論兩種特殊情況兩種特殊情況特殊情況一特殊情況一02s3s3ss) s (D234【例】【解】各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件2s023s2)(0s031s231s01234特殊情況：第一列出現(xiàn)0。解決方法：用任意小正數(shù)代之。第一列符號改變2次，有2個(gè)正實(shí)根。自 控

11、控 制 理 論自 控 控 制 理 論4321014163120( )161248016sssss【解】各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件432( )3412160D sssss【例】第一列符號改變2次，有2個(gè)正實(shí)根。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論特殊情況二特殊情況二5432( )55660D ssssss【例】【解】各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件543210411561560005/262/506ssssss（）（ ）特殊情況特殊情況：有一行元素全為0。解決方法解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導(dǎo)后方程系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程。42( )560A sss31( )4

12、100dA sssds2js2, 13js4, 31s5第一列全為正，第一列全為正，臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定, ,解解A(sA(s) )可可得虛根得虛根自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論32100112202ssss（4）【解】各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，滿足穩(wěn)定的必要條件32( )2120D ssss【例】D(s)=s2(s+2)+(s+2)=(s+2)(s2+1)第一列全為正，無正實(shí)根，有虛根,臨界穩(wěn)定。s1=j, s2=-j, s3= -2 ()4d Assd sA(s)=2s2+2自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論勞斯表出現(xiàn)零行勞斯表出現(xiàn)零行2( )10A ss 特征方程為：特征方程

13、為： 由零行的上一行構(gòu)成輔助方程由零行的上一行構(gòu)成輔助方程 有大小相等符號相反的特征根有大小相等符號相反的特征根時(shí)會出現(xiàn)零行。時(shí)會出現(xiàn)零行。對其求導(dǎo)得零行系數(shù)方程對其求導(dǎo)得零行系數(shù)方程: :繼續(xù)計(jì)算勞斯表繼續(xù)計(jì)算勞斯表第一列全大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定第一列全大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定由綜合除法可得另兩個(gè)根為由綜合除法可得另兩個(gè)根為S S3 3，4 4= -2= -2，-3-3 解輔助方程得對稱根解輔助方程得對稱根: : S S1 1，2 2= =j j43257560ssss 43210117600110121sssss（ ）20s 自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在系統(tǒng)

14、在s s平面有對稱分布的根平面有對稱分布的根大小相等符號相反的根共軛虛根對稱于實(shí)軸的兩對共軛復(fù)根自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論【例】設(shè)系統(tǒng)如下圖所示，試計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍?！纠肯到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為32( )( )( )(1)(2)32oiXsKKsX ss ssKsssK根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：v 均大于零0123,aaaa00321aaaav且0066KKK【解】系統(tǒng)的特征方程32320sssK自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論32(2)( )23(1)2K ssssKsK【例例】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(2)( )(1)(21)K sG ss ss試確定閉

15、環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)參數(shù)K的取值范圍?！窘狻肯到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程32( )23(1)20D sssKsK自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論3(1)43KKK特征方程32( )23(1)20D sssKsKK+10 即 K -1,同時(shí)要滿足 K 0, K 3，所以穩(wěn)定范圍：0 K 0， f順時(shí)針包圍原點(diǎn) N=1 時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍 (-1,j0)點(diǎn)一圈 N=-1，而P=1，則Z=N+P=0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2）當(dāng)k=1時(shí)，奈氏曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3）當(dāng)k0）則無論開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有無右極點(diǎn),閉環(huán)系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的（Z=P

16、+N0）。 綜上，開環(huán)奈氏曲線是否包圍GH平面的(-1,j0) 點(diǎn)是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)（當(dāng)然還須考慮是否存在s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)奈氏曲線包圍（-1,j0 ）點(diǎn)的方向）。當(dāng)開環(huán)奈氏曲線恰好通過GH平面的（-1,j0 ）點(diǎn)（注意不是包圍），此時(shí)如果系統(tǒng)無位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：奈魁斯特曲線不包圍(-1+j0)點(diǎn)。原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn)情況原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn)情況 原點(diǎn)有個(gè)開環(huán)極點(diǎn)： 0 時(shí)，復(fù)變函數(shù)G(j)H(j)在原點(diǎn)處不解析，幅角增量值不定。 處理方法如圖。作無窮小半圓

17、饒過原點(diǎn)，即將原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)視為s左半平面的極點(diǎn)(左極點(diǎn)) 處理, 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：奈魁斯特曲線不包圍(-1+j0)點(diǎn)。+0jS 平面0dRe=0+ImG(j)H(j)平面平面 0 增補(bǔ)角增補(bǔ)角 增補(bǔ)線增補(bǔ)線自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論 3）非最小相位系統(tǒng)）非最小相位系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(S) 有P個(gè)位于S平面右半部的極點(diǎn)時(shí)，如果系統(tǒng)的奈氏曲線GH 逆時(shí)針包圍(-1,j0 )點(diǎn)的周數(shù)等于位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)（-N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的(Z=P+N=0 ），否則是不穩(wěn)定的。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論 5.4.5 5.4.5 簡易簡

18、易奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) （1）正、負(fù)穿越的概念G(j)H(j)曲線對稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫=0的部分。所謂“穿越”是指G(j)H(j)曲線，從=0時(shí)穿過負(fù)實(shí)軸（-1，- ）段。正穿越正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用 N+表示。負(fù)穿越負(fù)穿越：由下而上穿過該段一次（相角減少），用N- 表示。正穿越正穿越負(fù)穿越負(fù)穿越0(1，j0)ImRe+-0(1，j0)ImRe自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論 N+=2N+=2，N-=1N-=1自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論 若G(j)H(j)軌跡起始或終止于 (-1, j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+

19、 1/2 次穿越和-1/2次穿越。奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由0變化到時(shí)，G(j)H(j)曲線在(-1，j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正負(fù)穿越之差為P/2。（P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)）N+-N- = P/2實(shí)際上曲線逆時(shí)針繞實(shí)際上曲線逆時(shí)針繞(-1,j0)點(diǎn)圈數(shù)點(diǎn)圈數(shù)R=2(N+- N-)自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論【例例】 某系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，已知有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。【解解】系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面(P=2)，G(j)H(j) 軌跡在點(diǎn)(-1, j0)以左的負(fù)實(shí)軸有2次正穿越

20、，1次負(fù)穿越，因?yàn)椋?N+-N_= 2-1=1=P/2，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論 【例例】系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性?！窘饨狻縜）N+=0，N-= 1，N+- N-=-1P/2=0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。b）K1時(shí)，N+=1， N-= 1，N+- N-=0 =P/2，系統(tǒng)穩(wěn)定。 K1時(shí)，就相當(dāng)時(shí)，就相當(dāng)于開環(huán)伯德圖于開環(huán)伯德圖L()0dB；A()1時(shí)，就相當(dāng)于開環(huán)伯時(shí)，就相當(dāng)于開環(huán)伯德圖德圖L()0dB。這樣，把圖這樣，把圖5-34轉(zhuǎn)換成伯德轉(zhuǎn)換成伯德圖時(shí)，其單位圓相當(dāng)于對數(shù)圖時(shí)，其單位圓相當(dāng)于對數(shù)幅頻特性的幅頻特性的0dB線，而線，而g點(diǎn)點(diǎn)處相當(dāng)于

21、對數(shù)相頻特性的處相當(dāng)于對數(shù)相頻特性的-軸。軸。如果開環(huán)特征多項(xiàng)式?jīng)]有右半平面的根，且在如果開環(huán)特征多項(xiàng)式?jīng)]有右半平面的根，且在L()0的所的所有角頻率范圍內(nèi)，相角范圍都大于有角頻率范圍內(nèi)，相角范圍都大于 -線，那么閉環(huán)系統(tǒng)是線，那么閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的穩(wěn)定的。(圖中曲線1穩(wěn)定,曲線2不穩(wěn)定)自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論 5.5 5.5 對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù) 開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系：極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖 單位圓 單位圓以內(nèi)區(qū)域(幅值1) 負(fù)實(shí)軸伯德圖伯德圖 0db線（幅頻特性圖） 0db線以下區(qū)域 0db線以上區(qū)域 -180

22、線（相頻特性圖） 因此，奈魁斯特曲線自上而下（或自下而上）地穿越 （-1，j0）點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸，相當(dāng)于在伯德圖中當(dāng)L()0db時(shí)相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180線。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論ReIm = 0+12c4 =-1L()0()12c40-90-1800(1，j0)ImRe+-+-0-180()自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論由伯德圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定由伯德圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定在開環(huán)對數(shù)幅頻 的頻段內(nèi)，對應(yīng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線對開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線對 - - 線線的正、負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2 。即 N+N-=P/2 。 P 為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

23、位于S右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 20lg()()0G jH j自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論例例 系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性如下圖，試判別開環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：N+=1， N-=2， N+-N-=-1P/2=1 系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。解：N+=2， N-=1， N+-N-=1=P/2 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論5.6 5.6 頻域穩(wěn)定裕度頻域穩(wěn)定裕度 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度衡量是反映閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）的指標(biāo)。穩(wěn)定性裕度可以定量地確定系統(tǒng)離開穩(wěn)定邊界的遠(yuǎn)近，是評價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞的性能指標(biāo)，是系統(tǒng)動態(tài)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)之一。 穩(wěn)定裕度常用相位裕度 和幅值裕度Kg來衡

24、量。 1 1）相位裕度）相位裕度 剪切頻率剪切頻率 c ：開環(huán)幅相曲線上，幅值為1時(shí)的頻率稱為剪切頻率。 即 )0(1| )j(H)j(G|)j(Acccc 相角裕度相角裕度 ： = 180 + ( c )物理意義物理意義：若系統(tǒng)剪切頻率c處的相位滯后再增加角，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論 2 2）幅值裕度）幅值裕度Kg ( ( 或或h) ) 相角交界頻率相角交界頻率 g：開環(huán)幅相曲線上，相角為-180點(diǎn)的頻率稱為相角交界頻率。即)0(180)j(H)j(G)(gggg 幅值裕量幅值裕量Kg ：開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)稱為幅值裕量，記為：物理意義物

25、理意義：若系統(tǒng)開環(huán)增益增大到原來的Kg倍，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。A(g)=1/Kg自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論L(）0(）-90-180-270Kg(db)0gc 0L(）0(）-90-180-270Kg(db)0gc 1 或 Kg (dB)0， 0。 一般，為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，描述系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，需要同時(shí)給出幅值裕度和相位裕度兩個(gè)量，缺一不可。 工程上，一般取：自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論)25s2s( s40)s(H)s(G2 )2j25(j40)j(H)j(G2 2224)25(401)(A 3 3）相角裕度和幅值裕度的求解方法）相角裕度和幅值裕度的求解

26、方法 通常有三種求解系統(tǒng)相位裕度和幅值裕度的方法，即解析法、極坐標(biāo)圖法和伯德圖法。 (1)(1) 解析法解析法【例例】 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求出該系統(tǒng)的幅值裕度和相位裕度。【解解】 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為幅頻特性自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論0g180)( 5g 5 .8082. 12582. 12arctg90)j(H)j(G1802cc 25. 1)j(H)j(G1Kggg )dB(94. 125. 1lg20)dB(Kg 82. 1c 1)(Ac 令解得令解得2cc10252tg90)( 相頻特性自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論(3) Bode圖法圖法自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論(2) (2) 極坐標(biāo)圖法極坐標(biāo)圖法 gK1mIeRGH0gc1 01jjA自 控 控 制 理 論自 控 控 制 理 論 穩(wěn)定裕度說明穩(wěn)定裕度說明u穩(wěn)定裕度定義只適用于最小相位系統(tǒng)只適用于最小相位系統(tǒng)。 非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)，由于情況不唯一，沒有實(shí)用意沒有實(shí)用意義。義。u穩(wěn)定裕度可以作為頻域性能指標(biāo)使用?？梢杂糜谙到y(tǒng)分析，也可以用于系統(tǒng)設(shè)計(jì)指標(biāo)使用。u穩(wěn)定裕度又可成為相對穩(wěn)定性指標(biāo)。u部分情況下，幅值裕度