等比數(shù)列教學(xué)內(nèi)容分析報告

1、等比數(shù)列內(nèi)容分析組長：賈富杰小組成員：王嬌，魏紅艷, 吳菲菲，馬永勝，陳扶祿(一) 結(jié)構(gòu)分析1. 單科結(jié)構(gòu)分析知識結(jié)構(gòu)：(1) 等比數(shù)列的定義；(2) 等比數(shù)列通項公式；(3) 前n項和公式；(4) 等比中項的概念及意義；(5) 等比數(shù)列的基本性質(zhì)教學(xué)重點：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)。教學(xué)難點：靈活運用等比數(shù)列的定義及通項公式解決相關(guān)問題，在具體問題中抽象出等比數(shù)列模型及掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法。關(guān)鍵點：等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式的基本掌握。教學(xué)安排：回顧舊知、導(dǎo)入新課通過感性材料的引入，比如：給我一張紙，我能夠?qū)⑺鄢晌鍖訕悄敲锤?假設(shè)我的力氣足夠大)，這可能嗎？你

2、如果能將一張報紙對折38次，我就能順著它在今晚爬上月球，將一張紙對折會有那么大的高度嗎？通過上述興趣材料的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而讓學(xué)生帶著疑 問進入本節(jié)課的學(xué)習(xí)。2、講授新課，構(gòu)建新知給出一組數(shù)字，讓學(xué)生觀察這組數(shù)字的共同特點，從而導(dǎo)出等比數(shù)列 的概念；由等比數(shù)列的概念給出數(shù)組判斷其是否為等比數(shù)列；推導(dǎo)等 比數(shù)列的通項公式（遞推法、連乘法等）。3、例題講解、梳理知識通過相關(guān)應(yīng)用題目使所學(xué)知識得到進一步提升，或者通過概念型例題 引發(fā)學(xué)生思考從而對等比數(shù)列的通項公式熟練掌握例題：一個等比數(shù)列的第三項與第四項分別為12和18,求它的第一 項與第二項。4、自我檢測、形成技能5、給出一些生活中的

3、實際例子，使本節(jié)所學(xué)理論上升到實踐：o通過對上述現(xiàn)實問題的分析即可使本課與實際相聯(lián)系。（二）數(shù)學(xué)思想方法分析1. 函數(shù)思想。將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)的分析計算， 讓學(xué)生逐步解決等比數(shù)列的問題。掌握等比數(shù)列的實質(zhì)是運用函數(shù)來 解決數(shù)列問題，通過各種函數(shù)計算，解決問題。2. 待定系數(shù)法和配方法。等比數(shù)列運用函數(shù)來解決問題，函數(shù)這一部 分用到許多數(shù)學(xué)方法，由已知條件求等比數(shù)列表達式的問題，很多都 是用待定系數(shù)法來解的。通過已知條件，轉(zhuǎn)化條件，列出方程組，解 方程組求得等比數(shù)列。（三）功能分析1. 智力價值理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法，掌握等比數(shù)列的前n項和 公式并能運用公式解決一

4、些簡單問題。2. 思想教育價值提高學(xué)生的建模意識，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方 法，滲透方程思想、分類討論思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。3. 應(yīng)用價值培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)放眼生活，用生活眼光看數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)。（四）背景分析1人類在古代隨著自然數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念和四則運算的產(chǎn)生，為了生產(chǎn) 與生活的需要，就產(chǎn)生了數(shù)列的知識.在世界數(shù)學(xué)史上,對級數(shù)（數(shù) 列）的討論具有悠久的歷史，中國、巴比倫、古希臘、埃及和印度等， 都曾經(jīng)研究過級數(shù)，中國古代數(shù)學(xué)名著周髀算經(jīng)九章算術(shù)孔 子算經(jīng)張邱建算經(jīng)等，對等差級數(shù)0+（a+b） + +2b） + （a+3b）+ + （a+ （nl）b）和等比級數(shù) a+aq+aq2 +

5、aq3 aqn1 都列舉 出計算的例子，說明中國古代對級數(shù)的研究曾作出過一定的貢獻.古 老的易經(jīng)一書中寫道:“是故易有太極，是生兩儀；兩儀生 四象，四象生八卦”，實際上，這種分割，已經(jīng)寓有數(shù)學(xué)中等比數(shù)列 的思想.著于東漢（25年220年）初年的中國古代數(shù)學(xué)名著九章算 生均輸章中，第19題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容 三升.問中間兩節(jié)欲均容，各多少？ ”解得各節(jié)的容量是1 , 1 , 1 , 1,1,源于古代的一些實際問題.古埃及國王拉阿烏斯 有位能干的文書阿默斯.他用象形文字寫了一部算書，記錄了公 元前2000年前1700年間數(shù)學(xué)研究的一些成果其中有這樣一題, 題中畫了一個階梯，其各

6、級注數(shù)為7, 49, 343, 2401, 16807.并在 數(shù)旁依次畫了人、貓、鼠、大麥和量器.原書上并無任何說明，遂成 為數(shù)學(xué)史上的一個難解之謎.2000多年中無人能解釋.直到中世紀(jì), 意大利斐波那契在1202年發(fā)表了算盤全書,書中這樣一題：今 有七老婦人同往羅馬，每人有七騾，每騾負七袋，每袋盛有七個面包, 每個面包有七小刀隨之，每小刀配有七鞘，問列舉之物全數(shù)共有幾 何？顯然這是一個等比數(shù)列的求和問題.由此也基本解開了阿默斯 之謎.原來阿默斯問題的意思是：今有七人，每人有七貓,每貓食七 鼠，每鼠食七只大麥穗，每穗可長成大麥七量器，由此可得之?dāng)?shù)列如 何？當(dāng)然這僅僅是推測.我國古代數(shù)學(xué)家也早就

7、研究過等比數(shù)列的 問題.孫子算經(jīng)中有一個有趣的題目“出門望九堤”:今有出門 重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，維 有九毛，毛有九色，問各幾何？國際象棋起源于印度，據(jù)說國王舍罕 為了獎賞發(fā)明者西薩.班.達依爾，讓他提出一個要求，于是這位聰 明的發(fā)明者說：“尊敬的陛下，請在棋盤的第1格里放上1顆麥粒， 第2格里放上2顆麥粒，在第3格里放上4顆麥粒，以此類推，每一 格里的麥粒是前一格里放的2倍，直至64格，請陛下把這些麥粒賞 給您的仆人吧"。國王覺得這事不難，就欣然同意了。請問：國王能 辦到嗎？大約公元前320年，歐幾里得的幾何原本第五卷詳細探 討了關(guān)于比例的理論，

8、并且把它們推廣到各種量，此外還證明了它可 以應(yīng)運到可通約的量，也可應(yīng)運到不可通約的量。希思認為，希臘沒 有什么更好的發(fā)現(xiàn)比這個理論更能令人夸耀了。一般都公認，該卷中 大部分是歐多克索斯和泰阿泰德的工作，但是把它們編排的合乎邏輯 次序，應(yīng)該歸功于歐幾里得。書中關(guān)于比值和比例的基本概念是這樣 定義的：各個量在被乘時仍能保持各量間的相應(yīng)比數(shù)稱為彼此間有一比值。（定義4）所謂成等比的諸量，如第一量和第二量之比等于第三量和第四量之 比，是指在以等倍數(shù)乘第一量與第三量，并以任何等倍數(shù)乘第二量和 第四量時，前者的等倍數(shù)必相同地大于，或相同地等于，或相同地小 于后者相應(yīng)的倍數(shù)。（定義5）成等比的諸量稱為比例量

9、。（定義6）第六卷把第五卷已經(jīng)建立起來的關(guān)于比例的一般理論應(yīng)運到平面圖 形上去。第七，八，九卷與算術(shù)即關(guān)于數(shù)的理論有關(guān)。單位的定義是，用它 把每個存在的事物稱為1,。奇數(shù)和偶數(shù)，素數(shù)和合數(shù)，平方數(shù)和立 方數(shù)。完全數(shù)等都有了定義，例如一個完全數(shù)就是“等于它的各部分 之和的數(shù)”，即等于它的所有因子（包括1）之和。第七卷中的命題1 指出，“若在兩個等數(shù)中，每當(dāng)從大數(shù)中盡可能地減去小數(shù)，再從小 數(shù)中盡可能地減所得余數(shù)，又從前一余數(shù)中盡可能地減去下一余數(shù)， 如此下去，并且任何余數(shù)都不是前一余數(shù)的約數(shù)，直至達到1為止， 則此二位給定數(shù)互為素數(shù)”。這個命題是用歸謬法來證明的，從它可 以得出求不是互素的兩個或

10、三哥數(shù)的最大公約數(shù)的方法?！钡诰啪恚?題35）提出一個巧妙的方法來求幾何級數(shù)的和：如果有任意多個數(shù) 成連比例，并且第二個和最后一個數(shù)都可以減去第一個數(shù)，則第二個 數(shù)的增量與第一個數(shù)之比，將等于最后一個數(shù)的增量與最后一個數(shù)前 面的所有數(shù)之和的比。例如，若級數(shù)al a2 a3,. an an + lQn + 1_ °n _°2且可一石一一兀an + lan _anan-l _°2 一勺即%= n-1 =現(xiàn)在，如果有任意多個數(shù)成比例，則由于任前一項和后一項之比等于 所有前項的和與所有后項的和之比，故將所有前項與所有后項相加， 既得：an + 1 - a1a2 - aY

11、an + Qn-l + + Q1ai從這個關(guān)系即可確定幾2. 等比數(shù)列與其他知識的聯(lián)系等比數(shù)列與極限3. 等比數(shù)列的實際應(yīng)用1產(chǎn)值模型 2產(chǎn)值模型3分期付款模型4存儲模型(五) 要素分析1感性材料：通過引入“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，導(dǎo)出等 比數(shù)列。2. 概念和命題概念：(1) 數(shù)學(xué)概念名稱：等比數(shù)列(2) 數(shù)學(xué)概念定義：等比數(shù)列是說如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項 的比值等于同一個常數(shù)。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用 字母q表示(qHO),等比數(shù)列alH 0。注：q二1時，缶為常數(shù)列。(3) 數(shù)學(xué)概念例子a=2n是首項為1,公比為2的等比數(shù)列。命題：1. 若an是等比

12、數(shù)列，公比為q 1, bn也是等比數(shù)列，公比是q2, 則a2n, a3n -是等比數(shù)列，公比為q2, q3can, c是常數(shù),an*bn, an/bn是等比數(shù)列，公比為ql, qlq2, ql/q2。2. 若 m、n、p、qWN*, 且 m+n二p+q,貝 am*an二ap*aq。3. 若“G是a、b的等比中項”則“G"2=ab (GHO)3. 例題證明：設(shè)等比數(shù)列的首項為al,公比為q,則：ak=al (kl),al=al q" (11), am=al q (ml), an=al q" (nl)所以：ak*al=a 2*q(k+l2), am*an=a 2*q(

13、m+n-2),故:ak*al=am*an例題分析：這個例題是等比數(shù)列的一個重要性質(zhì)，它在解題中常 常會用到。它說明等比數(shù)列中距離兩端(首末兩項)距離等遠的兩項的 乘積等于首末兩項的乘積，即：a (1+k) a(n-k)二al an對于等差數(shù)列，同樣有：在等差數(shù)列中，距離兩端等這的兩項之 和等于首末兩項之和。即：a. 設(shè)ak, al, am, an是等比數(shù)列中的第k、1、m、n項，若k+1二m+n, 求證：ak*al=am*ana(1+k) +a(nk)=al+an則a4+a5a3+a4的值為(A. 5-12C. 1-52b. 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2, 12a3, ol成等差數(shù)列，

14、)B. 5+12D. 5-12 或 5 + 12答案B解析設(shè)an的公比為q,則q>0. Va2, 12a3, al成等差數(shù)列， a3 al-!-a2, .8,1q2 ald-alQValO, l+q = q2,又 Vq>0, /.q = 5+12,a. 等比數(shù)列an,前 n 項和為 Sn, Sn=48, S2n=60, S3n=? + a4 = q = 5+ 12例題分析：本題結(jié)合了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)1.習(xí)題解：設(shè)等比數(shù)列的公比是q,顯然q不等于1.則 Sn=al*(l-q n)/(l-q)=48S2n=al*(l-q(2n)/(1-q)=60把上面兩式相比得到二1/4所以

15、s3n=al*(l-q (3n)/(1-q)S3n/Sn 二(l-q"(3n)/(l-q'n)二 l+q'+qQn)二 1+1/4+1/16 二 21/16所以 S3n=21 /16*Sn= (21/16)*48=63.b.已知等比數(shù)列em的公比q= 12.(1) 若83=14,求數(shù)列an的前n項和;(2) 證明：對任意kN+, ak, ak+2,比+1成等差數(shù)列解：(1)由 a3 = alq2 = 14 及 q= 12,得 al = l,所以數(shù)列an的前n項和Sn =1 ” 1!*!-(-) 2 + (-_)(2)證明：對任意k£N+,2比卜 2 (ak+

16、au+i)=2aiqk 11 (alqk_1+alqk)= EqkT(2qJqT),由 q= 12 得 2q2q 1=0,故 2ak+2- (ak+ak+i) =0.所以，對任意keN ak,氐+2, a宀成等差數(shù)列(六) 學(xué)習(xí)結(jié)果、形式類型與任務(wù)分析1學(xué)習(xí)結(jié)果類型分析比數(shù)學(xué)事實：數(shù)學(xué)符號有久，匚及q,數(shù)學(xué)名稱有等比數(shù)列,等比中項公比及首項。b. 數(shù)學(xué)概念：等比數(shù)列及公比的定義。c. 數(shù)學(xué)原理：數(shù)學(xué)歸納法d. 數(shù)學(xué)問題解決：運用等比數(shù)列的概念及通項公式會求公比q,前n項和與數(shù)列中具體的某一項。e. 數(shù)學(xué)思想方法分析：歸納法、疊乘法、迭代法與類比法。f. 數(shù)學(xué)技能：運算、推導(dǎo)與數(shù)學(xué)交流。g. 數(shù)學(xué)認知策略：通