多元復合求導課件

1、多元復合求導PPT課件1第四節(jié)第四節(jié)一元復合函數(shù)一元復合函數(shù))(),(xuufy求導法則求導法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: :一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 多元復合求導PPT課件2一、鏈式法則一、鏈式法則 ,., :之之和和。對對所所有有中中間間變變量量的的鏈鏈導導等等于于可可偏偏導導，則則中中間間變變量量對對對對中中間間變變量量可可微微分分，已已知知的的復復合合函函數(shù)數(shù)，關關于于的的是是通通過過中中間間變變量量所所生生成

2、成定定理理zzxzyxzx 證明：見板書證明：見板書多元復合求導PPT課件3.,sin,2,222xdwdxvxuvuvuw求求設設 解解2:2:)cos2()2(2)2(2xxvuvu )cos2()sin22(2)sin22(222xxxxxx 22222sin2cos4sin28xxxxxx 例例: : xvxuxvwuwwdxdw w wu uv vx x解解1:1:22222sin2cos4sin28xxxxxx xwdd,)sin(sin242222xxxxw 多元復合求導PPT課件4解：解： xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu y

3、z uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 多元復合求導PPT課件5特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中把把復復合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似多元復合求導PPT課件6解：解：tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet

4、 多元復合求導PPT課件7解：解：令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 多元復合求導PPT課件8 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 多元復合求導PPT課件9由由例例4 4：,)1(22 yuxu.)2(2222yuxu sin,cosr

5、yrx 解：解： ),(yxfu),( rF 把下列表達式轉(zhuǎn)換為把下列表達式轉(zhuǎn)換為極坐標系極坐標系中的形式中的形式: :),(yxfu 設設 的所有二階偏導數(shù)連續(xù)的所有二階偏導數(shù)連續(xù), ,)sin,cos( rrf函數(shù)函數(shù)),(yxfu 換成極坐標換成極坐標 及及r的函數(shù)的函數(shù): :也可看成由也可看成由),(yxfu ,22yxr ),( rFu 及及復合而成復合而成. .xyarctan 反之反之多元復合求導PPT課件10 xu2ryurxru ruxyruru sincos (1)xyarctan ,22yxr xrruxu yu2rxuryru ruru cossin yrruyu 22

6、21 urru22 yuxu2222)2(yuxu （自己完成）（自己完成）多元復合求導PPT課件11二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 多元復合求導PPT課件12 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 說明說明可以利用一階可以利用一階全微分形式不變性全微分形式不變性和和下列下列微分運算法則微分運算法則

7、求全微分或偏導數(shù)求全微分或偏導數(shù)多元復合求導PPT課件13解：解：)sin(ddtuvz tdttdetdettcoscoscos tdtdttedtetttcos)sin(cos dtttetett)cossincos( .cos)sin(costttedtdzt tdudvvdusin 例例5 5： （利用一階全微分的形式不變性）（利用一階全微分的形式不變性）多元復合求導PPT課件14解：解：)sin(ddvezu vdveduevuucossin )()cos()sin(yxdyxdxyyxexy )(cos()(sin(dydxyxxdyydxyxexy dyyxyxxedxyxyxy

8、exyxy)cos()sin()cos()sin( vdevdeuusinsin 例例6 6： （利用一階全微分的形式不變性）（利用一階全微分的形式不變性）多元復合求導PPT課件15)cos()sin(yxyxyexzxy )cos()sin(yxyxxeyzxy dyyxyxxedxyxyxyexyxy)cos()sin()cos()sin( 多元復合求導PPT課件16利用一階全微分的形式不變性求函數(shù)利用一階全微分的形式不變性求函數(shù).)()(dzyxxyz的全微分的全微分 解：解：)()(yxdxyddz )()()()(yxdyxxydxy )()(2yxdyydxyxxdyydxxy .

9、12dyyxxdxyy 例例7 7： 多元復合求導PPT課件171、鏈式法則、鏈式法則2、全微分形式不變性、全微分形式不變性小結(jié)小結(jié)注：多元復合函數(shù)求導較復雜，要注意注：多元復合函數(shù)求導較復雜，要注意（1 1）搞清復合關系，哪些是自變量，哪些是中間變量）搞清復合關系，哪些是自變量，哪些是中間變量（2）對某個自變量求偏導數(shù)時，要經(jīng)過一切與其有關的）對某個自變量求偏導數(shù)時，要經(jīng)過一切與其有關的 中間變量，最后歸結(jié)到該變量中間變量，最后歸結(jié)到該變量（3）求抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)時要注意，）求抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)時要注意，對一切一階對一切一階 偏導函數(shù)來說其復合關系圖仍與原來函數(shù)的復合關偏導函數(shù)來說其復合關系圖仍與原來函數(shù)的復合關 系圖相同系圖相同（4）為了理清復合關系，可在求偏導數(shù)前先畫出變量）為了理清復合關系，可在求偏導數(shù)前先畫出變量 關系圖關系圖多元復合求導PPT課件18設設),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，則則xfdxdvvfdxduufdxdz ，試試問問dx