量子力學(xué)基本概念及理解

1、量子力學(xué)基本理論及理解基本概念概率波量子力學(xué)最基礎(chǔ)的東西就是概率波了，但我認(rèn)為對概率波究竟是什么樣一種“波”，卻并不是很容易理解的，這個問題直到理查德，費恩曼（而不是海森伯 或者伯恩）提出了單電子實驗，才讓我們很清楚的看到什么是概率波？有為什么 是概率波。什么是概率波？為什么是概率波？要回答這些問題，其實很簡單，我們只需看下費恩曼的理想電子雙縫干涉實 驗（剛開始時理想實驗，不過后來都已經(jīng)過證明了）就行了，我相信大家都會明 白的。下面我們再看一下費恩曼給出了什么結(jié)果：1 .單獨開啟縫1或者縫2都會得到強度分布I或者也符合衍射的圖樣， 縫1和縫2都開啟時得到強度P】2符合干涉圖樣P x P + P

2、2 .由兩個單縫的圖樣無論如何得不到雙縫的圖樣，即 尸+上3 .每次讓一個電子通過，長時間的疊加后就得到一個與一次讓很多電子通過雙縫完全相同的圖案4 .每次得到的是“一個”電子其實從這些結(jié)果中我們很容易得到為什么必須是概率波，并且我們也很容易去除那些對概率波不對的理解，也就是所謂的向經(jīng)典靠攏的理解，從而 得到必須是概率波的事實。概率波從字面上來理解，也就是這種波表示的是一種概率分布， 還是在雙縫 干涉中我們看一下很簡單的一些表現(xiàn)， 若果是概率波的話，我們很關(guān)心的就是這 個粒子分布的具體形狀，粒子位置的期望值等，在這里我們可以看出來波函數(shù)經(jīng) 過歸一化之后，就是說電子還是只有那一個電子， 但是它的

3、位置不確定了，這才 形成在一定的范圍內(nèi)的一個云狀分布， 你要計算某一個范圍內(nèi)的電荷是多少， 這 樣你會得到一個分?jǐn)?shù)的電荷量，但這只能告訴你電子在你研究的范圍內(nèi)分布的概 率有多大，并不是說在這一范圍內(nèi)真正存在多少電子。關(guān)于以上的詳細(xì)描述我想可以參看費恩曼物理學(xué)講義卷三的第一章，或者物理學(xué)刊十九期對量子力學(xué)中基本問題的說明與討論第一小節(jié)。波方程我們有了波函數(shù)，也有了概率波解釋，那么我們就該建立一個概率波所滿足 的波方程了，這就是薛定川建立波方程的最初考慮。今天我們看到波方程是這樣 一種形式，很習(xí)以為常，但是實際上波一開始并不是如此， 或者說這個看似很簡 單的方程其實最早并不是那么容易發(fā)現(xiàn)的。 從數(shù)

4、學(xué)上來說，要構(gòu)造一個關(guān)于波函 數(shù)滿足的方程有很多種方法，但為什么是這樣，其實這里有多方面的考慮。首先，當(dāng)時是相對論剛剛建立并且剛?cè)サ暮芎玫尿炞C被很多人接受的時代， 那么薛定川在找一種關(guān)系式時，很自然就考慮到用相對論的基本式子來作為出發(fā)4- m 2匚工點，于是，他選了質(zhì)能方程°來作為出發(fā)點，然后得到這個形式的方程，但他發(fā)現(xiàn)這個方程得到的結(jié)論并不能與實驗完全一致，于是他放棄了這P2個方程，進(jìn)而選擇了經(jīng)典的表達(dá)式E =而+ 丫,這就是為什么薛定川方程會是個能量的方程，雖然從理論上我們可以用任何一種算符得到任何一個量的本征方程來作為波方程，但我們還是習(xí)慣于用這個最基本的本征方程，并且在這里還

5、有 一點，就是求定態(tài)波函數(shù)對時間的偏微分的話， 我們得到的是能量的本征值，這 本身會使方程很簡單。其次，在這里我們用了算符，這有兩個原因，一是為了保證方程的普適性。由于這個方程里面不能有其他的特殊參量，所以方程里面除了中之外都是用由g a氏 而 排等構(gòu)成的算符表示的，其二就是所謂的不確定關(guān)系所決定的，不確 h定關(guān)系告訴我們并且波函數(shù)中也。是位置和時間的函數(shù)，在量子力學(xué) 中我們很關(guān)心一個物理量的期望值，那也就是說我們在求動量的平均值時我們不 能直接用波函數(shù)甲k號來求，因為對應(yīng)于一個確定的位置我們根本沒法確定一個 確定的動量，或者說對于一個確定的動量來說，我們沒辦法得到一個確定的位置， 進(jìn)而得不到

6、一個確定的波函數(shù)，因此我們至少要把波函數(shù)變?yōu)?平代而這是一 種表象變換，通過傅里葉變換也很容易得到動量平均值， 而在這個過程中會發(fā)現(xiàn) 可以用稱為動量算符的作用量作用于波函數(shù)，從而得到正確的結(jié)果，這也就是算 符的最初來源。因此，我們知道其實波方程的建立是很多因素作用的結(jié)果，并不是說只能是這樣，但這樣一定是夠基本夠簡單的。測量測量問題一直是糾纏不清的基本問題， 其實我們上面討論得很好了，就是說 我們已經(jīng)有了概率解釋，對于測量我們確實是會影響到粒子的波函數(shù)的，也就是 所謂的“塌縮”一一如果我們承認(rèn)我們“看”到了離子確實在某處，但既然是概 率波，那我們就不能確定在測量之前粒子在哪里了，當(dāng)然這個問題爭論

7、太多，我們還是很難回答。量子力學(xué)基本原理不確定原理不確定原理的數(shù)學(xué)形式以及證明大家都很熟悉了， 并且對于算符的對易或者 不對易本身就決定了算符是否正交， 或者說是否相關(guān)，這也能說明為什么我們可 以找到一個簡并體系的力學(xué)量完全集，從而得到完整的并且是互不相關(guān)的波函數(shù) 和波方程，因為算符正交，對波函數(shù)作用時互不影響，我們就可以得到不同的算 符的本征值。并且要注意的是，這里的不確定是真正意義上的不確定， 而不是所 謂的測不準(zhǔn)，跟外界沒有關(guān)系，體系本身就是如此，不同表象的波函數(shù)很好的描 述這些，兩個不對易的算符所對應(yīng)的不同本征函數(shù)也是相關(guān)的， 這就是不確定原 理的本質(zhì)。態(tài)疊加原理就其本身來說，這是量子

8、力學(xué)中遇到的一個很重要的基本原理， 但是在我們 的書上被廣義統(tǒng)計詮釋替代了，我認(rèn)為還是我們課本上說的比較好，因為狹義的 態(tài)疊加原理（這是我自己的稱謂和定義，并不是真的有這種說法，我所謂的狹義 就是說參與疊加的都是可測量的本征函數(shù)，廣義上指今僅存在于形式上的東西， 并沒有實質(zhì)內(nèi)容）會使x的分布很特殊，而這種量子疊加態(tài)，本身是一個量子態(tài)， 卻說是態(tài)疊加原理，這未免有些不合適，其實就是不同力學(xué)量的分布一一也可以 說是不同表象的變換，很明顯，我們不能把 x給特殊化，雖然我們知道，甲也。中確實是對一個量子態(tài)的完整描述，有了 mt）我們可以通過傅里葉變換得到任何 我們想要的表象下的概率分布，也就可以得到任

9、何我們想要的力學(xué)量的概率分布 了，可是這里有一個波函數(shù)隨時間的分布，而不僅僅是關(guān)于 x的分布，所以我們 能得到其他力學(xué)量的分布一點都不奇怪， 可是即使如此，我們也不能說關(guān)于x的 分布有多特殊，所以我們說的廣義統(tǒng)計詮釋是對任何一個力學(xué)量的分布都是適用 的，這就不用再說什么疊加態(tài)了，而廣義的疊加態(tài)在理論上還是有用的， 比如說編輯版word他告訴我們波方程的任何兩個解的線性疊加還是方程的解， 可是這一點很容易從線性方程的性質(zhì)得到，所以這種稱謂本身來說并沒有什么新東西。量子力學(xué)的不同理論體系一般來說可以歸為三類，一是薛定諤的波動力學(xué)，二是海森伯的矩陣力學(xué)，三是費恩曼的路徑積分。 他們分別跟經(jīng)典力學(xué)中的

10、哈密頓力學(xué)的正則方程， 泊松括號，拉格朗日變分方程相對應(yīng)。我們主要學(xué)了量子力學(xué)的薛定諤形式和海森伯形式。薛定諤方法我們很了解了， 就是所謂的薛定諤方程， 其實薛定諤方程是線性方程， 因為方程里所有的算符都是一些微分運算， 所以波函數(shù)可以疊加， 并且我們可以通過一些方法使波函數(shù)正交歸一 （而一般分離譜定態(tài)波函數(shù)本身就是正交的，而在連續(xù)情形下需要用到狄拉克正交歸一化的方法來使波函數(shù)正交歸一） ，而通過傅里葉變換我們又能得到完備的波函數(shù)集合， 這些都保證了量子力學(xué)對一個系統(tǒng)描述的完備性， 只有承認(rèn)這些， 我們才有可能對量子力學(xué)作進(jìn)一步的討論。對薛定諤方程求解的話， 一般過程是先求定態(tài)方程， 得到能量

11、本征值和本征函數(shù)， 然后再去做線性組合得到波函數(shù)， 如果不能得到解析解的話， 還有很多近似方法， 按照需要和情況可以選擇合適的近似方法。 矩陣力學(xué)可以看下 “曾謹(jǐn)言量子力學(xué)的第8 章” ，那里有很詳細(xì)的幺正變換和矩陣力學(xué)形式。我們在證明和推導(dǎo)一些基本理論的時候最經(jīng)常使用的是狄拉克符號的表示方法， 這是一種形式理論， 利用希爾伯特空間的基矢以及一些運算法則， 得到一種簡單實用的量子力學(xué)表述方法， 這種方法可以說是對上述兩種形式的量子力學(xué)表述都有用的， 狄拉克用右矢量表示矢量， 左矢表示矢量的線性泛函， 然后又定義了算符， 如果我們進(jìn)行運算時消掉基矢， 僅選擇基矢前面的系數(shù)， 這就構(gòu)成矩陣運算，如

12、果我們選擇基矢和系數(shù)的線性組合構(gòu)成的波函數(shù)的話，我們就得到波 方程運算，然后這種共腕矢量的乘積運算方法再加上厄米變換和本征波函數(shù)的正交歸一化，我們就很容易在數(shù)學(xué)上進(jìn)行運算了。 比如說在求期望時，我們只需要 在運算的時候?qū)懗鲎笫噶?、算符和右矢量的?nèi)積形式就可以了，并且通過這種矢 量的內(nèi)積和正交歸一性，我們可以消掉很多不必要的量，進(jìn)而使計算更簡單清晰。 如用這種方法得到久期方程，進(jìn)而求解不同的本征值，再回代得到本征值得概率 密度分布，這在量子力學(xué)的矩陣方法中也是一種通用解法，而一般的一個內(nèi)積在 薛定川形式中往往是很復(fù)雜的積分加求和運算， 因此，利用狄拉克符號和狄拉克 規(guī)則來進(jìn)行計算往往是很簡單的，

13、并且這也讓量子力學(xué)在我們這里變得更清晰， 更容易理解量子力學(xué)是干什么的量子體系隨時間的演化至于力學(xué)量隨時間的演化的那一部分，我們需要知道艾倫費斯特關(guān)系來確,其中A是不顯含時間的，分別在不同的圖像中的話就形成不同的演化方式，在薛定川那里，態(tài)矢量隨時間演化，而力學(xué)量不隨時間演化，人們只需討論力學(xué)量平均值和概率分布隨時間的演化即可，相應(yīng)的演化是含時薛定a人，、調(diào)京田(r, t)方重(心i)諸方程比一, 、,在海森伯圖像中力學(xué)量要隨時間演化，而態(tài) 矢量不變，相應(yīng)的演化有海森伯方程瓦卜=/忸出,而如果a h對易的話a就是守恒量，我們可以證明量子力學(xué)的守恒量無論在什么態(tài)下平均值和概率分布 都不隨時間改變，而在含時微擾那里我們充分利用了這一結(jié)論一一在沒有含時微擾的情況下，能量分布不發(fā)生變化，從而不發(fā)生躍遷；有含時微擾的時候，會使能級重新分布，它們的區(qū)別