小升初數(shù)學(xué)真題分析

1、 71 / 711講 倒推法1、 真題示例 （2009中大附中）1、 兩桶油，第一桶的重量是第二桶，如果從第二桶取6千克倒入第一桶，那么兩桶油就一樣重。第二桶原有多少千克？（2012廣州外國語）2、 兩個桶里共盛水40斤，若把第一桶里的水倒7斤到第2個桶里，兩個桶里的水就一樣多，則第一桶有_斤水 3、一批零件，先加工120個，又加工余下的，這是已加工的零件個數(shù)與未加工的零件個數(shù)相等，這批零件共多少個？（2009大聯(lián)盟應(yīng)用題第六題）二、真題解答 1、48千克2、 27斤3、7203、 知識點延伸 在分析應(yīng)用題過程中有順推法和倒推法。一般地說，從應(yīng)用題的條件出發(fā)，一步一步向后推，直到解決問題，這種

2、思考途徑就是順推法。反過來，從應(yīng)用題的問題出發(fā)，一步一步倒著推理，逐步靠攏已知條件，直到解決問題，這種思考途徑就是倒推法。倒推法是一種很重要的數(shù)學(xué)思考方法，也是分析應(yīng)用題時常用的方法。四、舉一反三 例1 小明爸爸的年齡加上8，再除以8，再減去2后，擴大10倍是30歲，小明的爸爸今年有多少歲？【解析】本題通過一系列的變化后，最后得到爸爸歲，我們從最后的結(jié)果往前推，爸爸的歲數(shù)擴大倍是歲，那么，爸爸的歲數(shù)縮小倍得（歲），再往前一步+（歲），再往前一步就是（歲），最后一步-（歲），這就是爸爸的年齡。解：（3010）-32（歲）答：小明的爸爸今年有32歲。例2 一瓶油吃去千克千克，又吃去余下的，瓶中還有

3、0.2千克,這瓶油原來是多少千克？【解析】解答這類問題，在弄懂題意的前提下，從問題出發(fā)，用倒推法進行分析，這個逆向分析的順序，可以用下面的線段圖來表示：由上圖我們很容易得到下面結(jié)果：(1)最后還剩下余下千克數(shù)的幾分之幾？(2)余下的是多少千克？（千克）(3)這瓶油原來是多少千克？+1（千克）解：）（千克） 答：這瓶油原來是1千克。例3 王玲有一批書。他給第一個同學(xué)1本，又給余下的一半；接著給第二個同學(xué)1本，又給余下的一半；再給第三個同學(xué)1本，又給余下的一半；最后又給第四個同學(xué)1本，再加15本，手中還剩8本。問王玲原來有書多少本？【解析】這道題如果用順推法來分析解答，比較麻煩，甚至無從下手，但從

4、結(jié)果出發(fā)，采用倒推的方法，就比較巧妙了。解：(1) 先求沒有給第四個同學(xué)時，手中有書：8+15+1=24（本）(2) 再求沒有給第三個同學(xué)時，手中有書：2449（本）(3) 然后求沒有給第二個同學(xué)時，手中有書：4999（本）(4) 最后求沒有給第一個同學(xué)時，手中有書：99199（本）答：王玲原有書199本。例4 一只猴子在山上摘桃子吃。第一天吃了一棵樹上桃子數(shù)的，以后兩天分別吃了當(dāng)天這棵樹上剩下桃子數(shù)的、。這樣，這棵樹上還留下48個桃子。這棵樹原有多少個桃子？【解析】從已知條件的最后結(jié)果出發(fā)，倒推過去思考。由猴子在第三天吃剩下桃子數(shù)的后，樹上還有48個桃子這個條件出發(fā)，可以知道，猴子吃了2天后

5、樹上的桃子數(shù)為：48÷（1-）72（個），同理推出，猴子第一天吃了以后樹上的桃子數(shù)為：72÷（1-）90（個），樹上原有的桃子數(shù)為： 90÷（1-）100（個）解：48÷（1-）÷（1-）÷（1-）（個）      答：這棵樹上原有桃子100個。例5：白兔、黑兔各采蘑菇若干千克，白兔拿出給黑兔，黑兔再拿出現(xiàn)有蘑菇的給白兔，這時它們都有蘑菇18千克。它們原來各采蘑菇多少千克？【解析】從題目中的最后一個條件去想，黑兔拿出現(xiàn)有蘑菇的后還剩18千克，那么它在未拿出之前應(yīng)有蘑菇是：18÷

6、;（1-）24（千克）。這也就是說，黑兔拿出了24-186（千克）蘑菇給白兔，白兔在得到黑兔的蘑菇之前應(yīng)有蘑菇是：18-612（千克）。而這12千克實際上是白兔拿出它原有蘑菇的給黑兔后剩下的蘑菇，這樣白兔原有的蘑菇就是：12÷（1-）15（千克）。這時我們可以求黑兔原有的蘑菇應(yīng)是24-1521（千克）解：（）黑兔現(xiàn)有蘑菇：18÷（1-）=24（千克）（）白兔原有蘑菇：18-（24-18）÷（1-）15（千克）（）黑兔原有蘑菇：24-1521（千克）答：白兔原有蘑菇15千克，黑兔原有蘑菇21千克2講 雞兔同籠解析一、真題示例1、（2013年大聯(lián)盟填空第三題） 停車場

7、有四輪車和兩輪摩托車共13輛，輪子共有36個，摩托車有（ ）輛。2、（2006年大聯(lián)盟應(yīng)用題第五題）六一兒童節(jié)，張老師帶領(lǐng)43名同學(xué)去劃船。如果大船每只坐6人，小船每只坐4人，一共租了9條船，大、小船各租了多少條?2、 考點解析 “雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，通常用它的典型解法-“假設(shè)法”或者“方程法”來求解.因此“雞兔同籠”問題是小升初的熱點問題。三、真題解答 1、8輛3、 大船4條，小船5條4、 知識點延伸 在考慮此類問題的時候，應(yīng)該試著發(fā)現(xiàn)一些題目中隱含的條件，比如說：雞和兔各有一個頭，但是，雞有2只腳，兔有4只腳，這樣

8、的話，每增加一只雞，腳的總數(shù)就會減少2只，通過這樣的考慮，我們就可以使問題簡單化。 對于特定問題，可以利用假設(shè)的方法來計算，比如將所有的動物假設(shè)為兔，然后通過“每只兔腳數(shù)-每一只雞的腳數(shù)”這個差額來計算雞或兔的數(shù)量同樣地，我們可以這樣來處理得失問題（合格產(chǎn)品與不合格產(chǎn)品）、考試問題（做對得失與做錯扣分）等等推廣的雞兔同籠問題。雞兔同籠的變化也是很多的，無論如何，有一個式子始終是成立的： 雞數(shù)兔數(shù)總數(shù)或者 合格產(chǎn)品數(shù)不合格產(chǎn)品數(shù)產(chǎn)品總數(shù) 做對的題目+做錯的題目（有時還要+沒有做的題目）題目總數(shù)這是我們能夠處理這種問題的根本。5、 舉一反三 例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞

9、和兔各有多少只？解：方法一： 我們設(shè)想，每只雞都是“金雞獨立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是：244÷2122（只）在122這個數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)：1228834（只）答：有兔子34只，雞54只.方法二：解：設(shè)有雞x只，則兔有88-x只，可得方程：2x4×(88x)2442x3524x2442 x108x54885434（只）答：有兔子34只，雞54只.例2 雞兔同籠，雞、兔共有107只，兔的腳數(shù)比雞的腳數(shù)多56只，問：雞、兔各有

10、多少只？解： 兔 135÷（2+1）=45（只） 雞 1354528=62（只）答：雞有62只，兔有45只。例3  甲、乙兩人進行數(shù)學(xué)比賽，規(guī)定答對一題，甲得5分，乙得6分，；答錯一題， 甲扣2分，乙扣3分。兩人各算了10道題，共對了15道題，且 甲比乙多得19分。問 甲、乙各做對幾道題？解： 乙答對的題數(shù) 5+16÷16=6（道）甲答對的題數(shù) 156=9（道）答：甲做對9道題，乙做對6道題。3講 利潤問題解析一 、真題示例 1. 小李把10萬元存入某銀行，定期2年，年利率為2.79%，到期要交納20%的利息稅。請你幫他計算存款到期時

11、可得到多少利息。(2010大聯(lián)盟應(yīng)用題第5題) (2010大聯(lián)盟填空第3題)2. 一件衣服降價50元后，售200元，降幅（ ）%。（2009大聯(lián)盟填空第7題） 3、一雙鞋子如賣140元，可賺40%，如賣120元可賺（）。 （2010中大附中選擇題7題） 20% 22% 25% 30% 二、考點解析商店出售商品，總是期望獲得利潤。例如某商品買入價（成本）是50元，以70元賣出，就獲得利潤70-5020（元）。通常，利潤也可以用百分數(shù)來說，20÷500.440，我們也可以說獲得 40的利潤。因此利潤的百分數(shù)（賣價-成本）÷成本×100賣價成本×（1利潤的百分

12、數(shù)） 成本賣價÷（1利潤的百分數(shù)） 商品的定價按照期望的利潤來確定 定價成本×（1期望利潤的百分數(shù)）定價高了，商品可能賣不掉，只能降低利潤（甚至虧本），減價出售，減價有時也按定價的百分數(shù)來算，這就是打折扣。減價 25，就是按定價的（125） 75出售，通常就稱為七五折。因此： 賣價定價×折扣的百分數(shù)三、真題解答 1、4464元 2、203. 四、舉一反三 例1 某商品按定價的 75（七五折）出售，仍能獲得25的利潤，定價時期望的利潤百分數(shù)是多少？【解析】求利潤百分數(shù)就是求獲得利潤占成本的百分之幾，因此應(yīng)使用利潤的百分數(shù)=（賣價-成本）÷成本×1

13、00，這個公式。要求利潤的百分數(shù)是多少，必須知道商品原來的成本和實際賣價各是多少？解：設(shè)商品定價為“1”，商品的實際賣價：1×750.75商品的成本：0.75÷（1+25%）0.6定價時期的利潤百分數(shù)：1-0.6）÷0.666.7%答：定價時期的利潤百分數(shù)是66.7%。例2 某商店同時售出兩件商品，每件各得3000元，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，問結(jié)果是盈利、虧損還是不盈不虧？【解析】一件商品盈利20%后是3000元，把這件商品的成本看作單位“1”量，先求出這件商品的成本價，再算盈利多少元？再算虧損多少元？最后比較盈利和虧損數(shù)額，再求出盈虧多少。解： 第

14、一件商品成本價：3000÷（1+20）2500（元）第一件商品盈利：3000-2500500（元）第二件商品成本價：3000÷（1-20）3750（元）第二件商品虧損：3750-3000750（元） 750500答：虧損例3 林先生向商店訂購定價為120元的某種商品100件，林先生對商店經(jīng)理說“如果你肯降價，那么每減價1元就多訂購5件”，商店經(jīng)理算了一下，若減價5%則由于林先生多訂購獲得的利潤反而比原來多120元，問這種商品的成本是多少元？【解析】降價5%則每件減價120×5%6元林先生就多買5×630件，由于每件減價6元，則100件就減價6×

15、100600元，而最后所獲得的利潤反而比原來多120元，這600+120720元就是多購30件獲取的利潤，則每件所獲利潤為720÷3024元，成本就是120-6-2490（元）。解：120-120×5%-（120×5%×100120）÷（5×120×5%） 120-6-720÷30 114-24 90（元）答：這種商品的成本是90元4講 濃度問題一、真題示例1、（2013年大聯(lián)盟填空第四題） 在101克水中放進4克鹽，然后又加進20克濃度為5%的鹽水，攪勻后鹽水的濃度為（）%。2、（2012年大聯(lián)盟附加題）一個容器

16、正好裝滿10升純酒精，倒出3升后用水加滿，再倒出4.5升后，再用水加滿，這時容器中溶液的濃度時多少？3、（2011大聯(lián)盟附加題）實驗室里有鹽和水，（1）請你配置含鹽率5%的鹽水500克，你需要取鹽和水各多少克進行配置？ （2）如果要求你把（1）所配置的500克鹽水變成15%的鹽水，需加鹽幾克？ （3）如果要求你配置含鹽率12%的鹽水5000克，你應(yīng)該從含鹽率5%和15%的兩種鹽水各取多少克才能配成？二、考點解析 在溶液濃度計算中，最常見的一種叫質(zhì)量百分比濃度，簡稱百分比濃度，有時叫濃度，屬于近些年的熱點內(nèi)容，而且所占分值越來越大。三、真題解答 1、4%4、 38.5% 3、（1）25克鹽，47

17、5克水 （2） （3）5、 知識點延伸 溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。 溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。 溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑?濃度：濃度×100%×100% 溶質(zhì)溶液×濃度 溶液溶質(zhì)÷濃度 溶劑溶質(zhì)÷濃度-溶質(zhì)溶液×（1-濃度百分數(shù)）有時需要研究用多少鹽和多少水才能配制成某一預(yù)先給定濃度鹽水，或者兩種同類不同濃度的溶液各取多少，才能配制成某一預(yù)定濃度的溶液，這就是溶液的配比問題。解答濃度問題，一般根據(jù)題意分數(shù)應(yīng)用題抓不變量解決，或者通過列方程

18、求解。6、 舉一反三 例1 濃度為15%的鹽水溶液60克，加入多少水就能達到濃度為10%的鹽水？【解析】根據(jù)題意溶質(zhì)不變，先求溶質(zhì)，再求出加水后的溶液，最后求加入多少水？解： 濃度為15%的鹽水溶液60克中含鹽多少克？ 60×15%=9（克） 含鹽9克濃度為10%的鹽水溶液有多少克？ 9÷10%=90（克） 需加水多少克？ 90-60=30克答：加入30克水就能達到濃度為10%的鹽水。例2 農(nóng)民伯伯要配制濃度為20%的農(nóng)藥溶液6千克，需要濃度為50%的農(nóng)藥溶液多少千克？【解析】根據(jù)題意可知溶質(zhì)不變，先求溶質(zhì)，后求濃度為50%的農(nóng)藥溶液。解； 濃度為20%的農(nóng)藥溶液6千克中含

19、農(nóng)藥多少千克？6×20%=1.2（千克） 需濃度為50%的農(nóng)藥溶液多少千克？1.2÷50%=2.4（千克）答：需要濃度為50%的農(nóng)藥溶液2.4千克例3 在一桶含鹽率為6%的鹽水中，加入50克鹽溶解后，桶中鹽水的濃度增加到15.4%，桶中原有多少克鹽水？【解析】此題的溶劑不變，也就是水的質(zhì)量沒有變，把他作為等量關(guān)系式列出方程。解：設(shè)原來桶中有x克鹽水。x×（16%）(x50) ×(115.4%)0.94x (x+50) ×0.846 X 450答：桶中原有450克鹽水例4 將濃度為10%的藥水與濃度為40%的藥水混合，配成濃度為30%的藥水120

20、0克，需要10%和40%的藥水各多少克？【解析】根據(jù)題意可知，將濃度為10%的藥水與濃度為40%的藥水混合，配成濃度為30%的藥水，說明混合前兩種藥水的溶質(zhì)和與混合后藥水中的溶質(zhì)相等，根據(jù)這一數(shù)量關(guān)系列出方程。解；設(shè)濃度為10%的藥水有x克，則濃度為40%的藥水有（1200-x）克10%x（1200x）×40%1200×30% 30%x1200×40%1200×30% x400濃度為40%的藥水：1200400800（克）答：需要10%的藥水400克，需要140%的藥水800克。5講 年齡問題1、 真題示例 1. 小明媽媽比他大26歲，去年小明媽媽年齡是

21、小明年齡的3倍，小明今年多少歲？。(2012小聯(lián)盟應(yīng)用題第2題) 2.。汪伯伯今年a歲，小玲今天（a-18）歲，再過c年后，他們相差（）歲。（2008中大附中選擇題第6題） A18 B c C c-18 D c+183. 爸爸今年a歲，洋洋比爸爸小b歲，爺爺比洋洋大c歲。爺爺今年( )歲。(2008年大聯(lián)盟填空題第4題)二、考點解析 解年齡問題，一般要抓住以下三條規(guī)律：（1）不論在哪一年，兩個人的年齡差總是確定不變的；（2）隨著時間向前（過去）或向后（將來）推移，兩個人或兩個以上人的年齡一定減少或增加相等的數(shù)量；（3）隨著時間的變化，兩個人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系一定會改變。三、真題解答 1、14歲

22、 2、A 3.a-b+c四、舉一反三 例1 媽媽今年 43歲，女兒今年11歲，幾年后媽媽的年齡是女兒的3倍？幾年前媽媽的年齡是女兒的5倍？【解析】無論在哪一年，媽媽和女兒的年齡總是相差43-11=32（歲）解：當(dāng)媽媽的年齡是女兒的3倍時，女兒的年齡為（43-11）÷（3-1）=16（歲）16-11=5（歲）說明那時是在5年后。同樣道理，由11-（43-11）÷（5-1）=3（年）答：3年前媽媽年齡是女兒的5倍。例2 今年父親的年齡是女兒的4倍，3年前父親和女兒年齡的和是49歲。父親、女兒今年各是多少歲？【解析】從3年前到今年，父親、女兒都長了3歲.解：今年父女的年齡之和為4

23、9+3×2=55（歲）55 ÷（4+1）11(歲)11×444(歲)答：父親今年各是44歲、女兒今年是11。例3 陳輝問王老師今年有多少歲，王老師說：“當(dāng)我像你這么大時，你才3歲；當(dāng)你像我這么大時，我已經(jīng)42歲了?！眴柾趵蠋熃衲甓嗌贇q？【解析】我們先要明白：如果我比你大a歲，那么“當(dāng)我像你這么大時”就是在a年前，“當(dāng)你像我這么大時”就在a年后。這樣便可根據(jù)題意畫出下圖：解:從圖上可看出，a 13，進一步推算得王老師今年29歲。6講 牛吃草問題2、 真題示例 (2010小聯(lián)盟填空第7題)1、一條船有一個漏洞，水以均勻的速度漏進船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時船艙內(nèi)已進了一些水。如果用

24、12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完?，F(xiàn)在要想在2小時舀完，需要多少人？ （2009年小聯(lián)盟填空第8題）2、小明從家到學(xué)校上課，開始時以每分鐘50米的速度走了2分鐘，這時他想：若根據(jù)以往上學(xué)的經(jīng)驗，再按這個速度走下去，肯定要遲到8分鐘。于是他立即加快速度，每分鐘多走10米，結(jié)果小明早到了5分鐘。小明家到學(xué)校的路程是多少米？二、考點解析 在牛頓編著的普通算術(shù)一書中有這樣一道題：12頭牛4周吃牧草3 格爾，同樣的牧草21頭牛9周吃10格爾，問24格爾牧草多少頭牛吃18周吃完？于是，人們又把這類問題稱為牛頓問題，表面上看''牛吃草問題。似乎是一個歸一問題，只

25、要算出一個量就可以了。其實不然，跟其他的應(yīng)用題有一個很大的不同，就是牧場上的草每天都在生長，時間越長，新長的草就越多，草的總量也就越多，而草的總量是由兩部分組成，一部分是某個時間期限前牧場上原有的的草，一部分則是這個時間期限后牧場上每天新長出的草。原有的草與每天新長出的草，這兩個量是固定不變的，因此解題時必須設(shè)法先求出這兩個不變的量。三、真題解答 1、17 2、40004、 知識點延伸 由近幾年的出題形式可以看出，牛吃草問題由于難度較大，多出現(xiàn)在小聯(lián)盟的試卷中，且出題形式比較多變，在平時訓(xùn)練中，不僅應(yīng)熟練牛吃草的常規(guī)題目，而且應(yīng)多訓(xùn)練以牛吃草為原型的多變類題目。五、舉一反三 例1 內(nèi)蒙古草原的

26、一個牧場有一片青草，這片青草每天都在勻速生長。這片牧草可供24頭牛吃12天，可供30頭牛吃8天，問可供多少頭牛吃4天？【解析】：這類題難在牧場上的草的數(shù)量每天都在變化，我們要想辦法從變化中找出不變的量，總草量可以分為牧場上原有的草和新長出的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天這片草地每天新長出的草的數(shù)量是相同的，即每天新長出的草量是不變的。有兩個用草量的差可知（128）天的生產(chǎn)量，即可求出每天新長出的草的量。再將某一組的草總量減去若干天的生長量，即是原有的牧草量。抓住這兩個量，解決問題就容易多了解： 設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。（1） 24頭牛12天吃

27、草的總量：1×24×12288（份）（2） 30頭牛8天吃草的總量：1×30×8240（份）（3） 每天新長出的草的量：（288240）÷（128）12（份）（4） 這片牧場原有的草量：28812×12144（份）或24012×8144（份）（5） 可供多少頭牛吃4天？（14412×4）÷448（頭）答：這片牧場可供48頭牛吃4天。例2 日立造紙廠有一水池，裝有一根進水管和若干根同樣粗細的出水管。先打開進水管，水均勻的流入池中，當(dāng)水注滿全池的時，若同時打開6根出水管15分鐘，可將池內(nèi)的水放干，若同時打開7

28、根出水管12分鐘可將池內(nèi)的水放干，若所有的出水管都同時打開，10分鐘就可將池內(nèi)的水放干，那么這個水池裝有多少根出水管？【解析】根據(jù)已知條件“打開6根水管15分鐘可將池內(nèi)的水放干，若同時打開7根水管12分鐘可將池內(nèi)的水放干”可求出每分鐘的進水量和池內(nèi)原有的水量，然后求出問題的解。解：設(shè)一根出水管放出的水量為單位“1： 6根出水管15分鐘的出水量為： 6×1590 7根出水管12分鐘的出水量：7×1284 一根進水管每分鐘的進水量：（9084）÷（1512）2 池內(nèi)原有水量：902×1560 或842×1260 出水管的跟數(shù)：（602×1

29、0）÷108（根）答：這個水池裝有8根出水管。例3 一片牧場，草每天生長的速度相同，現(xiàn)在這片牧場可供16頭牛吃20天，或可供80只羊吃12天，如果1頭牛的吃草量相當(dāng)于14只羊的吃草量，那么 10頭牛和60只羊一起可以吃多少天？【解析】由已知條件“如果1頭牛的吃草量相當(dāng)于14只羊的吃草量”我們可以把80只羊轉(zhuǎn)化成20頭牛，把10頭牛和60只羊轉(zhuǎn)化成牛一共有25頭，再根據(jù)牛吃草問題的解法求解解：設(shè)1頭牛一天吃的草為1份 每天新長出的草量：（16×20-20×12）÷（2012）=10（份） 牧場原有草量：16×20-20×10=120（份

30、） 10頭牛和60只羊一起可以吃的天數(shù)：120÷（2510）8（天）答：可以吃8天。7講 數(shù)論問題3、 真題示例 (2010大聯(lián)盟填空第2題)1.如果A=60，B=42，那么A、B的最大公因是（   ），最小公倍數(shù)是（   ）。 (2010大聯(lián)盟填空第3題)2.在一個比例里，已知兩個外項互為倒數(shù)，其中一個內(nèi)項是最小的質(zhì)數(shù)，另一個內(nèi)項是（    ）。（2013大聯(lián)盟選擇第3題） 3、一列數(shù)1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，···中的第34個數(shù)為（ ） A.6 B.7 C.8 D.93、 考點

31、解析 數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個數(shù)學(xué)分支。常常涉及整數(shù)的整數(shù)性、帶余除法、奇偶性、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分析等。主要是用些枚舉法和歸納法分析解答數(shù)論問題。三、真題解答 1、6 420 2、 3、C四、舉一反三 例1 兩個連續(xù)奇數(shù)之積是111555，這兩個奇數(shù)之和是多少？【解析】兩個連續(xù)奇數(shù)積是111555 ，由分解質(zhì)因數(shù)知，即有兩個數(shù)333 和335 的積是111555。解：分解質(zhì)因數(shù)333×335111555所以兩個連續(xù)奇數(shù)是333、335333335668答：這兩個奇數(shù)之和是668例2 利用19中的數(shù)，分別組成（1）兩個能被3整除的五位數(shù) 、 ；（2）兩個能被9整除的

32、三位數(shù) 、 ；（3）兩個能被11整除的四位數(shù) 、 ?！窘馕觥?整除的意義：對于整數(shù)a和不為零的整數(shù)b，如果a除以b的商是整數(shù)且沒有余數(shù)（余數(shù)為0），我們就說a能被b整除，b能整除a，a叫做b的倍數(shù),b叫作a的因數(shù)。 2能被2、5、4、25、3、9、11整除的數(shù)的特征(1)一個整數(shù)的個位上是0、2、4、6、8中的某個數(shù)，這個整數(shù)能被2整除。 (2)一個整數(shù)的個位上是0、5中的某一個數(shù)，這個整數(shù)能被5整數(shù)。 (3)一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，則這個數(shù)能被4或25整除。(4)一個整數(shù)的所有數(shù)位的數(shù)字和是3的倍數(shù)，這個整數(shù)能被3整數(shù)。(5)一個整數(shù)的所有數(shù)位的數(shù)字和是9的倍數(shù)，這個整數(shù)能被9整數(shù)。

33、(6) 一個整數(shù)的奇數(shù)位和偶數(shù)位數(shù)字和之間的差是11的倍數(shù)，這個整數(shù)能被11整數(shù)。 解：（1）12345 12348 (2) 459 279 (3) 4279 9273例3 已知兩個數(shù)的和是150，它們的最大公因數(shù)是5，求這兩個數(shù)?！窘馕觥?因為這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是5，假設(shè)有兩個數(shù)，且A、B互質(zhì)，有因為這兩個數(shù)的和AB150 ，即，有，即有：解：假設(shè)有兩個數(shù)， 因為這兩個數(shù)的和是150（且a、b互質(zhì)） ； ； ；答：這兩個數(shù)是5和145，或35和115，或55和95，或65和858講 周期問題4、 真題示例 1. 觀察下面圖形的排列情況，第2012個圖形是（ ）。(2012小聯(lián)盟選擇題第5題

34、) A、 B、 C、 D、無法確定2. 按照上述的規(guī)律，第五行的等式為_。（2011年中大附中填空題第10題）二、考點解析 在日常生活中,有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn),例如,人的生肖:鼠、牛、虎、兔、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬都是按順序不斷出現(xiàn)的；每周有七天，從星期日開始，到星期六結(jié)束，總是以七天為一個循環(huán)不斷重復(fù)出現(xiàn)的。我們把這種特殊的規(guī)律性問題稱周期問題。解答周期問題的關(guān)鍵是找規(guī)律，找出周期。確定周期后，用總量除以周期，如果正好有整數(shù)個周期，結(jié)果為周期里的最后一個；如果比整數(shù)個周期多n個，那么為下個周期里的第n個；如果不是從第一個開始循環(huán)，可以從總量里減掉不是循環(huán)的個數(shù)后，再繼續(xù)算

35、。三、真題解答 1、A 2、11=36-25四、舉一反三 例1 有以下一些幾何圖形的排列， （1）第200個圖形是什么？ （2）如果要使其中有100個，則至少有多少個圖形？【解析】通過條件找規(guī)律發(fā)現(xiàn)“”在反復(fù)出現(xiàn)，所以該題的周期是6。（1）第200個圖形是有33組余2個圖形，即是。（2）因為每隔周期里只有3個，要有100個，至少需要100÷3 33 1，即是33個周期還差1個，就是說還要第34周期的前4個圖形。解：（1）200÷633 2 答：第200個圖形是。（2）100÷3 33 1 33×64202（個）答：要使其中有100個，則至少有202個圖形

36、。我最棒我最棒我最棒奧數(shù)好玩奧數(shù)好玩奧例2 如圖，將下面的每一列上、下兩個字組成一組,例如第一組為(我奧),第二組為(最數(shù)),那么第235組為什么數(shù)呢?【解析】如果從表格上找規(guī)律，該題的周期是3、4的最小公倍數(shù)為12，且列出一個周期的項，比較繁。我們可以分行找規(guī)律，求出該行第235組是什么，在將它們組合。解：235÷3 78 1（我）235÷4 58 3（好）答：所以第235組是（我好）例3 求的個位數(shù)字為多少?并說明理由?！窘馕觥扛哳}中的算式是1993個3相乘的結(jié)果肯定是一個很大的數(shù)字，而且也是不可能計算出來的，但本題只要求個位的數(shù)字。先試找找規(guī)律：3的個位是3 , 3

37、×3的個位是9，3×3×3的個位是7，3×3×3×3的個位是1，3×3×3×3×3的個位是3，知道若干個3相乘的個位數(shù)是3，9，7，1，3，解：找規(guī)律 3 個位是3 3×39 個位是9 3×3×327 個位是7 3×3×3×381 個位是1 3×3×3×3×3243 個位是3 所以1993÷4 498 1答：的個位數(shù)字為3。9講 組合及平面圖形丘面積5、 真題示例 (2007天河省實應(yīng)用

38、題第四題)1.如圖，ABOF和ODEC都是正方形，AB=10cm，OD=12cm，CD是以O(shè)為中心，OC為半徑的圓弧，求圖中陰影部分的面積。 （2013大聯(lián)盟選擇題第五題） 2、如圖：一個三角形的三個頂點分別為三個半徑為3厘米的圓的圓心，則圖中陰影部分的面積是（ ）（2013大聯(lián)盟附加題） 3、直角三角形ABC的邊分別是5，3和4，將它的直角邊AC對折斜邊AB上，使AC與AD重合，如圖，則圖中陰影部分（未重疊部分）的面積是多少平方厘米？ 4、 考點解析 空間形體的想象能力是小學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)能力，而立體圖形的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)這種能力十分有效。我們在課本上已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡單的立體圖形，如正方體、長

39、方體、圓柱體、圓錐體，有關(guān)立體圖形的概念還可以深化，空間想象能力還需要提高。將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系來處理，是解決立體圖形問題的一種常用思路,近幾年，轉(zhuǎn)化思想在該類題目中已成熱點，需引起足夠重視。常見立體圖形的表面積、體積計算公式表形體表面積公式(S)體積公式(V)備注長方體（長×寬+長×高+寬×高）×2S(a×b+a×h+b×h)×2長×寬×高Va×b×h用字母“a”、“b”、“h”分別表示長、寬、高。正方體棱長×棱長×6 即：Sa×

40、;a×6棱長×棱長×棱長Va×a×a用字母“a”表示上棱長圓柱底面積×2側(cè)面積S2××r2+×r2×h底面積×高VS×h用字母“r”、“h”分別表示半徑、高。圓錐底面積×2側(cè)面積 即：SVS×h用字母“r”、“h”分別表示半徑、高。三、真題解答 1、113.04 2、4.5 3、四、舉一反三如圖所示，求甲比乙的面積少多少平方厘米？ 【分析】本題考查了幾何問題中的等量代換，即根據(jù)兩個面積同時加上或減去相同的面積，差不變。在此題中甲與乙分別加上空白部分后，變?yōu)?/p>

41、長方形和大三角形的面積，S大= 6×（4+5）÷2 = 27 （2）S長= 6×4 = 24（2），而甲與乙的面積差即是大三角形與長方形的面積差是27-24=32?！緟⒖即鸢浮?2撰寫人：周攀個人簡介：從事小升初教學(xué)多年，現(xiàn)任學(xué)大教育天河校區(qū)初小數(shù)學(xué)組科組長，教學(xué)經(jīng)驗豐富，輔導(dǎo)學(xué)生多數(shù)考入二中，育才，省實等優(yōu)質(zhì)名校。 10講長方體6、 真題示例 1、把一塊底面直徑8分米、高6分米的圓柱體銅塊熔鑄成一個長方體，這個長方體長4分米、寬2分米，它的高是多少分米？ (2010大聯(lián)盟解決問題第2題)2、圖中的兩個物體是用相同數(shù)量的小正方體擺成的，比較它們的表面積，正確的說法

42、是（ ）。（廣州市天河外國語學(xué)校2012單選題第9題）A、正方體的表面積大 B、長方體的表面積大 C、同樣大 D、無法比較3、如下圖，這個大正方體由（ ）個小正方體組成。（各面中心的孔直通對面）（廣州市天河外國語學(xué)校2012單選題第10題）A、110 B、111 C、112 D、114 5、 考點解析 認識長方體和正方體的特征以及它們的展開圖，了解長方體和正方體的關(guān)系，掌握長方體和正方體的表面積的意義，及長方體和正方體的表面積的計算方法，初步建立了空間觀念，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活中物體的形狀，并能解決生活中的一些實際問題。三、真題解答 1、37.68 分米 2、B 3、C四、舉一反三 例1

43、便民小商店要做一個長2.5米，寬0.6米，高0.9米的玻璃柜臺，現(xiàn)在要在柜臺各邊都安上角鐵，需要角鐵多少米?【解析】要求角鐵的米數(shù)，就是求長方體柜臺的棱長和。解：(2.50.60.9)×416(米)答：需要角鐵16米。例2 用一根長180厘米的鐵絲圍成一個最大的正方體框架，這個框架的每條邊是多少厘米?【解析】根據(jù)正方體的特征，它的12條棱長都相等，把180厘米平均分成12份，每份就是一條棱的長度。解：180÷1215(厘米)答：這個框架的每條邊應(yīng)該是15厘米。例3 一個玻璃魚缸的形狀是正方體，棱長5分米。制作這個魚缸時至少需要玻璃多少平方分米?(魚缸的上面沒有玻璃) 【解析

44、】這個魚缸的上面沒有玻璃，所求的玻璃的面積就是求其它5個面的總面積。解：5×5×5125 (平方分米)答：制作這個魚缸時至少需要玻璃125平方分米。例4 一個長方體的食品盒，長10厘米，寬6厘米，高12厘米。如果圍著它貼一圈商標(biāo)紙(上下面不貼)，這張商標(biāo)紙的面積至少要多少平方厘米?【解析】這個食品盒只有4面貼包裝紙，即前、后、左、右四面，所求的商標(biāo)紙的面積就是這四個面的面積和。解：(10×12+6×12) ×2 384 (平方厘米)答：這張商標(biāo)紙的面積至少要384平方厘米。撰寫人：封靜個人簡介：從事個性化教學(xué)多年，能準(zhǔn)確把握小升初考試題型，教學(xué)

45、方法獨特，曾榮獲學(xué)大教育廣州分公司教研比賽二等獎。所帶小升初學(xué)生多數(shù)考入重點民辦中學(xué)。11講 相遇問題解析一、 真題示例。1、（2013年大聯(lián)盟應(yīng)用題第5題）甲乙兩車從AB兩地在上午時同時出發(fā)，相向而行，已知甲的速度比乙的速度快千米時，到上午點兩車相距千米，繼續(xù)前行，又過小時兩車還是相距千米，求AB兩地的距離？ 2、（2012年大聯(lián)盟附加題第2題）客車和貨車分別從甲乙兩站同時相向開出，5小時后相遇，相遇后兩車仍按原速度前進，當(dāng)他們相距196千米時，客車行了全程的，貨車行了全程的80%。（1） 全程是多少千米？（2） 貨車行完全程需要多少個小時？3、（2011年大聯(lián)盟應(yīng)用題第7題）在比例尺是1:

46、5000000的地圖上，量得兩地的距離是12厘米，甲、乙兩輛汽車同時從兩地相對開出，已知甲車速度每小時90千米，乙車的速度是甲車的，兩車幾小時相遇？ 二、 考點解析。相遇問題是行程問題中一個常考題型，也是歷年小升初考試出現(xiàn)頻率很高的一種題型，而且一般都是出現(xiàn)在應(yīng)用題中，占分比重很大。三、 真題解答。1、108千米2、（1）490千米 （2）8.75小時3、4小時四、 知識點延伸。行程應(yīng)用題是專門講物體運動的速度、時間、路程三者關(guān)系的應(yīng)用題。行程問題的主要數(shù)量關(guān)系是：路程=速度×時間。知道三個量中的兩個量，就能求出第三個量。相遇問題：速度和×相遇時間=總路程五、 舉一反三。例

47、1 甲、乙兩車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米。兩車在距中點32千米處相遇，東、西兩地相距多少千米? 分析與解答 從圖中可以看出，兩車相遇時，甲車比乙車多行了32×2=64（千米）。兩車同時出發(fā)，為什么甲車會比乙車多行64千米呢？因為甲車每小時比乙車多行56-48=8（千米）。64里包含8個8，所以此時兩車各行了8小時，東、西兩地的路程只要用（56+48）×8就能得出。32×2÷（5648）=8（小時） （5648）×8=832（千米）答：東、西兩地相距832千米。例2 快車和慢車同時從甲、乙兩地相向開出，乙

48、車每小時行40千米，經(jīng)過3小時，快車已駛過中點25千米，這時快車與慢車還相距7千米。慢車每小時行多少千米？分析與解答 快車3小時行駛40×3=120（千米），這時快車已駛過中點25千米，說明甲、乙兩地間路程的一半是12025=95（千米）。此時，慢車行了95257=63（千米），因此慢車每小時行63÷3=21（千米）。 （40×325×27）÷3=21（千米） 答：慢車每小時行21千米。例3 甲、乙二人上午8時同時從東村騎車到西村去，甲每小時比乙快6千米。中午12時甲到西村后立即返回東村，在距西村15千米處遇到乙。求東、西兩村相距多少千米？分析

49、與解答 二人相遇時，甲比乙多行15×2=30（千米），說明二人已行30÷6=5（小時），上午8時至中午12時是4小時，所以甲的速度是15÷（54）=15（千米）。因此，東西兩村的距離是15×（51）=60（千米）上午8時至中午12時是5小時。15×2÷6=5（小時）15÷（54）=15（千米）15×（51）=60（千米）12講 植樹問題植樹問題解析一、真題示例。1、（2012年大聯(lián)盟填空題第2題）將一根木棒鋸成4段需要6分鐘，則將這根木棒鋸成6段需要（   ）分鐘。 

50、0; （A）10 （B）12   （C）14   （D）16 2、（2007年大聯(lián)盟填空題第8題）把5米長的鋼筋，鋸成每段一樣長的小段，共鋸6次，每段長(    )米，如果鋸成兩段需2分鐘，鋸成6段共需(   )分鐘。  二、考點解析。植樹問題在小升初考試中比較常見，尤其是填空題中較多出現(xiàn)，有時應(yīng)用題中也會考到，鋸木、上樓梯等問題也可以轉(zhuǎn)化為植樹問題來解決。  三、真題解答。1、 A2、5/7&#

51、160;   10  四、知識點延伸。植樹問題，其實就是數(shù)學(xué)中設(shè)置等分點的計算問題。因此題中的情節(jié)不局限于植樹，生活中的跨樓梯、鋸木頭、插紅旗、安路燈等問題，都可以按照植樹問題的數(shù)量關(guān)系和思路解答。    關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。    1、封閉線路植樹：棵樹=總距離÷棵距    2、不封閉線路植樹：    路的兩端都植樹：棵樹=總距離÷棵距 1；    路的一端植樹，另一端不植樹：棵樹=總距離÷棵距；

52、0;   路的兩端都不植樹：棵數(shù)=總距離÷棵距 1    3、在方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數(shù)=（每邊的棵數(shù)1）×邊數(shù)。 五、舉一反三。    例1.從公園通往湖心的小島有一條長900米的小路，在小路的兩側(cè)，從頭到尾每隔15米栽1棵樹，需要多少棵數(shù)？    【解析】 典型的植樹問題，而且是不封閉線路，總長為900米，間隔是15米，所以段數(shù)=900÷15=60，這個時候注意，題目說的是從頭到尾都栽樹，所以小路一側(cè)的樹為601=61，兩側(cè)就是61×

53、;2=122棵     例2.有12名小學(xué)生站成一排，要求在每兩名小學(xué)生中間放2盆花，需要擺放幾盆？    【解析】 如果把每2名小學(xué)生開成1段的話，那么12名小學(xué)生一共有11個間隔，也就是說可以看成11段，每一段放2盆花，就應(yīng)該放2×11=22盆花     例子3，長方形場地：一個長84米，寬54米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2米，行距是3米這個蘋果園共種蘋果樹多少棵？      【解析】     解法一：  

54、 一行能種多少棵？84÷2=42(棵)|   這塊地能種蘋果樹多少行？54÷3=18(行)   這塊地共種蘋果樹多少棵？42×18=756(棵)   如果株距、行距的方向互換，結(jié)果相同：   (84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)   解法二：   這塊地的面積是多少平方米？   84×54=4536(平方米)&#

55、160; 一棵蘋果樹占地多少平方米？   2×3=6(平方米)   這塊地能種蘋果樹多少棵？   4536÷6=756(棵)  當(dāng)長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時，可用上述兩種方法中的任意一種來解；當(dāng)長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就只能用第二解法。 13講 追及問題追及問題解析一、真題示例。1、（2010年大聯(lián)盟附加題）    某學(xué)校運動會上，800米跑是既講耐力又講技術(shù)的一項比賽項目，A、B、C三位學(xué)生都有奪冠的希望，但由

56、于他們使用的技術(shù)不同，得出不同的效果，這項運動可分為三個階段：第一階段是起跑和慢加速階段；第二階段是全速前進階段；第三階段是全速沖刺階段。假設(shè)全速前進階段A、B、C三位同學(xué)的速度都是6米/秒,1 若A、B、C三位同學(xué)花在慢加速階段的時間都是12秒，而在這時間內(nèi)他們分別跑過了60米、55米和50米，問半分鐘后他們的位置如何？2由于A在慢加速階段加速太快引致30-50秒間呼吸不均勻造成速度下降到5米/ 秒，問1分鐘時他們的位置關(guān)系如何？3三人都在最后100米處發(fā)起最后沖刺，若此時A的速度為7.2米/ 秒, B的速度為7米/秒,最后奪冠的是C,問C最后沖刺階段的速度至少

57、是多少?  二、考點解析。相遇問題是行程問題中一個?？碱}型，也是歷年小升初考試出現(xiàn)頻率很高的一種題型，而且一般都是出現(xiàn)在應(yīng)用題中，占分比重很大。但這種題難度比較大且靈活，一般會和比、分數(shù)乘除法應(yīng)用題綜合來出題。  三、 真題解答。    1、（1）A:168米  B:163米  C:158米（2）A:328米  B:343米  C:338米（3）約7.4米/秒 四、知識點延伸。追及問題一般是指兩個物體同方向運動，由于各自的速度不同，后者追上前者的問題。追及問題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度差×追及時間=追及路程解答追及問題，一定要懂得運動快的物體之所以能追上運動慢的物體，是因為兩者之間存在著速度差。抓住“追及的路程必須用速度差來追”這一道理，結(jié)合題中運動物體的地點、運動方向等特點進行具體分析，并借助線段圖來理解題意，就可以正確解題。  五、舉一反三。例1  中巴車每小時行60千米，小轎車每小時行84千米。兩車同時從相距60千米的兩地同方向開出，且中巴在前