三角函數(shù)教案

1、第1講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)知 識(shí) 梳 理角的弧度數(shù)公式|(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1°rad1 rad°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l|r扇形面積公式Slr|r2考點(diǎn)一象限角與三角函數(shù)值的符號(hào)判斷【例1】 (1)若sin ·tan 0，且0，則角是()A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A小于0 B大于0 C等于0 D不存在解析(1)由sin ·tan 0可知sin ，tan 異號(hào)，從而為第二或第三象限的角，由0，可知cos ，tan 異號(hào)從而為第三或第四象限角綜上，

2、為第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2·cos 3·tan 40.答案(1)C(2)A規(guī)律方法 熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)是判斷的關(guān)鍵，對(duì)于已知三角函數(shù)式符號(hào)判斷角所在象限，可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號(hào)確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，再判斷角所在象限【訓(xùn)練1】 設(shè)是第三象限角，且cos ，則是()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析由是第三象限角，知為第二或第四象限角，cos ，cos 0，知為第二象限角答案B考點(diǎn)二三角函數(shù)定義的應(yīng)用【例2】 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(，m)(m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan

3、 的值解由題意得，r，sin m.m0，m±.故角是第二或第三象限角當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第二象限角，cos ，tan .當(dāng)m時(shí)，r2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，角是第三象限角cos ，tan .綜上可知，cos ，tan 或cos ，tan .規(guī)律方法 利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)【訓(xùn)練2】 已知角的終邊在直線y3x上，求10sin 的值解設(shè)角終邊上任一點(diǎn)為P(k，3k)，則r|k|.當(dāng)k0

4、時(shí)，rk，sin ，10sin 330；當(dāng)k0時(shí)，rk，sin ，10sin 330.綜上，10sin 0.課后練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1若sin 0且tan 0，則是()A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角解析sin 0，則的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限答案C2(2014·汕頭一中質(zhì)檢)一段圓弧的長(zhǎng)度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C. D.解析設(shè)圓的半徑為R，由題意可知，圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為R，圓弧長(zhǎng)為R.該圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為.答案C4已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,

5、2)，則的值為()A. B. C. D.解析由sin 0，cos 0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.答案D5有下列命題：終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；若sin 0，則是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cos .其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析正確，不正確，sin sin ，而與角的終邊不相同不正確sin 0，的終邊也可能在y軸的正半軸上不正確在三角函數(shù)的定義中，cos ，不論角在平面直角坐標(biāo)系的任何位置，結(jié)論都成立答案A二、填空題6已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4

6、，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.解析因?yàn)閟in ，所以y0，且y264，所以y8.答案8能力提升題組一、選擇題1已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析由cos 0，sin 0可知，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有解得2a3.答案A2給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所在半徑的大小無關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos <0，則是第二或第三象限的角其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A

7、1 B2 C3 D4解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯(cuò)；正確；由于sin sin ，但與的終邊不相同，故錯(cuò)；當(dāng)，cos 1<0時(shí)既不是第二象限角，又不是第三象限角，故錯(cuò)綜上可知只有正確答案A二、填空題3若角的終邊落在直線xy0上，則_.解析原式，由題意知角的終邊在第二、四象限，sin 與cos 的符號(hào)相反，所以原式0.答案0第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式知 識(shí) 梳 理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21.(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2三角

8、函數(shù)的誘導(dǎo)公式3.特殊角的三角函數(shù)值考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用【例1】 (1)已知tan 2，則_，4sin2 3sin cos 5cos2_.(2)已知sin ·cos ，且，則cos sin 的值為_解析(1)1，4sin2 3sin cos 5cos21.(2)當(dāng)時(shí)，sin cos ，cos sin 0，又(cos sin )212sin cos 1，cos sin .答案(1)11(2)【訓(xùn)練1】 (1)已知sin cos ，0，則tan _.(2)已知sin 2sin ，tan 3tan ，求cos _.解析(1)法一聯(lián)立方程由得cos sin ，將其代入，整理得2

9、5sin25sin 120.又0，tan .法二sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos ，由得tan .(2)sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2，由÷得：9cos24cos2，得：sin29cos24，cos2sin21，cos2，即cos ±.答案(1)(2)±考點(diǎn)二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式【例2】 (1)sin(1 200°)co

10、s 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)_.(2)設(shè)f()(12sin 0)，則f_.解析(1)原式sin 1 200°cos 1 290°cos 1 020°sin1 050°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)sin(2×360°330°)sin 120°cos 210°cos 300°s

11、in 330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(360°60°)·sin(360°30°)sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°××1.(2)f()，f.答案(1)1(2)【訓(xùn)練2】 (1)sin(1 071°)sin 99°sin(171°)sin(261°)tan(1 089°)tan(540°)_.(2)化簡(jiǎn)：_.解析(1)原式(s

12、in 1 071°)·sin 99°sin 171°·sin 261°tan 1 089°·tan 540°sin(3×360°9°)sin(90°9°)sin(180°9°)·sin(270°9°)tan(3×360°9°)·tan(360°180°)sin 9°cos 9°sin 9°cos 9°tan

13、9°·tan 180°000.(2)原式·1.答案(1)0(2)1考點(diǎn)三利用誘導(dǎo)公式求值【例3】 (1)已知sin，則cos_；(2)已知tan，則tan_.解析(1)，coscossin.(2)，tantantan.答案(1)(2)【訓(xùn)練3】 (1)已知sin，則cos_；(2)若tan()，則tan(3)_.解析(1)coscoscoscos，而sinsincos，所以cos.(2)因?yàn)閠an()tan ，所以tan(3)tan()tan .答案(1)(2)靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值【典例】已知R，sin 2cos ，則tan 2()A.

14、B. C D一般解法 由sin 2cos ，得sin 2cos ，又sin2cos21，聯(lián)立，解得或所以tan 3或.當(dāng)tan 3時(shí)，tan 2；當(dāng)tan 時(shí)，tan 2.綜上，tan 2.故選C.優(yōu)美解法 法一(直接法)兩邊平方，再同時(shí)除以cos2 ，得3tan2 8tan 30，tan 3或tan ，代入tan 2，得到tan 2.法二(猜想法)，由給出的數(shù)據(jù)及選項(xiàng)的唯一性，記sin ，cos ，這時(shí)sin 2cos 符合要求，此時(shí)tan 3，代入二倍角公式得到答案C.答案 C【自主體驗(yàn)】已知sin cos ，則sin cos 的值為()A. B C. D解析法一0，cos sin ，又(

15、sin cos )212sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1，sin cos .法二sin cos ，且.，sin cos sin ，即sin，又cos，sin cos (cos sin )cos.答案B課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1已知和的終邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，且，則sin 等于()A B. C D.解析因?yàn)楹偷慕K邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，所以2k(kZ)又，所以2k(kZ)，即得sin .答案D2 sincostan()A0 B. C1 D解析原式sin(4)cos(10)tan(6)sincostan10.答案A3 ()Asin 2cos 2 B

16、sin 2cos 2C±(sin 2cos 2) Dcos 2sin 2解析|sin 2cos 2|sin 2cos 2.答案A4已知5，則sin2 sin cos 的值是()A. B C2 D2解析由5得5即tan 2，所以sin2 sin cos .答案A5若sin 是5x27x60的根，則()A. B. C. D.解析由5x27x60，得x或2.sin .原式.答案B二、填空題6如果sin(A)，那么cos的值是_解析sin(A)，sin A.cossin A.答案7已知sin，則cos的值為_解析coscossin.答案8已知sin，且，則cos_.解析sin，又，cos.答

17、案三、解答題9化簡(jiǎn)：(kZ)解當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，原式1；當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，原式1.綜上，原式1.10已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判斷ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；(3)求tan A的值解(1)sin Acos A，兩邊平方得12sin Acos A，sin Acos A，(2)由sin Acos A0，且0A，可知cos A0，A為鈍角，ABC是鈍角三角形(3)(sin Acos A)212sin Acos A1，又sin A0，cos A0，sin Acos A0，sin Acos A，由，可得sin A，cos A，tan A.能

18、力提升題組一、選擇題1已知sin cos ，(0，)，則tan ()A1 B C. D1解析法一因?yàn)閟in cos ，所以sin，所以sin1.因?yàn)?0，)，所以，所以tan 1.法二因?yàn)閟in cos ，所以(sin cos )22，所以sin 21.因?yàn)?0，)，2(0,2)，所以2，所以，所以tan 1.答案A2已知為銳角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1, 則sin 的值是()A. B. C. D.解析由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，解得tan 3，又sin2cos21，為銳角故sin .答案C二、填空題3sin21°sin22&

19、#176;sin290°_.解析sin21°sin22°sin290°sin21°sin22°sin244°sin245°cos244°cos243°cos21°(sin21°cos21°)(sin22°cos22°)(sin244°cos244°)sin245°sin290°45.答案三、解答題4是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同時(shí)成立？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說

20、明理由解假設(shè)存在角，滿足條件，則由已知條件可得由22，得sin23cos22.sin2，sin ±.，±.當(dāng)時(shí)，由式知cos ，又(0，)，此時(shí)式成立；當(dāng)時(shí)，由式知cos ，又(0，)，此時(shí)式不成立，故舍去存在，滿足條件.第3講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知 識(shí) 梳 理正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中kZ).函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間2k，2k遞減區(qū)間2k，2k無對(duì)稱中心(k，0)對(duì)稱軸xkxk無考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域、值域問題【例1】 (1)函數(shù)y的定義域?yàn)開(2)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y3si

21、n x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析(1)法一要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?法二利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)定義域?yàn)?法三sin xcos xsin0，將x視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)ysin x的圖象和性質(zhì)可知2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ.所以定義域?yàn)?(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2 xsin x1，令sin xt，

22、y2t2t122，t，ymin，ymax2.答案(1)(2)2考點(diǎn)二三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性【例2】 (1)已知函數(shù)f(x)sin(xR)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A函數(shù)f(x)的最小正周期為 B函數(shù)f(x)是偶函數(shù)C函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱 D函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)(2)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|的最小值為()A. B. C. D.解析(1)f(x)sincos 2x，故其最小正周期為，A正確；易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，B正確；由函數(shù)f(x)cos 2x的圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x對(duì)稱，C錯(cuò)誤；由函數(shù)f(x)的圖象易知，函數(shù)f(x)

23、在上是增函數(shù)，D正確，故選C.(2)由題意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值為.答案(1)C(2)A【訓(xùn)練2】 (1)函數(shù)y2cos21是()A最小正周期為的奇函數(shù) B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為的奇函數(shù) D最小正周期為的偶函數(shù)(2)函數(shù)y2sin(3x)的一條對(duì)稱軸為x，則_.解析(1)y2cos21cossin 2x為奇函數(shù)，T.(2)由ysin x的對(duì)稱軸為xk(kZ)，所以3×k(kZ)，得k(kZ)，又|，k0，故.答案(1)A(2)考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性【例3】設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0)，yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x

24、. (1)求；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間審題路線令(2)×k，kZ解得？又0得出值把f(x)sin(2x)，化為f(x)sin(2x)令g(x)sin(2x)求出g(x)的單調(diào)區(qū)間利用f(x)與g(x)的關(guān)系求f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)令(2)×k，kZ，k，kZ，又0，.(2)由(1)得f(x)sinsin，令g(x)sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ；由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(kZ)；單調(diào)減區(qū)間為(kZ).【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)4cos x

25、3;sin(0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)討論f(x)在區(qū)間0，上的單調(diào)性解(1)f(x)4cos x·sin(x)2sin x·cos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin(2x).因?yàn)閒(x)的最小正周期為，且0，從而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin(2x).若0x，則2x.當(dāng)2x，即0x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減綜上可知，f(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減三角函數(shù)的最值(或值域)問題【典例】已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，設(shè)函數(shù)f(x)a·b.(1)求f(x)的最

26、小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值規(guī)范解答f(x)·(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2x(2分)sin 2xcos 2xsin.(4分)(1)f(x)的最小正周期為T，即函數(shù)f(x)的最小正周期為.(6分)(2)0x，2x.(8分)由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最大值1.當(dāng)2x，即x0時(shí)，f(0)，當(dāng)2x，即x時(shí)，f，f(x)的最小值為.(11分)因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.(12分)課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1下列函數(shù)中周期為且為偶函數(shù)的是() Aysin Bycos Cysin Dycos解析ysincos 2

27、x為偶函數(shù)，且周期是.答案A2已知函數(shù)f(x)sin 1(0)的最小正周期為，則f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是()Ax Bx Cx Dx解析依題意得，|3，又0，因此3，所以3xk，解得x，當(dāng)k0時(shí)，x.因此函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是x.答案A3若函數(shù)ycos(N*)的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的最小值為()A1 B2 C4 D8解析依題意得cos0，(1)k，6k2(其中kZ)；又是正整數(shù)，因此的最小值是2.答案B4已知f(x)sin2 xsin xcos x，則f(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)增區(qū)間分別為()A，0， B2， C， D2，解析由f(x)sin2xsin xcos xsin

28、 2xsin.T.又2k2x2k，kxk(kZ)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間故選C.答案C5已知函數(shù)f(x)2sin(x)對(duì)任意x都有ff，則f等于()A2或0 B2或2 C0 D2或0解析由ff知，函數(shù)圖象關(guān)于x對(duì)稱，f是函數(shù)f(x)的最大值或最小值答案B二、填空題6函數(shù)ylg(sin x)的定義域?yàn)開解析要使函數(shù)有意義必須有即解得2kx2k(kZ)，函數(shù)的定義域?yàn)?答案(kZ)7函數(shù)y(0x)的最小值為_解析令sin xt(0,1，則函數(shù)y1，t(0,1又y1在t(0,1上是減函數(shù)，所以當(dāng)t1時(shí)，y取得最小值2.答案28已知函數(shù)f(x)3sin(x)(>0)和g(x)3cos(2x)的圖象的

29、對(duì)稱中心完全相同，若x，則f(x)的取值范圍是_解析由兩三角函數(shù)圖象的對(duì)稱中心完全相同，可知兩函數(shù)的周期相同，故2，所以f(x)3sin，那么當(dāng) x時(shí)，2x， 所以sin(2x)1，故f(x).答案三、解答題9已知函數(shù)f(x)(sin2 xcos2x)2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)設(shè)x，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)f(x)(cos2xsin2 x)2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，f(x)的最小正周期為.(2)x，2x，當(dāng)ysin單調(diào)遞減時(shí)，f(x)單調(diào)遞增2x，即x.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.10(1)求函數(shù)y2sin 的值域；(2)

30、求函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域解(1)x，02x，0sin1，y2sin的值域?yàn)?0,2(2)ysin xcos xsin xcos xsinsin2sin21，所以當(dāng)sin1時(shí)，y取最大值1.當(dāng)sin時(shí)，y取最小值1，該函數(shù)的值域?yàn)?能力提升題組一、選擇題1設(shè)0，m0，若函數(shù)f(x)msin cos在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A. B. C. D1，)解析f(x)msin cos msin x，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即.答案B2已知函數(shù)f(x)2sin x(0)在區(qū)間上的最小值是2，則的最小值等于()A. B. C2 D3解析f(x)2sin x(0)的

31、最小值是2，此時(shí)x2k，kZ，x，kZ，0，kZ，6k且k0，kZ，min.答案B二、填空題3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)sin xcos x時(shí)，f(x)cos x，當(dāng)sin xcos x時(shí)，f(x)sin x.給出以下結(jié)論：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的最小值為1；當(dāng)且僅當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)2kx(2k1)(kZ)時(shí)，f(x)0；f(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2.其中正確的結(jié)論序號(hào)是_解析易知函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示由圖象可得，f(x)的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)2

32、kx(2k1)(kZ)時(shí)，f(x)0；f(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2.所以正確的結(jié)論的序號(hào)是.答案三、解答題4已知函數(shù)f(x)ab.(1)若a1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若x0，時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是5,8，求a，b的值解f(x)a(1cos xsin x)basinab.(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)sinb1，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(kZ)(2)0x，x，sin1，依題意知a0.()當(dāng)a0時(shí)，a33，b5.()當(dāng)a0時(shí)，a33，b8.綜上所述，a33，b5或a33，b8.第4講函數(shù)yAsin(x)的圖象及應(yīng)用考點(diǎn)一函數(shù)yAsin(

33、x)的圖象畫法與變換【例1】已知f(x)sin(0)的圖象與y1的圖象的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為，要得到y(tǒng)f(x)的圖象，只需把ycos 2x的圖象()A向左平移個(gè)單位 B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位解析依題意T，T，2，f(x)sin(2x)，只需ycos 2xsin(2x)sin2(x) f(x)sin(2x)答案B【訓(xùn)練1】將函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0)的圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，則的值不可能是()A2 B4 C6 D10解析依題意，fAsinAsin的圖象與yf(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，于是有AsinAsin(x)0

34、；注意到4時(shí)，AsinAsin(4x)2Asin(4x)不恒等于0，故選B.答案B考點(diǎn)二由圖象求函數(shù)yAsin(x)的解析式【例2】 函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為_解析由圖可知A，法一，所以T，故2，因此f(x)sin(2x)，又對(duì)應(yīng)五點(diǎn)法作圖中的第三個(gè)點(diǎn)，因此2×，所以，故f(x)sin.法二以為第二個(gè)“零點(diǎn)”，為最小值點(diǎn)，列方程組解得故f(x)sin.答案f(x)sin【訓(xùn)練2】函數(shù)f(x)2sin(x)(>0，<<)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是()A2， B2， C4， D4，解析由圖象知f(x)

35、的周期T，又T，>0，2.由于f(x)2sin(x)(>0，<<)的一個(gè)最高點(diǎn)為，故有2×2k(kZ)，即2k，又<<，選A.答案A考點(diǎn)三函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)Asin(x)(xR，A>0,0<<)的最大值為2，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對(duì)稱軸(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)ff的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題意，得A2，2，當(dāng)x時(shí)，2sin±2，即sin±1，所以k，解得k，又0，所以.故f(x)2sin.(2)g(x)2sin2sin2sin 2x2sin

36、2sin 2x2sin 2xcos 2x2sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)(0，0)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1)求f的值；(2)求函數(shù)yf(x)f的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值解(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則k(kZ)，所以k(kZ)，又因?yàn)?，所以，所以f(x)2sin2cos x.由題意得2·，所以2.故f(x)2cos 2x.因此f2cos .(2)y2cos 2x2cos 22cos 2x2cos2co

37、s 2x2sin 2x2sin.令2x2k(kZ)，y有最大值2，所以當(dāng)xk(kZ)時(shí)，y有最大值2.三角函數(shù)圖象平移變換時(shí)因自變量系數(shù)致誤【典例】將函數(shù)ysin(2x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的一個(gè)可能取值為()A. B. C. D錯(cuò)解ysin(2x)ysin則由得.故選C.答案C錯(cuò)因函數(shù)ysin(2x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位得到y(tǒng)sin是錯(cuò)誤的，應(yīng)注意警惕正解ysin(2x)ysinsin，則由k(kZ)，根據(jù)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知的一個(gè)可能取值為.故選B.答案B【自主體驗(yàn)】將函數(shù)ysin 2xcos 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可以是 (

38、)Aycos 2xsin 2x Bycos 2xsin 2xCysin 2xcos 2x Dysin xcos x解析ysin 2xcos 2xsinysinsincoscos 2xsin 2x.答案B課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1把函數(shù)ysin圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象向右平移個(gè)單位，那么所得圖象的一條對(duì)稱軸方程為()Ax Bx Cx Dx解析將ysin圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)ysin；再將圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)ysinsin，x是其圖象的一條對(duì)稱軸方程答案A2如果函數(shù)f(x)sin(x)(02)的最小正周期為T，且當(dāng)x2時(shí)，

39、f(x)取得最大值，那么()AT2， BT1，CT2， DT1，解析T2，當(dāng)x2時(shí)，由×22k(kZ)，得2k(kZ)，又02，.答案A3已知函數(shù)yAsin(x)k的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對(duì)稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為()Ay4sin By2sin2Cy2sin2 Dy2sin2解析由題意得解得又函數(shù)yAsin(x)k的最小正周期為，所以4，所以y2sin(4x)2.又直線x是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以4×k(kZ)，所以k(kZ)，故可得y2sin2符合條件，所以選D.答案D4函數(shù)f(x)sin(2x)向左平移個(gè)單位后是奇函數(shù)，

40、則函數(shù)f(x)在上的最小值為()A B C. D.解析函數(shù)f(x)sin(2x)向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)為fsinsin，因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，所以k(kZ)，所以k(kZ)因?yàn)閨，所以當(dāng)k0時(shí)，所以f(x)sin.當(dāng)0x時(shí)，2x，即當(dāng)2x時(shí)，函數(shù)f(x)sin有最小值為sin.答案A5如圖是函數(shù)ysin(x)在區(qū)間上的圖象，將該圖象向右平移m(m0)個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則m的最小值為()A. B. C. D.解析令f(x)ysin(x)，由三角函數(shù)圖象知，T，所以，所以2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)過點(diǎn)，且0，所以×20，所以，所以f(x)sin，將該函數(shù)圖象向右平移m個(gè)單位后

41、，所得圖象的解析式是g(x)sin，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，所以2×2mk(kZ)，解得m(kZ)，又m0，所以m的最小值為.答案B二、填空題6.函數(shù)yAsin(x)(A，為常數(shù)，A0，0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則_.解析由圖象可以看出T，T，因此3.答案37已知函數(shù)yg(x)的圖象由f(x)sin 2x的圖象向右平移(0)個(gè)單位得到，這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則_.解析函數(shù)f(x)sin 2x的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱軸為2x，所以x，關(guān)于x對(duì)稱的直線為x，由圖象可知，通過向右平移之后，橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)平移到x，所以.答案8設(shè)函數(shù)f(x)sin，則下列命題

42、：f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱；f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；f(x)的最小正周期為，且在上為增函數(shù)；把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象其中正確的命題為_(把所有正確命題的序號(hào)都填上)解析對(duì)于，fsinsin，不是最值，所以x不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸，該命題錯(cuò)誤；對(duì)于，fsin10，所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心，故該命題錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)f(x)的周期為T，當(dāng)x時(shí)，令t2x，顯然函數(shù)ysin t在上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，所以該命題正確；對(duì)于，把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)sinsin 2x，是奇函數(shù)，所以該命題正確故填.答案三

43、、解答題9已知函數(shù)f(x)Asin(x)的周期為，且圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)為M.(1)求f(x)的解析式；(2)求使f(x)成立的x的取值集合解(1)由題意知：A3，2，由3sin3, 得2k，kZ，即2k，kZ.而0，所以k1，.故f(x)3sin.(2)f(x)等價(jià)于3sin ，即sin，于是2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故使f(x)成立的x的取值集合為.10已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2sin2 x1，xR.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

44、yg(x)的圖象，求函數(shù)yg(x)在區(qū)間上的值域解(1)因?yàn)閒(x)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x2sin，函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由2k2x2k，kZ，kxk，kZ，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到y(tǒng)2sin；再把所得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)2sin2sin2cos 4x，當(dāng)x時(shí)，4x，所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)max2，當(dāng)x時(shí)，g(x)min1.yg(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?,2能力提升題組一、選擇題1函數(shù)f(x)Asin(x)(A，是常數(shù)，A0，0)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：最小正周期為；將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)；f(0)1；ff；f(x)f.其中正確的是()A BC D解析由題圖可知，A2，T2,2×2k，2k(kZ)所以f(x)2sinf(0)，f2sin2sin，所以，不正確