第6章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)-a

1、目 錄第6章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ) §6.1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和傅里葉變換的基本概念.2 §6.2光波的傅里葉分析.8 §6.3平面波角譜理論.14 §6.4透鏡的傅里葉變換18 §6.5阿貝成像原理.1 §6.6光全息術(shù).1 第6章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)傅里葉變換是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究中的十分重要的數(shù)學(xué)工具，在信息科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域（例如電子，通信，自動(dòng)控制，生物醫(yī)學(xué)）中有著廣泛的用途。特別是在現(xiàn)代光學(xué)研究中，由于傅里葉分析（頻譜分析）方法的引入，逐漸形成了現(xiàn)代光學(xué)的一個(gè)重要分支-傅里葉光學(xué)。盡管傅里葉光學(xué)采用了和經(jīng)典光學(xué)完全不同的思想方法和解析方法，即空間

2、頻譜的分析方法，但是其物理內(nèi)容和所研究的對(duì)象仍然是有關(guān)光波的傳播、分解與疊加（干涉，衍射，偏振）和光學(xué)系統(tǒng)成像的規(guī)律，只不過，由于傅里葉分析方法的引入，使得對(duì)上述現(xiàn)象的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律有了更為深入的了解。并且，在激光和光電子技術(shù)的推動(dòng)下，開辟了許多新的應(yīng)用領(lǐng)域。§6.1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和傅里葉變換的基本概念為了能夠較深入地理解和掌握傅里葉光學(xué)的解析方法和思想方法，以便熟練地應(yīng)用這種新的分析方法來研究各種具體的光學(xué)過程及現(xiàn)象，本節(jié)將集中介紹與傅里葉光學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和物理概念。在現(xiàn)代光學(xué)中，常用各種非初等函數(shù)和特殊函數(shù)來描述光場(chǎng)的分布。因此，熟悉這些函數(shù)的定義和性質(zhì)，對(duì)于分析問題和解決

3、問題具有十分重要的意義。6.1.1 一些常用函數(shù)一些常用函數(shù)及其在光學(xué)中的應(yīng)用如下：常用函數(shù)定義圖形表示應(yīng)用階躍函數(shù)xstep(x)10直邊（或刀口）的透過率符號(hào)函數(shù)孔徑的一半嵌有 相位板的復(fù)振幅透過率矩形函數(shù)狹縫或矩孔的透過率三角狀函數(shù)光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)sinc函數(shù)狹縫或矩孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣高斯函數(shù)激光器發(fā)出的高斯光束圓域函數(shù)圓孔的透過率6.1.2 傅里葉級(jí)數(shù)的定義 一個(gè)周期性函數(shù)，周期為，它滿足狄里赫利條件（函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)和第一類不連續(xù)點(diǎn)），則可以展開為三角傅里葉級(jí)數(shù) (6-1)其中傅里葉系數(shù)應(yīng)用歐拉公式，可將傅里葉級(jí)數(shù)展開式(6-1)改寫為 (6

4、-2)令， 于是，式(6-1)的傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式 (6-3)其中傅里葉系數(shù)為 (6-4)將周期的倒數(shù)稱為函數(shù)的基頻，表示為，而稱為的諧頻，或簡(jiǎn)稱為頻率。如果是時(shí)間函數(shù)，則代表時(shí)間頻率；如果是空間函數(shù)，則代表空間頻率。式(6-1) 或式(6-3)表明，周期函數(shù)可以分解為一系列頻率為，復(fù)振幅為的諧波。反之，若將各個(gè)諧波線性疊加，則可以精確地綜合出原函數(shù)。 6.1.3 頻譜的概念上節(jié)的分析表明，一個(gè)周期變化的物理量既可以在空間（或時(shí)間）域中用來描述，也可以在空間（或時(shí)間）頻率域中用來描述，兩者是等效的。由于表示頻率為的諧波成分的復(fù)振幅，所以將按頻率的分布圖形稱為的頻譜。由于一般為

5、復(fù)函數(shù)，所以的模值隨頻率的分布圖叫做的振幅頻譜，而的幅角隨的分布圖叫做的位相頻譜。由式(6-4)可得出圖6-1畫出了鋸齒波及它的振幅頻譜圖形。由圖看出，周期函數(shù)的頻譜具有分立的結(jié)構(gòu)。圖6-1 鋸齒波及其頻譜將一個(gè)系統(tǒng)的輸入函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，在頻率域中分析各諧波的變化，最后綜合出系統(tǒng)的輸出函數(shù)，這種處理方法稱作頻譜分析方法。頻譜分析方法在光學(xué)中的應(yīng)用，為認(rèn)識(shí)復(fù)雜的光學(xué)現(xiàn)象及進(jìn)行光信息處理提供了全新的思路和手段。6.1.4 傅里葉變換對(duì)非周期函數(shù)也可以作傅里葉分析，只是其頻率取值不再是離散的，而是連續(xù)的。（1） 二維傅里葉變換非周期函數(shù)在整個(gè)無限平面上滿足狄里赫利條件，而且存在，則有 (6-5

6、)其中 (6-6)式中，是函數(shù)的傅里葉變換（或稱為傅里葉頻譜），的作用類似于傅里葉系數(shù)，表示各頻率成分的權(quán)重因子，描述了各復(fù)指數(shù)分量的相對(duì)幅值和相移；是頻譜函數(shù)的傅里葉逆變換。（2） 廣義傅里葉變換若函數(shù)可以定義為某個(gè)可變換函數(shù)所組成的序列的極限，對(duì)序列中每一個(gè)函數(shù)進(jìn)行變換，組成一個(gè)新的變換式序列，這個(gè)新序列的極限就是原來函數(shù)的廣義傅里葉變換。利用廣義傅里葉變換的規(guī)則，我們可以確定諸如階躍函數(shù)、正/余弦函數(shù)等不滿足狄里赫利條件的函數(shù)的傅里葉變換。（3） 傅里葉變換定理傅里葉變換的基本定義式(3-5)導(dǎo)出了關(guān)于變換運(yùn)算的一整套內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)理論。我們來研究傅里葉變換的一些基本數(shù)學(xué)性質(zhì)，這些性質(zhì)在

7、今后的討論中將得到廣泛應(yīng)用。A 線性定理。，即兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)之加權(quán)和的傅里葉變換就是各自的傅里葉變換的相同的加權(quán)和。B 相似性定理。若，則 (6-7)即空域中坐標(biāo)的“伸展”，導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)的壓縮，加上頻域的總體幅度的一個(gè)變化。C 相移定理。若，則 (6-8)即原函數(shù)在空域的平移，將使其頻譜在頻域產(chǎn)生線性相移。D 帕塞瓦爾定理。若，則 (6-9)這個(gè)定理左邊的積分可以解釋為波形蘊(yùn)含的能量。這自然使我們將解釋為頻域內(nèi)的能量密度。E 卷積定理。若及，則 (6-10)空域中兩個(gè)函數(shù)的卷積（線性系統(tǒng)理論中經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)運(yùn)算）完全等效于一個(gè)更簡(jiǎn)單的運(yùn)算：它們各自的變換相乘然后做逆變換。F 自相關(guān)定理。

8、若，則 (6-11)同樣， (6-12)這個(gè)定理可以看成是卷積定理的特例，即將函數(shù)與 做卷積。上述變換定理遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止是只有理論上的意義。它們將會(huì)經(jīng)常用到，因?yàn)樗鼈優(yōu)楦道锶~變換的計(jì)算提供了基本工具，并且在解決傅里葉分析問題時(shí)能減少很大的工作量。§6.2光波的傅里葉分析按照波動(dòng)光學(xué)的觀點(diǎn)，光是由高頻交變的電磁場(chǎng)在空間傳播形成的一種波動(dòng)，是特定波段的電磁波。光波具有一切波動(dòng)的基本特性，即第一，光波的傳播具有時(shí)空的雙重周期性，它的時(shí)間周期（或時(shí)間頻率）和空間周期（或空間頻率）由波傳播速度相聯(lián)系；第二光的波動(dòng)過程，總是伴隨著能量的傳遞，幾何光學(xué)的”光線”概念即是能量傳輸線的抽象。光波按其波動(dòng)特征

9、，可分為簡(jiǎn)單波和復(fù)雜波。簡(jiǎn)單波又可稱為定態(tài)光波，它具有如下性質(zhì)：（1）空間各點(diǎn)的擾動(dòng)是同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即定態(tài)光波必是單色簡(jiǎn)諧波。（2）光場(chǎng)中各點(diǎn)擾動(dòng)的振幅不隨時(shí)間變化。所以，簡(jiǎn)諧平面波，簡(jiǎn)諧球面波和簡(jiǎn)諧柱面波都是定態(tài)光波的例子。不滿足上述條件的光波即是復(fù)雜波。對(duì)于光波的描述，既可以在時(shí)域中進(jìn)行，也可以在時(shí)頻域和空頻域中進(jìn)行，前者所采用的即是熟知的經(jīng)典波動(dòng)光學(xué)的分析方法，而后者則是傅里葉光學(xué)的分析方法。本節(jié)首先從傅里葉分析的觀點(diǎn)來重新認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單波和復(fù)雜波。6.2.1 平面波基元函數(shù)分析方法 按照§6.1給出的二維傅里葉變換的定義式(6-5)和式(6-6)，平面上的任意復(fù)振幅分布可用它的空

10、間頻譜函數(shù)的逆傅里葉變換表示 (6-13)上式中的傅里葉核代表一個(gè)單位振幅簡(jiǎn)諧平面波在平面上的復(fù)振幅分布，這個(gè)簡(jiǎn)諧平面波的空間頻率為，它們和波矢的方向余弦的關(guān)系是 (6-14)因此，空間頻率完全決定了該簡(jiǎn)諧平面波的傳播方向。按照傅里葉分析的觀點(diǎn)，式(6-13)可以解釋為：平面上一個(gè)任意光場(chǎng)的復(fù)振幅，可以表示為一系列空間頻率為，振幅密度為的簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加，上述振幅密度函數(shù)可通過的二維傅里葉變換求出 (6-15)當(dāng)復(fù)振幅分布為的空間周期函數(shù)時(shí)，它的空間頻譜為空間頻率的離散函數(shù)，則可以分解為空間頻率呈離散分布的一系列三維簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加；當(dāng)為空間非周期函數(shù)時(shí)，它的空間頻譜是空間頻率的連續(xù)函

11、數(shù)，于是可以表示為空間頻率連續(xù)變化的一系列三維簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加。在光波的空間傅里葉分析中，三維簡(jiǎn)諧平面波這種簡(jiǎn)單波構(gòu)成了傅里葉分析的基礎(chǔ)，稱為基元光波。這種以三維簡(jiǎn)諧平面波作為基元光波的分析方法被稱為平面波基元分析法或者余弦基元分析法。選擇簡(jiǎn)諧平面波作為傅里葉分析的基元函數(shù)不是偶然的。首先，作為基元光波，其波函數(shù)的形式及其傳播規(guī)律應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)單的，簡(jiǎn)諧平面波是一種定態(tài)光波，它在傳播過程中，時(shí)間頻率不變，振幅為常數(shù)，位相隨空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)線性變化，完全符合簡(jiǎn)單性的要求。其次，作為基元光波，應(yīng)滿足對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜輸入函數(shù)易于進(jìn)行分解，選擇簡(jiǎn)諧平面波作為基元函數(shù)，應(yīng)用傅里葉變換的數(shù)學(xué)工具，這一條件也得

12、到很好的滿足。特別是，對(duì)于線性系統(tǒng)來說，簡(jiǎn)諧平面波的波函數(shù)時(shí)系統(tǒng)的本征函數(shù)，它通過系統(tǒng)傳播時(shí)，波函數(shù)形式不變，這使得復(fù)雜波在系統(tǒng)中傳播的物理過程變得十分明晰。應(yīng)用基元分析方法，主要求出了系統(tǒng)對(duì)基元光波的響應(yīng)，即可得出任意復(fù)雜輸入的輸出。從這個(gè)意義上說，系統(tǒng)的作用完全可由它對(duì)基元函數(shù)的響應(yīng)性質(zhì)來表征。因此，以簡(jiǎn)諧平面波作為基元光波是一種合理的選擇。6.2.2 復(fù)雜波的分解實(shí)際光源發(fā)出的光波通常是復(fù)雜波，即在時(shí)間參量上包含各種時(shí)間頻率，在空間分布上，等相面具有復(fù)雜的形狀。研究復(fù)雜波的一種有效方法是把它分解為一系列簡(jiǎn)諧平面波的線性組合，通過對(duì)各個(gè)簡(jiǎn)諧平面波成分傳播規(guī)律的分析，最后綜合出復(fù)雜波的傳播規(guī)

13、律。對(duì)于復(fù)雜波分解的理論依據(jù)是波動(dòng)微分方程的線性性質(zhì)和波的疊加原理。此外，由于簡(jiǎn)諧平面波波函數(shù)的集合構(gòu)成了數(shù)學(xué)上的完備正交系，因此，凡是符合傅里葉變換存在條件的一切復(fù)雜波，都可以應(yīng)用傅里葉變換作為分解的手段。對(duì)復(fù)雜波分解的方法步驟是：首先，將空間各考察點(diǎn)處的振動(dòng)分解為各種時(shí)間頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的線性組合，即時(shí)間域分解；然后，將每一個(gè)簡(jiǎn)諧波分解為一系列不同空間頻率的平面波的線性組合，即空間域分解。最后將復(fù)雜波表示為一系列簡(jiǎn)諧平面波的線性組合。1. 時(shí)間域分解設(shè)表示一個(gè)復(fù)雜波在空間考察點(diǎn)處的振動(dòng)函數(shù)，通過時(shí)間域的傅里葉變換，可求出該復(fù)雜振動(dòng)的時(shí)間頻譜，即 (6-16)注意，由于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相因子是，即

14、位相是隨時(shí)間的增大而減小，所以，雖然式(6-16)形式為傅里葉逆變換，而實(shí)質(zhì)仍然是從時(shí)間域到時(shí)間頻率域的傅里葉正變換。于是，按照傅里葉積分定理，可將復(fù)雜波表示為 (6-17)上式表明，復(fù)雜波可以分解為一系列頻率為，振幅密度為的簡(jiǎn)諧波的線性疊加。利用波動(dòng)微分方程的線性性質(zhì)很容易證明，如果復(fù)雜波滿足波動(dòng)微分方程，則通過傅里葉分解得到的每一單頻成分也仍然滿足同一波動(dòng)微分方程，構(gòu)成一個(gè)波動(dòng)，說明這種分解師合理的。2. 空間域分解經(jīng)過時(shí)間域分解，將復(fù)雜波分解成了一系列簡(jiǎn)諧波的線性疊加，但在空間域考察，每個(gè)簡(jiǎn)諧波的等相面形狀仍然是復(fù)雜的，為此可對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)諧波做空間域的傅里葉分解，將其分解為一系列不同空間頻率

15、的簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加。設(shè)簡(jiǎn)諧波復(fù)振幅的空間頻域?yàn)?，則有 (6-18) (6-19)上式表明，復(fù)雜波被分解為一系列空間頻率，振幅密度為的簡(jiǎn)諧平面波的疊加。在對(duì)復(fù)雜波進(jìn)行空間分解時(shí)有兩個(gè)要點(diǎn)值得注意。第一，做空間分解時(shí)，將作為簡(jiǎn)諧波，即將作為常數(shù)，可以不考慮時(shí)間位相因子。第二，對(duì)于任何簡(jiǎn)諧波來說，三個(gè)空間頻率分量并不獨(dú)立，它們和時(shí)間頻率之間由速度相聯(lián)系，滿足下述關(guān)系： (6-20)因此，在利用(6-18)計(jì)算的空間頻譜時(shí)，實(shí)際上只需進(jìn)行二維的傅里葉變換。例如，已知復(fù)雜波在平面的振幅分布時(shí)，只需要求出，分解出各個(gè)空間頻率為的平面波分量即可。綜合以上兩步時(shí)間和空間分解過程，可將復(fù)雜波表示為 (6-2

16、1)從上面分析可知，函數(shù)，和一樣，能夠描述同一個(gè)波動(dòng)，只不過波函數(shù)是在空間時(shí)間域描述波動(dòng)：是在空間域和時(shí)間頻率域描述波動(dòng)；是在空間頻率和時(shí)間頻率域描述同一波動(dòng)。我們稱是波函數(shù)在確定的空間考察點(diǎn)的時(shí)間頻譜函數(shù)，是波函數(shù)的空間時(shí)間頻譜函數(shù)。總之，和三個(gè)函數(shù)，知道其中任何一個(gè)，便可以通過傅里葉變換或逆變換，求出其他兩個(gè)。3. 分解舉例有一平面波以速度沿軸方向傳播，在處的振動(dòng)圖如圖6-2所示，振動(dòng)函數(shù)為 (6-22)在平面上有一個(gè)寬，高的矩形光欄，限制了波面的范圍，使通過光欄的光波成為空間時(shí)間域的復(fù)雜波，其波函數(shù)可表示為 (6-23)圖6-2 有限長余弦波列振動(dòng)圖下面對(duì)這個(gè)復(fù)雜波進(jìn)行分解。首先求出它的

17、時(shí)間頻譜。 (6-24)于是復(fù)雜波可以表示為一系列簡(jiǎn)諧波的線性疊加： (6-25)其中頻率為的簡(jiǎn)諧成分的振幅密度為，其分布如圖6-3所示。圖6-3 有限余弦波列的時(shí)間頻譜下面對(duì)任意一個(gè)簡(jiǎn)諧波成分進(jìn)一步做空間分解。首先求出的空間頻譜函數(shù)，有 (6-26)最后，復(fù)雜波可以表示為一系列具有不同振幅密度和不同空間頻率（即不同傳播方向）的三維簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加： (6-27)在上式中，各簡(jiǎn)諧平面波分量雖然表示為二維的形式，但由于滿足公式(6-20)的約束，所以實(shí)質(zhì)上是三維簡(jiǎn)諧平面波。§6.3平面波角譜理論利用復(fù)雜波的傅里葉分解，可以處理衍射問題，這就是平面波角譜理論。z圖6-4是說明角譜分析

18、方法的簡(jiǎn)圖，其中衍射孔徑的坐標(biāo)為，由其出射的光波復(fù)振幅分布為。觀察平面與平行，相距，取平面坐標(biāo)為，求該平面上衍射場(chǎng)的復(fù)振幅分布。圖6-4 衍射的角譜分析方法平面波角譜理論的基本思想是：首先對(duì)復(fù)振幅作傅里葉變換，將其分解為一系列沿不同方向傳播的三維簡(jiǎn)諧平面波，的空間頻譜正是空間頻譜為的平面波成分的復(fù)振幅密度。由于平面波在自由空間傳播過程中，不改變其波面形狀，唯一的變化時(shí)產(chǎn)生一個(gè)與傳播距離有關(guān)的相移。所以根據(jù)平面的頻譜，就可以求出在距離處平面上的頻譜分布。最后一步，通過對(duì)的反傅里葉變換，也即是將傳播到平面上，經(jīng)歷了不同位相延遲的所有平面波相疊加，就可以綜合出平面上衍射圖形的復(fù)振幅分布。從上述分析可

19、知，應(yīng)用平面波角譜理論解決衍射問題的關(guān)鍵是：根據(jù)平面的頻譜，求出觀察面上的頻譜。6.3.1 角譜的傳播首先給出角譜的概念。設(shè)的空間頻譜為，則有 (6-28)表示復(fù)雜波中空間頻率為的平面波成分的復(fù)振幅密度，空間頻率決定了該平面波的傳播方向。該平面波波矢的方向余弦為，則有 (6-29)且 (6-30)所以，的空間頻譜又可以表示為，這種用波矢方向余弦表示的空間頻譜，稱為復(fù)雜波的角譜。公式(6-28)表示，平面的復(fù)雜波被分解為一系列空間頻率各不相同的三維簡(jiǎn)諧平面波，其中空間頻率的簡(jiǎn)諧平面波成分為 (6-31)公式(6-31)所表示的平面波復(fù)振幅，實(shí)際上是空間頻率為的一個(gè)三維簡(jiǎn)諧平面波在平面的表達(dá)式。該

20、三維簡(jiǎn)諧平面波在自由空間傳播過程中，其等相面始終是平面。當(dāng)它從平面?zhèn)鞑ゾ嚯x，到達(dá)平面時(shí)，其復(fù)振幅應(yīng)表示為 (6-32)利用公式(6-30)，上式可改寫為 (6-33)為了比較同一平面波在平面和傳到平面的復(fù)振幅分布，可將公式(6-31)中的空間變量改寫為，以便和公式(6-33)進(jìn)行比較。通過對(duì)兩式得比較可以看出，平面的角譜在自由空間傳播距離之后，只是增加了一個(gè)和有關(guān)的位相因子，因此平面的角譜可以表示為 (6-34)最后，對(duì)作反傅里葉變換，即可求出觀察面上衍射場(chǎng)的復(fù)振幅 (6-35)公式(6-34)和式(6-35)就是應(yīng)用平面波角譜理論求衍射問題的基本公式。這組公式說明：平面波角譜理論的實(shí)質(zhì)是傅里

21、葉分解和綜合的過程。即首先將輸入函數(shù)分解為一系列簡(jiǎn)諧平面波，然后再將傳播過程中經(jīng)歷了不同相位延遲的平面波成分相加，最后綜合出輸出面上衍射的復(fù)振幅。 下面，對(duì)公式(6-34)表示的角譜傳播特性作進(jìn)一步討論。首先，在公式(6-34)中，只有所含的平面波成分滿足： (6-36)時(shí)，才能保證這些角譜成分以平面波的形式在自由空間傳播；當(dāng)公式(6-36)的條件不滿足時(shí)，對(duì)應(yīng)的角譜成分成為倏逝波，不能離開平面向前傳播。其次，如果用表示和的比值，即 (6-37)可以看出，與輸入函數(shù)的形式無關(guān)，表征了光波在自由空間傳播的固有性質(zhì)。如果把光波在自由空間傳播的過程看做是一個(gè)線性不變的系統(tǒng)，將和看做是系統(tǒng)的“輸入”和

22、“輸出”，那么就是該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。6.3.2 角譜理論的菲涅耳近似 在推導(dǎo)角譜理論基本公式(6-34)和式(6-35)時(shí)，沒有應(yīng)用菲涅耳近似，所以這組公式可以用來嚴(yán)格求解衍射問題。不過，應(yīng)用這組公式求解衍射問題是十分復(fù)雜的，很難得到解析形式的結(jié)果。為此，可結(jié)合具體的衍射問題作進(jìn)一步近似。將公式(6-37)表示的角譜傳遞函數(shù)按泰勒級(jí)數(shù)展開得 (6-38)當(dāng)菲涅耳近似條件 2得到滿足時(shí)，上式右端4次方以上的高階位相因子的影響可以忽略不計(jì)，于是菲涅耳近似條件下的角譜傳遞函數(shù)可以表示為 (6-39)將式(6-39)代入式(6-35)，可得(6-40)上式最后一步應(yīng)用了頻域的卷積定理。又因: (6-4

23、1) (6-42)所以 (6-43)這正是公式菲涅爾衍射積分的表達(dá)式，如果對(duì)上式采用更加嚴(yán)格的夫瑯和費(fèi)近似，忽略積分中與有關(guān)的二次位相因子，則可以導(dǎo)出表示的夫瑯和費(fèi)衍射積分公式。 綜上所述，計(jì)算標(biāo)量波的衍射問題，可以應(yīng)用公式(6-34)和式(6-35)為基礎(chǔ)的平面波理論。類比于幾何光學(xué)的光線追蹤，可將這組基本公式稱為波面追跡公式。應(yīng)用這組公式，就可以在線性不變系統(tǒng)的理論框架內(nèi)，解決光波在任意介質(zhì)中的傳播和變換問題。§6.4透鏡的傅里葉變換與電子系統(tǒng)相比較，光學(xué)系統(tǒng)最突出的優(yōu)勢(shì)在于它的二維并行運(yùn)算能力。這個(gè)能力是通過光學(xué)系統(tǒng)的傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)來體現(xiàn)的，而透鏡又是光學(xué)成像系統(tǒng)和光

24、學(xué)信息處理系統(tǒng)中最重要的元件，所以，研究透鏡及光學(xué)系統(tǒng)的傅里葉變換性質(zhì)及規(guī)律，就構(gòu)成了傅里葉光學(xué)的一個(gè)非常重要的方面。6.4.1 薄透鏡的位相變換因子按照波動(dòng)光學(xué)的觀點(diǎn)，透鏡的作用只不過是一個(gè)位相變換器，它使入射光波的波前受到延遲，位相延遲的大小正比于透鏡孔徑內(nèi)各點(diǎn)的光學(xué)厚度?；蛘哒f可以把透鏡作為一個(gè)純位相調(diào)制元件，它對(duì)入射光波產(chǎn)生和各點(diǎn)光學(xué)厚度成正比的位相調(diào)制。由于光波的位相以為周期，因此可以忽略透鏡中與整數(shù)倍位相延遲相對(duì)應(yīng)的光學(xué)厚度，或者說，可以忽略光線通過透鏡時(shí)的幾何光學(xué)平移，稱這樣的透鏡為薄透鏡。圖6-5 薄透鏡的厚度函數(shù)參看圖6-5，設(shè)透鏡瞳平面坐標(biāo)為，最大厚度為，坐標(biāo)處的厚度為，稱

25、為透鏡的厚度函數(shù)。于是光波從入瞳平面?zhèn)鞯匠鐾矫鏁r(shí)，在點(diǎn)產(chǎn)生的總的位相延遲為 (6-44)式中，是透鏡的折射率。透鏡對(duì)入射光波的作用可以用一個(gè)位相變換因子來描述，表示為 (6-45)于是，只要知道透鏡入瞳平面上的復(fù)振幅分布，按照位相調(diào)制的觀點(diǎn)，立即可以得出薄透鏡出瞳面上的復(fù)振幅分布，即 (6-46)下面應(yīng)用幾何光學(xué)方法，通過計(jì)算薄透鏡的厚度函數(shù)，可以得出的表達(dá)式。圖6-6 厚度函數(shù)的計(jì)算為了求出，按圖6-6所示方法將透鏡剖成兩半，并規(guī)定：當(dāng)光線從左向右傳播時(shí)，所經(jīng)過的凸球面的曲率半徑為正，凹球面的曲率半徑為負(fù)。所示圖6-6中的為正，為負(fù)。利用圖3-6的幾何關(guān)系，很容易求得 (6-47)對(duì)于薄透

26、鏡，如果傍軸近似成立，即 (6-48)則厚度函數(shù)可以簡(jiǎn)化為 (6-49)代入公式 (6-45)，并應(yīng)用透鏡的焦距公式，立即可以得到透鏡的位相變換因子為 (6-50)上式表示了透鏡對(duì)入射光波的位相調(diào)制。雖然公式(3-50)是對(duì)凸透鏡導(dǎo)出的結(jié)果，但是所用的符號(hào)規(guī)則使得這一結(jié)果對(duì)其他類型的透鏡也是正確的。式中第一個(gè)因子表示均勻的位相延遲。第二個(gè)因子表示球面波的菲涅爾近似，當(dāng)焦距為正時(shí)，這是一個(gè)會(huì)聚球面波，為凹透鏡的位相變換因子。此外，雖然公式(6-50)所表示的透鏡的位相變換作用在很大程度上依賴于傍軸近似的成立，但在非傍軸近似條件下，只要對(duì)透鏡進(jìn)行了嚴(yán)格的相差矯正，這一結(jié)論依然是成立的。本節(jié)的推導(dǎo)過

27、程還表明，透鏡對(duì)入射光波的位相變換作用，是由透鏡本身的性質(zhì)決定的，與入射光波的類型無關(guān)，不管入射波是平面波、球面波、甚至是復(fù)雜波，只要滿足前面所說的條件（傍軸近似或嚴(yán)格的相差矯正），透鏡就能以公式(3-50)的形式實(shí)現(xiàn)對(duì)入射光波的位相變換。在傅里葉光學(xué)中，這一思想也可以用于處理柱面鏡、錐面鏡、楔形棱鏡等別種類型的光學(xué)元件。6.4.2 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)夫瑯和費(fèi)衍射和傅里葉變換運(yùn)算之間存在著直接的聯(lián)系。具體來說，夫瑯和費(fèi)衍射等于衍射孔徑復(fù)振幅透射系數(shù)的物體的夫瑯和費(fèi)衍射來實(shí)現(xiàn)?；蛘哒f，利用夫瑯和費(fèi)衍射裝置，可以完成物分布函數(shù)二維傅里葉變換運(yùn)算。這就開辟了用光學(xué)方法完成二維傅里葉變換運(yùn)算的新途徑

28、，這種運(yùn)算方法不同于應(yīng)用快速傅里葉變換的數(shù)字計(jì)算方法。首先，它是二維并行的運(yùn)算，其運(yùn)算速度要快得多；其次，參與運(yùn)算的量是光波復(fù)振幅，而非數(shù)字信號(hào)，因此稱為光學(xué)模擬傅里葉變換，或簡(jiǎn)稱為光學(xué)傅里葉變換。這種運(yùn)算，在隨后將要討論的二維空間信號(hào)處理系統(tǒng)中將得到廣泛應(yīng)用。下面，從最一般的夫瑯和費(fèi)衍射裝置出發(fā)，分別討論不同條件下，透鏡的傅里葉變換性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究光學(xué)傅里葉變換的應(yīng)用。1.平面波照明，物體位于透鏡之前的光路如圖6-7所示，物體的復(fù)振幅透射系數(shù)為，位于透鏡之前的距離為的平面，由單位振幅的單色平面波正入射照明，觀察平面位于傅里葉變換透鏡的后焦平面。設(shè)物體的傅里葉光譜為，透過物體的光波

29、傳到透鏡入瞳平面時(shí)的復(fù)振幅為，其傅里葉光譜為。透鏡后焦面上的復(fù)振幅分布為。按照平面波角譜理論，在菲涅爾近似條件下，和之間滿足公式(6-34)和(6-37)的關(guān)系，即 (6-51)圖6-7 物體位于透鏡之前的光路透鏡后焦面上的復(fù)振幅分布等于透鏡入瞳面上物體的夫瑯和費(fèi)衍射，可得(6-52)將公式(6-51)代入(6-52)，并注意到 以及 于是可得 (6-53)在上式的推導(dǎo)過程中，我們假設(shè)傅里葉變換透鏡的孔徑足夠大，不會(huì)限制的高頻成分，因而沒有考慮透鏡有限孔徑的影響。公式(6-53)表明，當(dāng)物體位于透鏡前面距離處，用單色平面波正入射照明時(shí)，透鏡后焦面上的光場(chǎng)分布等于物體振幅透射系統(tǒng)的傅里葉變換與一

30、個(gè)復(fù)系數(shù)的乘積。這個(gè)復(fù)系數(shù)為 (6-54)它是由一個(gè)復(fù)常數(shù)和一個(gè)和有關(guān)的二次位相因子組成。正因?yàn)槎挝幌嘁蜃拥拇嬖?，所以在一般情況下，透鏡后焦面上的光場(chǎng)分布并不等于物體振幅透射系數(shù)的準(zhǔn)確傅里葉變換。但是從公式(6-54)看出，當(dāng)物體放置在透鏡前焦面，既滿足的特殊條件時(shí)，二次位相因子為1，復(fù)系數(shù)成為復(fù)常數(shù)，從而在透鏡后焦面可獲得物體振幅透射系數(shù)的準(zhǔn)確傅里葉變換。在實(shí)際的光學(xué)傅里葉變換系統(tǒng)中，透鏡有限孔徑的限制是必然存在的，它必然引起中高頻成分的損失。這種現(xiàn)象被稱為漸暈效應(yīng)。很明顯，越大，漸暈效應(yīng)越顯著。但在某些的特殊計(jì)算中，并不追求準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，而只是對(duì)頻譜面上的強(qiáng)度分布，即物體的功率譜

31、感興趣，這是可以將物體放在緊貼透鏡的的位置，以盡量減少漸暈的影響。2.平面波照明，物體位于透鏡之后的光路 如圖6-8所示，物體的復(fù)振幅透射系數(shù)仍為，放置在透鏡后距焦平面距離為的平面上，照明透鏡的光波是振幅為正入射單色平面波，經(jīng)透鏡的位相變換之后，照射到物體上的光波成為向平面中心點(diǎn)匯聚的匯聚球面波。如果不考慮透鏡有限空間的影響，根據(jù)公式(6-50)，在菲涅耳近似條件下，投射到物體上的匯聚球面波可表示為 (6-55)圖6-8 平面波照明，物體位于透鏡之后的光路于是透過物體的光波復(fù)振幅為 (6-56)透鏡焦平面上的光場(chǎng)分布可看做是透過物體光波的菲涅耳衍射，可求出平面上的光場(chǎng)的復(fù)振幅分布為 (6-57)上式表明，當(dāng)物體位于透鏡之后時(shí)，焦平面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布仍然等于物體振幅透射系數(shù)的傅里葉變換與一個(gè)復(fù)系數(shù)的乘積。值得注意的是，在物體位于透鏡之后的光路中，無論等于何值，復(fù)系數(shù)中的二次位相因子都不能消除，因此這種光路無法實(shí)現(xiàn)的準(zhǔn)確傅里葉變換。一種特殊情形是，當(dāng)物體緊靠透鏡放置時(shí)，公式(6-57)表示的結(jié)果與公式(6-53)中的的結(jié)果完全相同。圖6-8的光路雖然不能實(shí)現(xiàn)的準(zhǔn)確傅里葉變換，但在某些只對(duì)頻譜面上的光強(qiáng)度分布感興趣的應(yīng)用場(chǎng)合，這