復(fù)數(shù)運算的常用規(guī)律和幾何意義

1、復(fù)數(shù)的運算種類雖多， 但各種運算方式間有聯(lián)系， 最本質(zhì)的運算方式是代數(shù)形式的運算。多樣性的運算使我們研究復(fù)數(shù)問題時有多種可考慮的途徑，以便從中選擇較好的方式，運算常用的結(jié)論：1.(1+i) 2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a(a,bR)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a+bi)2=a2-b 2+2abi(a,bR)(a-bi)2=a2-b 2-2abi(a,bR)等2.i 4k=1,i4k+1=i,i 4k+2 =-1,i4k+3 =-i(bN)3. Z+ Z =2ReZZ-Z =2(ImZ)i( 其中 ReZ,ImZ 分別表示復(fù)數(shù) Z的實部和虛部 )4.Z

2、 · Z =Z2= Z 21315. 設(shè) w=-2+ 2 i322則 w=1,1+w+w=0, w =w= wZ1)Z16. Z1(Z 2 (Z 20)Z 2Z1 Z2Z1 Z2Z1 Z2 Z2Z1Z11212Z2=Z220)7. Z·Z =Z · Z (Z8.Z= ZZ R9.Z=- ZZ=ki(kR)Z =Z10. r1(cos 1122+isin2k(cos +isin ) r(cos ) rk+isin k) =r 1r 2r 3 r k cos( 1+ 2+3+ +k)+isin(1+ 2+3+k) r r r0(R)其中 r1k 、2、 k2313復(fù)數(shù)

3、的幾何意義加法的幾何意義：設(shè)OZ1，OZ2各與復(fù)數(shù) Z，Z對應(yīng)，以O(shè)Z1，12OZ2為邊的平行四邊形的對角線OZ就與 Z +Z 對應(yīng)。12減法的幾何意義：設(shè) OZ1， OZ2各與復(fù)數(shù) Z 1，Z2 對應(yīng)，則圖中向量 Z1 Z2 所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是 Z2-Z 1。 Z1-Z 2的幾何意義是分別與 Z1，Z2 對應(yīng)的兩點間的距離。乘法的幾何意義：設(shè) AB 表示復(fù)數(shù) r(cos +isin )(r 0) ，把 AB 繞 A 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后再把所得向量的長度變?yōu)樵瓉淼膋 倍(k 0) 得到 AC ，則 AC 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 r(cos +isin ) ·k( cos +isin )

4、 ，如果把 AB 繞 A 點按順時針方向進(jìn)行同樣方式的旋轉(zhuǎn)和伸縮，那么所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 r(cos +isin ) ·k(cos -isin)除法是乘法的逆運算，除法也可表現(xiàn)為乘法的形式，Z1 ÷1Z2=Z1·( Z 2 ) 因此除法運算的幾何意義與乘法運算的幾何意義實質(zhì)相同。復(fù)數(shù)方根的幾何意義：設(shè) OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z，Z 的n 次方根 (n 2,nN)對應(yīng)于 從原點n出發(fā)且在原點處 n 等分圓周角的 n 個向量，這 n 個向量的模都是Z ，其中一個向量的輻角是復(fù)數(shù)Z 的輻角的 n 分之一，圖中畫出了模為 8的向量OZ 所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的三次方根OZ1 ， OZ

5、2 ， OZ3 其中 OZ1 的輻角取OZ 輻角的三分之一。由復(fù)數(shù)的幾何意義推導(dǎo)的結(jié)論Z11.Z 1·Z20，則 Z1+Z2=Z1-Z2Z 2=i ( R 且0)對應(yīng)的向量 OZ1 OZ22. 設(shè) P 點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 Z1，點 Q對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 Z2，則向量 PQ 對應(yīng)的 復(fù)數(shù)是 Z2-Z 13. 向量 PQ 繞點 P 順時針方向旋轉(zhuǎn)角 ( 0) 所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù) 應(yīng)是 (Z -Z) cos(- )+isin(-) 而旋轉(zhuǎn)之后點 Q 對應(yīng)的復(fù)數(shù)應(yīng)是 (Z21) +Z2-Z) cos(- )+isin(-114. Z-Z1=Z-Z2表示以復(fù)數(shù) Z1、Z2 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為端點的

6、線段垂直平分線的方程。5. Z-Z0=r 表示以 Z0 為復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點 Z0 為圓心，半徑是 r 的圓的方程。6. Z-Z1+Z-Z2=2a(2a Z1Z2) 表示以 Z1、Z2 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點 Z 1、Z2 為焦點，長軸是 2a 的橢圓方程。7. Z-Z1- Z-Z2=2a(2a Z1Z2) 表示以 Z1、Z2 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點 Z1 、Z2 為焦點，實軸長是 2a 的雙曲線方程，在復(fù)數(shù)集上的方程主要有三個問題：復(fù)數(shù)集上 方程的求解；根據(jù)方程解的情況討論參數(shù)的取值范圍；與復(fù)數(shù)集上方程有關(guān)的計算或證明。求解復(fù)數(shù)集上的方程主要有以下四種解法：設(shè) Z=x+yi(x ，y R)從而轉(zhuǎn) 化為關(guān)于實數(shù) x，y 的方