勾三股四弦五I

1、.第七講 .勾三股四弦五I【教學(xué)目標(biāo)】1. 復(fù)習(xí)直角三角形及勾股定理；2. 掌握勾股定理的直接應(yīng)用；3. 掌握構(gòu)造勾股定理法；4. 掌握勾股定理的綜合應(yīng)用?！局R、方法梳理】1.勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a ， b ，斜邊長為 c ，那么a2b2c2 . 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方B弦 ca 勾ACb 股勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a,b, c 有下面關(guān)系： a2b2c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形 .2.勾股數(shù) ：滿足 a2b2c2 的三個(gè) 正整數(shù) 叫做勾股數(shù)（ 注意： 若 a,b,c

2、 為勾股數(shù)，那么ka, kb, kc 同樣也是勾股數(shù)組 . ）* 附：常見勾股數(shù)：3,4,5 ； 6,8,10 ； 9,12,15 ； 5,12,133.判斷直角三角形 ：如果三角形的三邊長 a, b, c 滿足 a2b2c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法： （1）有一個(gè)角為90 的三角形是直角三角形.（ 2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為c ）；（2）若 c2a2b2 ，則ABC 是以 C 為直角的三角形；若 a2b2c2 ，則此三角形為鈍角三角形（其中c 為最大邊）；若

3、a2b2c2 ，則此三角形為銳角三角形（其中c 為最大邊）4. 注意 ：（ 1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（ 2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30 ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.（ 3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30 。5. 勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的兩邊求第三邊.1 / 9.（ 2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系.（ 3）用于證明線段平方關(guān)系的問題.（ 4）利用勾股定理，作出長為n 的線段【典例精講】類型一：勾股定理的直接用法例 1在 Rt ABC 中，C90(1)已知 a6， c10，求 b ， (2)已

4、知 a40 ， b 9 ，求 c ； (3)已知 c 25，b15 ，求 a .【思路點(diǎn)撥】 :寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用.【解析】：(1)在ABC 中，C90， a6 ， c10， bc2a28(2)在ABC 中，C90， a40， b9, ca2b241(3)在ABC 中，C90， c25， b15, ac2b220類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用例 2如圖，已知：在ABC中， B60 ，AC70，AB30 。求：BC 的長。【思路點(diǎn)撥】 ：由條件B60 ，想到構(gòu)造含 30角的直角三角形，為此作AD BC于D ，則有BAD30， BD1 AB15 ，再由

5、勾股定理計(jì)算出AD、 DC 的長，進(jìn)而求出BC 的長。2【解析】 ：作 ADBC于D，則因B 60， BAD906030 （ Rt的兩個(gè)銳角互余） BD115 （在 Rt 中，如果一個(gè)銳角等于 30 ，AB2那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.根據(jù)勾股定理，在RtABD 中，ADAB2BD 230215215 3.根據(jù)勾股定理，在 RtACD 中，CDAC 2AD 27021523 65. BCBDDC65 1580.類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題例 3如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東 60 方向走了 5003m 到達(dá) B 點(diǎn)，然后

6、再沿北偏西302 / 9.方向走了 500m 到達(dá)目的地 C 點(diǎn) .（ 1）求 A 、 C 兩點(diǎn)之間的距離 .（ 2）確定目的地 C 在營地 A 的什么方向 .【解析】 ：（ 1）過 B 點(diǎn)作 BE /ADDABABE60 30CBAABE180 CAB 90即ABC 為直角三角形由已知可得：BC500m ， AB5003m由勾股定理可得：AC 2BC 2AB2所以 ACBC2AB250022500 31000 m（ 2）在 Rt ABC 中， BC 500m ， AC 1000m CAB 30 DAB 60 DAC 30即點(diǎn) C 在點(diǎn) A 的北偏東 30 的方向（二）用勾股定理求最短問題：例

7、 4國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A 、 B 、 C 、 D ，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線【思路點(diǎn)撥】 ：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論【解析】 ：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（ 1）、圖（ 2）中的總線路長分別為ABBCCD3,ABBCCD3圖（ 3）中，在Rt ABC 中ACAB2BC22同理BD23 / 9.圖（ 3）中的路線長為 2 22.828圖（ 4

8、）中，延長 EF 交 BC 于 H ，則 FHBC，BH CH由FBH30 ,BH1及勾股定理得：2EAEDFB FC3 ,FH3EF12FH3633此圖中總線路的長為4EAEF132.73232.8282.732圖（ 4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線。類型四：利用勾股定理作長為n 的線段：例5作長為2、3、5的線段 .【思路點(diǎn)撥】：由勾股定理得，直角邊為1 的等腰直角三角形，斜邊長就等于2 ，直角邊為2 和 1 的直角三角形斜邊長就是3 ，類似地可作5 .【作法】 ：如圖所示（1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角ABC ，使 AB 為斜邊；（ 2）以 AB 為一條直角邊，作另

9、一直角邊為1 的直角 B1BA . 斜邊為 B1 A ；（ 3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形2 3 ，這樣斜邊AB、 AB1、 AB2 、 AB3 的AB B長度就是2 、 3、4、5.類型五：逆命題與勾股定理逆定理：例 6寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 原命題：貓有四只腳（正確）2 原命題：對頂角相等（正確）3 原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確）4 原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等（正確）【 思路點(diǎn)撥】： 掌握原命題與逆命題的關(guān)系 .【 解析】： 1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）4 / 9.3

10、.逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上?（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上（正確）【 總結(jié)升華】： 本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。例 7如果ABC 的三邊分別為 a 、 b 、 c ，且滿足 a2b2c2506a 8b 10c ，判斷ABC 的形狀 .ABC 的形狀，需要找到a 、 b 、 c 的關(guān)系，而題目中只有條件【思路點(diǎn)撥】 ：要判斷a2b2c2506a8b10c ，故只有從該條件入手，解決問題 .【解析】 ：由 a2b2c2506a8b10c ，得 ：a26a 9b28b16c2 10c250 ,a2b2c20 .34520 ,2

11、0 ,20 .a 3b 4c 5 a3, b4, c5 . 324252 , a2b2c2.由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形 ., 在證明中也常【總結(jié)升華】 ：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的要用到?！倦p基訓(xùn)練】1. 如圖， BACD90 , AD 13,CD 12, BC 3, 則 AB 的長是多少 ?2. 如圖，已知：C90 ， AMCM ， MPAB于 P .求證： BP2AP2BC2。3. 已知：如圖，BD90 ，A60 ， AB4, CD2 . 求：四邊形ABCD 的面積 .5 / 9.4. 四邊形 ABCD 中， B 90 ， AB 3， BC 4，

12、CD 12 ， AD 13，求四邊形ABCD 的面積。CBAD5. 已知 : ABC 的三邊分別為 m2n2 , 2mn, m2n2( m,n 為正整數(shù) , 且 mn ), 判斷ABC 是否為直角三角形 .6. 如圖正方形ABCD ， E 為 BC 中點(diǎn)， F 為 AB 上一點(diǎn)，且 BF1 AB 。請問 FE 與 DE 是4否垂直？請說明?！究v向應(yīng)用】7. 一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5 米，寬 1.6 米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ?8. 在數(shù)軸上表示10 的點(diǎn)。【橫向拓展】6 / 9.9. 如圖，一圓柱體的底面周長為 20cm ，高 AB 為 4cm

13、， BC 是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn) A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C ，試求出爬行的最短路程練習(xí)題目答案【雙基訓(xùn)練】1.【答案】ACD90AD 13,CD12,AC 2AD 2CD 213212 225 AC 5又ACB90 且BC3由勾股定理可得222ABACBC16 AB 4 AB 的長是 4.2. 【解析】： 連結(jié)BM ，根據(jù)勾股定理，在Rt BMP 中，BP2BM 2PM 2.而在 Rt AMP 中，則根據(jù)勾股定理有MP 2AM 2AM 2. BP2BM 2AM 2AP2BM 2AM 2AP2又AMCM （已知）， BP2BM 2CM 2AP 2.在 RtBCM 中，根據(jù)勾股定理

14、有BM 2CM 2BC 2， BP2BC 2AP2 .AC ，或延長 AB 、 DC 交于3. 【分析】 ：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)F ，或延長 AD 、 BC 交于點(diǎn) E ，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單 .【解析】：延長 AD、 BC交于 E.A60 ，B90 ，E30 . AE 2AB 8,CE 2CD 4,BE 2AE2AB 2824248, BE484 3.DE 2CE2CD 2422212,DE1223 .S四邊形 ABCDS ABES CDE1 ABBE1 CDDE6 3 .224. 【答案】：連結(jié) AC B 90 ，AB 3

15、，BC 47 / 9. AC 2AB2 BC 2 25 （勾股定理） AC 5 AC2CD 2169, AD 2169 AC2CD 2AD 2 ACD 90 （勾股定理逆定理）S四邊形 ABCDS ABCS ACD11AC CD36AB BC225. 【分析】 : 本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明 : a2b2c2 即可【證明】： m2n2222m2 n2n44m2n22mnm4m42m2n2n4m2n22所以ABC 是直角三角形。6. 【答案】答： DE EF .證明：設(shè) BFa ，則 BEEC2a , AF 3a， AB4a, EF2BF 2BE 2a24a25a2；DE 2CE 2

16、CD 24a216a220a2 .連接DF （如圖）DF 2AF 2AD 29a216a225a2 .DF 2EF 2DE2 ,DEEF .7. 【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH 如圖所示，點(diǎn)D 在離廠門中線0.8米處，且CDAB ， 與地面交于 H 【解析】： OC 1米 ( 大門寬度一半 ) ，OD 0.8米 （卡車寬度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CDOC2OD 2120.820.6 米，CH0.62.32.9 （米）2.5 （米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡車能通過廠門。10 看作是直角三角形的斜邊，1028. 【解析】