初二奧數(shù)題及答案

1、.初二數(shù)學(xué)奧數(shù)1、如圖，梯形abcd中， adbc， deec， efab 交 bc于點(diǎn) f， ef ec，連結(jié) df；(1) 試說(shuō)明梯形abcd是等腰梯形；(2) 如 ad1， bc 3， dc2 ，試判定 dcf的外形；(3) 在條件 2 下，射線 bc上是否存在一點(diǎn)p，使 pcd是等腰三角形，如存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出pb的長(zhǎng)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；adebfc.2、在邊長(zhǎng)為6 的菱形 abcd 中，動(dòng)點(diǎn) m 從點(diǎn) a 動(dòng)身，沿a b c 向終點(diǎn)c 運(yùn)動(dòng)，連接dm 交 ac 于 點(diǎn) n.（1）如圖 251，當(dāng)點(diǎn) m 在 ab 邊上時(shí)，連接bn.求證： abn adn ；如 abc = 60 &#

2、176;， am = 4 ，求點(diǎn) m 到 ad 的距離；（2）如圖 252，如 abc = 90°，記點(diǎn) m 運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x（ 6x 12）試問(wèn)： x 為何值時(shí)， adn 為等腰三角形 .3、對(duì)于點(diǎn)o、m，點(diǎn) m沿 mo的方向運(yùn)動(dòng)到o左轉(zhuǎn)彎連續(xù)運(yùn)動(dòng)到n，使 omon，且 om on，這一過(guò)程稱(chēng)為m點(diǎn)關(guān)于 o點(diǎn)完成一次“左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)”正方形 abcd和點(diǎn) p，p 點(diǎn)關(guān)于 a 左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到p1，p1 關(guān)于 b 左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到p2，p2 關(guān)于 c 左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到p3，p3 關(guān)于 d 左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到p4， p4 關(guān)于 a 左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到p5，（1）請(qǐng)你在圖中用直尺和圓規(guī)在圖中確定點(diǎn)p1 的位置；

3、（2）連接 p1a、p1b，判定 abp1 與 adp之間有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由；3 以 d為原點(diǎn)、直線ad為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，并且已知點(diǎn)b 在其次象限，a、p 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0， 4）、（ 1， 1），請(qǐng)你推斷： p4、p2021、p2021 三點(diǎn)的坐標(biāo)baonpm圖 1cd圖 2.4、如圖 1 和 2，在 20× 20 的等距網(wǎng)格（每格的寬和高均是1 個(gè)單位長(zhǎng)）中， rtabc從點(diǎn) a 與點(diǎn) m重合的位置開(kāi)頭，以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度先向下平移，當(dāng)bc邊與網(wǎng)的底部重合時(shí)，連續(xù)同樣的速度向右平移，當(dāng)點(diǎn) c 與點(diǎn) p 重合時(shí)， rt abc停止移動(dòng) . 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x

4、秒， qac的面積為 y.（1）如圖 1，當(dāng) rt abc向下平移到rt a1b1c1 的位置時(shí)，請(qǐng)你在網(wǎng)格中畫(huà)出rt a1b1c1 關(guān)于直線 qn成軸對(duì)稱(chēng)的圖形；（2）如圖 2，在 rt abc向下平移的過(guò)程中，請(qǐng)你求出y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明當(dāng)x分別取何值時(shí)，y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？（3）在 rt abc向右平移的過(guò)程中，請(qǐng)你說(shuō)明當(dāng)x 取何值時(shí)， y 取得最大值和最小值？最大值和最值分別是多少？為什么？.5、如圖， abc 中， ab=ac ， b、 c 的平分線交于o 點(diǎn)， 過(guò) o 點(diǎn)作 ef bc 交 ab 、ac 于 e、f1圖中有幾個(gè)等腰三角形.猜

5、想：ef 與 be、 cf 之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由2如圖，如ab ac，其他條件不變，圖中仍有等腰三角形嗎.假如有，分別指出它們?cè)诘?1問(wèn)中 ef 與 be、cf 間的關(guān)系仍存在嗎.3如圖，如 abc 中 b 的平分線 bo 與三角形外角平分線 co 交于 o，過(guò) o 點(diǎn)作oebc 交 ab 于 e，交 ac 于 f這時(shí)圖中仍有等腰三角形嗎 .ef 與 be 、cf 關(guān)系又如何 . 說(shuō)明你的理由；.6、已知， 如圖， abc 中， bac=90°，ab=ac,d 為 ac 上一點(diǎn)， 且 bdc=124°，延長(zhǎng) ba 到點(diǎn) e，使 ae=ad,bd 的延長(zhǎng)線交 ce 于

6、點(diǎn) f，求 e 的度數(shù)；.7、如圖，正方形abcd的對(duì)角線ac,bd 交于點(diǎn) o，將一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)o處，讓其繞點(diǎn) o旋轉(zhuǎn)，三角尺的直角邊與正方形abcd的兩邊交于點(diǎn)e 和 f；通過(guò)觀看或測(cè)量oe,of 的長(zhǎng)度，你發(fā)覺(jué)了什么？試說(shuō)明理由；.1、解：（ 1）證明： ef=ec ， efc= ecf， ef ab ， b= efc， b= ecf，梯形abcd是等腰梯形；（2） dcf 是等腰直角三角形，證明： de=ec ， ef=ec ， ef=1cd ，2 cdf是直角三角形（假如一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形） ，梯形 abcd是等腰梯形，cf=

7、 df=1 ， dcf 是等腰直角三角形；1 （ bc-ad ）=1， dc=2 ， 由勾股定理得：2（3）共四種情形：pb=1 ， pb=2， pb=3-2 ，pb=3+22、證明：（1）四邊形abcd 是菱形， ab=ad ， 1=2又 an=an ， abn adn 解：作mh da 交 da 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)h 由 ad bc ，得 mah= abc=60 ° 在 rt amh中， mh=am.sin60° =4× sin60° =23 點(diǎn) m 到 ad 的距離為 23 ah=2 dh=6+2=8 （2）解： abc=90 °，菱形 abc

8、d 是正方形 cad=45 °下面分三種情形：（）如 nd=na ，就 adn= nad=45 °此時(shí)，點(diǎn)m 恰好與點(diǎn)b 重合，得x=6 ；（）如 dn=da ，就 dna= dan=45 °此時(shí)，點(diǎn)m 恰好與點(diǎn)c 重合，得x=12 ；（）如 an=ad=6 ，就 1= 2ad bc， 1= 4，又 2=3， 3= 4 cm=cn ac=6 2 cm=cn=ac-an=6 2-6故 x=12-cm=12- （ 6 2-6） =18-6 2 綜上所述：當(dāng)x=6 或 12 或 18-6 2 時(shí)， adn是等腰三角形；3、解：（ 1）用直尺和圓規(guī)作圖，作圖痕跡清楚；（2

9、） abp1 adp ，且 abp 1 可看成是由adp 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得理由如下：在abp1 和 adp 中，由題意： ab=ad ， ap=ap 1， pad= p1ab ， abp1 adp ，又 abp 1 和 adp 有公共頂點(diǎn)a ，且 pap1=90 °，. abp 1 可看成是由 adp 繞點(diǎn) a 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得；（3）點(diǎn) p（ 1， 1）關(guān)于點(diǎn)a（ 0，4）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到p1（ -3， 3），點(diǎn) p1（ -3， 3）關(guān)于點(diǎn) b（ -4， 4）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p2（ -5，3），點(diǎn) p2（ -5， 3）關(guān)于點(diǎn) c（ -4， 0）左轉(zhuǎn)彎

10、運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p3（ -1，1），點(diǎn) p3（ -1， 1）關(guān)于點(diǎn) d（ 0， 0）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p4（ 1， 1）， 點(diǎn) p4（ 1， 1）關(guān)于點(diǎn) a （ 0， 4）左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p5（ -3， 3），點(diǎn) p5 與點(diǎn) p1 重合，點(diǎn)p6 與點(diǎn) p2 重合，點(diǎn) p2021 的坐標(biāo)為（ -3，3）點(diǎn) p2021 的坐標(biāo)為（ -5，3）4、解：（ 1）如圖 1， a 2b2c2 是 a 1b1c1 關(guān)于直線qn 成軸對(duì)稱(chēng)的圖形；（2）當(dāng) abc 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度向下平移x 秒時(shí)（如圖2），就有： ma=x ， mb=x+4 ，mq=20 ，y=s 梯形 qmbc -s amq -sabc1=4+

11、20 ）（ x+4 ） -21 × 20x-21 ×4× 42=2x+40 （ 0 x 16）由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng) x=0 時(shí)， y 取得最小值，且y 最小 =40，當(dāng) x=16 時(shí)， y 取得最大值，且y 最大 =2× 16+40=72 ；（3）解法一：當(dāng) abc 連續(xù)以每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度向右平移時(shí)，此時(shí) 16 x 32， pb=20- （ x-16） =36-x ， pc=pb-4=32-x ，y=s 梯形 baqp -s cpq-s abc =-2x+104 （ 16 x 32）由一次函數(shù)的性質(zhì)可知：1（4+20 ）（ 36-x） -21&

12、#215; 20×（ 32-x） -21× 4× 42當(dāng) x=32 時(shí)， y 取得最小值，且y 最小 =-2 ×32+104=40 ；.當(dāng) x=16 時(shí)， y 取得最大值，且y 最大 =-2 ×16+104=72 解法二：在 abc 自左向右平移的過(guò)程中，qac 在每一時(shí)刻的位置都對(duì)應(yīng)著（2）中 qac 某一時(shí)刻的位置，使得這樣的兩個(gè)三角形關(guān)于直線qn 成軸對(duì)稱(chēng)因此，依據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，只需考查 abc 在自上至下平移過(guò)程中qac 面積的變化情形， 便可以知道 abc 在自左向右平移過(guò)程中qac 面積的變化情形當(dāng) x=16 時(shí)， y 取得最大值，

13、且y 最大 =72，當(dāng) x=32 時(shí)， y 取得最小值，且y 最小 =405、解：（ 1）圖中有5 個(gè)等腰三角形，ef=be+cf ， beo cfo，且這兩個(gè)三角形均為等腰三角形， 可 得 ef=eo+fo=be+cf ；（2）仍有兩個(gè)等腰三角形，為beo、 cfo ，如下圖所示：ef bc， 2= 3，又 1=2， 1= 3， beo 為等腰三角形，在cfo 中，同理可證ef=be+cf 存在（3）有等腰三角形：beo 、 cfo ，此時(shí) ef=be-cf ，如下圖所示：oe bc ， 5=6，又 4= 5， 4=6， beo 是等腰三角形， 在 cfo 中，同理可證cfo 是等腰三角形，此時(shí) ef=be-cf ，.6、解：在 abd 和 ace 中，ab=ac ， dab= cae=90 °ad=ae ， abd ace （ sas）， e=adb adb=180 ° - bdc=180