基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)解題研究

1、    基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)解題研究    王世強解數(shù)學(xué)題時有何規(guī)律可循？解題時怎樣分析思考才能找到解題思路？怎樣從有限的“已知”（顯性條件）出發(fā)挖掘更多的“可知”（隱性條件），進(jìn)而順理成章地走向“未知”結(jié)論？這是每一個與數(shù)學(xué)打交道的人都不自覺地去思考、求索的問題。人們常說一千個人眼中就有一千個哈姆雷特，一千個人有一千種看待事物、分析問題的思想和方法，解題也是一樣。筆者旨在拋開人的主觀因素和個性化的思維特質(zhì)，立足于義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)等相關(guān)理論，從中汲取思想的營養(yǎng)，探尋數(shù)學(xué)解題的奧秘。我們知道，高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括

2、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六個方面。義務(wù)教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也離不開八個核心關(guān)鍵詞：數(shù)感、符號意識、推理能力、模型思想、幾何直觀、空間想象、運算能力、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為符號意識和數(shù)感，推理能力即邏輯推理，模型思想即數(shù)學(xué)模型，直觀想象體現(xiàn)的就是幾何直觀和空間想象。這六大核心素養(yǎng)（八個核心關(guān)鍵詞）既是培養(yǎng)學(xué)生的能力要素，又可以成為分析問題、解決問題時的思維方法和思維工具，對培養(yǎng)和提升學(xué)生的解題能力至關(guān)重要。下面以哈爾濱市2019年中考數(shù)學(xué)第26題為例，談一下基于核心素養(yǎng)的解題思路。已知：mn為o直徑，oe為o半徑，ab、ch是兩條弦，aboe于d，c

3、hmn于k，連接hn、he，he與mn交于p.（1）如圖1，若ab與ch交于點f，求證：hfb=2ehn;（2）如圖2，連接me、oa，oa與me交于q，若oame，eon=4chn，求證：mp=ab;（3）如圖3，在（2）的條件下，連接oc、bc、ah，oc與eh交于g，ah與mn交于r，連接rg，若hk：me=2：3，bc=根號2，求rg的長.1.利用“數(shù)學(xué)模型（模型思想）”全面把握條件和結(jié)論信息，進(jìn)行初步分析思考。從哲學(xué)角度來說，定義、概念等“數(shù)學(xué)知識模型”是思維的基本單位。對數(shù)學(xué)題目初步的分析思考就是建立在對題目中所有條件信息和結(jié)論信息與相對應(yīng)“數(shù)學(xué)知識模型”緊密聯(lián)結(jié)和深度聯(lián)想的基礎(chǔ)之

4、上的，我們只有全面把握已知，深入理解與每一個已知相關(guān)聯(lián)的所有知識點，明確命題的本質(zhì)，才能為后繼解題過程筑牢堅實的基礎(chǔ)。解題實操經(jīng)驗：借助對“信息點”的線性聯(lián)想，進(jìn)行“信息點”與“知識點”的對接，完成對數(shù)學(xué)知識模型的建構(gòu)性揭示。mn為直徑，oe為半徑.由直徑、半徑模型聯(lián)想到的知識點有直徑和半徑的定義和性質(zhì)，還有直徑所對的圓周角是直角.aboe，chmn ，oame.由圓中半徑與弦垂直模型聯(lián)想到的知識點有垂徑定理.hfb=2ehn，eon=4chn.由圓中角模型聯(lián)想到的知識點有圓周角和圓心角的性質(zhì).mp=ab.由兩條線段相等聯(lián)想它們分別等于其他哪條線段.hk：me=2：3.由比的數(shù)學(xué)模型聯(lián)想到引入

5、參量，利用線段間數(shù)量關(guān)系盡可能多地表示其他線段.求rg的長，根據(jù)“解題信息就近集中原則”聯(lián)想rg所在的圖形org，為解三角形模型做鋪墊.2.利用“直觀想象（幾何直觀）”梳理基本圖形，為挖掘隱性條件提供框架支撐。綜合題難想、難做，原因在于顯性條件數(shù)量有限，而隱性條件卻深藏不露。隱性條件是指題目中未明確表達(dá)而客觀存在的條件。這些條件常常巧妙地隱沒在題目和圖形之中，極易被學(xué)生忽視。隱性條件具有藏得深、數(shù)量多，若明若暗、不易識別的特點，所以學(xué)生常常感到無處下手、思路受阻而使解題陷入困境。此時全面挖掘隱含條件，為解題打開入口就成為問題解決的關(guān)鍵。如何挖掘？分兩步進(jìn)行：第一步就是上面談到的借助“數(shù)學(xué)知識模

6、型”對顯性條件進(jìn)行初步淺層次直線性挖掘，第二步就是借助日常解題經(jīng)驗中歸納梳理出的基本圖形（數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ停┘捌渲刑N含的邊角數(shù)量關(guān)系進(jìn)行深層次發(fā)散性挖掘。這是彰顯解題功力的核心環(huán)節(jié)。除了數(shù)學(xué)知識外，每一種代數(shù)、幾何基本題型的解題方法和一般處理方式，及基本圖形中的邊角數(shù)量關(guān)系也可視為數(shù)學(xué)模型，即 “數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀?。在解綜合題過程中，借助“直觀想象（幾何直觀）”對題目復(fù)雜圖形進(jìn)行自由而靈活的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀弊R別和拆解，進(jìn)行思維方法的遷移和重組，都是有效的解題路徑。古往今來的數(shù)學(xué)家都十分重視直覺思維的作用。迪瓦多內(nèi)說：“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無疑是使學(xué)生對他要處理的數(shù)學(xué)對象有一個可靠直覺?！?當(dāng)

7、下的教學(xué)過程，教師過度強調(diào)證明過程的嚴(yán)格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環(huán)，學(xué)生也片面地把解題成功歸于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，這恰恰是我們教育的失敗。加強直覺思維練習(xí)是提升解題能力的有效途徑。解題實操經(jīng)驗：借助題中“信息點”間的組合式聯(lián)想全面挖掘“數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀薄?aboe，chmn兩個垂直組合式聯(lián)想發(fā)現(xiàn)“對角互補四邊形模型”（圖4），進(jìn)而與條件hfb產(chǎn)生思維聯(lián)結(jié)，等量推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)hfb=eon，進(jìn)而第一問可證;由eon=4chn和第一問的結(jié)論hfb=2ehn組合式聯(lián)想得到“圓周角、圓心角模型”（圖5、6），發(fā)現(xiàn)phc=chn和hpn=hnp，挖掘出“等腰三角形hpn三線合一

8、模型”和“八字雙等腰三角形模型mep和hpn”（圖7），進(jìn)而得到mp=me;由oame和之前的垂直條件aboe組合式聯(lián)想發(fā)現(xiàn)“共疊合角aoe全等雙等腰三角形模型ome和oab”（圖8），進(jìn)而等量代換推出第二問結(jié)論mp=ab。3.利用數(shù)學(xué)抽象（數(shù)感）發(fā)散式聯(lián)想，深度挖掘隱性條件，提升學(xué)生合情推理能力。數(shù)感是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須培養(yǎng)和提升的一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它能將數(shù)與實際背景聯(lián)系起來，它使學(xué)生看到的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀敝械倪吔侵g有了特殊的數(shù)量關(guān)系，從而自然引入特殊數(shù)據(jù)深入表達(dá)這種特殊的數(shù)量關(guān)系，解題時這是一種主動、自覺或自動化地理解和運用數(shù)及運算的基本能力。解題實操經(jīng)驗：借助“數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀敝刑N藏的特殊數(shù)

9、據(jù)深刻表達(dá)邊角數(shù)量關(guān)系。圖9中蘊藏著鄰補角的角分線互相垂直基本圖形，聯(lián)想到特殊數(shù)據(jù)90度;進(jìn)而聯(lián)想到圖10中蘊藏著互補的兩個圓周角45度和135度;依次聯(lián)想到圖11中的特殊數(shù)據(jù)，做135度的鄰補角45度。即延長cb，過點a做bc的垂線as，構(gòu)等腰直角三角形abs，還有圖11中的特殊圖形等腰直角三角形rhk，得到rk=hk;由圖12中con=2chn=2chp，tancok=4/3，聯(lián)想到特殊數(shù)據(jù)1/2=tanchn=tanchp。這些邊角間的特殊數(shù)據(jù)為后續(xù)挖掘新一輪的隱性條件搭建了溝通的橋梁。4.利用數(shù)學(xué)抽象（符號意識）發(fā)散式聯(lián)想，深度挖掘隱性條件，提升學(xué)生合情推理能力。挖掘隱性條件進(jìn)行解題是

10、一種極具創(chuàng)造性的思維活動。隱性條件是數(shù)學(xué)題目中的固有條件，它或以邏輯演化螺旋遞進(jìn)的方式內(nèi)隱于顯性條件之中，或以“數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀睘楣羌艿靡砸栏健哪撤N意義上講，數(shù)學(xué)也是語言的藝術(shù)，在問題解決的過程中，往往需要借助文字語言、圖形語言和符號語言來對思維路徑進(jìn)行刻畫。特別是利用符號語言（符號意識）對顯性條件進(jìn)行邏輯推理等價變式，對“數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀敝械倪?、角元素進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的全面深度刻畫和多元符號化表達(dá)，往往可以讓隱性條件在不經(jīng)意間自然而然地顯露出來。解題實操經(jīng)驗：借助對題中“數(shù)學(xué)經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀边吔菙?shù)量關(guān)系的符號化表達(dá)，全面挖掘隱性條件。數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，數(shù)學(xué)解題是一門藝術(shù)。通過數(shù)學(xué)解題教學(xué)和研究，讓學(xué)生親身去體會最原初的思維模式和最本真的思維路徑，感悟思維的無為發(fā)散與策略收斂，在真實的情境中培養(yǎng)解題能力，我們能夠培養(yǎng)出更多的藝術(shù)家，思維演繹的藝術(shù)家，而不是打造解題的工人和解題的機器。那種跳進(jìn)題海盲目刷題的教學(xué)方式是對學(xué)