D93三重積分課件

1、D93三重積分第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三重積分 第九章 D93三重積分一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設在空間有限閉區(qū)域 內分布著某種不均勻的物質,),(Czyx求分布在 內的物質的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質量 M .密度函數(shù)為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分定義定義. 設,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),

2、(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質性質: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf設在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先

3、一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfd

4、d),(細長柱體微元的質量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線密度記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質量為zD以xyz該物體的質量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設區(qū)域:利用投影法結果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21

5、yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分當被積函數(shù)在積分域上變號時, 因為),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為非負函數(shù)根據(jù)重積分性質仍可用前面介紹的方法計算.2),(),(zyxfzyxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分小結小結: 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2.

6、“先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分其中 為三個坐標例例1. 計算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(

7、41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分xyz例例2. 計算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分oxyz2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設,代替用極坐標將yx),z（則就稱為點M 的柱坐標.z200sin

8、yzz cosx直角坐標與柱面坐標的關系:常數(shù)坐標面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxM)0 ,(yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分如圖所示, 在柱面坐標系中體積元素為zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.zdddxyzodd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分其中為由例例3. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaaz

9、z所圍解解: 在柱面坐標系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圓柱體.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分o oxyz例例4. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42rzvdddd原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,R

10、),(3zyxM設),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分xyzo如圖所示, 在球面坐標系中體積元素為ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標表示時變

11、量互相分離變量互相分離.dddsin2rrd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分例例5. 計算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分例例6.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3ar 利用對稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin3

12、2203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標系下所圍立體為且關于 xoz dddsind2rrv yzxar機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分內容小結內容小結zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系* * 說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D

13、93三重積分2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習思考與練習六個平面圍成 ,:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分2. 設, 1:222zyx計算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分zoxy23. 設由錐面22yxz和球面4222

14、zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxI提示提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標 rr d420dsin4020d221564機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分作業(yè)作業(yè)P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分備用題備用題 1. 計算,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁! 采用“三次積分”較好.1zxy1o1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D93三重積分:4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所圍,