初中數(shù)學(xué)專題特訓(xùn)第二十四講：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)其次十四講與圓有關(guān)的位置關(guān)系【基礎(chǔ)學(xué)問回憶】一、 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有種，如圓的半徑為r 點(diǎn) p 到圓心的距離為d就：點(diǎn) p 在圓內(nèi)< >點(diǎn) p 在圓上 < >點(diǎn) p 在圓外< > 2、 過三點(diǎn)的圓：過同始終線上三點(diǎn)作用，過三點(diǎn)，有且只有一個圓三角形的外接圓：經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓的圓心叫做三角形的這個三角形叫做這個圓的三角形外心的形成：三角形的交點(diǎn)，外心的性質(zhì)：到相等【趙老師提示：1、銳角三角形外心在三角形直角三角形的外心是銳角三角形的外心在三角形】一、 直線與圓的位置關(guān)系：1、直線與圓的位置關(guān)系有種：當(dāng)

2、直線和圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線和圓直線叫圓的線，這的直線叫做圓的直線和圓沒有公共點(diǎn)時，叫做直線和圓2、設(shè) qo 的半徑為r，圓心 o 到直線 l 的距離為d，就：直線 l 與 qo 相交 <>dr,直線 l 與 qo 相切 < >dr直線 l 與 qo 相離 <>dr3、 切線的性質(zhì)和判定：性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的【趙老師提示：依據(jù)這肯定理，在圓中遇到切線時，常用連接圓心和切點(diǎn)，即可的垂直關(guān)系】判定定理：經(jīng)過半徑的且這條半徑的直線式圓的切線【趙老師提示：在切線的判定中，當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)標(biāo)出時，用判定定理證明；當(dāng)公共點(diǎn)未標(biāo)出時，一般可證圓心到直線

3、的距離d=r 來判定相切】4、 切線長定理：切線長定義：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長；切線長定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線，它們的相等，并且圓心和這一點(diǎn)的連線平分的夾角5、 三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都的圓，叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的三角形內(nèi)心的形成：是三角形的交點(diǎn)內(nèi)心的性質(zhì)：到三角形各的距離相等，內(nèi)心與每一個頂點(diǎn)的連接線平分【趙老師提示：三類三角形內(nèi)心都在三角形如 abc 三邊為 a、b、c 面積為 s，內(nèi)切圓半徑為r ，就 s=二、 圓和圓的位置關(guān)系：圓和圓的位置關(guān)系有，如 abc 為直角三角形，就種，如qo1 半徑為r，qo2r=

4、半徑為】r，圓心距外，就qo1 與qo2 外距 < >兩圓相交 <>qo1 與 qo2 外切 <>兩圓內(nèi)切 < >兩圓內(nèi)含 <>【趙老師提示：兩圓相離無公共點(diǎn)包含和兩種情形，兩圓相切有唯獨(dú)公共點(diǎn)包含和兩種情形，留意題目中兩種情形的考慮圓心同是兩圓此時 d=三、 反證法：】假設(shè)命題的結(jié)論，由此經(jīng)過推理得出由沖突判定所作的假設(shè)從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫反證法【趙老師提示：反證法正題的關(guān)鍵是提出即假設(shè)所證結(jié)論的反面成立，擇推理論證得出的沖突可以與相沖突，也可以與相沖突，從而確定原命題成立】【典型例題解析】 考點(diǎn)一：切線的性質(zhì)例

5、 1（ 2021.永州） 如圖， ac 是 o 的直徑， pa 是 o 的切線， a 為切點(diǎn)， 連接 pc 交 o于點(diǎn) b ，連接 ab ，且 pc=10， pa=6 求：（ 1） o 的半徑；（2） cos bac 的值考點(diǎn)： 切線的性質(zhì) ；勾股定理 ；銳角三角函數(shù)的定義分析：（ 1）由 ac 是 o 的直徑， pa 是 o 的切線，依據(jù)切線的性質(zhì)，即可得pac=90°，又由 pc=10， pa=6，利用勾股定理即可求得ac 的值，繼而求得o 的半徑；（ 2）由ac是 o的直徑， pa 是 o 的切線，依據(jù)圓周角定理與切線的性質(zhì)，即可得abc= pac=90° ，又由同角

6、的余角相等，可得bac= p，然后在rt pac 中，求得cosp 的值，即可得cos bac 的值解答：解：（ 1） ac 是 o 的直徑， pa 是 o 的切線，ca pa， 即 pac=90°，pc=10 ， pa=6，ac=pc 2pa2=8，oa= 1 ac=4 ，2 o 的半徑為 4；（2） ac 是 o 的直徑， pa 是 o 的切線， abc= pac=90°， p+ c=90°， bac+ c=90°， bac= p，在 rt pac 中， cosp= papc63，1053cos bac=5點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、 勾

7、股定理以及三角函數(shù)的定義此題難度適中，留意把握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用例 2（ 2021.珠海）已知， ab 是 o 的直徑，點(diǎn)p 在弧 ab 上（不含點(diǎn)a 、b），把 aop沿 op 對折，點(diǎn)a 的對應(yīng)點(diǎn) c 恰好落在 o 上（1）當(dāng) p、c 都在 ab 上方時（如圖1），判定 po 與 bc 的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當(dāng) p 在 ab 上方而 c 在 ab 下方時（如圖2），（ 1）中結(jié)論仍成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當(dāng) p、c 都在 ab 上方時（如圖3），過 c 點(diǎn)作 cd 直線 ap 于 d ，且 cd 是 o 的切線，證明： ab=4pd 考點(diǎn)：切線的性質(zhì) ；等邊三角形的

8、判定與性質(zhì)； 含 30 度角的直角三角形； 圓心角、弧、弦的關(guān)系專題：； 圓周角定理 幾何綜合題 分析：（ 1）po 與 bc 的位置關(guān)系是平行；（2）（ 1）中的結(jié)論成立，理由為：由折疊可知三角形apo 與三角形cpo 全等，依據(jù)全等三 角 形 的 對 應(yīng) 角 相 等 可 得 出 apo= cpo ， 再 由oa=op ， 利 用 等 邊 對 等 角 得 到a= apo ，等量代換可得出a= cpo，又依據(jù)同弧所對的圓周角相等得到a= pcb，再等量代換可得出cop= acb ，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，可得出po 與 bc 平行；（3）由 cd 為圓 o 的切線，利用切線的性質(zhì)得到oc 垂

9、直于 cd ，又 ad 垂直于 cd ，利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行得到oc 與 ad 平行，依據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到 apo= cop，再利用折疊的性質(zhì)得到aop= cop ，等量代換可得出apo= aop ，再由 oa=op ，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出三角形aop 三內(nèi)角相等，確定出三角形aop 為等邊三角形，依據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60°得到 aop 為 60°，由 op平行于 bc ，利用兩直線平行同位角相等可得出obc= aop=6°0 ，再由 ob=oc ，得到三角形 obc 為等邊三角形，可得出 cob 為 60&#

10、176;，利用平角的定義得到 poc 也為 60°，再加上 op=oc ，可得出三角形 poc 為等邊三角形， 得到內(nèi)角 ocp 為 60°，可求出 pcd 為 30°，在直角三角形 pcd 中，利用 30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出 pd 為 pc 的一半，而 pc 等于圓的半徑 op 等于直徑 ab 的一半，可得出 pd 為 ab 的四分之一，即 ab=4pd ， 得證解答：解：（ 1） po 與 bc 的位置關(guān)系是 po bc ；（2）（ 1）中的結(jié)論pobc 成立，理由為：由折疊可知：apo cpo， apo= cpo， 又 oa=op ，

11、 a= apo ， a= cpo，又 a 與 pcb 都為 pb 所對的圓周角， a= pcb， cpo= pcb，pobc ；（3） cd 為圓 o 的切線，oc cd ，又 ad cd ，oc ad ， apo= cop，由折疊可得：aop= cop ， apo= aop ，又 oa=op ， a= apo ， a= apo= aop ， apo 為等邊三角形， aop=6°0 ，又 op bc ， obc= aop=6°0，又 oc=ob ， bco 為等邊三角形， cob=6°0 poc=18°0，-（ aop+ cob ）=60°，又

12、 op=oc， poc 也為等邊三角形， pco=6°0 ，pc=op=oc ，又 ocd=9°0 ， pcd=3°0 ，在 rt pcd 中， pd= 1 pc，2又 pc=op= 1 ab ，2pd=1ab ，即 ab=4pd 2點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，嫻熟把握性質(zhì)及判定是解此題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練1（ 2021.玉林）如圖，已知點(diǎn)o 為 rtabc 斜邊 ac 上一點(diǎn)，以點(diǎn)o 為圓心， oa 長為半徑的 o 與 bc 相切于點(diǎn)e，與 ac 相交于點(diǎn)d，連

13、接 ae （1）求證： ae 平分 cab ；（2）探求圖中1 與 c 的數(shù)量關(guān)系，并求當(dāng)ae=ec 時， tanc 的值考點(diǎn)： 切線的性質(zhì) ；特別角的三角函數(shù)值 專題： 探究型 分析：（ 1）連接 oe，就 oe bc，由于 ab bc ，故可得出ab oe，進(jìn)而可得出 2= aeo ，由于 oa=oe ，故 1= aeo ，進(jìn)而可得出1= 2；（2）由三角形外角的性質(zhì)可知1+ aeo= eoc ，由于 1= aeo ， oec=9°0，所以2 1+ c=90°；當(dāng) ae=ce 時， 1= c，再依據(jù) 2 1+ c=90°即可得出 c 的度數(shù)，由特別角的三角函數(shù)

14、值得出tanc 即可解答：（ 1）證明：連接oe， o 與 bc 相切于點(diǎn)e，oe bc ，ab bc ，ab oe， 2= aeo ，oa=oe ， 1= aeo ， 1= 2，即 ae 平分 cab ；（2）解： 2 1+ c=90°， tanc=3 3 eoc 是 aoe 的外角， 1+ aeo= eoc， 1= aeo ， oec=9°0 ，2 1+ c=90°，當(dāng) ae=ce 時， 1= c，2 1+ c=90°3 c=90°， c=30°3tanc=tan30 °=3點(diǎn)評： 此題考查的是切線的性質(zhì)、三角形外角的性

15、質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，在解答此類題目時要熟知 “如顯現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系”2（ 2021.泰州）如圖，已知直線l 與 o 相離， oa l 于點(diǎn) a ， oa=5 oa 與 o 相交于點(diǎn) p， ab 與 o 相切于點(diǎn) b， bp 的延長線交直線l 于點(diǎn) c（1）試判定線段ab 與 ac 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如 pc=25 ，求 o 的半徑和線段pb 的長；（3）如在 o 上存在點(diǎn)q，使 qac 是以 ac 為底邊的等腰三角形，求o 的半徑 r 的取值范疇考點(diǎn)： 切線的性質(zhì) ；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理 ；直線與圓的位置關(guān)系；相像三角形的判定與性質(zhì) 專

16、題： 運(yùn)算題 ； 幾何綜合題 分 析 ：（ 1 ） 連 接ob ， 根 據(jù) 切 線 的 性 質(zhì) 和 垂 直 得 出 oba= oac=9°0， 推 出obp+ abp=90° ， acp+ cpa=90° ，求出 acp= abc ，依據(jù)等腰三角形的判定推出即可；（2）延長 ap 交 o 于 d，連接 bd ，設(shè)圓半徑為r，就 op=ob=r ，pa=5-r ，依據(jù) ab=ac推出 52-r 2=25 2-（ 5-r）2，求出 r ，證 dpb cpa，得出cpap ，代入求出即可；pdbp（3）依據(jù)已知得出q 在 ac 的垂直平分線上， 作出線段ac 的垂直平分

17、線mn ，作 oe mn ，求出 oe r，求出 r 范疇，再依據(jù)相離得出r 5，即可得出答案解答：解：（ 1） ab=ac ，理由如下：連接 obab 切 o 于 b， oa ac ， oba= oac=9°0， obp+ abp=90° ， acp+ apc=90° ，op=ob ， obp= opb， opb= apc ， acp= abc ，ab=ac ；（2）延長 ap 交 o 于 d，連接 bd，設(shè)圓半徑為r，就 op=ob=r ，pa=5-r ，22ac =pc2-pa=25 22，-（ 5-r） ab 2=oa 2-ob 2=5 2-r2，52-r

18、2=25 2 -（ 5-r ） 2，解得： r=3，ab=ac=4 ，pd 是直徑， pbd=90° =pac， dpb= cpa， dpb cpa，cpap，pdbp2553 ，33bp65解得： pb=565 o 的半徑為 3，線段 pb 的長為；5（ 3 ） 作 出 線 段ac的 垂 直 平 分 線mn， 作oe mn， 就 可 以 推 出oe=1ac=211ab=2252r 2 ；又圓 o 要與直線mn 交點(diǎn)，oe= 1522r 5 ，r 2 r，又圓 o 與直線 l 相離，r 5，即5 r 5點(diǎn)評： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相像三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股

19、定理，直線與圓的位置關(guān)系等學(xué)問點(diǎn)的應(yīng)用，主要培育同學(xué)運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和運(yùn)算的能力此題綜合性比較強(qiáng)，有肯定的難度考點(diǎn)二：切線的判定例 2 （2021.鐵嶺）如圖， o 的直徑 ab 的長為 10，直線 ef 經(jīng)過點(diǎn) b 且 cbf= cdb 連接 ad （1）求證：直線ef 是 o 的切線；（2）如點(diǎn) c 是弧 ab 的中點(diǎn)， sindab=3 ，求 cbd 的面積5考點(diǎn)： 切線的判定 ；圓周角定理 ； 解直角三角形 專題： 探究型 分析：（1）先由 ab 是 o 的直徑可得出adb=90° ，再依據(jù) adc= abc ， cbf= cdb即可得出 abf=90° ，故 ef

20、 是 o 的切線；（2）作 bg cd ，垂足是g，在 rt abd 中， ab=10 ， sin dab=3 可求出 bd 的長，5再由 c 是弧 ab 的中點(diǎn)， 可知 adc= cdb=4°5，依據(jù) bg=dg=bdsin4°5可求出 bg 的長，由 dab= dcb 可得出 cg 的長，進(jìn)而得出cd 的長，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論解答：（ 1）證明： ab 是 o 的直徑， adb=90° 即 adc+ cdb=9°0 ， adc= abc ， cbf= cdb ， abc+ cbf=90° 即 abf=90° ，ab

21、efef 是 o 的切線；（2）解：作bg cd ，垂足是g， 在 rt abd 中ab=10 ， sin dab= 3 ，5又 sindab=bd ，abbd=6c 是弧 ab 的中點(diǎn)， adc= cdb=4°5 ，bg=dg=bdsin4°5 dab= dcbbg=6×223=32 ，tandcb=，cg4cg=42 ，cd=cg+dg=42 +32 =72 ，s cbd = 12cd.bg=7232221 點(diǎn)評： 此題考查的是切線的判定定理，涉及到圓周角定理、解直角三角形及三角形的面積公式，依據(jù)題意作出幫助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練考點(diǎn)三：

22、三角形的外接圓和內(nèi)切圓例 4（ 2021.阜新）如圖，在abc 中， bc=3cm ， bac=60° ，那么 abc 能被半徑至少為cm 的圓形紙片所掩蓋考點(diǎn)： 三角形的外接圓與外心；圓周角定理 ； 銳角三角函數(shù)的定義專題： 運(yùn)算題 分析：作圓o 的直徑 cd ，連接bd，依據(jù)圓周角定理求出d=60°，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sin d=bc ，代入求出cd 即可cd解答：解：作圓o 的直徑 cd ，連接 bd ，弧 bc 對的圓周角有a 、 d ， d= a=60°，直徑 cd ， dbc=9°0 ，sin d= bc ，cd3即 sin60 &#

23、176;=，cd解得： cd=23 ，圓 o 的半徑是3 ，故答案為：3 點(diǎn)評： 此題考查了圓周角定理，三角形的外接圓與外心，銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，關(guān)鍵bc是得出 sin d=，題目比較典型，是一道比較好的題目cd例 5（ 2021.玉林）如圖， rt abc 的內(nèi)切圓 o 與兩直角邊ab ， bc 分別相切于點(diǎn)d ，e，過劣弧 de （不包括端點(diǎn)d， e）上任一點(diǎn)p 作 o 的切線 mn 與 ab ， bc 分別交于點(diǎn)m ，n ，如 o 的半徑為r，就 rt mbn 的周長為（）a rb 3 rc 2rd5 r22考點(diǎn)： 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；矩形的判定 ； 正方形的判定 ； 切線長定理

24、 專題： 運(yùn)算題 分析：連接od 、oe，求出 odb= dbe= oeb=9°0 ，推出四邊形odbe 是正方形，得出 bd=be=od=oe=r，依據(jù)切線長定理得出mp=dm ， np=ne ，代入mb+nb+mn得出bd+be ，求出即可解答：解：連接od 、oe， o 是 rt abc 的內(nèi)切圓，od ab ， oebc， abc=90° ， odb= dbe= oeb=9°0 ，四邊形 odbe 是矩形，od=oe ，矩形 odbe 是正方形，bd=be=od=oe=r， o 切 ab 于 d ，切 bc 于 e，切 mn 于 p，mp=dm ， np=

25、ne ，rt mbn 的周長為： mb+nb+mn=mb+bn+ne+dm=bd+be=r+r=2r，應(yīng)選 c點(diǎn)評： 此題考查的學(xué)問點(diǎn)是矩形的判定、正方形的判定、 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心、切線長定理等，主要考查運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和運(yùn)算的才能，題目比較好，難度也適中對應(yīng)訓(xùn)練4（ 2021.臺州）已知，如圖1， abc 中， ba=bc ， d 是平面內(nèi)不與a 、b、c 重合的任意一點(diǎn)， abc= dbe ， bd=be （1）求證： abd cbe ；（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) d 是 abc 的外接圓圓心時，請判定四邊形bdce 的外形，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)： 三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與

26、性質(zhì)；菱形的判定 專題： 幾何綜合題 ；探究型 分析：（ 1）由 abc= dbe可知 abc+ cbd= dbe+ cbd ，即 abd= cbe，依據(jù) sas 定理可知 abd cbe；（ 2）由（ 1）可知， abd cbe ，故ce=ad ，依據(jù)點(diǎn)d是 abc外接圓圓心可知da=db=dc ，再由 bd=be 可判定出bd=be=ce=cd ，故可得出四邊形bdce 是菱形解答：（ 1）證明： abc= dbe ， abc+ cbd= dbe+ cbd ， abd= cbe ，在 abd 與 cbe 中，babcabdcbe ，bdbe abd cbe4 分（2）解：四邊形bdef 是

27、菱形證明如下：同（ 1）可證 abd cbe ，ce=ad ，點(diǎn) d 是 abc 外接圓圓心，da=db=dc，又 bd=be ，bd=be=ce=cd，四邊形 bdce 是菱形點(diǎn)評：此題考查的是三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定定理，先依據(jù)題意判定出abd cbe 是解答此題的關(guān)鍵45（ 2021.武漢）在銳角三角形abc 中， bc=5 ， sina=，5（1）如圖 1，求三角形abc 外接圓的直徑；（2）如圖 2，點(diǎn) i 為三角形 abc 的內(nèi)心， ba=bc ，求 ai 的長考點(diǎn)： 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的面積； 勾股定理 ；圓周角定理 ； 解直角三角形專題

28、： 運(yùn)算題 分析：（ 1）作直徑 cd ，連接 bd，求出 dbc=9°0 ， a= d，依據(jù) sin a 的值求出即可；（2）連接 ic、bi ，且延長 bi 交 ac 于 f，過 i 作 ie ab 于 e，求出 bf ac ， af=cf ， 依據(jù) sina 求出 bfaf ，求出 ac ，依據(jù)三角形的面積公式得出 5×r+5×r+6×r=6×4，求出r，在 aif 中，由勾股定理求出 ai 即可解答：（ 1）解：作直徑 cd ，連接 bd ，cd 是直徑， dbc=9°0 ， a= d，bc=5 ， sin a= 4 ，5si

29、n d=bc4=，cd5cd= 25 ，4答：三角形abc 外接圓的直徑是25 4（2）解：連接ic 、bi ，且延長bi 交 ac 于 f，過 i 作 ie ab 于 e，ab=bc=5 ， i 為 abc 內(nèi)心，bf ac ， af=cf ，sin a= 4 = bf ，5abbf=4 ，在 rt abf 中，由勾股定理得：af=cf=3 ，ac=2af=6 ，i 是 abc 內(nèi)心， ie ab ， if ac， ig bc，ie=if=ig ， 設(shè) ie=if=ig=r ， abi 、 aci 、 bci 的面積之和等于abc 的面積，1ab×r+21bc×r+21a

30、c×r=21ac×bf，2即 5×r+5×r+6×r=6×4，r= 3 ，2在 aif 中， af=3 ， if=答： ai 的長是 35 233，由勾股定理得：ai=5 22點(diǎn)評： 此題考查了三角形的面積公式，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等學(xué)問點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查同學(xué)運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和運(yùn)算的才能，題目綜合性比較強(qiáng)，有肯定的難度考點(diǎn)三：圓與圓的位置關(guān)系例 6（ 2021.畢節(jié)地區(qū)）第三十奧運(yùn)會將于2021 年 7 月 27 日在英國倫敦開幕，奧運(yùn)會旗圖案有五個圓環(huán)組成， 如圖也是一幅五環(huán)圖案，在這個五個圓

31、中， 不存在的位置關(guān)系是 （）a 外離b內(nèi)切c外切d相交考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系分析：依據(jù)兩圓的位置關(guān)系易得到它們的位置關(guān)系有外切、外離、相交解答：解：觀看圖形，五個等圓不行能內(nèi)切，也不行能內(nèi)含，并且有的兩個圓只有一個公共點(diǎn)，即外切；有的兩個圓沒有公共點(diǎn)，即外離；有的兩個圓有兩個公共點(diǎn)，即相交應(yīng)選 b 點(diǎn)評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系：如兩圓的半徑分別為r，r，圓心距為d，如 d r+r ，兩圓外離；如d=r+r ，兩圓外切；如r-rd r+r （ rr），兩圓相交；如d=r-r（ r r），兩圓內(nèi)切；如0dr-r （ r r），兩圓內(nèi)含對應(yīng)訓(xùn)練6（ 2021.德陽）在平面直角坐標(biāo)系xoy 中

32、，已知點(diǎn)a （ 0， 2）， a 的半徑是2， p 的半徑是 1，滿意與 a 及 x 軸都相切的 p 有個6 4考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系； 坐標(biāo)與圖形性質(zhì)； 直線與圓的位置關(guān)系分析：分兩圓內(nèi)切和兩圓外切兩種情形爭論即可得到p 的個數(shù)解答：解：如圖，滿意條件的p 有 4 個，故答案為4點(diǎn)評： 此題考查了圓與圓的位置關(guān)系、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及直線與圓的學(xué)問，能充分考慮到分內(nèi)切和外切是解決此題的關(guān)鍵【聚焦山東中考】1（ 2021.濟(jì)南）已知 o1 和 o2 的半徑是一元二次方程x2 -5x+6=0 的兩根，如圓心距 o1o2=5，就 o1 和 o2 的位置關(guān)系是（）a 外離b外切c相交d內(nèi)切考點(diǎn)： 圓

33、與圓的位置關(guān)系分析：先依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知圓心距=兩圓半徑之和，再依據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可判定解答：解：o1 和 o2 的半徑是一元二次方程x 2-5x+6=0 的兩根，兩根之和 =5= 兩圓半徑之和，又圓心距o1o2=5，兩圓外切應(yīng)選 b 點(diǎn)評：此題綜合考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩圓的位置關(guān)系的判定圓和圓的位置與兩圓的圓心距、半徑的數(shù)量之間的關(guān)系：兩圓外離 . d r+r ；兩圓外切 . d=r+r ；兩圓相交 . r-r d r+r（ rr）；兩圓內(nèi)切 . d=r-r （ r r）；兩圓內(nèi)含 . d r-r（ r r）2（ 2021.青島）已知，o1 與 o2 的半徑

34、分別是4 和 6，o1o2=2 ，就 o1 與 o2 的位置關(guān)系是（）a 內(nèi)切b相交c外切d外離考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系分析：由 o1 與 o2 的半徑分別是4 和 6， o1o2=2，依據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑 r，r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系解答：解：o1 與 o2 的半徑分別是4 和 6， o1o2=2，o1o2 =6-4=2 ， o1 與 o2 的位置關(guān)系是內(nèi)切 應(yīng)選 a 點(diǎn)評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系此題比較簡潔，留意把握兩圓位置關(guān)系與圓心距d， 兩圓半徑 r， r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系是解此題的關(guān)鍵3（ 2021.泰安）如圖，ab 與 o 相切于點(diǎn)b， ao

35、 的延長線交 o 于點(diǎn) c，連接 bc，如abc=12°0， oc=3 ，就 bc 的長為（）a b 2c 3d 5 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；弧長的運(yùn)算分析：連接ob ，由于 ab 是切線，那么abo=9°0，而abc=12°0，易求 obc ，而 ob=oc ，那么 obc= ocb ，進(jìn)而求出 boc的度數(shù)，在利用弧長公式即可求出bc的長解答：解：連接ob，ab 與 o 相切于點(diǎn)b， abo=9°0， abc=12°0， obc=3°0 ，ob=oc ， ocb=3°0 ， boc=12°0 ， bc的長為 nr 1

36、80 =120 ×× 3 180，=2 應(yīng)選 b 點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、弧長公式，解題的關(guān)鍵是連接ob，構(gòu)造直角三角形4（ 2021.濰坊）已知兩圓半徑r1、r2 分別是方程x 2-7x+10=0 的兩根，兩圓的圓心距為7，就兩圓的位置關(guān)系是（）a 相交b內(nèi)切c外切d外離考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系； 解一元二次方程-因式分解法 分析：第一解方程x2-7x+10=0 ，求得兩圓半徑r1、r2 的值，又由兩圓的圓心距為7，依據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑r，r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系解答：解： x2-7x+10=0 ，（ x-2）（ x-5）=0 ，x

37、1=2， x2=5，即兩圓半徑r 1、r2 分別是 2，5，2+5=7 ，兩圓的圓心距為7，兩圓的位置關(guān)系是外切應(yīng)選 c點(diǎn)評： 此題考查了圓與圓的位置關(guān)系與一元二次方程的解法此題比較簡潔， 留意把握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑r， r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系是解此題的關(guān)鍵5（ 2021.濟(jì)南）如圖，在rt abc中， b=90°， ab=6 ， bc=8 ，以其三邊為直徑向三角 形外作三個半圓，矩形efgh 的各邊分別與半圓相切且平行于ab 或 bc，就矩形 efgh 的周長是5 4848 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)分析：第一取 ac 的中點(diǎn) o，過點(diǎn) o 作 mn ef

38、，pq eh，由題意可得pq ef，pq gh ， mn eh ，mn fg， pl ， kn ， om ，oq 分別是各半圓的半徑，ol ， ok 是 abc的中位線，又由在rt abc 中， b=90°，ab=6 ， bc=8 ，即可求得個線段長，繼而求得答案解答：解：取ac 的中點(diǎn) o，過點(diǎn) o 作 mn ef， pq eh ，四邊形 efgh 是矩形，eh pq fg， ef mn gh ， e= h=90°，pqef， pqgh ， mn eh， mn fg，ab ef， bc fg，ab mn gh ， bc pqfg，al=bl ， bk=ck ，ol= 1

39、bc= 1 ×8=4 ，ok= 1 ab= 1 ×6=3，2222矩形 efgh 的各邊分別與半圓相切，pl=1ab=21×6=3 ， kn=21bc=21×8=4，2在 rt abc 中， ac=om=oq=1 ac=5 ，2ab 2 +bc2=10 ，eh=fg=pq=pl+ol+oq=3+4+5=12， ef=gh=mn=om+ok+nk=5+3+4=12，矩形 efgh 的周長是： ef+fg+gh+eh=12+12+12+12=48故答案為： 48點(diǎn)評： 此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)， 三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理等學(xué)問此題難度較大，解題

40、的關(guān)鍵是把握幫助線的作法，留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用6（ 2021.菏澤） 如圖， pa，pb 是 o 是切線， a ，b 為切點(diǎn)， ac 是 o 的直徑， 如 p=46°，就 bac=度6 23考點(diǎn)：切線的性質(zhì)專題：運(yùn)算題分析：由 pa、pb 是圓 o 的切線，依據(jù)切線長定理得到pa=pb，即三角形apb 為等腰三角形，由頂角的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出底角的度數(shù)，再由ap 為圓 o 的切線， 得到 oa 與 ap 垂直，依據(jù)垂直的定義得到oap 為直角，再由 oap- pab 即可求出 bac的度數(shù)解答：解： pa，pb 是 o 是切線，pa=pb ，又 p=46°，

41、 pab= pba= 180 -462=67 °，又 pa 是 o 是切線， ao 為半徑，oa ap ， oap=9°0 ， bac= oap- pab=90° -67 °=23°故答案為： 23；點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理， 等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，嫻熟把握定理及性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵7（ 2021.煙臺）如圖， ab 為 o 的直徑，弦cd ab ，垂足為點(diǎn)e，cf af ，且 cf=ce （1）求證： cf 是 o 的切線；（2）如 sin bac=25，求s cbd 的值s abc考點(diǎn)： 切線的判定 ；圓周角

42、定理 ； 相像三角形的判定與性質(zhì)分析：（ 1）第一連接 oc ，由 cd ab ， cf af ， cf=ce ，即可判定 ac 平分 baf ，由圓周角定理即可得 boc=2 bac ，就可證得 boc= baf ，即可判定 oc af ，即可證得 cf 是 o 的切線；（2）由垂徑定理可得 ce=de ，即可得 s cbd =2s ceb，由 abc cbe ，依據(jù)相像三角形的面積比等于相像比的平方， 易求得 cbe 與 abc 的面積比， 繼而可求得 s cbd 的值s abc解答：（ 1）證明：連接oc ce ab ， cf af ， ce=cf ，ac 平分 baf ，即 baf=2

43、 bac boc=2 bac ， boc= baf oc af cf oc cf 是 o 的切線（2）解： ab 是 o 的直徑， cd ab ，ce=ed ， acb= bec=90° s cbd =2s ceb， bac= bce， abc cbe s cbebc=2=（ sin bac ）2= 2 2=4 s abcab525s cbd8=s abc25點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、垂徑定理、相像三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理等學(xué)問此題難度適中，留意把握幫助線的作法，留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【備考真題過關(guān)】一、挑選題1（ 2021.恩施州）如圖，兩個同心圓的半徑分別為4cm 和

44、5cm，大圓的一條弦ab 與小圓相切，就弦ab 的長為（）a 3cm b 4cm c 6cm d 8cm考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理分析：第一連接oc， ao ，由切線的性質(zhì)，可 得 oc ab ，由垂徑定理可得ab=2ac ，然后由勾股定理求得ac 的長，繼而可求得ab 的長解答：解：如圖，連接oc， ao ，大圓的一條弦ab 與小圓相切，oc ab ，ac=bc=1 ab ，2oa=5cm ， oc=4cm ，在 rt aoc 中， ac=ab=2ac=6 （cm ）應(yīng)選 coa 2 -oc2=3cm ，點(diǎn)評： 此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理此題難度不大，留意數(shù)形結(jié)合思

45、想的應(yīng)用，留意把握幫助線的作法2（ 2021.河南）如圖，已知ab 是 o 的直徑， ad 切 o 于點(diǎn) a ， ecbc 就以下結(jié)論中不肯定正確選項(xiàng)（）a ba dab oc aec coe=2 caed od ac考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理分析：分別依據(jù)切線的性質(zhì)、平行線的判定定理及圓周角定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可解答：解： ab 是 o 的直徑， ad 切 o 于點(diǎn) a ，ba da ，故 a 正確； ecbc ， eac= cab ，oa=oc ， cab= aco ， eac= aco ，oc ae ，故 b 正確； coe 是 ce 所對的圓心角，cae

46、是 ce 所對的圓周角， coe=2 cae ，故 c 正確；只有當(dāng) ae = ce 時 od ac ，故本選項(xiàng)錯誤 應(yīng)選 d 點(diǎn)評：此題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解答此題的關(guān)鍵3（ 2021.黃石）如下列圖，直線 cd 與以線段 ab 為直徑的圓相切于點(diǎn) d 并交 ba 的延長線于點(diǎn) c，且 ab=2 ， ad=1 ， p 點(diǎn)在切線 cd 上移動當(dāng) apb 的度數(shù)最大時，就 abp 的 度 數(shù) 為 （ ）a 15°b 30°c 60°d 90°考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；圓周角定理分

47、析：連接bd ，由題意可知當(dāng)p 和 d 重合時， apb 的度數(shù)最大，利用圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)即可求出abp 的度數(shù)解答：解：連接bd ，直線 cd 與以線段ab 為直徑的圓相切于點(diǎn)d， adb=90° ，當(dāng) apb 的度數(shù)最大時，就 p 和 d 重合， apb=90° ，ab=2 ， ad=1 ，sin dbp= ad= 1 ，ab2 abp=30° ，當(dāng) apb 的度數(shù)最大時，abp 的度數(shù)為30°應(yīng)選 b 點(diǎn)評： 此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及解直角三角形的有關(guān)學(xué)問，解題的關(guān)鍵是由題意可知當(dāng)p 和 d 重合時， apb 的度數(shù)最大為9

48、0°4（ 2021.樂山）o1 的半徑為3 厘米， o2 的半徑為2 厘米，圓心距o1o2=5 厘米，這兩圓的位置關(guān)系是（）a 內(nèi)含b內(nèi)切c相交d外切考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系分析：由 o1 的半徑為3 厘米， o2 的半徑為2 厘米，圓心距o1o2=5 厘米，依據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑r， r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系解答：解：o1 的半徑 r=3 ， o2 的半徑 r=2 ，3+2=5 ，兩圓的圓心距為o1o2=5，兩圓的位置關(guān)系是外切應(yīng)選 d 點(diǎn)評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系解題的關(guān)鍵是熟記兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑 r， r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系6（ 2021.上海）假如兩圓的半徑長分別為6 和 2，圓心距為3，那么這兩個圓的位置關(guān)系是（）a 外離b相切c相交d內(nèi)含考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系分析：由兩個圓的半徑分別為6 和 2，圓心距為3，依據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑 r， r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系解答：解：兩個圓的半徑分別為6 和 2，