9空間直線與平面位置關(guān)系的判斷與證明

1、空間直線空間直線 與平面位置與平面位置關(guān)系的判斷與證明關(guān)系的判斷與證明第一課時(shí)：第一課時(shí)：基本問題基本問題第一課時(shí)：第一課時(shí)：基本問題基本問題課前導(dǎo)引第一課時(shí)：基本問題課前導(dǎo)引1. 用一個(gè)平面去截一個(gè)正方形得到的多邊形，可以是_( 將可能的序號都填上，其中： 三角形； 四邊形； 五邊形； 六邊形； 七邊形) 簡評簡評 本問題涉及到直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì),學(xué)生應(yīng)能根據(jù)所學(xué)立體幾何知識熟練畫出正方體的各種截面，并能說清楚截面與正方體各表面的交線是如何畫出的.簡評 本問題涉及到直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì),學(xué)生應(yīng)能根據(jù)所學(xué)立體幾何知識熟練畫出正方體的各種截面，并能說清楚截面與正方體各表面的

2、交線是如何畫出的.答案：2. 一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，則這兩個(gè)二面角 ( )A. 相等B. 互補(bǔ)C. 相等或互補(bǔ)D. 大小關(guān)系不能確定2. 一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，則這兩個(gè)二面面角的兩個(gè)面分別垂直，則這兩個(gè)二面角角 ( )A. 相等B. 互補(bǔ)C. 相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ)D. 大小關(guān)系不能確定大小關(guān)系不能確定簡評 要多從運(yùn)動(dòng)的角度來研究直要多從運(yùn)動(dòng)的角度來研究直線與直線、直線與平面、平面與平面的線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系的空間形象各種位置關(guān)系的空間形象.2. 一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二一個(gè)二面角的

3、兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別垂直，則這兩個(gè)二面角角 ( )A. 相等B. 互補(bǔ)C. 相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ)D. 大小關(guān)系不能確定大小關(guān)系不能確定簡評 要多從運(yùn)動(dòng)的角度來研究直要多從運(yùn)動(dòng)的角度來研究直線與直線、直線與平面、平面與平面的線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系的空間形象各種位置關(guān)系的空間形象.D 考點(diǎn)搜索考點(diǎn)搜索 考點(diǎn)搜索考點(diǎn)搜索 1. 畫圖是一個(gè)基本功. 要能熟練畫出水平放置的平面圖形的直觀圖，畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系.2. 熟練掌握線線、線面、面面平行與垂直的各種判定方法以及性質(zhì).3. 會(huì)用反證法證明簡單的問題.4

4、. 能夠有選擇地使用向量方法和非向量方法解決空間直線與平面位置關(guān)系的問題. 鏈接高考鏈接高考 鏈接高考鏈接高考 ) ( ,2 , , ,)2007( 為則平行條棱與平面得該棱柱恰有使中取一點(diǎn)作為、從心的重為的中點(diǎn)、分別為、點(diǎn)中在三棱柱年湖北卷PPEFPBGHKABCGCBBACBACKHFECBAABC? 例1 D. C. B. A.BGHK 鏈接高考鏈接高考 ) ( ,2 , , ,) 為則平行條棱與平面得該棱柱恰有使中取一點(diǎn)作為、從心的重為的中點(diǎn)、分別為、點(diǎn)中在三棱柱湖北卷PPEFPBGHKABCGCBBACBACKHFECBAABC? 例1 D. C. B. A.BGHKC所成角的大??；

5、與平面求直線時(shí)當(dāng)；平面求證：底面的中點(diǎn)、別是分、點(diǎn)中在三棱錐如圖浙江卷PBCPAkPABODABCOPPCACDOkPABCABABCP,21 )2( / ) 1 ( ., , )( ? 例例22的重心？的射影恰好為內(nèi)在平面取何值時(shí)當(dāng)PBCPBCOk?, )3( ./ (1)可得由PAOD的重心？的射影恰好為內(nèi)在平面取何值時(shí)當(dāng)PBCPBCOk?, )3( 法一./ (1)可得由PAOD的重心？的射影恰好為內(nèi)在平面取何值時(shí)當(dāng)PBCPBCOk?, )3( 法一., (2) 所成的角平面與是則連結(jié)于作平面則連結(jié)中點(diǎn)取PBCODODFDFFPEOFPOEBCPEEBC?.30210arcsin,302

6、10sin, .,/成角為所與平面中在的大小等于所成角與平面又PBCPAODOFODFODFRtODFPBCPAPAOD?, ,.,:(2) (3) BDPCPCOBBDPBCOBDFBPBCFPCDPBCOFPBCOF?內(nèi)的射影為直線在平面直線三點(diǎn)共線、則的重心是若的中點(diǎn)是內(nèi)的射影在平面是平面知由.,1,. 1,的重心內(nèi)的射影為在平面正三棱錐為三棱錐時(shí)當(dāng)反之即PBCPBCOPBCOkkBCPB?),0,0,22(),0,22,0(),0,0,22(,),(, aCaBaAaABxyzOxOPO?則設(shè)如圖建立空間坐標(biāo)系軸為非負(fù)射線為原點(diǎn)以 法二法二 ).,0,0(,hPhOP則設(shè)?./,/,2

7、1),0,22(),21,0,22( (1) PABODPAODPAODhaPAhaOD平面又?nPAnPAnPAnPBCaaPAahaPAk?),cos(),71,1,1(),27,0,22(,27,2,21 (2) 向量的法可求得平面則.30210arcsin,30210),cos(sin,.30210所成的角為面與平則所成角為與平面設(shè)PBCPAnPAPBCPA?),22,0(,),31,62,62(),31,62,62( (3) haPBPBOCPBCOGhaaOGhaaGPBC?又平面的重心?.,1, . 1,22,031612222的重心射影為內(nèi)的為平面正三棱錐為三棱錐時(shí)當(dāng)反之即PB

8、CPBCOPBCOkkahOAPAahhaPBOC? 方法論壇方法論壇 方法論壇方法論壇 1. 如何證兩條異面直線相互垂直：(1) 證明兩條異面直線所成角為90o ；(2) 證明兩條異面直線的方向向量相互垂直.2. 如何證直線和平面相互平行：(1) 證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；(2) 證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行,或者這條直線的方向向量可以用這個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量的線性組合來表示;(3) 證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直.3. 如何證直線和平面垂直：(1)證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直；(2) 證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都

9、垂直；(3) 證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行.4. 如何證平面和平面相互垂直：(1) 證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為90o ；(2) 證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面；(3) 證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直.5. 如何證平面和平面互相平行：(1) 證明一個(gè)平面內(nèi)兩相交直線都與另一個(gè)平面平行；(2) 證明兩個(gè)平面的法向量互相平行.6. 如何做關(guān)于空間線面位置關(guān)系的選擇題：工具演示、空間想象、邏輯推理相結(jié)合. 長郡演練長郡演練 長郡演練長郡演練 1. 下列命題正確的是 ( )A. 過平面外一點(diǎn)作此平面的垂面是唯一的B. 過直線外一點(diǎn)作此直線的平行平面是唯一的C. 過直線外一

10、點(diǎn)作此直線的垂線是唯一的D. 過平面的一條斜線作此平面垂面是唯一的 長郡演練長郡演練 1. 下列命題正確的是 ( )A. 過平面外一點(diǎn)作此平面的垂面是唯一的B. 過直線外一點(diǎn)作此直線的平行平面是唯一的C. 過直線外一點(diǎn)作此直線的垂線是唯一的D. 過平面的一條斜線作此平面垂面是唯一的D2. a, b異面, 則過a與b垂直的平面( )A. 有且只有一個(gè)B. 可能存在可能不存在C. 有無數(shù)個(gè)D. 一定不存在2. a, b異面, 則過a與b垂直的平面( )A. 有且只有一個(gè)B. 可能存在可能不存在C. 有無數(shù)個(gè)D. 一定不存在若存在, 則必有a與b異面垂直, 即若a與b不垂直則不存在過a與b垂直的平面

11、.2. a, b異面異面, 則過則過a與與b垂直的平面垂直的平面( )A. 有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)B. 可能存在可能不存在可能存在可能不存在C. 有無數(shù)個(gè)有無數(shù)個(gè)D. 一定不存在B若存在若存在, 則必有則必有a與與b異面垂直異面垂直, 即若即若a與b不垂直則不存在過a與b垂直的平面.第二課時(shí)：第二課時(shí)：綜合問題綜合問題課前導(dǎo)引第二課時(shí)：第二課時(shí)：綜合問題綜合問題課前導(dǎo)引第二課時(shí)：綜合問題1. 右圖是正方體的平面展開圖. 在這個(gè)正方體中，BM與ED平行CN與BE是異面直線CN與BM成60 角DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是( )A. B.C.D.課前導(dǎo)引第二課時(shí)：綜合問題1. 右

12、圖是正方體的平面展開圖. 在這個(gè)正方體中，BM與ED平行CN與BE是異面直線CN與BM成60 角DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是( )A. B.C.D.C PMNlPNMlNlPMlMNPNlPM2. 下列5 個(gè)正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l面MNP 的圖形的序號是（寫出所有符合要求的圖形序號） 解析 這是2003年的一道高考題.我們可以先畫出一個(gè)與l 垂直的正六邊形截面，然后檢查過哪三點(diǎn)的截面就是這個(gè)截面；而對于其他情況，要么畫出截面與正方體各表面的交線然后用三垂線定理判斷，要么建立空間直角坐標(biāo)系用向量法計(jì)算.解析 這是2003

13、年的一道高考題.我們可以先畫出一個(gè)與l 垂直的正六邊形截面，然后檢查過哪三點(diǎn)的截面就是這個(gè)截面；而對于其他情況，要么畫出截面與正方體各表面的交線然后用三垂線定理判斷，要么建立空間直角坐標(biāo)系用向量法計(jì)算.答案: 考點(diǎn)搜索考點(diǎn)搜索 考點(diǎn)搜索考點(diǎn)搜索 1. 探索性問題是近年來高考立體幾何題的熱點(diǎn)題. 通常要求考生探索在某平面或某直線上是否存在一點(diǎn)滿足一定的條件.2. 折疊問題經(jīng)常在高考卷中出現(xiàn).3. 要求能夠證明三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)問題. 鏈接高考鏈接高考 鏈接高考鏈接高考 例1(2006全國卷)正方體ABCD- A1B1 C1D1中, P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn). 那么正方體的過P、

14、Q、R的截面圖形是 ( )(A)三角形(B)四邊形(C)五邊形(D)六邊形 鏈接高考鏈接高考 例1(2005全國卷)正方體ABCD- A1B1 C1D1中, P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn). 那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是 ( )(A)三角形(B)四邊形(C)五邊形(D)六邊形D 例例22(2007年湖南卷)如圖, 在底面是菱形的四棱錐PABCD 中, 點(diǎn)E在PD上, 且PE:ED= 2: 1.(I) 證明PA平面ABCD ;(II) 求以AC為棱, EAC與DAC為面的二面角的大小:(III) 在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF/ 平面AEC ? 證明你的結(jié)論.,60 ? A

15、BC,2,aPDPBaACPA? 法一法一 (I)由PAAB及PAAD可得.(II) 用三垂線法求得二面角?=30 .() 證法一：先猜想F為棱PC中點(diǎn)時(shí)，有BF平面AEC，然后證明. 可取PE中點(diǎn)M，連FM，則FMCE.設(shè)AC交BD于O，易證BMOE，于是平面BFM平面AEC，則得BF平面AEC. 法二?DECDADDPCDADCPBCBF2321 2121? ?ACAEADAEACADAD21232321?所以共面, 則BF/ 平面AEC.ACAEBF, 法三法三 以A為原點(diǎn)，直線AD、AP 分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)且垂直于平面PAD 的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，然后

16、設(shè)，寫出向量的坐標(biāo).PCPF?BF./,23,21,21,AECBFPCFyxAEyACxBF平面中點(diǎn)時(shí)為所以易得當(dāng)可求得令? 例例33 （2006年全國高考題）如圖，已知平行六面體ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形, 且C1CB=C1CD=BCD,(1) 證明：C1CBD；.?, )2( 111出證明請給平面能使為多少時(shí)的值當(dāng)BDCCACCCD?第一類證法(非向量方法)：(1) 證明：連結(jié)A1C1、AC和BD交于O，連結(jié)C1O.四邊形ABCD 是菱形，,111111111BDOCOBDODCBCDCCBCCCCCCDCCBCCCDBCBDAC?又.,.,11111BDCCACC

17、CACBDOOCACBDAC?平面又平面但?(2).,1111BDCCACCCD平面能使時(shí)當(dāng)?.,. 1:2:,1:2:,/.,11111111111111111111BDCCABDCCGBDCGBDBDCOCGOGCOCCAACCAGOCCABDCCDCBCBDCDCBCDCCCDBCCCCD平面即平面的中心正三角形是點(diǎn)邊上的高和中線的形是正三角又且相交于與設(shè)是正三棱錐三棱錐由此可推出又?.,.,1.,)1(11111111111BDCCABBCBDCABCCABDCCCDCABDACCAACBC平面又可得的證法同六個(gè)面是全等的菱形平面六面體的時(shí)當(dāng)平面平面知由? 法二法二 第二類證法（向量法

18、）本題的向量第二類證法（向量法）本題的向量解法大體上有兩類：解法大體上有兩類：法一：確定三個(gè)知其模及兩夾角的法一：確定三個(gè)知其模及兩夾角的向量為空間向量的一個(gè)基底. 對于平行六面體來說，通常選擇從同一頂點(diǎn)出發(fā)六面體來說，通常選擇從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱表示的向量為基底. 如設(shè)：:,1則則cCCbCDaCB?. 10, )2( . 0, )1( 11111111111?xDCCAcbaDCCADCCABDCABDCCAaxCDaCCcbaBDCC可得由表示用將故只需由于已經(jīng)有面平要使設(shè)計(jì)算其數(shù)量積為從而表示用不難將?法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系. 并設(shè)底面菱形邊長為a，側(cè)棱長為b.,0,23,0,33cos,coscoscos, )1( 1111?aCACCDCCACCDCAACC別為則各點(diǎn)坐標(biāo)分是可求得于且上在底面的射影在由已知,36,2333,01?babC0),0,0,(,0,0,21,0,0,21;36,33,011?BDCCaBDaDaBbbCC可得則所以同時(shí)則;1BDCC?所以所以);36,333,0(,36,3323,