初中平面幾何一題多變

1、平面幾何一題多變在完成一個數(shù)學(xué)題的解答時，有必要對該題的內(nèi)容、形式、條件、結(jié)論，做進一步的探討，以真正把握該題所反映的問題的實質(zhì)；假如能對一個一般的數(shù)學(xué)題進行一題多變，從變中總結(jié)解題方法；從變中發(fā)覺解題規(guī)律，從變中發(fā)覺“不變”，必將使人受益匪淺； “一題多變”的常用方法有：1、變換命題的條件與結(jié)論；2、保留條件，深化結(jié)論；3、減弱條件，加強結(jié)論；4、探討命題的推廣；5、考查命題的特例；6、生根伸枝，圖形變換；7、接力賽，一變再變；8、解法的多變等；19、（增加題1 的條件） ae 平分 bac 交 bc 于 e，求證： ce： eb=cd ：cb20、（增加題1 的條件） ce 平分 bcd

2、，af 平分 bac 交 bc 于 f求證：（ 1）bf·ce= be·df（ 2）ae cf（ 3）設(shè) ae 與 cd 交于 q，就 fq bc21、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足，以cd 為直徑的圓交ac 、bc于 e、 f，求證：ce： bc=cf ：ac （留意此題和16 題有無聯(lián)系）22、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足，以ad 為直徑的圓交ac 于 e，以 bd 為直徑的圓交bc 于 f，求證：ef 是 o1 和 o2 的一條外公切線23、已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，

3、 d 為垂足，作以ac 為直徑的圓o1，和 以 cd 為弦的圓 o2，求證：點 a 到圓 o2 的切線長和ac 相等（ at=ac ）24、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足，e 為 acd 的中點，連ed 并延長交cb 的延長線于f， 求證： df： cf=bc ： ac25、如圖， o1 與 o2 外切與點d， 內(nèi)公切線do 交外公切線ef 于點 o，求證： od 是兩圓半徑的比例中項；題 14 解答：由于 cd2=a·d dbac2=ad· ab bc2=bd·ab所以 1/ac2+1/bc2=1/ （ad·ab ）

4、+1/（ bd·ab ）=（ ad+db ） /（ad·bd·ab ）=ab/ad·bd·ab=1/ad·bd=1/cd215 題解答：由于 m 為 ab 的中點，所以am=mb ， ad-db=am+dm-mb-dm=2dm ac2-bc2=ad*ab-db*ab=ad-dbab=2dm*ab26、（在 19 題基礎(chǔ)上增加一條平行線）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f， fg ab 交 bc 于點 g， 求證： ce=bg27、（在 19 題基礎(chǔ)

5、上增加一條平行線）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f， fg bc 交 ab 于點 g，連結(jié) eg， 求證：四邊形cegf 是菱形28、（對 19 題增加一個結(jié)論）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f，求證： ce=cf29、（在 23 題中去掉一個圓）已知，abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足，作以ac 為直徑的圓o1，求證：過點d 的圓 o1 的切線平分bc30、（在 19 題中增加一個圓）已知，

6、 abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e，交 cd于 f，求證： ced 平分線段af31、（在題1 中增加一個條件）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， a=30 度， 求證： bd=ab/4（滬科版八年級數(shù)學(xué)第117 頁第 3 題）32、（在 18 題基礎(chǔ)上增加一條直線）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足，作bce= bcdp 為 ac 上任意一點，直線pq 交 cd 于 q，交 cb 于 m ，交 ce 于 n求證： pq/pn=qm/mn32 題證明：作 ns

7、 cd 交直線 ac 與點 s， 就 pq/pn=cq/sn又 bce= bcdqm/mn=cq/cn （三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理）bce+ ncs= bcd + acdnscd ， nsc= acd nsc= ncssn=cnpq/pn=qm/mn題 33在“題一中 ”，延長 cb 到 e，使 eb=cb ，連結(jié) ae 、de ，求證： de·ab= ae·be題 33 證明cb2= bd·ab因 eb=cbeb2= bd· abeb ： bd=ab ：be又 ebd= abe ebd abeeb ： ab=de ： aede·ab= ae&

8、#183;be題 34（在 19 題基礎(chǔ)上增加一條垂線）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足，ae 平分 cd 于 f， eg ab 交 ab 于點 g， 求證： eg2= be·ec證明：延長 ac 、ge，設(shè)交點為h， ebg ehceb ： eh=eg ： eceh·eg= be·ec又 hg cd ，cf=fdeh=egeg2= be·ec題 35（在題 19 中增加點f）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足，ae 平分 bca 交 bc 于點 e，交 cd 于 f， 求證： 2cf

9、·fd = af·ef題 36、（在題 16 中，減弱條件，刪除acb=90 度這個條件）已知， abc 中， cd ab ， d 為垂足， de ac 于 e， df bc 于 f， 求證： ce/bc=cf/ac題 37（在題 17 中， 刪除 acb=90 度和 cd ab ，d 為垂足這兩個條件，增加 d 是 ab 上一點，滿意 acd= abc ）已知， abc 中， d 是 ab 上一點，滿意acd= abc ，又 ce 平分 bcd求證： ae2= ad· ab題 38已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， pc 為

10、abc 的切線求證： pa/ad=pb/bd題 39（在題 19 中點 e“該為 e 為 bc 上任意一點 ”）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足，e 為 bc 上任意一點，連結(jié)ae ， cfae ，f 為垂足，連結(jié)df， 求證： adf aeb題 40：已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足求證： sadc ：s bdc=ad ： db題 41已知，如圖，abc 中，cd ab ， d 為垂足，且ad/cd=cd/bd，求 acb 的度數(shù)；題 42已知， cd 是 abc 的 ab 邊上的高，d 為垂足，且ad/cd=cd/bd

11、，就 acb 肯定是 90 度嗎？為什么？題 43：已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， adc 的內(nèi)切圓 o1，bdc 的內(nèi)切圓 o2，求證： so1 ：s o2=ad ： db題 44：已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足， adc 的內(nèi)切圓 o1 的半徑 r1，bdc 的內(nèi)切圓 o2 的半徑 r2， abc 的內(nèi)切圓 o 的半徑 r，求證： r1+r2+r=cd題 45 、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足，作以ac 為直徑的圓o1，和以 bd為直徑的圓o2 ，設(shè) o1 和 o2 在 abc

12、內(nèi)交于 p求證：pad 的面積和 pbc 的面積相等題 45 解：cap= cdp= dbp （圓周角、弦切角）rtapc rtbpdap·pd= bp·pc又 apd 和 cpb 互補（ apc+ bpd=180 度）s pad=1/2·ap·pd·sin apd s pbd=1/2·bp·pc·sin cpbs pad= s pbd題 46（在題 38 的基礎(chǔ)上變一下）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足， pc 為 abc 的切線，又ce 平分acb 交 abc 與 e，交 ab

13、 與 d ，如 pa=5， pc=10，求cd·ce 的值題 47在題 46 中，求 sin pca題 48（由題 19 而變）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足，ae 平分 acb 交 bc 于 e， eg ab 交 ab 于點 g， 求證：（ 1）ac=ag（2）、ag2= ad· ab（3）、g 在 dcb 的平分線上（4）、fg bc（5）、四邊形 cefg 是菱形題 49題 49 解答：題目 50（題 33 再變）已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，d 為垂足，延長cb 到 e，使 eb=cb ，連結(jié)ae 交 c

14、d 的延長線于f，假如此時ac=ec ，求證：af= 2fe題 50 解：過點 e 作 em cf，m 為垂足，就ad ：db=ac2 ：cb2=4 ：1又 db ： em=1 ： 2所以， ad ： em=2 ：1adf emfaf ： ef=ad ： em=2 ：1af=2ef題目 51（題 50 中連一線）已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，d 為垂足，延長cb 到 e，使 eb=cb ，連結(jié)ae 交 cd 的延長線于f， 連結(jié) fb，假如此時ac=ec ，求證：abc= ebf（題 51 的幾種解法） 解法 1、作 acb 的平分線交ab 于點 g，易證 acg ce

15、fcg=ef證 cbg ebf abc= ebf題 51 解法 2作 acb 的平分線交ab 于點 g，交 ae 于點 p，就點 g 為 ace 的垂心， gfce又 aec= gce，四邊形 cgfe 為等腰梯形cg=ef再證 cbg ebf abc= ebf題 51 解法 3作 acb 的平分線交ab 于點 g，交 ae 于點 p，就點 g 為 ace 的垂心，易證 apg cpf（ aas ）pg=pf又 gpb= fpb， pb=pb pbg fbp（sas） pbg= fbp abc= ebf題 51 解法 4（原題圖） 由題 50 得， af=2efaf ： ef=ac ：be=2

16、又 caf= bef=45 度 acf ebf acf= ebf又 acf= cba abc= ebf題 51 解法 5作 me ce 交 cd 的延長線于m ，證 abc cme （ asa ） abc= m再證 mef bef （sas） ebm= m abc= ebf題 51 解法 6作點 b 關(guān)于點 c 的對稱點 n，連結(jié) an ， 就 nb=2be ，又由題 50，af=2ef ，bf an ebm= n又 abc= n （對稱點） abc= ebf題 51 解法 7過點 c 作 ch bf 交 ab 于 m ，b 為 ce 的中點， f 為 he 的中點又由題 50， af=2ef

17、 ，h 為 af 的 中點又 ch bfm 為 ab 的中點 mcb= mbc又 ebm= mcb abc= ebf題目 52（題 50、51 結(jié)論的引伸）已知， abe 中， ac=ec ， ace=90 度，cd ab 交斜邊 ab 于 f， d 為垂足，b 為 ce 的中點，連結(jié)fb， 求證：（1）、 af=2ef（2）、 abc= ebf（3）、 ebf= e+ bae（4）、 abf=2 dac（5）、 ab ：bf=ae ：ef（6）、 cd ：df=ae ： af（7）、 ad ： db=2af ： ef（8）、 cd/df·fa/ae·eb/bc=1題目 5

18、3 （題 52 的一部分） 已知如圖，、 ac=ce、 ac ce、 cb=be、 cf ab求證：、 af=2ef、 abc= ebf（題 53 的 14 個逆命題中，是真命題的請給出證明） 題目 54（題 53 的逆命題1）已知如圖，、 af=2ef、 ac ce、 cb=be、 cf ab求證：、 ac=ce、 abc= ebf平面幾何一題多變題目 55（題 53 的逆命題2） 已知如圖，、 ac=ce、 af=2ef、 cb=be、 cf ab求證：、 ac ce、 abc= ebf題目 56（題 53 的逆命題3） 已知如圖，、 ac=ce、 ac ce、 af=2ef、 cf ab

19、求證：、 cb=be、 abc= ebf題目 57（題 53 的逆命題4） 已知如圖，、 ac=ce、 ac ce、 af=2ef、 cb=be求證：、 cf ab、 abc= ebf題目 58（題 53 的逆命題5） 已知如圖，、 cb=be、 abc= ebf、 ac ce、 cf ab求證：、 af=2ef、 ac=ce題目 59（題 53 的逆命題6） 已知如圖，、 ac=ce、 cf ab、 cb=be、 abc= ebf求證：、 af=2ef、 ac ce題目 60（題 53 的逆命題7） 已知如圖，、 ac=ce、 ac ce、 abc= ebf、 cf ab求證：、 af=2e

20、f、 cb=be題目 61（題 53 的逆命題8） 已知如圖，、 ac=ce、 ac ce、 cb=be、 abc= ebf求證：、 af=2ef、 cf ab題目 62（題 53 的逆命題9） 已知如圖，、 af=2ef、 cf ab、 cb=be、 abc= ebf求證：、 ac=ce、 ac ce題目 63（題 53 的逆命題10） 已知如圖，、 ac ce、 af=2ef、 cf ab、 abc= ebf求證：、 ac=ce、 cb=be題目 64（題 53 的逆命題11） 已知如圖，、 cb=be、 abc= ebf、 ac ce、 af=2ef求證：、 ac=ce、 cf ab題目

21、 65（題 53 的逆命題12） 已知如圖，、 ac=ce、 af=2ef、 cf ab、 abc= ebf求證：、 ac ce、 cb=be題目 66（題 53 的逆命題13） 已知如圖，、 ac=ce、 af=2ef、 cb=be、 abc= ebf求證：、 ac ce、 cf ab題目 67（題 53 的逆命題14） 已知如圖，、 ac=ce、 ac ce、 af=2ef、 abc= ebf求證：、 cb=be、 cf ab題目 68已知如圖， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足，cm 平分 acb ，假如 sacm=30 ， s dcm=6 ， 求 s bcd=

22、 ？（題 68 解答） 解：設(shè) s bcd=x, 就 s acm/ s cmb=30/ （6+ x ）=am/mb s acd/ s cdb=36/ x=ad/db又 ac2= ad· abbc2= bd·abac2/ bc2=ad/bdcm 平分 acb（ am/ bm ） 2=ad/bd30/6+x2=36/x解方程得 x=4 或 x=9sbcd=4 或 s bcd=9題目 69已知如圖， abc 中， acb=90 度， d 為斜邊 ab 上一點，滿意ac2= ad· ab求證： cd ab題目 70已知如圖， abc 中， ac>bc, acb=90

23、 度，cm 平分 acb ，且 cm+cb=ac ， 求證： 1/ac- 1/bc=2題 70 證明：過點 m 作 md bc ，d 為垂足，作md ac ，e 為垂足，設(shè) me=x,ac=b,bc=a, 就 cm= 2 x ，ae=b-x,由 ae/ac=me/bc ，得 b-x/b=x/a,x=ab/a+b又 cm+cb=ac2 x+a=b,ab/a+b=b- a/2 整理得： b2- a2=2ab 兩邊都除以 ab,1/ac- 1/bc=2題目 71依題 68 變 已知如圖， abc 中（ ac>bc ）， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足，cm 平分 acb, 且

24、bc、 ac 是方程 x2-14x+48=0的兩個根，求 ad 、 md 的長；題目 71 解：明顯，方程 x2-14x+48=0 的兩根為 6 和 8， 又 ac>bcac=8 ， bc=6由勾股定理 ab=10acd abc ，得 ac2= ad· abad=6.4cm 平分 acbam/mb=ac/cb解得， am=40/7md=ad-am=24/35題目 72已知如圖， abc 中， acb=90 度， ab=2ac ，現(xiàn)在將它折成如右圖的外形，這時頂點a正好落在 bc 上，而且 a'mn是正三角形，求 a'mn與 abc 的面積之比；題 72 解： a

25、cb=90 度， ab=2ac b=30 度由題意，四邊形ama'n是菱形， a'bm abca'm/ac=bm/ab設(shè) am=x, ab=2ac=2ax/a=2a-x/2ax=2a/3由三角形面積公式，得s a'mn ： s abc=2 ： 9題目 73已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足求證： ab+cd>ac+bc題 73 的證明：由三角形面積公式，得ab·cd=a·c 2ab·cd=2ac· bc又勾股定理，得ab2=ac2+bc2ab2+2ab· cd =ac2+b

26、c2+2a·cab2+2ab· cd = （ ac+bc ） 2bcbc 等式性質(zhì) ab2+2ab· cd+cd2 > （ac+bc ） 2ab+cd2 > （ ac+bc ）2又 ab 、cd 、ac 、bc 均大于零ab+cd>ac+bc題目 74已知， abc 中， acb>90 度， cd ab ， d 為垂足求證： ab+cd>ac+bc題 74 證明：如圖，作cbac 交 ab 于 b,于是有ab· cd=ac· bc2ab· cd=2ac· bc又勾股定理，得ab2=ac2+bc2

27、ab2+2ab·cd =ac2+bc2+2ac·bc等式性質(zhì) a b2+2ab·cd（= ac+bc）2ab2+2ab·cd+cd2 >（ac+bc）2ab+cd2 >（ac+bc）2又 ab、cd 、ac 、bc均大于零ab+cd>ac+bc在 abb 中,bb>cb-cb+ 得 ab bb+cd>ac+bc cb -cbab+cd>ac+bc題目 75已知如圖， abc 中，cd ab ， d 為垂足，ct 平分 acb ， cm 為 ab 邊上的中線， 且 acd= dct= tcm= mcb求證： acb=90

28、 度題目 75 的證明：延長 ct 交三角形 abc 的外接圓于n，連結(jié) mn ，就 n 為弧 ab 的中點，所以mn ab ，又 cd ab ，mn cd dct= tnm又 dct= tcm tcm= tnmcm=nmcn 的垂直平分線必過點m ，又 cm 為 ab 邊上的中線， mn abab 的垂直平分線必過點m ， 即 m 為兩條弦的垂直平分線的交點，m 為三角形 abc 的外接圓的圓心， 因此 ab 為 abc 的外接圓的直徑； acb=90 度題目 76已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足，acb的平分線 cg 交 ab 邊上的中垂線于點g ，求證

29、： mc=mg題目 77已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，d 為垂足， cm 為 ab 邊上的中線， cd 是acb的平分線， ac=75cm, bd=80cm,求 cd 、cm 、ce 的長題目 78已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， e 為 abc 上一點， 且弧 ac= 弧 ce，又 ae 交 cd 于 m ，求證： am=cm題目 79（題 78 再變）已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，d 為垂足， e 為 abc 上一點，且弧ac= 弧ce，又 bc 交 ae 于 g，連結(jié) be求證： bg2= ab

30、3; be- ag·ge題目 80已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足， e 為 abc 上一點，且直線dc 于直線 be 交于 p，求證： cd2= dm· dp題目 81已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 為垂足， e 為 abc 上一點，且直線dc 于直線 be 交于 p，假如 cd 平分 ae ，求證：2dm· dp= be·ep題目 82已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， e 為 abc 上一點， 且弧 ac= 弧 ce，又直線ac 與直線 be 交于 h

31、 ，求證：ab=bh題目 83由題 44 變 求證：直角三角形兩條直角邊的和等于斜邊與內(nèi)切圓直徑的和；題目 84已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， mn 切 abc 與 c 點求證：bc 平分 dcn題目 85已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， mn 切 abc 與 c 點，af mn ， f 為垂足， ae mn ， e 為垂足， 求證： cd=ce=cf題目 86已知， abc 中， acb=90 度，以 bc 為直徑的圓交ab 于點 d ，以 ac 為半徑的圓交ab 于 點 e，求證： bce= dce題目 87（由

32、題 38 圖而變）求證：和兩定點距離之比等于定比（不為1）的點的軌跡是一個圓周；（提示：從（ 1）完備性、（ 2）純粹性兩方面來證明； ）題目 88作圖題：已知兩線段之和及積，求作這兩條線段；已知：兩線段m 和 n求作：兩線段x 及 y,使 x+y=m ， xy=n2補個圖（題 88 作法參考）ad 、bd 即為求作線段x 、y題目 89（由題 88 變）已知梯形 abcd如圖，求作始終線平行于梯形的底邊，且平分面積；題目 90利用下圖，證明：兩個正數(shù)之和為定值，就這兩個數(shù)相等時乘積最大；題目 89 作法：如圖，作兩腰的延長線交于點o，作 pbab 使 pb=oa ，連結(jié) op，以 op 為直

33、徑作半圓m ，由圓心m 作 mn op，交半圓于點n，再以 o 為圓心 on 為半徑畫弧交 ab 于點 e，作 ef bc 交 cd 于 f，就 ef 即為所求線段；題 91題 73 變設(shè) a、b、c、d 都是正數(shù)，滿意a/b=c/d,且 a 最大，求證： a+d>b+c題 92（人教版數(shù)學(xué)八年級下114 頁）在 rt abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， acd=3 bcd ，e 是斜邊 ab 的中點，ecb 是多少度？題 93（題 49 變）已知， 17cosa+13cosb=17,17sina=13sinb, 且 a 、 b 都是銳角， 求 a/2+ b

34、的值；題目 93 解：（構(gòu)造法）分別以 17、13 為邊作 abc ，使 ac=17 ， bc=13 ， cd 為 ab 邊上的高， 在 rt adc 中， ad=17 cosa ，在 rt bdc 中， bd=13 cosb ，cd=17sina=13sinb而 ab=ad+db=17cosa+13cosb=17，ac=ab, b= acb, a+2 b=180 度 a/2+ b=90 度；題 94已知如圖， abc 的 c 的平分線交ab 于 d ，交 abc 的外接圓于e， 如 cd·ce 等于 abc 面積的 2 倍求證： acb=90 度題目 95已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 為垂足， cm 平分 acb交 ab 于 m ，如 ac>bc求證： dcm=1/2· （