清華大學(xué)楊虎應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題參考答案20001

1、習(xí)題二1正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量XL N（4.55,0.108 2）.現(xiàn)在測(cè)試了 5爐鐵水，其含碳量分別為 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37.如果方差沒(méi)有改變，問(wèn)總體的均值 有無(wú)顯著變化？如果總體均值沒(méi)有改變，問(wèn)總體方差是否有顯著變化（:=0.05）?解 由題意知 X N（4.55,0.108 2）, n= 5,a =0.05，5展2 = u0.975 = 1.96，設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)H。：-0,Hi- -'-0拒 絕 域 為K°=|， 臨 界 值c =Ui_：/2 厶-1.96 0.108/ -0.0947，由于 反卩。| =|4.364 4.55 =0

2、.186 ac，所以拒絕 H。，總體的均值有顯著性變化.2 2 2 2設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) H。：二-°,已：二-c?0由于"二 ,所以當(dāng)=0.05時(shí)1 nS2 =遲（Xj _巴2 =0.03694，監(jiān).025（5） =0.83,尤爲(wèi)5（5） =12.83, n i哥G = 0.025（5）/ 5 = 0.166, c? = 0.975（5） / 5 = 2.567拒絕域?yàn)镵0.皆/二0 c或S2/；：“由于S2/V =3.167 2.567，所以拒絕H。，總體的方差有顯著性變化.2 一種電子元件，要求其壽命不得低于1000h .現(xiàn)抽測(cè)25件，得其均值為X =950h .已知該種

3、元件壽命 xL N（100f2），問(wèn)這批元件是否合格（=0.05）? 解 由題意知 xL N（100，二2），設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)H。一 ,比：0,一 100.： =0.05.拒絕域?yàn)镵0 =|X 卩0 >c臨界值為 c = u0.05 /需=u0.05 10Q：=-32.9由于X - = -50 ： c，所以拒絕H °，元件不合格.3某食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)裝罐頭食品，每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為500g，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的罐頭中隨機(jī)抽測(cè) 9罐，其重量分別為 510，505，498，503，492，502，497，506，495（g），假定罐頭重量服從正態(tài)分布.問(wèn)（1）機(jī)器工作是否正常（G =0.05）

4、? 2）能否認(rèn)為這批罐頭重量的方差為5.52 O =0.05）?解（1 ）設(shè)X表示罐頭的重量（單位：g）.由題意知XLN（；2）已知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) H。- J =500 ,比：'計(jì)，拒絕域K0=|x-% . c?當(dāng) 一 =0.05時(shí)，X =500.89, s2 =34.5,s =5.8737臨界值 c=ty2（n 1） ”s/JF =4.5149，由于 |X 出| =0.8889vc，所以接受H0，機(jī)器工作正常.（2）設(shè)X表示罐頭的重量（單位：g）.由題意知X L N（j二2），二已知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)H0 : ；2 -；2 = 5.52 , HroSyf拒絕域?yàn)镵0 -嘲;: &

5、心詢2匚0 ql當(dāng)=0.05時(shí)，可得X =500.89,/ =34.5，尤爲(wèi)5（5） = 2.7,鬻加=19.02,° = 0.3,g =2.11由于s2.匚；=1.0138 K。,所以接受H。，可以認(rèn)為方差為5.52.4某部門(mén)對(duì)當(dāng)前市場(chǎng)的雞蛋價(jià)格情況進(jìn)行調(diào)查，抽查某市20個(gè)集市上雞蛋的平均售價(jià)為3.399（元/500克），標(biāo)準(zhǔn)差為0.269（元/500克）.已知往年的平均售價(jià)一直 穩(wěn)定在 3.25 （元/500克）左右，問(wèn)該市當(dāng)前的雞蛋售價(jià)是否明顯高于往年？（:=0.05）解 設(shè)X表示市場(chǎng)雞蛋的價(jià)格（單位：元/克），由題意知xL N（F2）設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) H 0=% = 3.25,

6、比,拒絕域?yàn)镵0 = 'X - "0 - c/當(dāng)：=0.05 時(shí)，X =3.399,-0.269,n = 20，臨界值 c 二叫 二.A = 0.0992由于X - % = 3.399 - 3.25二0.149 - c所以拒絕H 0，當(dāng)前的雞蛋售價(jià)明顯高于 往年.5已知某廠生產(chǎn)的維尼綸纖度xL N（J,0.0482），某日抽測(cè)8根纖維，其纖度分別為1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，問(wèn)這天生產(chǎn)的維尼綸纖度的 方差二2是否明顯變大了（=0.05）?解 由題意知 X L N（,0.0482），二=0.05設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)H0:；2 =：璟

7、=0.0482,H1:；2 二2 =0.0482拒絕域?yàn)镵0 =s2；上02 &，當(dāng)二=0.05時(shí)，X =1.4213, S2 =0.0055，乂：.95（7） =14.07,。=兀95（7） =2.00962 2由于s .：上0 2.3988 c ,所以拒絕Ho，認(rèn)為強(qiáng)度的方差明顯變大.6某種電子元件，要求平均壽命不得低于2000 h，標(biāo)準(zhǔn)差不得超過(guò)130h.現(xiàn)從一批該種元件中抽取 25只,測(cè)得壽命均值1950h,標(biāo)準(zhǔn)差S = 148h.設(shè)元件壽命服從正態(tài) 分布，試在顯著水平：=0.05下，確定這批元件是否合格.解 設(shè)X表示電子元件的平均壽命(單位： h)，由題意知XL N(巴er2

8、)設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) H00=2000，H,：1 v%拒絕域?yàn)?K'.X - J0 <C?當(dāng)：=0.05時(shí)，X=1950,s=148，臨界值 c=t_(n- 1)s J =-50.64由于X-% = -50 c，所以接受H。，即這批電子元件的壽命是合格的.7設(shè)X1,X2,.,Xn為來(lái)自總體XL|N(i,4的樣本，已知對(duì)統(tǒng)計(jì)假H。：=1；出：=2.5的拒絕域?yàn)?x'x 211 )當(dāng)n =9時(shí)，求犯兩類(lèi)錯(cuò)的概率:與 一：；2)證明：當(dāng) n t 二時(shí)，：-0 ,- t0.解 (1 )由題意知 X N(*4), H0-1;比-2.5,K0 =X n =9.犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為f X

9、12 1、Of =P(X a2 A=1)=p| 二a亍79 =1.5 =1-0(1.5)=0.0668.犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率為P = P(X 蘭2»=2.5)=P V9 蘭V9 = -0.75< 2 2 丿=：(-0.75) =1-：(0.75) =0.2266.(2)若 H。：丄=1 成立，則 X LI N(1,4)n =P(否定 H。H0成立)=pX n% +c=1 _pX £ 卩0 + c = 1_6(Vnc/%)當(dāng) nr 時(shí)，叮(nc.u0)r 1,所以：rr 0(n ;)同理 =二P、Xvi0+c?=：(、n(%+c Jj/f)：(：)=0 (n > -

10、)8設(shè)需要對(duì)某一正態(tài)總體 N(i,4)的均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn) H。：=15 ,比：v 15 取檢驗(yàn)水平 a =0.05試寫(xiě)出檢驗(yàn) H0的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域.若要求當(dāng)H1中的=13時(shí)犯 第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 1 =0.05，估計(jì)所需的樣本容量 n.解 由題意知 XLlN(»4),二已知，設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) 1=15,：15則拒絕域?yàn)镵0=<X15£C)，其中臨界值C= %.05刃需=一3.3妬犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率一3 31=P X 15=34=13= p"X_132 亦二 3.3、< 0.05即（jn_1.65）王0.95，化簡(jiǎn)得 n >3.311.H

11、6;r - 0；H1 -J1 其中_ 201，試證明：n =（1_：.1_J 1、2（已巴）9設(shè)X1,X2，,Xn為來(lái)自總體XN（J；0）的樣本，二：為已知，對(duì)假設(shè):犯第一，二類(lèi)錯(cuò)誤分別為二，：，則有，-P（X 乜丄0 c|"0）= c = 50解（1）當(dāng)*>%時(shí)，由題意知H°r - J；比- r %；匕=P（X 乞 % cH - "i） = P（X 一"1 ,n 乞 U- "1一 .nH - *）= °071U1J I%已一卩0 25_：. U1n= n 二 5_：. U1 二（2）當(dāng)I。時(shí)由題意知H°。屮1宀-U:

12、二 P（X ： % c| %）= c 二 u冬，犯第一，二類(lèi)錯(cuò)誤分別為:，則有-0-np =P（X王氣+c岸=片）=P（X _片vn Ua+卩0 _比你卍=氣）二°0°0 0-卩' -0氣一氣廠5 內(nèi)=u + Jn n''-o斥二 n = （Uy+ U1）-2二021 010設(shè) Xt,.,X 仃 為2o ,樣）本，對(duì)假設(shè)：統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 H°Y2 =9,已U2 =2.905.拒絕域?yàn)?K0 S2 ”： 4.93則犯第一，二類(lèi)錯(cuò)誤的概率:-/分別是2 2Ho= =9,比：二=2.905 的拒絕域?yàn)?K0 s2 ：4.93?.求犯第I類(lèi)錯(cuò)誤的概率：

13、和犯第n類(lèi)錯(cuò)的概率-.ns2解由題意知 xLn（0,；2）, 2（n）.CT2:=p s2 < 4 2二 0.025二 P S ：4 卜 2= 3.319 =1-P917S217x4<= 20.488 =1 0.75 = 0.253.3193.31911設(shè)總體是密度函數(shù)是g)”0 兀10,其他統(tǒng)計(jì)假設(shè) H°=1,H1=2 .現(xiàn)從總體中抽取樣本X-X2 ,拒絕域3K = _X2 ，求：兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率 :-,:4X1解由題意知H0: J -1；H1 -2,K0 _X2 ,n =2.l4X1 J11,0 ： x<, x2 : 1 當(dāng)。“時(shí)，gTiugfsr 0,其他3ot

14、 = P蘭X2日=1<4X1)此時(shí)當(dāng)-2時(shí),f (x1,x2)dx1dx0.25 0.75In 0.75.4X2x,0 vx <1f(x；2八0,其他 .f(x1,x2)=4x,x2,0 x1,x2 :1I0,其他此時(shí)=p9911 f (x1, x2)dx1dx2In 0.75.3168x24為12設(shè)總體X L N（；2），根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)：H0 -0,比】（ ）仟已知）；H。一 ,比。（二未知），試分 析其拒絕域解由題意知X L N（r2），當(dāng)H。： - *屮1= 7（7。）成立時(shí)a =P(X 卩 ACc二_二 5 c u1 <, K0-/ . n、n所以

15、拒絕域?yàn)?K0 X -亠0 /當(dāng)Ho*。, Hiio成立時(shí)二 P(X卩 £C 卩出)KP(X 4。£C)=cr-n,Ko7。： C所以拒絕域?yàn)镵o=、X - "0 ：: C /13設(shè)總體X L N(d；2)根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè):H。： ；2 = =；, H1 : ；2 三(已知)；Hoco, H1 r2試分析其拒絕域解由題意知XN(巴<r2)(1 )假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為Ho2=r(2，Hi2(2其中已知當(dāng)H。成立時(shí),拒絕域形式為Ko =>cJ2 2亠 ns ns 由-oLI 2(n)，可得:-=P2 ns-0>ncJ所以nc二!-.(n)

16、，由此可得拒絕域形式為2、-oKo =1> nijn)(2)假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 HoU2 vnHiU2。其中"未知當(dāng)H。成立時(shí)，選擇拒絕域?yàn)镵o =4>c，由(n-1)s2:二22(n-1)622 、"1c汗呼"1c所以(n -1)c = 2_-.(n -1)，由此可得拒絕域形式為Ko =12 s2 -014從甲、乙兩煤礦各取若干樣品，得其含灰率（為，甲:24.3, 20.8, 23.7, 21.3,2 217.4,乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服從正態(tài)分布且G =6，問(wèn)甲、乙兩煤礦的含灰率有無(wú)顯著差異（： =0.05）？

17、解 由題意知 XN（叫，；2）,Y _ N（2Q2）設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H0:叫n/H*叫-其中m=5,n2=4當(dāng)=0.05時(shí)拒絕域?yàn)?K0 =|X y| >c= 2.2136(n1-1)s2 血-饑； 彳 片+ n2 _22.3238,t./2(n1 n2 - 2) =2.3646臨界值 c=ti.2(n1+n2 -2) q、.、1/ (m 1 n2) = 3.6861拒絕域?yàn)镵0 =飯0卜c = 3.6861而x-y =3.c,接受H°,認(rèn)為沒(méi)有差別.15設(shè)甲、乙兩種零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造簡(jiǎn)單，造價(jià)也低經(jīng)過(guò)試驗(yàn)獲得它們的抗拉強(qiáng)度分別為（單位：kg/cm 2）:甲：8

18、8，87，92，90，91乙：89，89，90，84，88假定兩種零件的抗拉強(qiáng)度都服從正態(tài)分布，且二；=；打.問(wèn)甲種零件的抗拉強(qiáng)度是否比乙種的高（:-=0.05）？解 由題意知 X L N（叫f2）,Y _ N（2,二2）設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H0:叫=訕出1 = "2，其中n 1=5,n2=5當(dāng):=0.05時(shí)I2 丄2丸=-彷（n2"1）s2 =2.2136151 52-2）1.86,厲壓-2臨界值 C=t1_： 2（門(mén)1+門(mén)2 -2） Sw ,1/（5 1.） =2.2136= 1.6：c,所以接受Ho，認(rèn)為甲的抗拉強(qiáng)度比乙的要高16甲、乙兩車(chē)床生產(chǎn)同一種零件 個(gè)，測(cè)得其外徑（單

19、位：mm）為：甲：15.0，14.5，15.2，15.5, 乙：15.2, 15.0，14.8，15.2, 假定其外徑都服從正態(tài)分布，（:=0.05）？.現(xiàn)從這兩車(chē)床產(chǎn)生的產(chǎn)品中分別抽取8個(gè)和914.8，15.1，15.2，14.815.0，15.0，14.8，15.1，14.8問(wèn)乙車(chē)床的加工精度是否比甲車(chē)床的高解 由題意知 X L N（叫，；2）,Y _ N（2,；2）2 2 2 2設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 H0：g - - 2；H11 :;2，其中 n1=8,n2=9當(dāng) cc=0.05時(shí) s： =0.0955,s： =0.0261，臨界值。=卩少-1,匕-1） = 0.268422拒絕域?yàn)镵0 =烏:

20、c，而F =電=3.6588 c，接受H0，認(rèn)為乙的精度高 勺jsy17要比較甲、乙兩種輪胎的耐磨性，現(xiàn)從甲、乙兩種輪胎中各取8個(gè)，各取一個(gè)組成一對(duì)，再隨機(jī)選取8架飛機(jī)，將 8對(duì)輪胎磨損量（單位：mg）數(shù)據(jù)列表如下：Xi （甲）4900522055006020634076608650 4870yi（乙）49304900514057006110688079305010試問(wèn)這兩種輪胎的耐磨性有無(wú)顯著差異？G =0.05）.假定甲、乙兩種輪胎的磨損量分別滿足X|_ N（叫，二2）,丫 _ n（2,；2）且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立.解 由題意知 X N（叫芒2）,丫 _ n（）2&2）設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 H

21、門(mén)叫二”2*7"2，其中n-i = n2 = n=8當(dāng)=0.05時(shí)，令_ 1 n _ 2Z=X Y,W=320,s；=送（z 乞）=102200, Sz =319.69乙應(yīng)2（ n1） = 2.3646 n -1 y拒絕域?yàn)?心=吃|>"，臨界值c=t1a2（n1）-sz 'Jn= 2138而Z = 320 v c，所以接受H °，認(rèn)為兩種輪胎耐磨性無(wú)顯著差異2 218設(shè)總體X|_ NCi；）,Y_ N（2,匚）,由兩總體分別抽取樣本X : 4.4, 4.0, 2.0, 4.8 Y : 6.0, 1.0, 3.2, 0.42 21 ）能否認(rèn)為 7 =

22、 J C =0.05）? 2）能否認(rèn)為；i =；2 C =0.05）?解（1）由題意知 X L N（叫,二2）,丫 _ N（2,二2）設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 H0:叫=甘已：叫，其中n<i=n2=4二n2 1 “ 2令 z =X -Y，則有 N=1.15,s2 =Z （Z Z） =9.0233， n1 y當(dāng):=0.05時(shí)，c二帚一 2（n-1）=3.1824， c=t）.2（n-1）足/ . n = 4.78拒絕域?yàn)镵。=z >c，而Z =1.15<c，所以接受H。,認(rèn)為卩1 =巴.由題意知X N（叫,；2）,y_ n（2&2）設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 HoufrjlHjF2 =匚：，其中

23、n<i = n2=4二n其中 s2 =1.5467,sy =6.4367，拒絕域?yàn)? 2K0 二算:q或 Sl >c2SySyJ臨界值 c = F./2（ni -12 -1）=0.0648, Q 二片_：.2（n1-1,n?-1） = 15.43922而 F =與=0.2403,接受H。,認(rèn)為二；??；.Sf19從過(guò)去幾年收集的大量記錄發(fā)現(xiàn)，某種癌癥用外科方法治療只有2%的治愈率.一個(gè)主張化學(xué)療法的醫(yī)生認(rèn)為他的非外科方法比外科方法更有效.為了用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證實(shí)他的看法，他用他的方法治療200個(gè)癌癥病人，其中有 6個(gè)治好了 .這個(gè)醫(yī)生斷言這種樣本中的3%治愈率足夠證實(shí)他的看法 .（1）試用

24、假設(shè)檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)這個(gè)醫(yī)生的看法；（2）如果該醫(yī)生實(shí)際得到了4.5%治愈率，問(wèn)檢驗(yàn)將證實(shí)化學(xué)療法比外科方法更有效的概率是多少？解（1）記每個(gè)病人的治愈情況為 X，則有XL B（1, p）設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 H0:p p0=0.02;比:卩乞p0 =0.02，其中n =200=0.05 拒絕域?yàn)镵° =以p° "，臨界值c =氣勺Jp0"： pJ = 0.0163而 X - p0 =0.01 ： c,拒絕 H0,不能認(rèn)為 p 0.02.(2)不犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率P°(1 p°)+ p0 p=4.5%由 XL B(1, p)，可得由中心極限定理得

25、Ui_：.Po(1 - Po) n p。- pP(1- P) np =4.5%J一 e.645j2%(1 2%)/'200 +2% 4.5%iJ4.5%(1 -4.5%),200:= 0.7220在某公路上，50min之間，觀察每15s內(nèi)通過(guò)的汽車(chē)數(shù)，得下表通過(guò)的汽車(chē)數(shù)量0 1 2 3 4>5次數(shù)f92 68 28 11 10問(wèn)能否認(rèn)為通過(guò)的汽車(chē)輛數(shù)服從泊松分布(:=0.10)？解 設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 H 0: F (x) = F0 (x), HF (x) = F0 (x), n = 200.： = 0.10- 1 4斤)?若H°成立，?？ = X=-E 冋=0.805記 p

26、j = P(x-j) = e洸 j二234,則有 n j兇j!B =e鼻e.805 =0.4471,口 =0.805* p0 =0.3599, p2 二0805* 以=0.144920.8050.805/P3* P2 =0.0389, P4* 必=0.0078, P5 =1Pj =0.0014,34j0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為25 (s _np.)汽=2.1596£ 可/m-r -1)=盂95= 9.848j£npj不拒絕H0,認(rèn)為X P( ),且=0.805.21對(duì)某廠生產(chǎn)的汽缸螺栓口徑進(jìn)行100次抽樣檢驗(yàn)，測(cè)得 100數(shù)據(jù)分組列表如下:組限10.93 10.9510.95 10

27、.9710.97 10.9910.99 11.01頻數(shù)582034組限11.01 11.0311.03 11.0511.05 11.0711.07 11.09頻數(shù)17664試對(duì)螺栓的口徑 X的分布做假設(shè)檢驗(yàn)(:=0.05).2解設(shè)X表示螺栓的口徑， XL N(二)，分布函數(shù)為F(x)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為Ho: F(x)二 Fo(x), Hi： F(x) = Fo(x)，其中 n =100,:二 0.05,r = 2在H。成立的情況下，計(jì)算得? =X =1、Xj Vj =11.0024,(Xj -亠)2 Vj =0.0010188 i8 i 4由 .-11-002n(0,1)0.00319X。10.93

28、-11.00240.00319=2.2689,111, x8 J1"9九0024 = 2.74520.00319所以Pl - G(X1)：(x0)=0.0386,11(, P8 -：(x8)：(X7)=0.0140；J 3.825 二(m-r -1)=20.95 (5) =11.07檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為jmnpj由此應(yīng)該 拒絕H°,不能認(rèn)為X2).22檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，每次抽取10個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)，共抽取 100次，得下表:次品數(shù)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10頻數(shù)35 40 18 5 1 1 0 0 0 00問(wèn)次品數(shù)是否服從二項(xiàng)分布(:=0.05)？解 設(shè)X表示抽取的次品

29、數(shù)，XL N(.L,二2)，分布函數(shù)為F (x)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H°:F(x)二 F°(x), H1:F(x) = F°(x)，其中 n =10,： =0.05X 1 N在H°成立的情況下，?jVjN N jz0 j計(jì)算得Pj 二cNpj(1 p)N = j ",1川,10；P0 二 G0p0(1-?)10 =0.3487,5 二孔卩七-？)9 =0.3874, P2 二 G：p2(1-P)8 =0.1937P3=G30P3(1-P)7 =0.0574, p1C；0p10(Vp)0=1040,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為 00202210' j - n

30、pj22瓷=送 =5.1295 £ /(mr 1)=瞪95(9) = 16.92j 衛(wèi)npj因此 不拒絕H0,認(rèn)為X B(10,0.1).23請(qǐng)71人比較A、B兩種型號(hào)電視機(jī)的畫(huà)面好壞，認(rèn)為A好的有23人，認(rèn)為B好的有 45人，拿不定主意的有3人，是否可以認(rèn)為 B的畫(huà)面比 A的好(:=0.10)？解設(shè)X表示A種型號(hào)電視機(jī)的畫(huà)面要好些，Y表示B中型號(hào)電視機(jī)畫(huà)面要好些分布函數(shù)分別為 Fx(x)，F(xiàn)y(x)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H0 : FX(xFY(x),H1:FX(xFY(x), N =10,n = 100m =0.05 由題意知 n+=23， n =45, n=n + + n_檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 s

31、= min( n .,n J而s = 23 ： S-.(68) = 25，所以拒絕H 0,認(rèn)為B的畫(huà)面好.24為比較兩車(chē)間(生產(chǎn)同一種產(chǎn)品)的產(chǎn)品某項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)情況，各依次抽取12個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)量，得下表甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84問(wèn)這兩車(chē)間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)分布是否相同(:-=0.05)？解 設(shè)X,Y分別表示甲乙兩車(chē) 間所生產(chǎn)產(chǎn)品的指標(biāo)分布，分布函數(shù)分別Fx (x) Fy(x)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H 0 :Fx(x) = Fy(x)

32、,H1 :Fx(x) j- Fy(x),.-，- 0.05, n = m = 12,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和 T，易知T的樣本值為T(mén) =112且TLI N (150,300)拒絕域?yàn)長(zhǎng)1K° =< u >u 口>I匕丿而u =2.194 >U0.975 =1.96，所以拒絕H。,認(rèn)為指標(biāo)分布不相同.25觀察兩班組的勞動(dòng)生產(chǎn)率(件/h)，得下表：第1班組28 33 39 40 41 42 45 46 47第2班組34 40 41 42 43 44 46 48 49問(wèn)兩班組的勞動(dòng)生產(chǎn)率是否相同(用=0.05)？解 設(shè)X,Y分別表示兩個(gè)組的勞動(dòng)生產(chǎn)率，分布函數(shù)分別為FX(x

33、), Fy(x)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H0: Fx (x) =Fy(x), H1 : Fx (x) = Fy(x),- 0.05,n =9,m =9檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和 T，易知T的樣本值為T(mén) = 73 拒絕域形式為Ko -T 小 UT其中ti<t2而訊9,9)=66飛(9,9) =105， 因 此 T K。， 所 以接受H。,認(rèn)為勞動(dòng)生產(chǎn)率相同26觀觀察得兩樣本值如下：I2.363.147.523.482.765.43 6.54 7.41n4.384.256.543.287.216.54問(wèn)這兩樣本是否來(lái)自同一總體(：=0.05) ?解 設(shè)X,Y分別表示i,n兩個(gè)樣本，分布函數(shù)分別是Fx (x), F

34、y(x)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為Ho： Fx(x)二 Fy(x), Hi： Fx(x Fy(x),.： =0.05,n=6,m = 8,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和T ,易知T的樣本值為T(mén) = 49拒絕域形式為K。T 7UT 戈！,其中t1<t2而如6,8)=32花(6,8) =58，因此T K。，所以接受H。,認(rèn)為來(lái)自同一總體27某種動(dòng)物配偶的后代按體格的屬性分為三類(lèi)，各類(lèi)的數(shù)目是：10, 53, 46,按照某種遺傳模型其比率之比應(yīng)為：p22則?0=p =1.33 =0.1121 ? =2 ?(1_p) =0.4454 假=(1一 ？ = 0.4424拒絕域?yàn)镵° 一 2 .二.（m_r -1）?

35、: 2 p(1 - p): (1 - p)2，問(wèn)數(shù)據(jù)與模型是否相符(： =0.05)?解設(shè)體格的屬性為樣本 X，由題意知XLI B(2,1 -p)其密度函數(shù)為 f(x)，其中 f (x, p) -C2<p2"(V p)x x =0,1,2統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H0：F(x) = F°(x),H1：F(x)HF°(x)似然函數(shù)為nnx 2 *x2n -nxnx為L(zhǎng) 二川 C2 p (1-p) =p (1-p) |丨 C2i =1i 母解得最大似然統(tǒng)計(jì)量為p = 1- *222 w(¥j n?j )22而 瞪=送 =0.9134 c £打(mr1)=瞪9

36、5(9) =3.8414j 衛(wèi)npj所以不拒絕H o,認(rèn)為與模型相符28 在某地區(qū)的人口調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：15729245個(gè)男人中有3497個(gè)是聾啞 人.16799031個(gè)女人中有3072個(gè)是聾啞人.試檢驗(yàn) 聾啞人與性別無(wú)關(guān)”的假設(shè)(:=0.05).解 設(shè)X表示男人中聾啞人的個(gè)數(shù)，Y表示女人中聾啞人的個(gè)數(shù)，其分布函數(shù)分別表示為FX(x)， FY(x).統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H。： F(x, y)二 Fx(x)Fy(x),H1:F(x)= Fx(x)Fy(x)拒絕域?yàn)镵0 2 二(m -r -1)?10而2八j=0(Vj - n?j)2n?j=62.64 a (m r 1)=益95(1)= 3.84所以拒絕H。,

37、認(rèn)為聾啞與性別相關(guān)29下表為某藥治療感冒效果的聯(lián)列表：療 效兒童成年老年嘰一般583832128較差284445117顯著23181455n j10910091300試冋該藥療效是否與年齡有關(guān)(a =0.05)?解 設(shè)X表示該藥的療效與年齡有關(guān)，Y表示該藥的療效與年齡無(wú)關(guān)，其分布函數(shù)分別表示為 FX (x), FY(x).統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H° ： F(x,y) =Fx (x)Fy(x)H : F (x,y) = Fx(x)Fy (x),r =3,s = 3,二=0.05,拒絕域?yàn)镵° 小 2.12_：.(m_r -1”2“10 (匕一 np?j )”而 人=送 -=13.59石/

38、口 1)=上0 95(4) =9.488 j 門(mén)優(yōu)所以拒絕H°,認(rèn)為療效與年齡相關(guān)30某電子儀器廠與協(xié)作的電容器廠商定，當(dāng)電容器廠提供的產(chǎn)品批的不合格率不超過(guò)3%時(shí)以高于95%的概率接受，當(dāng)不合格率超過(guò)12%時(shí)，將以低于10%的概率接受.試為驗(yàn)收者制訂驗(yàn)收抽樣方案.解 由題意知，Po = 0.03, P1 = 0.12,= 0.05, - _ 0.1d - np、np丄1-P)代入式子L( p)選用式子 L =P(X Ed) =P(U <計(jì)算求得n =66,d = 4，于是抽查方案是：抽查66件產(chǎn)品，如果抽得的不合格 產(chǎn)品X <4，則接受這批產(chǎn)品，否則拒絕這批產(chǎn)品31假設(shè)

39、一批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo) XL N（d；2）（匚2已知），要求質(zhì)量指標(biāo)值越小越 好.試給出檢驗(yàn)抽樣方案（n,c）的計(jì)算公式.若二2未知，又如何確定檢驗(yàn)抽樣方案（n, c ）?若質(zhì)量高時(shí)指質(zhì)量指標(biāo)在一個(gè)區(qū)間時(shí)，又如何確定檢驗(yàn)抽樣方案（n, c）?解（1）解方程組（甩+嚇戸卩0-已2 * 2若二未知，用M2估計(jì)二，從而得出公式*、2+u目）M2代入樣本數(shù)據(jù)得到：畀=0.0589啟=24.6286習(xí)題四1下表數(shù)據(jù)是退火溫度 x（ 0C）對(duì)黃銅延性 效應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果， 是以延伸率計(jì) 算的，且設(shè)為正態(tài)變量，求對(duì)x的樣本線性回歸方程.x(0C)300400500 600 700 800y(%)4050556067

40、70解利用回歸系數(shù)的最小二估計(jì):l xyl xx其中l(wèi)xynn2 2八 Kyi 一 nxy,lxx 二' x 一 nxi =1i d樣本線性回歸方程為：#=24.6286 0.0589x2證明線性回歸函數(shù)中(1)回歸系數(shù)的置信水平為1-r的置信區(qū)間為 ？_ I，t(n-2);J.- lxx(2)回歸系數(shù)'o的置信水平為1 -:-的置信區(qū)間為？0二':?1 X-一t. (n2).n l xx證(1)由于固口 N耳,2、alxx ，所以 11. lxxL N 0,1cr又因?yàn)?Ml 2( n-2)，故；?罕2 L 2(n-2) (5a-IfJ<1Dp-7.1pJxlp

41、Rr- 汐.<c= t n_2Jxx 1TA的置信水平為1 -a的置信區(qū)間為1?±/=1軟(n2) '：fl XX1 _ 2(2)由?o N( -o,(-呂)匚2)，得n l_其中所以2xx0丨- lxxLN0,1 , ?罕2 L 2(n-2) , ?o 與;:?2 相互獨(dú)立,-1 xcr + n lxx所以:根據(jù)1 -:1 +又21 xx1 xx=P 牛*n2) =P理(n-2)得到：o的置信度為1-：的置信區(qū)間3某河流溶解氧濃度（以百萬(wàn)分之一計(jì)）隨著水向下游流動(dòng)時(shí)間加長(zhǎng)而下降現(xiàn)測(cè)得8組數(shù)據(jù)如下表所示 .求溶解氧濃度對(duì)流動(dòng)時(shí)間的樣本線性回歸方程，并以:=0.05對(duì)回歸

42、顯著性作檢驗(yàn)流動(dòng)時(shí)間t （天）0.51.01.61.82.63.23.84.7溶解氧濃度（百萬(wàn)分之一）0.280.290.290.180.170.180.100.12解利用丄1tt 同* -其中1ntTi=1ti Yi -nty,lttnti2 -i=1nF2? = 0.3145-0.0472t代入樣本數(shù)據(jù)得到：畀=-0.0472,児=0.3145所以，樣本線性回歸方程為： 拒絕域形式為：而空嚴(yán)，c=0。58任0Q022，所以回歸模型不顯著4假設(shè)X是一可控制變量，丫是一隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布現(xiàn)在不同的X值下 分別對(duì)丫進(jìn)行觀測(cè)，得如下數(shù)據(jù)估計(jì)；(2) 求回歸系數(shù)-、腎、二2的置信度為95%勺置信

43、區(qū)間；(3) 檢驗(yàn)丫和X之間的線性關(guān)系是否顯著(:-=0.05);(4) 求丫置信度為95%勺預(yù)測(cè)區(qū)間；(5) 為了把丫的觀測(cè)值限制在(1.08,1.68)，需把x的值限制在什么范圍？(: =0.05)L? lxynn 2 _ 2lxy=2： Xiy nxy,lxx =送 x nx 計(jì)算得i-i丄解(1)利用1lxx其中l(wèi)?xx i0.250.370.440.550.600.620.680.700.73yi2.572.312.121.921.751.711.601.511.50Xi0.750.820.840.870.880.900.951.00yi1.411.331.311.251.201.1

44、91.151.00(1) 假設(shè)X與丫有線性相關(guān)關(guān)系，求丫對(duì)X樣本回歸直線方程，并求DY h2的無(wú)偏? - -2.0698,= 3.0332所以，樣本線性回歸方程為：? = 3.0332 2.0698X，:譏0.002015根據(jù)第二題，的置信區(qū)間為 図±j=t 口(n -2),代入值計(jì)算得到:4 r1-2.18251.9571 ,：0的置信區(qū)間為仏+ *衛(wèi)（n 2）,l xx 2代入數(shù)值計(jì)算得到:02.95069,3.1160 .(3)根據(jù)F檢驗(yàn)法，其拒絕域形式為K。小晉 dcP_而c t -.(n -2),顯然：1 K。，所以丫和X之間具有顯著的線性關(guān)系 lxx r_ 2(x X )

45、yLN(o,(-1 -2)n令s(x)二_ 2X_xxx11 -nN(0,1)(n -2)；?2L 2(n® ,：爲(wèi)-叫2)1 XX則有 y (?-, s(x) ?t;.(n-2)，W .s(x)；鞏_：.(n-2)2-2根據(jù)的結(jié)論，令 ？ 両-1.68,？ 麗t _ -1.0822解得 x (0.7802,0.8172)5證明對(duì)一元線性回歸系數(shù)區(qū),畀相互獨(dú)立的充分必要條件是x = 0 .證"="cov(00,i?)=e(i?0 九 朋-)=(y -氏x(chóng)-油)=E(y f?-腎x - 0。盡-州+打際+禮打)二y “ -xe ? -：0 “ -y “ x ：0一x

46、 E - I22£腎=D +(E 弭)2 = + 幷2lxx若要 cov( ?0, ? )=0 ,那么 X = 0 反之顯然也成立，命題的證.6設(shè)n組觀測(cè)值(Xi，yJ(i =1,2,., n)之間有關(guān)系式：1 n yi =札 + PXi X) + 8j, E i N(0,02 )(i =1,2，,n)(其中 X =遲 x)，且n y1, 2,，；n相互獨(dú)立(1)求系數(shù)'-0 , !的最小二乘估計(jì)量?0, ?1 ；nnn1 n 證明' (yi _y)2二為(yi- ?i)2'(?i- y)2，其中 y 二一'yii:i =1i =1n iw求p0, ?

47、的分布.解 最小化殘差平方和：sE% 一 一 (務(wù)-力2求-0,+的偏導(dǎo)數(shù)_S2'-02X lyi-o-i(Xi-x) = O,2 lyj-o-i(Xi-x)(Xi-x)=O二 i得到:?o 二 y, ?I xyI xx易知n' y _ yi =4n=11i=42-ynn=e(% y?)2+(? y)2 + 空(y-和？-y)i =4i=4其中？=鳧+屛（x x）=y+®（x -x），將其代入上式可得1 xxn、W -？）（？ -y） =oi 4nnn所以，、® -y）2 八 -？）2 亠二（？ -y）2i 4i 4i 42N（oL）,?0=y,?0NC。,

48、石）口 2同理，易得二図 N（P廠）lxx7某礦脈中13個(gè)相鄰樣本點(diǎn)處某種金屬的含量 Y與樣本點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的距離 X有如下觀測(cè)值x i23457810yi106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49x i111415161819yi110.59110.60110.90110.76111.00111.20b 分別按(1) y =a b x ； (2) y = a blnx ； (3) y = a .x建立丫對(duì)x的回歸方程，并用相關(guān)系數(shù) R = Ji-冬 指出其中哪一種相關(guān)最大 St解（1）令v = , x, a bv，根據(jù)最小二乘法得到，正規(guī)方程:?丄L lv

49、v，最后得到 屛=1.1947,% =106.3013?0 =y - ？v所以：樣本線性回歸方程為：y? = 106.3013 1.1947, R 0.8861(2)令 v = I n x, y = a bv彳 1 lvv ，得到 氏=1.714,氏=106.3147”。=y 屛v所以：樣本線性回歸方程為：?106.3147 - 1.714ln x , & =0.93671令 v , y = a bvx lw ，得到宦=111.4875,00 =9.833 宦0 = y -附所以：樣本線性回歸方程為：？ “11.4875-9.833, x , R3 = 0.987綜上，R ： R, : R3,所以第三種模型所表示的X與Y的相關(guān)性最大.8設(shè)線性模型鼻=01 +色 « y2 =2優(yōu)筠 點(diǎn)3 = Pt +2筠+龜其中N(0,；2) ( i =1,2,3.)且相互獨(dú)立，試求'：1、'-2的LS估計(jì).解令_1 0 1丫 =(%肆2小，x =1 , B =(01,02)丁，名=佝,®,宛)1 2 j則線性模型可轉(zhuǎn)化為Y = X 1；根據(jù) sE |Y-X ： 2 =YTY -2YTxF FTXTX ：,令孕=04可得 J XTXxty即網(wǎng)=1