第五章定積分及其

1、第五章定積分及其應用一、本章要點二、例題選講一、本章要點1、定積分定義：分割、取近似、求和、取極限.( )0f x 當時，badxxf)(2、定積分的幾何意義：表示曲邊梯形的面積.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf,)(上有界在函數(shù)baxf且只有有限個第一類間斷點 3、函數(shù)可積條件:.,)(可積在baxf4、定積分的性質(zhì)：（1）線性運算性質(zhì) （2）對積分區(qū)間的可加性 （3）單調(diào)性 （4）積分估值不等式 （5）定積分中值定理, ,)(bacxfxattfxd)()(定理定理1. 若 , ,a b在上可導( )( ).xf x且( )xaf t dt積分上限函數(shù)( )x 積分5、積分

2、上限函數(shù)及其導數(shù)、積分上限函數(shù)及其導數(shù)則積分上限函數(shù)定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理）變限積分求導:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfxd( )ddxaf ttx( )f x( ( )x可導( ( ),( )xx可導( )d( )ddbxf ttx ( )( )fxx ( )x可導( 微積分基本公式)xxfbad)(積分中值定理)(abf)()(afbf微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茲公式6 6、牛頓、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 (n

3、-l(n-l公式公式) )( )( ) , f xf xa b設是連續(xù)函數(shù)在上的一個原函數(shù)，)()(d)(afbfxxfba則 baxf)( 7、定積分的換元法、定積分的換元法 設函數(shù), ,)(bacxf函數(shù))(tx滿足:1)2) ,( ,) 或上具有連續(xù)導數(shù),( ),atb且;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t則( ) t在換元公式也可反過來使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或湊微分f)(t)(dt湊微分不換限tfd)(t)(ttfd)(t)(t(換元公式)( ), ( ) , ,u xv xa b設在上有連續(xù)的導數(shù)則( )( )dbau x v xxabbaxxvxu

4、d)()(dbauvxuvabdbau v xbaudv或uvabdbav u簡記為定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式應用公式的關鍵是選擇應用公式的關鍵是選擇 u , v ，次序仍然是：，次序仍然是：對對、反反、冪冪、三三、指指( ) ( )u x v x8、定積分的分部積分法、定積分的分部積分法（1）、平面圖形的面積）、平面圖形的面積直角坐標情形直角坐標情形如圖曲邊梯形:xxfad)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfabad)(其面積為其面積為面積元素面積元素 ( )( )daf xg x dx ( )( )baaf xg x dxab)(xfy )(xgy 上支上支-下支下支其

5、面積為其面積為面積元素面積元素如圖所圍圖形:9、定積分在幾何上的應用、定積分在幾何上的應用如圖所示平面圖形如圖所示平面圖形:其面積為其面積為 ( )( )dcayy dycddyy y)(yx ( )xy右支右支-左支左支 ( )( )dayy dy面積元素面積元素極坐標情形：極坐標情形：如圖曲邊扇形:)(r x dd)(21d2a面積為:d)(212a 面積元素 :2 ( )xdvf xdxxyo2 ( )bxavf xdx)(xfy 、旋轉(zhuǎn)體的體積2 ( )dycvydy 2 ( )ydvydy )(yx xyocd、平行截面面積為已知的立體的體積xxavd)(dxxavbad)(xabx

6、)(xa繞 x 軸繞 y 軸(3). 平面曲線的弧長曲線弧l:弧長元素:xyd12弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs直角坐標情形:)()(bxaxfyl:)()()(ttytx弧長元素弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs參數(shù)方程情形:l:)( ( ) 22()()dsdxdy22( )( ),d22( )( ).sd極坐標情形, ),()(cxf若則定義xxfd)(0( )df xx0( )df xx( ) ,),f xc a若( )daf xxlim( )dtatf xx( ), ,f xcb設（( )dbf xxlim( )d

7、bttf xx則定義則定義無窮限的反常積分無窮限的反常積分:11、反常積分 )(xfa)()(aff)(xfb)()(fbf)(xf)()(ff,)()(的原函數(shù)是若xfxf若, ),)(bacxf而 b為f(x) 的瑕點，( )dbaf xx 則定義limtb( )dtaf xx,)(,)(外連續(xù)上除點在若bcacbaxf而點 c 為f(x)的瑕點 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(則定義, ,()(bacxf點 a 為f(x)的瑕點.( )dbaf xxlim( )dbttaf xx則定義無界函數(shù)的反常積分無界函數(shù)的反常積分:)()(afbf( )baf x記為,)()(的

8、原函數(shù)是設xfxf)()(afbf( )baf x記為)()(afbf( )baf x記為12、奇偶函數(shù)在關于原點對稱區(qū)間上積分的性質(zhì)：、奇偶函數(shù)在關于原點對稱區(qū)間上積分的性質(zhì)：偶倍奇零偶倍奇零()( ),fxf x若aaaxxfxxf0d)(2d)(則()( ),fxf x 若0d)(aaxxf則13、瓦里茲公式、瓦里茲公式 20dsinxxinn20dcosxxn(1)!0!,nni n 為正偶數(shù)(1)!1!,nni n 為正奇數(shù)0i20dx,2201dsinxxi1其中!nnn表示不超過 的與 具有相同奇偶性的正整數(shù)的乘積.例例1. 計算).0(d022axxaa解解: 令,sintax

9、 則,dcosdttax ;0,0tx時當.,2tax時 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyas且另解另解: :由定積分的幾何意義220aax dx等于圓的第一象限部分的面積24a二、例題選講例例2. 計算.d12240 xxx解解: 令, 12 xt則,dd,212ttxtx,0時當x,4時x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 且 例例3. 計算.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin0212102d1xxx12)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231機動 目錄 上頁 下