第八章多元函數(shù)微分學(xué)單元自測題1

1、第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題第八章第八章 小結(jié)小結(jié)一、空間解析幾何簡介一、空間解析幾何簡介理解空間直角坐標(biāo)系，認(rèn)識并會畫簡單的空間曲面理解空間直角坐標(biāo)系，認(rèn)識并會畫簡單的空間曲面（平面、柱面、球面、橢球面、橢圓拋物面、錐面）（平面、柱面、球面、橢球面、橢圓拋物面、錐面）二、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性二、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性三、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算（本質(zhì)：一元函三、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算（本質(zhì)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）數(shù)的導(dǎo)數(shù)）四、全微分的概念與計(jì)算四、全微分的概念與計(jì)算dyyzdxxzdz 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題五、多元復(fù)合函數(shù)

2、求導(dǎo)法（畫出各變量間的函數(shù)關(guān)系五、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法（畫出各變量間的函數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)圖，看圖寫公式）結(jié)構(gòu)圖，看圖寫公式）六、二元隱函數(shù)求導(dǎo)法六、二元隱函數(shù)求導(dǎo)法,0),(),(確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)是是由由方方程程設(shè)設(shè) zyxfyxzzzyzxffyzffxz ,zuvyx),(),(),(yxvyxuvufz 如如xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 則則第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題七、二元函數(shù)極值的概念及其求法七、二元函數(shù)極值的概念及其求法1 1、解方程組、解方程組 0),(0),(yxfyxfyx2 2、).,(),(00yxyxf的的所所有有駐駐點(diǎn)點(diǎn)得得),

3、(),(),(000000yxfcyxfbyxfayyxyxx 設(shè)設(shè)值值大大為為極極小小且且)(),(),0( 0, 0) 1 (002yxfaabac 。可可能能是是也也可可能能不不是是極極值值),(, 0)3(002yxfbac 不不是是極極值值),(, 0)2(002yxfbac 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題八、二元函數(shù)的最值八、二元函數(shù)的最值九、條件極值九、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法1 1、有界閉區(qū)域、有界閉區(qū)域 上二元連續(xù)函數(shù)上二元連續(xù)函數(shù) 的最值：的最值：),( yxfd的的邊邊界界值值及及在在內(nèi)內(nèi)部部所所有有駐駐點(diǎn)點(diǎn)處處的的函函數(shù)數(shù)在在求求出出d

4、dyxf),(較較大大小小。上上的的最最大大、最最小小值值，比比2 2、實(shí)際問題求最值，、實(shí)際問題求最值， 內(nèi)部唯一駐點(diǎn)必為最值點(diǎn)情形。內(nèi)部唯一駐點(diǎn)必為最值點(diǎn)情形。d1 1、構(gòu)造拉格朗日函數(shù)、構(gòu)造拉格朗日函數(shù))(),(),(),(為為參參數(shù)數(shù) yxyxfyxl 附附加加條條件件目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)或或0),(.),(min)max(yxtsyxfz 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題2 2、求駐點(diǎn)，即解方程組、求駐點(diǎn)，即解方程組 0),(0),(),(0),(),(yxlyxyxflyxyxflyyyxxx 該點(diǎn)是否為真的條件極值點(diǎn)，往往據(jù)問題性質(zhì)可判斷。該點(diǎn)是否為真的條件極值點(diǎn)

5、，往往據(jù)問題性質(zhì)可判斷。滿足該方程組的點(diǎn)滿足該方程組的點(diǎn)),(yx就是可能的條件極值點(diǎn)。至于就是可能的條件極值點(diǎn)。至于第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題一、填空題一、填空題3ln3,31xyxyyxzz 則則、設(shè)設(shè)分析：分析：則則設(shè)設(shè),3xyuzu . 3ln33ln3xyuyyxududzxz 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題503)3 , 1(1),(222 yfyxyxf，則，則、設(shè)、設(shè)分析：分析：，222222)(22)(),(yxyyyxyxfy .5031006| )(2)3 , 1(31222 yxyyxyf第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元

6、函數(shù)微分學(xué)自測題題,13的的函函數(shù)數(shù)是是確確定定、方方程程式式y(tǒng)xzzxyzxy yxzyxz 則則分析：分析：則則設(shè)設(shè), 1),( zxyzxyzyxfxyfzyfzx ,.yxzyffxzzx 于于是是第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題xxxeeyxzeyzcossin42 ，則則、分析：分析：，xxeeyxz cos.cos)cos(2xxxxeeeeyyyxz 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題dydxdzyxz3131)1ln(215)1 ,1(22 ，則則、分析：分析：，222211221yxxyxxxz ，222211221yxyyxyyz d

7、yyzdxxzdz)1 ,1()1 ,1()1 ,1(| dyyxydxyxx)1,1(22)1,1(22|1|1 .3131dydx 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題,2),(6223dyyaxdxxydzyxfz 的全微分的全微分、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù)3 a則則常常數(shù)數(shù)分析：分析：知知由由dyyaxdxxydz2232 ,),(,2),(223yaxyxfxyyxfyx ,),(32yxyxfz . 33),(22 ayxyxfy于于是是第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題二、選擇題二、選擇題)b()0 , 0(),(,0, 00,),(1222222處處在在

8、點(diǎn)點(diǎn)則則、設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf ；連連續(xù)續(xù)，但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在)a(；不不連連續(xù)續(xù)，但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在)b(連連續(xù)續(xù)，且且偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在；)c(.)d(在在不不連連續(xù)續(xù)，且且偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存分析：分析：處處的的連連續(xù)續(xù)性性，在在點(diǎn)點(diǎn)先先考考察察)0 , 0(),(yxf時(shí)時(shí)，趨趨于于點(diǎn)點(diǎn)沿沿直直線線當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(),(xyyx ,21limlim),(lim222, 0220, 00, 0 xxxyxxyyxfxyxyxyx時(shí)時(shí)，趨趨于于點(diǎn)點(diǎn)沿沿直直線線當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(2),(xyyx 22220,00,00,222lim( , )limli

9、m,(2 )5xyxyxyxxyxxf x yxyxx 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在，在在點(diǎn)點(diǎn)再再考考察察)0 , 0(),(yxf, 000lim)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(00 xxfxffxxx.)0 , 0(),(處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)所所以以yxf, 000lim)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(00 yyfyffxyy.)0 , 0(),(該該點(diǎn)點(diǎn)處處不不連連續(xù)續(xù)處處極極限限不不存存在在，故故其其在在在在點(diǎn)點(diǎn)所所以以yxf第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題)d

10、(),2ln(2)0,0(22 xzeezyx則則、設(shè)設(shè)；1 )a(；1)b( ；2)c(. 2)d( 分析：分析：,22yxxeeexz ,)2(2)2(22)2(22222yxyxyxxxyxxeeeeeeeeeeexz . 2|)2(2|)0,0(2)0,0(22 yxyxeeeexz第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題)c(,0),(. 3 xzyxzxzzyyxf則則的的函函數(shù)數(shù)是是確確定定設(shè)設(shè)方方程程；3221)a(ffff ；3212)b(ffff ；3231)c(ffff .)(3213ffffd 分析：分析：則則設(shè)設(shè), 0),(xzwzyvyxuwvuf ,3

11、1ffxwwfxuuffx ,32ffzwwfzvvffz .3231ffffffxzzx 于于是是第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題)d(4 dzyxyxz的的全全微微分分、函函數(shù)數(shù)；2)()(2)a(yxydyxdx ；2)()(2)b(yxxdxydy ；2)()(2)c(yxxdyydx .)()(2)d(2yxydxxdy 分析：分析：,)(2)()()(22yxyyxyxyxxz ,)(2)()1)()(22yxxyxyxyxyz 222)()(2)(2)(2yxydxxdydyyxxdxyxydz 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)

12、。有有、)b(42),(7232yyxyxyxf ；1 )a(；2)b(；3)c(. 4)(d分析：解方程組分析：解方程組 0832),(022),(2yyxyxfyxyxfyx.2 , 2,0 , 0）（）解解得得兩兩個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)（第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題。，原原點(diǎn)點(diǎn)、對對于于函函數(shù)數(shù))a)(0 , 0(822yxz 是是駐駐點(diǎn)點(diǎn)但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)；)a(是是極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)；)c(不不是是駐駐點(diǎn)點(diǎn)；)b(是是極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)。)(d分析：分析：.0 , 002),(02),(）駐駐點(diǎn)點(diǎn)（由由 yyxfxyxfyx, 2),(, 0),(, 2),( yxf

13、yxfyxfyyxyxx又又, 2)0 , 0(, 0)0 , 0(, 2)0 , 0( yyxyxxfcfbfa所所以以.)0 , 0(, 042不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)故故點(diǎn)點(diǎn) bac第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題。，求求、設(shè)設(shè)yzxzyxxz )ln(122三三、解解答答題題)221(12222yxxyxxxz 解解222222221)1yxyxyxxyxx 22222222221yxxyxyyxyyxxyz 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題。及及，的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)、求求22222arctan2yzyxzxzxyz ，解解2222)()(11

14、yxyxyxyxz 2221)(11yxxxxyyz 22222222)(2)(2yxxyyxxyxz 22222222)(2)(2yxxyyxyxyz 22222222222)()(2)(yxxyyxyyyxyxz 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題。求求的的函函數(shù)數(shù)是是確確定定、設(shè)設(shè)方方程程xzyxzzzyx ,043222，有有設(shè)設(shè)解解zzyxzyxf4),(222 .2422 zxzxffxzzx故故,422 zfxfzx，第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題。時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)證證明明、設(shè)設(shè)rzryrxrrzyxr20:,4222222222 ，證證rxzy

15、xxxr 22222，同同理理3222322211rzrzrryryr .233323222222222rrrrrzyxrzryrxr 所所以以，32222211rxrxrrxrrxrxrxr 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題。，求求具具有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)、設(shè)設(shè)yxzxzfxyxyfz 2,),(5221fxyyfxvvfxuufxz )1(1)1( 22 21222 12 111fxxfxyfxfxxfyf ).(1 21 12 223 11221fffxyxyffxf 則則設(shè)設(shè)解解,),(xyvxyuvufz )(1)(222112212yfyfxyf

16、yffxyyfyyxz 223 2122 12 1111fxyfxyfxfxyxyff 第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題的的極極值值。、求求函函數(shù)數(shù)xyxyxyxf933-),(62233 2031063),(0963),(22yyxxyyyxfxxyxfyx或或或或令令解解, 66),(0),(66),( yyxfyxfxyxfyyxyxx，又又, 012, 072,)0 , 1(12 abac處處）在在點(diǎn)點(diǎn);5)0 , 1(為為極極小小值值所所以以 f;)2 , 1(, 072,)2 , 1(22不不是是極極值值所所以以處處）在在點(diǎn)點(diǎn)fbac ;)0 , 3- (, 072,)0 , 3- (32不不是是極極值值所所以以處處）在在點(diǎn)點(diǎn)fbac , 012, 072,)2 , 3- (42 abac處處）在在點(diǎn)點(diǎn).31)2,3- (為為極極大大值值所所以以 f).2 , 3(),0 , 3(),2 , 1()0 , 1( ，得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)第八章第八章多元函數(shù)微分學(xué)自測多元函數(shù)微分學(xué)自測題題怎怎樣樣選選取取的的無無蓋蓋長長方方體體水水