非均勻有理B樣條NURBS曲線PPT課件

1、2021-11-201 / 60主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 曲線、曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識曲線、曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識 常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 常用的參數(shù)曲面常用的參數(shù)曲面第1頁/共59頁2021-11-202 / 60曲線繪制問題曲線繪制問題 給定給定n+1n+1個數(shù)據(jù)點(diǎn)，個數(shù)據(jù)點(diǎn)， ，生成一個曲線，使該，生成一個曲線，使該曲線與這些點(diǎn)所描述的形狀相符。曲線與這些點(diǎn)所描述的形狀相符。 如果要求曲線通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)如果要求曲線通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)插值問題插值問題用于重建數(shù)字化表用于重建數(shù)字化表示的曲線；示的曲線； 如果要求曲線逼近這些數(shù)據(jù)點(diǎn)如果要求曲線逼近這些數(shù)據(jù)點(diǎn)逼近問題逼近問題主要用于設(shè)計(jì)美觀的

2、主要用于設(shè)計(jì)美觀的或符合某種美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的曲線；或符合某種美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的曲線； 解決上述問題的方法：找到一種用小的部分即解決上述問題的方法：找到一種用小的部分即曲線段曲線段來構(gòu)建曲線的方來構(gòu)建曲線的方法，以滿足設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)；法，以滿足設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)； 曲線和曲線段可以用曲線和曲線段可以用折線折線代替，即用非常短的線段繪制；代替，即用非常短的線段繪制； 用曲線段擬合曲線用曲線段擬合曲線 時，把曲線表示為許多小線段時，把曲線表示為許多小線段 之和，之和，其中其中 稱為基（調(diào)和）函數(shù)；稱為基（調(diào)和）函數(shù)； ),(,),(000nnnyxPyxP)(xf)(xBi)(xBiNiiixBaxf0)()(第2頁/共59頁2

3、021-11-203 / 60曲線繪制問題曲線繪制問題 基函數(shù)要用于計(jì)算和顯示，因此經(jīng)常選擇多項(xiàng)式作為基函數(shù)。基函數(shù)要用于計(jì)算和顯示，因此經(jīng)常選擇多項(xiàng)式作為基函數(shù)。 次多項(xiàng)式有下列形式，此多項(xiàng)式由它的次多項(xiàng)式有下列形式，此多項(xiàng)式由它的n+1n+1個系數(shù)決定：個系數(shù)決定： 連續(xù)分段連續(xù)分段n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 是是k k個多項(xiàng)式個多項(xiàng)式 的集合，每個多項(xiàng)的集合，每個多項(xiàng)式是式是n n階，且有階，且有k+1k+1個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn) ，即：，即： 上式要求多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處連續(xù)，即上式要求多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處連續(xù)，即 但多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑，即在節(jié)點(diǎn)處可以有尖角或拐點(diǎn)；但多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑，即在節(jié)點(diǎn)處可

4、以有尖角或拐點(diǎn)； 多項(xiàng)式的階數(shù)多項(xiàng)式的階數(shù)： 高階多項(xiàng)式有搖擺特性高階多項(xiàng)式有搖擺特性曲線繪制時不是很有用；曲線繪制時不是很有用； 最有用的分段多項(xiàng)式為最有用的分段多項(xiàng)式為3 3階多項(xiàng)式：原因：階多項(xiàng)式：原因： 達(dá)到光滑和令人滿意的曲線的最小階數(shù)是達(dá)到光滑和令人滿意的曲線的最小階數(shù)是3 3； 表示三維曲線所需的最小數(shù)字是表示三維曲線所需的最小數(shù)字是3 3；n0111)(axaxaxaxQnnnn)(xQ)(xqiktt,01, 0)()(1kiandtxtifxqxQiii1, 1),()(1kitqtqiiii第3頁/共59頁2021-11-204 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線Bez

5、ier曲線曲線B樣條曲線樣條曲線非均勻有理非均勻有理B樣條（樣條（NURBS）曲線）曲線常用參數(shù)曲線的等價表示常用參數(shù)曲線的等價表示第4頁/共59頁2021-11-205 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 19621962年，法國雷諾汽車公司的年，法國雷諾汽車公司的PE.BezierPE.Bezier 19721972年，年，UNISURFUNISURF系統(tǒng)系統(tǒng)定義：定義：-一種以一種以逼近逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線；為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線；-由一組折線集，或由一組折線集，或BezierBezier特征多邊形定義；特征多邊形定義；-曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與多邊形起點(diǎn)、終點(diǎn)曲線的起點(diǎn)、終

6、點(diǎn)與多邊形起點(diǎn)、終點(diǎn)重合重合；-多邊形的多邊形的第一個邊第一個邊與與最后一個邊最后一個邊表示了曲線表示了曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)的在起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢量切矢量方向；方向；-形狀形狀趨于趨于特征多邊形特征多邊形的形狀；的形狀；-給定空間給定空間n+1n+1個點(diǎn)的位置矢量：個點(diǎn)的位置矢量：PiPi，則，則BezierBezier曲線各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式：曲線各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式：10),()(0,ttBPtCninii第5頁/共59頁2021-11-206 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線BernsteinBernstein基函數(shù)（曲線上各點(diǎn)位置矢量的調(diào)和函數(shù)）形式：基函數(shù)（曲線上各點(diǎn)

7、位置矢量的調(diào)和函數(shù)）形式：nittCttinintBiniininini, 1 , 011!)(, BernsteinBernstein調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)：調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)： 1 1）正性：）正性： 當(dāng)滿足當(dāng)滿足 時：時： 當(dāng)滿足當(dāng)滿足 時：時：1, 2 , 1) 1 , 0(, 01, 2 , 11 , 0, 0)(,nitnittBni) 1 , 0(1)(),(00)0() 1 (; 1) 1 ()0(,0,0,0ttBtBBBBBnnnnnnnnn1, 2 , 1ni0ini和第6頁/共59頁2021-11-207 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 Bernstei

8、nBernstein調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)：調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)： 2 2）權(quán)性：）權(quán)性： 3 3）對稱性：）對稱性： 4 4）遞推性：）遞推性：高次高次BernsteinBernstein調(diào)和函數(shù)可由兩個低一次調(diào)和函數(shù)可由兩個低一次BernsteinBernstein調(diào)和函數(shù)線性組調(diào)和函數(shù)線性組合而成；合而成；nininiininnitttttCtB00,) 1 , 0(, 1)1()1 ()()()1 ()1 ()1 (1 )1 (,)(,tBttCCCttCtBniiniinininnininninnnin)()()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()()1 ()(, 1 , 0)()()1 ()

9、(1, 11,1)1()1(11)1(1111,1, 11,ttBtBttttCttCtttCCttCtBnittBtBttBniniiinininiininiinininiinnininini第7頁/共59頁2021-11-208 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 BernsteinBernstein調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)：調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)： 5 5）導(dǎo)函數(shù)：）導(dǎo)函數(shù)：nitBtBnttnCttnCttininttinintinttitininttininttCtBniniiininiinininiiniiniiniiniiniinni, 1 , 0),()()1 ()1 (

10、)1 ()!1( !)1 ()!()!1(!)1)()1 ()!( !)1 ()!( !)1 ()(1,1, 1111111111,三次Bernstein調(diào)和函數(shù)曲線第8頁/共59頁2021-11-209 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線-6）降階公式）降階公式:-7 7）升階公式）升階公式: :-8）積分）積分:-9）最大值）最大值:在在t=i/nt=i/n處取得最處取得最大值大值-10）線性無關(guān)性）線性無關(guān)性 是是n n次多項(xiàng)式空間次多項(xiàng)式空間的一組基函數(shù)，的一組基函數(shù)，)(11)(1)(1,1, 1,tBnintBinitBninini11)(10,ntBnin

11、initB0,)()()()1 ()(1, 11,ttBtBttBninini第9頁/共59頁2021-11-2010 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 Bezier曲線的性質(zhì)：曲線的性質(zhì)： 1 1）端點(diǎn)性質(zhì)：）端點(diǎn)性質(zhì)： A)A)端點(diǎn)位置矢量：端點(diǎn)位置矢量：ninniiinnnnninniiPBPCtifPCiiBPBPBPBPCtif0,0, 110,00,) 1 () 1 (, 1)0(01000)0()0()0()0()0(, 0-BezierBezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與其相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與其相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合；終點(diǎn)重合

12、；第10頁/共59頁2021-11-2011 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 Bezier曲線的性質(zhì)：曲線的性質(zhì)： B)B)切矢量：切矢量：)() 1 (, 1);()0(, 0;)()()(101101,1, 1nnnininiiPPnCtifPPnCtiftBtBPntC-BezierBezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)的切線方向與其相應(yīng)的特征多邊曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)的切線方向與其相應(yīng)的特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的形的第一條邊及最后一條邊的走向一致走向一致；第11頁/共59頁2021-11-2012 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 Bezi

13、er曲線的性質(zhì)：曲線的性質(zhì)： C)C)曲率：曲率：)2)(1() 1 (, 1);2)(1()0(, 0; )()2() 1()(21 012 202,12 nnnniniiiiPPPnnCtifPPPnnCtiftBPPPnntC-BezierBezier曲線在端點(diǎn)處的曲線在端點(diǎn)處的r r階導(dǎo)數(shù)，只與（階導(dǎo)數(shù)，只與（r+1r+1）個相鄰點(diǎn)有）個相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)的點(diǎn)無關(guān)；關(guān)，與更遠(yuǎn)的點(diǎn)無關(guān)；第12頁/共59頁2021-11-2013 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 Bezier曲線的性質(zhì)：曲線的性質(zhì)： D)rD)r階導(dǎo)函數(shù)的差分表示：階導(dǎo)函數(shù)的差分表示： N N次

14、次BezierBezier曲線的曲線的r r階導(dǎo)函數(shù)可用差分公式表示為階導(dǎo)函數(shù)可用差分公式表示為：rkkikikrirrniirrnirrPCPwheretPtBrnndttCd00,) 1(10)()!(!)(第13頁/共59頁2021-11-2014 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 Bezier曲線的性質(zhì)：曲線的性質(zhì)： 2 2）對稱性：）對稱性： 若保持原若保持原BezierBezier曲線的全部定點(diǎn)位置不變，僅把曲線的全部定點(diǎn)位置不變，僅把次序顛倒次序顛倒，形，形成新的頂點(diǎn)；成新的頂點(diǎn)； 則新則新BezierBezier曲線曲線形狀不變形狀不變，只是，只是走向

15、相反走向相反；10, )1 ()1 ()()(0,00,*ttBPtBPtBPtCniniinininininnii-BezierBezier曲線及其特征多邊形在起點(diǎn)曲線及其特征多邊形在起點(diǎn)處的處的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)與終點(diǎn)處相同；與終點(diǎn)處相同；第14頁/共59頁2021-11-2015 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 Bezier曲線的性質(zhì)：曲線的性質(zhì)： 3 3）凸包性：）凸包性：nittBtBninini, 1 , 0101)(01)(,0,1 1）說明當(dāng)）說明當(dāng)t t在在0 0與與1 1區(qū)間變化區(qū)間變化時，對某個時，對某個t t值，值，C C（t t）是特征多邊形

16、各項(xiàng)點(diǎn)是特征多邊形各項(xiàng)點(diǎn)PiPi的的加權(quán)平均加權(quán)平均，權(quán)因子依次是，權(quán)因子依次是Bi,n(t);Bi,n(t);2 2）在幾何圖形上，）在幾何圖形上，BezierBezier曲線是曲線是PiPi各點(diǎn)的各點(diǎn)的凸線性組凸線性組合合，并且各點(diǎn)均落在特征，并且各點(diǎn)均落在特征多邊形的凸包之中多邊形的凸包之中；第15頁/共59頁2021-11-2016 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 Bezier曲線的性質(zhì)：曲線的性質(zhì)： 4 4）幾何不變性：）幾何不變性：幾何特性不隨一定的坐標(biāo)變換而變化的幾何特性不隨一定的坐標(biāo)變換而變化的性質(zhì)性質(zhì) BezierBezier曲線的位置與形狀僅與特

17、征多邊形的定點(diǎn)位置有關(guān)，不曲線的位置與形狀僅與特征多邊形的定點(diǎn)位置有關(guān)，不依賴坐標(biāo)系的選擇；依賴坐標(biāo)系的選擇； 即：即：niniininiitabauBPtBP0,0,10)()(-5 5）變差縮減性：）變差縮減性：如如BezierBezier曲線的特征多邊形是一個平面圖形，則直線與曲曲線的特征多邊形是一個平面圖形，則直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)線的交點(diǎn)個數(shù) 該直線和特征多邊形的交點(diǎn)個數(shù)該直線和特征多邊形的交點(diǎn)個數(shù)變差縮減性變差縮減性； 說明說明BezierBezier曲線比特征多邊形的波動小曲線比特征多邊形的波動小BezierBezier曲線比特征多邊形所曲線比特征多邊形所在的折線更光順在的折線更光

18、順；第16頁/共59頁2021-11-2017 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 BezierBezier曲線的矩陣表示：曲線的矩陣表示： 一次一次BezierBezier曲線曲線 一次一次BezierBezier曲線是連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的直線段曲線是連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的直線段； 二次二次BezierBezier曲線曲線100111 1)(:10)1 ()()(, 11010101 ,tPPttCismatrixThettPPttBPtCnwheniii10001022121 1)(:10)1 (2)1 ()()(, 2210220221022,tPPPtttCismatri

19、xThetPtPttPttBPtCnwheniii二次二次BezierBezier曲線對應(yīng)一條多邊形起點(diǎn)與終點(diǎn)的拋物線；曲線對應(yīng)一條多邊形起點(diǎn)與終點(diǎn)的拋物線；第17頁/共59頁2021-11-2018 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 BezierBezier曲線的矩陣表示：曲線的矩陣表示： 三次三次BezierBezier曲線曲線PTMPPPPTMtCThenTMttttBtBtBtBBttBtttBtttBttBAssumetPtPttPttPttBPtCnwhenzTzziii)(,00010033036313311)()()()()(),1 (3)(,)1 (

20、3)(,)1 ()(:10)1 (3)1 (3)1 ()()(, 33210233 , 33 , 23 , 13 , 033 , 323 , 223 , 133 , 030332212033 ,第18頁/共59頁2021-11-2019 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 BezierBezier曲線的矩陣表示：曲線的矩陣表示： n n次次BezierBezier曲線曲線 給定空間給定空間n+1n+1個點(diǎn)，則個點(diǎn)，則n n次次BezierBezier曲線的矢量方程：曲線的矢量方程： 工程實(shí)踐中常用的工程實(shí)踐中常用的BezierBezier曲線為二、三次曲線為二、三次。1

21、0)()1 ()1 ()1 ()1 ()(0,011100tPtBPttCPtCPttCtPtCPtCtCniininiiiininnnnniiininnnnn第19頁/共59頁2021-11-2020 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 BezierBezier曲線的分割遞推曲線的分割遞推CasteljauCasteljau算法：算法： 如何生成如何生成BezierBezier曲線上的點(diǎn)？曲線上的點(diǎn)？ 利用三次曲線矩陣公式產(chǎn)生曲線上點(diǎn)的方法：利用三次曲線矩陣公式產(chǎn)生曲線上點(diǎn)的方法： 不通用、計(jì)算量大不通用、計(jì)算量大 CasteljauCasteljau算法：原理：算法

22、：原理： 給定參數(shù)給定參數(shù) , ,求求 t)(tPtP(t)t)(tP第20頁/共59頁2021-11-2021 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 BezierBezier曲線的分割遞推曲線的分割遞推CasteljauCasteljau算法：算法： 算法 計(jì)算過程ttrninrPtPtrPPririiri, 1 , 0, 2 , 1)1 (0,111第21頁/共59頁2021-11-2022 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 算法的幾何解釋：算法的幾何解釋：第22頁/共59頁2021-11-2023 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Be

23、zier曲線曲線 BezierBezier曲線的拼接及其連續(xù)性：曲線的拼接及其連續(xù)性： 目的：目的：將兩條將兩條BezierBezier曲線按照一定的連續(xù)條件連接起來，如圖所示，曲線按照一定的連續(xù)條件連接起來，如圖所示， 要求前條曲線的終點(diǎn)與后條曲線的起點(diǎn)重合，即滿足要求前條曲線的終點(diǎn)與后條曲線的起點(diǎn)重合，即滿足 連續(xù)；連續(xù)；0C-滿足滿足 連續(xù)的充要條件：連續(xù)的充要條件：-滿足滿足 連續(xù)的充要條件連續(xù)的充要條件：在：在 連續(xù)連續(xù)的前提下滿足兩個條件：的前提下滿足兩個條件：-1 1）密切平面重合，副法線矢量同向；）密切平面重合，副法線矢量同向；-2 2）曲率相等；）曲率相等；1G連續(xù)三點(diǎn)共線；

24、即11101, 1).0(,CthenifabQQPPnnn2C1C第23頁/共59頁2021-11-2024 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 反算反算BezierBezier曲線控制點(diǎn)：曲線控制點(diǎn)： 目的目的：根據(jù)給定的曲線型值點(diǎn)：根據(jù)給定的曲線型值點(diǎn) 求求BezierBezier曲線的控制點(diǎn)曲線的控制點(diǎn) 方法方法： 取參數(shù)取參數(shù)t=i/nt=i/n與點(diǎn)與點(diǎn) 對應(yīng)，反算對應(yīng)，反算 ； 設(shè)設(shè) 在曲線在曲線 上，且有：上，且有： 則可得下列則可得下列n+1n+1個方程組成的線性方程組：個方程組成的線性方程組： 求解方程，可得求解方程，可得 ，即為過，即為過 的的Bez

25、ierBezier多邊形多邊形的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)iQiPiQiP)(tCiQnnnnnnnntCPttCPtCPtC)1 ()1 ()(1100nnnnnnnnnniPQniniCPniniCPniCPQPQ; 1, 2 , 1,)/()/()/1 ()/1 (1110000), 1 , 0(niPiiQ第24頁/共59頁2021-11-2025 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 BezierBezier曲線的升階：曲線的升階： 目的：目的：對曲線做修改時，可以通過增加控制點(diǎn)以實(shí)現(xiàn)對曲線的對曲線做修改時，可以通過增加控制點(diǎn)以實(shí)現(xiàn)對曲線的靈活靈活控制控制，而不改變原有曲線的形

26、狀，而不改變原有曲線的形狀； 方法方法：對原有曲線進(jìn)行：對原有曲線進(jìn)行升階升階，如圖，將原有，如圖，將原有4 4個控制點(diǎn)變?yōu)閭€控制點(diǎn)變?yōu)? 5個點(diǎn)；個點(diǎn)；1, 1 , 0,)11 (1)1 ()1 ()1 ()1 (),1 ()1 ()1 (1)1 (111)1 (1101)1 (1011101)1 (10njPnjPnjPCPCPCPttttPCttttPCttttPCttPCBezierjjjjnjjnjjnjjnjnjjnjjjnnjjnjjnjjjnnjjnjjjnnjjnjjjn化簡：項(xiàng)系數(shù)，則：比較等式兩邊則：上式左邊乘以曲線公式變?yōu)椋涸黾涌刂泣c(diǎn)后，第25頁/共59頁2021-11

27、-2026 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線曲線 上式說明：上式說明： 1 1）新的控制點(diǎn)）新的控制點(diǎn)P P是對老的特征多邊形在參數(shù)是對老的特征多邊形在參數(shù)i/(n+1)i/(n+1)處進(jìn)行線處進(jìn)行線性插值的結(jié)果；性插值的結(jié)果； 2 2）升階后的新的特征多邊形在老的特征多邊形的凸包內(nèi)；）升階后的新的特征多邊形在老的特征多邊形的凸包內(nèi)； 3 3）升階后的特征多邊形更靠近）升階后的特征多邊形更靠近BezierBezier曲線；曲線； BezierBezier曲線的降階：曲線的降階： 同理可以推導(dǎo)出曲線的降階公式；同理可以推導(dǎo)出曲線的降階公式； 有理有理BezierBezier

28、曲線：曲線： 目的目的: :更好的控制曲線的形狀；更好的控制曲線的形狀；10)()()()()()()() )()(, 11,00, 111,0000,0,ttBhtBhtBhtBPhtBPhtBPhtBhtBhPtChnnnnnnnnnnnniniininiiirzi則：引入權(quán)因子第26頁/共59頁2021-11-2027 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線Bezier曲線曲線B樣條曲線樣條曲線非均勻有理非均勻有理B樣條（樣條（NURBS）曲線）曲線常用參數(shù)曲線的等價表示常用參數(shù)曲線的等價表示第27頁/共59頁2021-11-2028 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線

29、目的：目的：解決解決BezierBezier曲線的不足（曲線的不足（19721972年，年，Gordon,RiesenfeldGordon,Riesenfeld擴(kuò)展擴(kuò)展BezierBezier曲線）；曲線）； 1)1) 控制多邊形的頂點(diǎn)個數(shù)決定了控制多邊形的頂點(diǎn)個數(shù)決定了BezierBezier曲線的階次曲線的階次,n,n較大較大時特征多邊形對曲線的控制減弱時特征多邊形對曲線的控制減弱; ; 2)2)調(diào)和函數(shù)在整個區(qū)間內(nèi)均不為零調(diào)和函數(shù)在整個區(qū)間內(nèi)均不為零不能作局部修改不能作局部修改； 方法方法：用：用B B樣條函數(shù)代替樣條函數(shù)代替BernsteinBernstein函數(shù)，從而：函數(shù)，從而：

30、1 1）改進(jìn)了）改進(jìn)了BezierBezier特征多邊形與特征多邊形與BernsteinBernstein多項(xiàng)式多項(xiàng)式次數(shù)相關(guān)次數(shù)相關(guān)的問的問題；題； 2 2）克服了）克服了BezierBezier曲線曲線整體逼近整體逼近的缺點(diǎn)；的缺點(diǎn)； 均勻均勻B B樣條函數(shù)的定義：樣條函數(shù)的定義： 已知有已知有n+1n+1個控制點(diǎn)的特征多邊形，其頂點(diǎn)為：個控制點(diǎn)的特征多邊形，其頂點(diǎn)為： 則可以定義則可以定義L L1 1段段k-1k-1次的參數(shù)曲線。次的參數(shù)曲線。 其中：其中：L = n-L = n-（k k1 1）), 1 , 0(niPinii,ki(u)NPC(u)0第28頁/共59頁2021-11-

31、2029 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 其中其中 為基函數(shù)，可以定義如下遞歸函數(shù)：為基函數(shù)，可以定義如下遞歸函數(shù)：)(,uNki1, 1 , 010)1() 1()!1(1)(1011,kiuwherejikuCkuNikjkjkjki 1k1, 111,1,1i1 ,t)()( 0t 1)(nkiikikikiikiikiiituuNttutuNtttuuNtuuN其它若 上式等價為：上式等價為：第29頁/共59頁2021-11-2030 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 參數(shù)說明：參數(shù)說明： k k是曲線的階數(shù)，是曲線的階數(shù)，k k1 1為為B

32、B樣條曲線的次數(shù)，曲線在連接點(diǎn)處具樣條曲線的次數(shù)，曲線在連接點(diǎn)處具有有(k-2)(k-2)階連續(xù)；階連續(xù)； 是節(jié)點(diǎn)值，是節(jié)點(diǎn)值， 構(gòu)成了構(gòu)成了k k次次B B樣條曲線的樣條曲線的節(jié)點(diǎn)矢量，節(jié)點(diǎn)是非減序列；且：節(jié)點(diǎn)矢量，節(jié)點(diǎn)是非減序列；且： 節(jié)點(diǎn)矢量節(jié)點(diǎn)矢量：分為三種類型：分為三種類型：均勻的均勻的，均勻非周期的均勻非周期的和和非均勻的非均勻的；-節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布，即節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布，即 = =常數(shù)時，常數(shù)時，均勻均勻B B樣條函數(shù)樣條函數(shù)；-節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸分布不等距，即節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸分布不等距，即 常數(shù)時，常數(shù)時，非均勻非均勻B B樣條函數(shù)樣條函數(shù)。 1 1均勻周期性均勻周期性B

33、B樣條曲線樣條曲線-T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)-T=(0,1,2,3,4,5,6,7)T=(0,1,2,3,4,5,6,7)-均勻均勻B B樣條的基函數(shù)呈周期性：樣條的基函數(shù)呈周期性：it,1210kLtttT1knLiitt1iitt1,) 1() 1()(1, 1, 1,ikikkikikittuuNuNuN第30頁/共59頁2021-11-2031 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 均勻周期性均勻周期性二二 次（三階）次（三階） B B樣條曲線樣條曲線取取k k1

34、=21=2，n=3n=3 22, 222, 1222220232, 021) 122(21) 1(21! 2! 3) 1(! 2! 3)2(! 3! 321)2() 1()!13(1uuNuuuNuuuujuCuNjjj1, 1 , 010)1() 1()!1(1)(1011,kiuwherejikuCkuNikjkjkjki-k k1=2,n=31=2,n=3i=0,1,2i=0,1,2第31頁/共59頁2021-11-2032 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 二次二次B B樣條曲線表達(dá)式可以表示如下：樣條曲線表達(dá)式可以表示如下1

35、PPPtt(u)NPC(u)ii,iLi(u)PN(u)PN(u)PN(u)Ci,i,i,i, 2 , 1 , 022212120-一般化的形式：一般化的形式：第32頁/共59頁2021-11-2033 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)值：曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)值：)(21)(),(21)(3210PPendpPPstartp 均勻二次均勻二次B樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：2301)(,)(PPendpPPstartp第33頁/共59頁2021-11-2034 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 結(jié)論： 對于由任意數(shù)

36、目的控制點(diǎn)構(gòu)造的二次周期性對于由任意數(shù)目的控制點(diǎn)構(gòu)造的二次周期性B B樣條樣條曲線，曲線的起點(diǎn)位于頭兩個控制點(diǎn)之間，終點(diǎn)曲線，曲線的起點(diǎn)位于頭兩個控制點(diǎn)之間，終點(diǎn)位于最后兩個控制點(diǎn)之間；位于最后兩個控制點(diǎn)之間； 對于高次多項(xiàng)式，起點(diǎn)和終點(diǎn)是對于高次多項(xiàng)式，起點(diǎn)和終點(diǎn)是m-1m-1個控制點(diǎn)的加個控制點(diǎn)的加權(quán)平均值點(diǎn)。若某一控制點(diǎn)出現(xiàn)多次，樣條曲線權(quán)平均值點(diǎn)。若某一控制點(diǎn)出現(xiàn)多次，樣條曲線會更加接近該點(diǎn)。會更加接近該點(diǎn)。 由不同節(jié)點(diǎn)矢量構(gòu)成的均勻由不同節(jié)點(diǎn)矢量構(gòu)成的均勻B B樣條函數(shù)所描繪的形樣條函數(shù)所描繪的形狀相同，可以看成是一個狀相同，可以看成是一個B B樣條函數(shù)的簡單平移；樣條函數(shù)的簡單平移

37、； 在構(gòu)造每個線段時，采用均勻在構(gòu)造每個線段時，采用均勻B B樣條函數(shù)比用非均樣條函數(shù)比用非均勻勻B B樣條函數(shù)工作量小，且外形設(shè)計(jì)的效果差別不樣條函數(shù)工作量小，且外形設(shè)計(jì)的效果差別不大；大；第34頁/共59頁2021-11-2035 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 2 2均勻非周期均勻非周期B B樣條曲線樣條曲線 節(jié)點(diǎn)矢量定義為：節(jié)點(diǎn)矢量定義為： 令令L = n L = n k (n k (n為控制點(diǎn)數(shù)目為控制點(diǎn)數(shù)目) )，從，從0 0開始，按開始，按titi+1titi+1排列。排列。kLikLikki Lkit),.,LL,.,L,.,(Tikk1011210011

38、-均勻非周期二次（三階）均勻非周期二次（三階）B B樣條曲線樣條曲線 設(shè)設(shè)k=2k=2，n=6n=6，節(jié)點(diǎn)矢量為：，節(jié)點(diǎn)矢量為：T=(t0 ,t1,T=(t0 ,t1,tL+2k+1) =(t0 ,t1, ,tL+2k+1) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8,t9) =(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8,t9) =(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)；第35頁/共59頁2021-11-2036 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線第36頁/共59頁2021-11-2037 /

39、60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 B B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì) 1 1局部可控性局部可控性 B B樣條的基函數(shù)是一樣條的基函數(shù)是一個分段函數(shù)，其重要個分段函數(shù)，其重要特征是在參數(shù)變化范特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi)，每個基函數(shù)在圍內(nèi)，每個基函數(shù)在 到到 的子區(qū)間內(nèi)的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零，在其函數(shù)值不為零，在其余區(qū)間內(nèi)均為零，通余區(qū)間內(nèi)均為零，通常也將該特征稱為常也將該特征稱為局局部支柱性部支柱性。因此因此，每移動一個頂，每移動一個頂點(diǎn)時，只對其中的一點(diǎn)時，只對其中的一段曲線有影響，并不段曲線有影響，并不對整條曲線產(chǎn)生影響。對整條曲線產(chǎn)生影響。tk Tk+m第37頁/共59頁202

40、1-11-2038 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 2.B2.B樣條的凸組合性質(zhì)樣條的凸組合性質(zhì) B B樣條的凸組合性和樣條的凸組合性和B B樣條基函數(shù)的數(shù)值均大于或等于樣條基函數(shù)的數(shù)值均大于或等于0 0保證了保證了B B樣條曲線的凸包性，即樣條曲線的凸包性，即B B樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸包之內(nèi)。包之內(nèi)。t ,t t 1)(1n1-m0,nkmktB第38頁/共59頁2021-11-2039 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 B B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì) 3.3.連續(xù)性連續(xù)性 B B樣條曲線在樣條曲線

41、在 處有處有L L重節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性不低于（重節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性不低于（k kL L）次，整條曲線的連續(xù)性不低于（）次，整條曲線的連續(xù)性不低于（k kLmaxLmax）次，其中）次，其中LmaxLmax是區(qū)間是區(qū)間 內(nèi)的最大重節(jié)點(diǎn)數(shù)；內(nèi)的最大重節(jié)點(diǎn)數(shù)； B B樣條曲線基函數(shù)的次數(shù)與控制頂點(diǎn)個數(shù)無關(guān)。樣條曲線基函數(shù)的次數(shù)與控制頂點(diǎn)個數(shù)無關(guān)。)1(nikti),(11nktt第39頁/共59頁2021-11-2040 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 B B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì) 4.4.導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)； B B樣條曲線的導(dǎo)數(shù)可樣條曲線的導(dǎo)數(shù)可用其低階的用其低階的B B樣條基樣條基函數(shù)函

42、數(shù)和和定點(diǎn)矢量的差定點(diǎn)矢量的差商序列商序列的線性組合表的線性組合表示。示。 可以證明，可以證明，k k次次B B樣條樣條曲線段之間達(dá)到曲線段之間達(dá)到k-1k-1次的連續(xù)性；次的連續(xù)性； 5.5.幾何不變性：幾何不變性：形狀和形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)關(guān)； 6.6.變差縮減性：變差縮減性：平面內(nèi)平面內(nèi)任一直線與曲線的交點(diǎn)任一直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)不多于該直線與特個數(shù)不多于該直線與特征多邊形的交點(diǎn)個數(shù)；征多邊形的交點(diǎn)個數(shù)； 7.7.造型的靈活性；造型的靈活性； 用用B B樣條曲線可構(gòu)造樣條曲線可構(gòu)造直線段、尖點(diǎn)、切線直線段、尖點(diǎn)、切線等特殊情況：等特殊情況：通過選通過選擇控制點(diǎn)

43、的位置和節(jié)擇控制點(diǎn)的位置和節(jié)點(diǎn)的重復(fù)數(shù)點(diǎn)的重復(fù)數(shù)。第40頁/共59頁2021-11-2041 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 B B樣條曲線的矩陣表示樣條曲線的矩陣表示 一次一次B B樣條曲線的矩陣表示樣條曲線的矩陣表示 設(shè)空間設(shè)空間n+1n+1個定點(diǎn)的位置矢量，每兩個相鄰點(diǎn)可以構(gòu)造出一段個定點(diǎn)的位置矢量，每兩個相鄰點(diǎn)可以構(gòu)造出一段一次一次B B樣條曲線，樣條曲線，B B樣條基函數(shù)是樣條基函數(shù)是 ，則每兩，則每兩段相關(guān)的一次段相關(guān)的一次B B樣條曲線可以表示為：樣條曲線可以表示為：1001111)!12(1 )()()(2,22, 12,uuuNuNuNi)(),(2,2

44、2, 1uNuN10; 1, 1 , 001111)()()()(;)()()(12,12,22, 12, 12,212, 12,uniPPuuCPuNPuNuCPuNPuNuCiiiiiiiii第41頁/共59頁2021-11-2042 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 二次二次B B樣條曲線的矩陣表示樣條曲線的矩陣表示 二次二次B B樣條基函數(shù)的矩陣式可以表示為：樣條基函數(shù)的矩陣式可以表示為：; 100110221211)!13(1)()()(23,33,23, 13,uuuuNuNuNNi-設(shè)空間有設(shè)空間有 個頂點(diǎn)：個頂點(diǎn)： ，則相鄰的每三個頂點(diǎn)可構(gòu)造一，則相鄰的每三

45、個頂點(diǎn)可構(gòu)造一段二次段二次B B樣條曲線，其中第樣條曲線，其中第i i段可以表示成段可以表示成( (如圖如圖) )： 1n), 1 , 0(niPi; 1, 2, 1; 1001102212112/1)(1123,niuPPPuuuCiiii第42頁/共59頁2021-11-2043 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 其中：其中： 1 1）端點(diǎn)位置矢量：）端點(diǎn)位置矢量：);(5.0)1(),(5.0)0(13,13,iiiiiiPPCPPC,13, 13,)1()0(iiiiiiPPCPPC)0()1(3, 13,iiCC113 , 2)(iiiiPPPuC 2 2）端點(diǎn)一

46、階導(dǎo)數(shù)矢量：）端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)矢量： 且：且： 說明曲線段在起、終點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)矢量分別和兩條邊矢量重合，說明曲線段在起、終點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)矢量分別和兩條邊矢量重合，且在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)矢量連續(xù)。且在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)矢量連續(xù)。 3 3）端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)矢量：）端點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)矢量： 即曲線段的二階導(dǎo)數(shù)矢量等于該曲線的兩條邊矢量即曲線段的二階導(dǎo)數(shù)矢量等于該曲線的兩條邊矢量 和和 所成的對角線矢量。所成的對角線矢量。iiPP1iiPP1 4 4）若）若 三個頂點(diǎn)位于同一條直線上，三個頂點(diǎn)位于同一條直線上， 蛻化為蛻化為 直線邊上的一段直線，并使直線邊上的一段直線，并使 曲線段切于曲線段切于 處，若處，若要使二次要使

47、二次B B樣條線段過端點(diǎn)，或得到一個尖點(diǎn)，還需要有二重控制點(diǎn)。樣條線段過端點(diǎn)，或得到一個尖點(diǎn)，還需要有二重控制點(diǎn)。11,iiiPPP)(3,uCi11iiiPPP)(3, 1uCi)1(3, iC第43頁/共59頁2021-11-2044 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 三次三次B B樣條曲線的矩陣表示：樣條曲線的矩陣表示： 若從空間若從空間n+1n+1個頂點(diǎn)個頂點(diǎn) 中每次取相鄰的四個頂點(diǎn)，中每次取相鄰的四個頂點(diǎn)，可構(gòu)造可構(gòu)造 出一段三次出一段三次B B樣條曲線，其相應(yīng)的基函數(shù)是：樣條曲線，其相應(yīng)的基函數(shù)是：), 1 , 0(niPi1 , 0);)(6/1()(),13

48、33)(6/1()(),463)(6/1()(),133)(6/1()()(),(),(),()(34,4234,3234,2234,14,44,34,24, 14,uuuNuuuuNuuuNuuuuNuNuNuNuNuNi34,424,314,24, 14, 124,414,34,214, 14,)()()()()()()()()()(iiiiiiiiiiPuNPuNPuNPuNuCPuNPuNPuNPuNuC-三次三次B B樣條基函數(shù)的矩陣表示為：樣條基函數(shù)的矩陣表示為：01410303036313311)6/1()(234,uuuNi-相鄰兩段三次相鄰兩段三次B B樣條曲線可表示為：樣條

49、曲線可表示為：第44頁/共59頁2021-11-2045 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 因此，第因此，第i i段三次段三次B B樣條曲線可寫成：樣條曲線可寫成：4124,4,)()(jjijiPuNuC-對應(yīng)的矩陣式是：（如圖）對應(yīng)的矩陣式是：（如圖）; 2, 2, 1,1 , 0,01410303036313311)6/1()(211234,niuPPPPuuuuCiiiii第45頁/共59頁2021-11-2046 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 其中：其中： 1 1）端點(diǎn)位置矢量端點(diǎn)位置矢量：曲線起點(diǎn)位于曲線起點(diǎn)位于 中線中線 的的1/31/

50、3處，終點(diǎn)位于處，終點(diǎn)位于 中線中線 的的1/31/3處。處。6/6/46/)1(, 6/6/46/)0(214,14,iiiiiiiiPPPCPPPC2/)()1(, 2/)()0(24,114,iiiiiiPPCPPC11iiiPPPMPi21iiiPPP1MPi-2 2）端點(diǎn)切矢量端點(diǎn)切矢量：曲線在始點(diǎn)處的切矢量平行于曲線在始點(diǎn)處的切矢量平行于 的邊，其模長為該邊長的的邊，其模長為該邊長的1/21/2，終點(diǎn)處，終點(diǎn)處的切矢量平行于的切矢量平行于 的邊，其模長為該邊長的的邊，其模長為該邊長的1/21/2。由于前一段曲線的終。由于前一段曲線的終點(diǎn)是下一段曲線的起點(diǎn)，而且具有相同的三角形，因此

51、，幾何上可見兩段曲線在點(diǎn)是下一段曲線的起點(diǎn)，而且具有相同的三角形，因此，幾何上可見兩段曲線在節(jié)點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)矢量。節(jié)點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)矢量。11iiiPPP21iiiPPP-3 3）端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)矢量端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)矢量：曲線段在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)矢量等于相鄰兩直線邊所形成平行四邊形的對角線。曲線段在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)矢量等于相鄰兩直線邊所形成平行四邊形的對角線。由于終點(diǎn)處的平行四邊形和下一段曲線在始點(diǎn)處的平行四邊形相同，因此，三次由于終點(diǎn)處的平行四邊形和下一段曲線在始點(diǎn)處的平行四邊形相同，因此，三次B B樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。214, 114,

52、 2)1(,2)0(iiiiiiiiPPPCPPPC第46頁/共59頁2021-11-2047 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線11,iiiPPPiP211,iiiiPPPP)(3,uCi11,iiiPPP)(3,uCi-4 4）若）若 三點(diǎn)共線，三次三點(diǎn)共線，三次B B樣條曲線將產(chǎn)生拐點(diǎn)，若樣條曲線將產(chǎn)生拐點(diǎn)，若 四點(diǎn)共線，則四點(diǎn)共線，則 變成一條直線段；若變成一條直線段；若 三點(diǎn)重合，則三點(diǎn)重合，則 通過通過 點(diǎn)。點(diǎn)。因此，利用三次因此，利用三次B B樣條的頂點(diǎn)重合會產(chǎn)生應(yīng)用需要的樣條的頂點(diǎn)重合會產(chǎn)生應(yīng)用需要的多種曲線。多種曲線。第47頁/共59頁2021-11-204

53、8 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 B B樣條曲線的分割和節(jié)點(diǎn)插入算法樣條曲線的分割和節(jié)點(diǎn)插入算法 1 1）deBoordeBoor分割算法分割算法 K K次次B B樣條基函數(shù)可由兩個相鄰的樣條基函數(shù)可由兩個相鄰的k-1k-1次次B B樣條基函數(shù)線性組合而成，樣條基函數(shù)線性組合而成，利用利用k k次次B B樣條函數(shù)的性質(zhì)，可樣條函數(shù)的性質(zhì)，可用用deBoordeBoor算法計(jì)算曲線段算法計(jì)算曲線段C(t)C(t)的值的值，若若則其遞歸公式為：則其遞歸公式為：也可表示成：也可表示成： )()(;,1uPucnjkttukjjj)()()()(11,1,uPuNPuNPuCk

54、jjkjikiijkjikiijrkjikrCtutuCtttujkjirPuCrirkirkiriirkiiiri, 2, 1)(, 1, 0,)(11111第48頁/共59頁2021-11-2049 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 求曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)求曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)的遞推過程可以表的遞推過程可以表示成一個三角形，示成一個三角形，其幾何意義如圖：其幾何意義如圖： deBoordeBoor分割算法的分割算法的實(shí)質(zhì)是用實(shí)質(zhì)是用 構(gòu)成的邊切構(gòu)成的邊切 角。角。 從多邊形從多邊形 開始經(jīng)過開始經(jīng)過k k層的切層的切角，最后得到曲線角，最后得到曲線C(u)C(u)上的點(diǎn)上的點(diǎn)P P

55、；程序見：程序見：pp315pp315ririPP1jkjkjPPP11riP第49頁/共59頁2021-11-2050 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 B B樣條曲線 反求反求B B樣條曲線的控制點(diǎn)及其端點(diǎn)性質(zhì)樣條曲線的控制點(diǎn)及其端點(diǎn)性質(zhì) 定義：已知一組空間型值點(diǎn)定義：已知一組空間型值點(diǎn)Q Q，找一條找一條k k次次B B樣條曲線樣條曲線，經(jīng)過這些，經(jīng)過這些型值點(diǎn)，即找到與型值點(diǎn)型值點(diǎn)，即找到與型值點(diǎn)Q Q相應(yīng)的相應(yīng)的B B樣條樣條特征多項(xiàng)式頂點(diǎn)特征多項(xiàng)式頂點(diǎn)P P。對于。對于型值點(diǎn)與控制點(diǎn)的位置矢量之間有關(guān)系：型值點(diǎn)與控制點(diǎn)的位置矢量之間有關(guān)系：通過上次，可以求出控制點(diǎn)，但上次有通過

56、上次，可以求出控制點(diǎn)，但上次有n n個方程，有個方程，有n+2n+2個未知數(shù)，個未知數(shù)，因此需要補(bǔ)充兩個邊界條件，即因此需要補(bǔ)充兩個邊界條件，即起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)和終點(diǎn)；分為以下情況確定起點(diǎn)和終點(diǎn)邊界條件：分為以下情況確定起點(diǎn)和終點(diǎn)邊界條件：1 1）首末兩點(diǎn)過）首末兩點(diǎn)過Q1Q1和和QnQn的非周期三次的非周期三次B B樣條曲線；樣條曲線；2 2）封閉周期的三次）封閉周期的三次B B樣條曲線；樣條曲線；3 3）端點(diǎn)有二重控制點(diǎn)的三次）端點(diǎn)有二重控制點(diǎn)的三次B B樣條曲線；樣條曲線；4 4）給定始、終點(diǎn)的切矢量）給定始、終點(diǎn)的切矢量; ;5 5）給定始、終點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)矢量）給定始、終點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)矢量R1R1和和RnRn；), 1, 3 , 2, 1,6/)4()0(11nnjQPPPPjjjj第50頁/共59頁2021-11-2051 / 60常用的參數(shù)曲線常用的參數(shù)曲線Bezier曲線曲線B樣條曲線樣條曲線非均勻有理非均勻有理B樣條（樣條（NURBS）曲線）曲線常用參數(shù)曲線的等價表示常用參數(shù)曲線的等價表示第51頁/共59頁2021-11-2052 / 60常用的常用的參數(shù)曲線參數(shù)曲線 非均勻有理非均勻有理B B樣條（樣條（NU