cn電磁場與電磁波 ch3

1、2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院1第第3章章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 靜態(tài)電磁場靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：場量不隨時間變化，包括： 靜電場靜電場 恒定電場恒定電場 恒定磁場恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院2本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導電媒質(zhì)中的

2、恒定電場分析導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院33.1 靜電場分析靜電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容導體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學

3、與工程學院42. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構(gòu)關系：本構(gòu)關系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq積分形式：積分形式：0)(0)(21n21nEEDDee02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院5介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1Ene1122tantan 在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的在靜電平衡的情況下

4、，導體內(nèi)部的電場電場為為0，則導體表面的，則導體表面的邊界條件為邊界條件為 0nnEDeeS0tnEDS或或 場矢量的折射關系場矢量的折射關系 導體表面的邊界條件導體表面的邊界條件D與與E均垂直于導體表面均垂直于導體表面2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院6即即靜電場可以用靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度一個標量函數(shù)的梯度來表示，來表示，標量函數(shù)標量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場的電場的標量電位標量電位或簡稱或簡稱電位電位。0E由由1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)2. 電位的表達式電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由對于連續(xù)的體分布電荷

5、，由d)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRRrrR2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院7同理得，同理得，面電荷面電荷的電位：的電位： 1()( )d4VrrVCR電位：電位：點電荷點電荷的電位：的電位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCR線電荷線電荷的電位：的電位：( )1( )d4SSrrSCR2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院8 3. 電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將dd(ddd )dEllxyzxyz 上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點

6、Q沿任意路徑進行積分，得沿任意路徑進行積分，得關于電位差的說明關于電位差的說明 P、Q 兩點間的兩點間的電位差電位差等于等于電場力將單位正電荷從電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q 點點 所做的功所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電位差也稱為電壓電壓，可用，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關與積分路徑無關。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力做電場力做的功的功2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南

7、大學信息科學與工程學院9 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義。應使電位表達式有意義。 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠作電位參考點。限遠作電位參考點。 同一個問題只能有一個參考點。同一個問題只能有一個參考點。 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即)(CC選參考點選參考點令參考點電位為零令參考點電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值4. 電位參考點電位參考點2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學

8、信息科學與工程學院10 例例 3.1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標系中在球坐標系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二項式展開，由于，得用二項式展開，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得代入上式，得 表示表示電偶極矩電偶極矩，方向由，方向由負電荷負電荷指向指向正電荷正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq2r1rr),(rP2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院11ErErrdd

9、21sinCr 將將 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 線方程為線方程為ErE 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度30(2cossin )4rpree)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程電場線微分方程：等位線方程等位線方程：( )rC2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院12 在在圓柱坐標系圓柱坐標系中，取中，取 與與x 軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 zree z00 x

10、Ee E0E 解解 選定均勻電場空間中的一點選定均勻電場空間中的一點O為坐標原點，而任意點為坐標原點，而任意點P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr 若選擇點若選擇點O為電位參考點，即為電位參考點，即 ，則，則( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在在球坐標系球坐標系中，取極軸與中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE 0ExzOPr 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。2021-11-19中南大學信息科學與工程

11、學院中南大學信息科學與工程學院13z 解解 采用圓柱坐標系，采用圓柱坐標系，令線電荷與令線電荷與 z 軸相重合，中點位于坐軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與標原點。由于軸對稱性，電位與 無關。無關。在帶電線上位于在帶電線上位于 z處的線元處的線元 ，它，它到點到點 的距離的距離 ，則則22()Rzzddlz( , , )Pz xyzL-L( , , ) z zddlzR02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均

12、勻帶電線的電位。0l2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院142222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當，則可得到無限長直線電荷的電位。當 時，上式可寫為時，上式可寫為 LRL 當當 時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內(nèi)，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上域內(nèi)，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有一個任意常數(shù)，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠處為

13、電位參考點。例如，選擇并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參的點為電位參考點，則有考點，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院15在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0EED202標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院16 6. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設設P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其

14、電位分別為別為1和和2。當兩點間距離當兩點間距離l0時時 導體表面上電位的邊界條件：導體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPlEl由由 和和Se)(21nDDD12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即0Snn1122常數(shù)常數(shù)，SnSnn1122212021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院17 例例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于兩塊無限大接地導體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的

15、均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的示。求兩導體平板之間的電位電位和和電場電場。0S 解解 在兩塊無限大接地導體平板之間，除在兩塊無限大接地導體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉一維拉普拉斯斯方程方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院18

16、0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有 處，處，xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx最后得最后得 處，處，0 x 1(0)0 處，處，x a2( )0a所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院19ExEx：板面積為：板面積為S S，相距為

17、，相距為d d 的平行板電容器中放入的平行板電容器中放入介電常數(shù)為介電常數(shù)為 的兩種均勻介質(zhì)，如圖所示。若兩的兩種均勻介質(zhì)，如圖所示。若兩極板上分別帶有電荷極板上分別帶有電荷 。忽略邊緣效應。忽略邊緣效應。12和Q 求：求：1 1） 電容器中的電容器中的 2 2） 電容器的電容電容器的電容 3 3） 束縛電荷的分布束縛電荷的分布E和120dx11E 22E1d2dQQAB2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院20解：因為電容器中有兩種不同的解：因為電容器中有兩種不同的介質(zhì)，介質(zhì)， 分成兩個區(qū)域分別求解分成兩個區(qū)域分別求解忽略邊緣效應，兩極板可視為忽略邊緣效應，

18、兩極板可視為無窮大的帶電平面，電荷分布無窮大的帶電平面，電荷分布也是均勻的，也是均勻的，僅是僅是x x的函數(shù)的函數(shù)22111112222222220000A xBxA xBx取取 時為電位參考點時為電位參考點0 x 120dx11E 22E1d2dQQAB2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院2111110|0 xBAxsQS1121212xdxx時1212122QdA dBSQAS11QxS 11QAS 111110|nxD SSASx 2122111()QQxdSS 22212111()QASQBdS 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學

19、信息科學與工程學院22111222xxxxQEeexSQEeexS (2)ABU121121()SQCUddd 10211121|()xx ddddQdS2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院230111()(1)xxspAAQP nPeeS 1110101(3)()()xQPEeS 2220202()()xQPEeS 11202111|()x dxxspCQP eP eS 0222(1)xxspBBQP nP e eS 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院24電容器廣泛應用于電子設備的電路中：電容器廣泛應用于電子設備的電路

20、中： 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容導體系統(tǒng)的電容與部分電容 在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜 電路。電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設備的利用率。2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院25 電容電容是導體系統(tǒng)的一種

21、基本屬性，是描述導體系統(tǒng)是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng) 儲存電儲存電荷能力的物理量。荷能力的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 1. 電容電容 孤立導體的電容孤立導體的電容 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（ q）的的 導體組成的電容器導體組成的電容器，其電容為，其電容為12qqCU 電容的大小只與導體系統(tǒng)的電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸幾何尺寸、形狀形狀和及和及周圍電介質(zhì)周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關，而與導體的帶電量和電位無關。的特性參數(shù)有關，而與導體的帶電量和電位無關。E02U1qq2021-11-

22、19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院26 (1) 假定兩導體上分別帶電荷假定兩導體上分別帶電荷+q 和和q ； 計算電容的方法一計算電容的方法一： (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。UqC 21dlEU (3) 由由 ，求出兩導體間的電位差；，求出兩導體間的電位差； (2) 計算兩導體間的電場強度計算兩導體間的電場強度E； 計算電容的方法二計算電容的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U ； (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 得到得到 ;nESSESSSqd

23、 (5) 由由 ，求出導體的電荷，求出導體的電荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院27 解解：設內(nèi)導體的設內(nèi)導體的電荷為電荷為q ，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間的電場的電場44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心導體間的電壓同心導體間的電壓04abqCUba球形電容器的電容球形電容器的電容04Ca當當 時，時，b 例例3.1.5 同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a 、外導體半徑為、外導體半徑為

24、b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介質(zhì)。求此求此球形電容器的電容球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容abo2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院28 例例 3.1.6 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a ，兩導線，兩導線的軸線距離為的軸線距離為D ，且，且D a ，求，求傳輸線單位長度的電容傳輸線單位長度的電容。 解解 設兩導線單位長度帶電量分別為設兩導線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用

25、導線的表面上。應用高斯定理高斯定理和和疊加原疊加原理理，可得到兩導線之間的平面上任一點，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為的電場強度為llDa011( )()2lxE xexDx兩導線間的電位差兩導線間的電位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故單位長度的電容為故單位長度的電容為001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院29 解解 設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，應用應用高斯定理高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電

26、場強度為可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為ll 例例3.1.7 同軸線內(nèi)導體半徑為同軸線內(nèi)導體半徑為a ，外導體半徑為，外導體半徑為b ，內(nèi)外導體，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的求同軸線單位長度的電容電容。( )2lEe內(nèi)外導體間的電位差內(nèi)外導體間的電位差1( )dd2bblaaUEe故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院302. 2. 部分電容（自學）部分電容（自學）若電

27、容器由多個導體構(gòu)成若電容器由多個導體構(gòu)成, ,導體之間、導體與地之間均存在導體之間、導體與地之間均存在電容，引入部分電容的概念電容，引入部分電容的概念. . 12311C33C22C12C23C13C由電容定義：由電容定義：111112121313222221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC式中：式中：iiC指導體與地之間形成電容，稱為指導體與地之間形成電容，稱為導體自有部分電容導體自有部分電容ijC指導體之間形成的電容，稱為指導體之間形成的電容，稱為導體互有部分電容導體互有部分電容ijjiCC說明：說明：2021-11-19中南大學信息科學

28、與工程學院中南大學信息科學與工程學院31 如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能電場能量量就等于就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。外加電源在此電場建立過程中所做的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)

29、過從沒有電荷分布到某個最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院321 靜電場的能量靜電場的能量 討論系統(tǒng)充電并穩(wěn)定后的電場能量，與討論系統(tǒng)充電并穩(wěn)定后的電場能量，與充電過程無關充電過程無關 從零狀態(tài)開始充電，充電結(jié)束時，從零狀態(tài)開始充電，充電結(jié)束時，電荷電荷為為 、電位電位為為 充電過程中，充電過程中，電

30、荷與電位同比增加電荷與電位同比增加，比例因子，比例因子 ，即充電過，即充電過程中某一時刻電荷與電位分別為程中某一時刻電荷與電位分別為和和 充電過程由充電過程由 = 0到到 = 1，由無數(shù)個，由無數(shù)個充電單元充電單元d 組成組成 對于系統(tǒng)中的一個單位體積，在每個充電單元，電源將輸送對于系統(tǒng)中的一個單位體積，在每個充電單元，電源將輸送電荷電荷 d ，同時，同時做功做功()( d )，此功將轉(zhuǎn)換為電場的能量，此功將轉(zhuǎn)換為電場的能量 所以，在一個充電單元中，整個系統(tǒng)能量的增加，即所以，在一個充電單元中，整個系統(tǒng)能量的增加，即外電源外電源為此所做的功為此所做的功為為 dddddeVVWVV 2021-1

31、1-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院33通過電位計算通過電位計算面分布電荷面分布電荷電容器的儲能電容器的儲能iq 第第i 個導體所帶的電荷個導體所帶的電荷i 第第i 個導體的電位個導體的電位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eSSSWd21e充電完成后，系統(tǒng)的總能量為充電完成后，系統(tǒng)的總能量為11001dddd2eeVVWWVV 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院34 討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以只適用于靜電場只適用于靜電場 積分區(qū)域為積分區(qū)域為存在電

32、荷分布的空間存在電荷分布的空間，由于在無電荷分布的區(qū)域，由于在無電荷分布的區(qū)域積分為零，所以積分也可以為整個空間積分為零，所以積分也可以為整個空間 能量是分布在有電場存在的整個空間，并非僅僅存在于有電能量是分布在有電場存在的整個空間，并非僅僅存在于有電荷分布的區(qū)域，所以荷分布的區(qū)域，所以被積函數(shù)被積函數(shù) 不代表能量密度不代表能量密度關于靜電場能量表達式的補充說明關于靜電場能量表達式的補充說明1( ) ( )2eVWrr dV122021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院352. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。從場的

33、觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。EDw21e電場能量密度電場能量密度：e1d2VWD E V電場的總能量電場的總能量：積分區(qū)域為電場積分區(qū)域為電場所在的整個空間所在的整個空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有2e111222wD EE EE 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院36由于體積由于體積V 外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布

34、在有限區(qū)域內(nèi)，當閉合面內(nèi)，當閉合面S 無限擴大時，則有無限擴大時，則有211()DRR)、故故 推證推證：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d2121 11d(d )()0SSDSSR RR2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院37 例例3.1.8 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解：

35、解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 VVEDWd21e 根據(jù)高斯定理求得電場強度根據(jù)高斯定理求得電場強度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院38)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計算計算 VVWd21e 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院39 已知帶電體

36、的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法虛位移法來來計算靜電力。計算靜電力。 虛位移法：虛位移法：假設第假設第i 個帶電個帶電導體在電場力導體在電場力Fi 的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功，則電場力做功dAFi dgi ，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)椋到y(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We 。根據(jù)根據(jù)能量守恒定律能量守恒定律，該

37、系統(tǒng)的功能關系為，該系統(tǒng)的功能關系為edddSiiWF gW其中其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電導體的電荷不變。導體的電荷不變。3.1.5 靜電力靜電力(自學自學)2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院403.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場

38、的比擬 3.2.3 漏電導漏電導2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院41 由由J E 可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為的電場稱為恒定電場恒定電場。 恒定電場恒定電場與與靜電場靜電場的重要區(qū)別：的重要區(qū)別： （1 1）恒定電場可以存在于導體內(nèi)部。）恒定電場可以存在于導體內(nèi)部。

39、 （2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導體中的恒定電要維持導體中的恒定電流，就必須有流，就必須有外加電源外加電源來不斷來不斷補充被損耗的電場能量補充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是恒定電場和靜電場都是無旋場無旋場，具有相同的性質(zhì)。，具有相同的性質(zhì)。 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院42EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：)(rJ 恒定電場的基

40、本場矢量是恒定電場的基本場矢量是電流密度電流密度 和和電場強度電場強度)(rE 線性各向同性導電媒質(zhì)的本構(gòu)關系線性各向同性導電媒質(zhì)的本構(gòu)關系0)(EEJ 恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位函數(shù)0E0 EE0 J由由0)(02若媒質(zhì)是均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院432. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件0dlEC0dSJS媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 場矢量的場矢量的邊界條件邊界條件2nn1JJ即即2t1tEE

41、即即場矢量的場矢量的折射關系折射關系1122tantan 電位電位的邊界條件的邊界條件nn221121,2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院44JEJE討論討論：1 1）在理想導體內(nèi)，恒定電場為在理想導體內(nèi)，恒定電場為0 0；恒定電場可以存在于恒定電場可以存在于非理想導體非理想導體內(nèi)。內(nèi)。2) 2) 在導電媒質(zhì)內(nèi)，恒定電場在導電媒質(zhì)內(nèi)，恒定電場 和和 的方向相同的方向相同EJ 導電媒質(zhì)分界面上的導電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度電荷面密度n1212n1212()()SeeDDJJ媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene12n12()J2021-11-19中

42、南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院45媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于與即電場線近似垂直于與良導體良導體表面。表面。 此時，此時，良導體表面可近似地看作為良導體表面可近似地看作為 等位面等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為為理想介質(zhì)理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即，即導體導體 中的電流和電場與分界面平行中的電流和電場與分界面平行。導體與理想介質(zhì)分界面導體與理想介質(zhì)分界面不良導體與導體分界面不良導體與導體分界面2

43、021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院46小結(jié)小結(jié)：靜電場和恒定電場性質(zhì)比較：靜電場和恒定電場性質(zhì)比較：相同點相同點：場性質(zhì)相同，均為保守場；：場性質(zhì)相同，均為保守場； 場均不隨時間改變；場均不隨時間改變； 均不能存在于理想導體內(nèi)部；均不能存在于理想導體內(nèi)部；不同點不同點：源不同源不同。靜電場的源為靜止電荷，恒定電場。靜電場的源為靜止電荷，恒定電場 的源為運動電荷。的源為運動電荷。 存在區(qū)域不同存在區(qū)域不同。靜電場只能存在于導體外，。靜電場只能存在于導體外， 恒定電場可以存在于非理想導體內(nèi)。恒定電場可以存在于非理想導體內(nèi)。恒定電場同時存在于恒定電場同時存在于導體

44、內(nèi)部導體內(nèi)部和和外部外部，在，在導體表面導體表面上的電場上的電場既有既有法向分量法向分量又有又有切向分量切向分量，電場并不垂直于導體表面，因電場并不垂直于導體表面，因而而導體表面不是等位面導體表面不是等位面.2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院47 例例3.2.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 1、 1 和和 2、 2 ，外加電壓，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導體，極板是理想導體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2

45、nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122121212112()SDDJUdd 介2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院483.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問

46、題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為的方法稱為比擬法比擬法。D0U靜電場靜電場J0U恒定電場恒定電場2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院49恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構(gòu)關

47、系本構(gòu)關系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應物理量對應物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC0d, 0dlESDCS2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院50 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小這些絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓U 時，必定會有微小的時，必定會

48、有微小的漏電流漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電流與電壓之比為漏電導漏電導，即，即UIG 其倒數(shù)稱為其倒數(shù)稱為絕緣電阻絕緣電阻，即，即IUGR13.2.3 漏電導漏電導 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院51(1) 假定兩電極間的假定兩電極間的電流電流為為I ；(2) 計算兩電極間的計算兩電極間的電流密度電流密度 矢量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出兩導，求出兩導 體間的電位差；體間的電位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求電導。所求電導。21dlEUUIG/ 計算電導的方法一計算電導的方法一

49、： 計算電導的方法二計算電導的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出兩導體間，求出兩導體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導。求電導。ESISJdUIG/ 計算電導的方法三計算電導的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CGCG2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院52 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設內(nèi)外的半

50、徑分別為a 、b，長度為長度為l ，其間媒質(zhì)的電導率為，其間媒質(zhì)的電導率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：直接用恒定電場的計算方法：直接用恒定電場的計算方法電導電導)/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba則則IlIJ2lIJE2設由內(nèi)導體流向外導體的電流為設由內(nèi)導體流向外導體的電流為I 。2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院53深埋球形接地器解法一 通過電流場計算電阻解法二 比擬法24 rIJI24IEr2d44aIIUrra14RaCG,4aC4,Ga14URIa例例3.2.4 求半徑為求半徑為a

51、的金屬導體球形接地器的的金屬導體球形接地器的接地電阻接地電阻。土壤的電導率為。土壤的電導率為 。接地電阻：電流由接地器流入大地再向無限遠處擴散所遇到的電阻。2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院54012222000, 0U 方程通解為方程通解為21CC例例3.2.5 在一塊厚度為在一塊厚度為h 的導電板上，的導電板上， 由兩個半徑為由兩個半徑為r1 和和 r2 的圓的圓弧和夾角為弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質(zhì)，如圖所示。的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質(zhì)，如圖所示。計算計算沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質(zhì)的電導率為。

52、設導電媒質(zhì)的電導率為。 解：解： 設在沿設在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易變化的。但容易判定電位判定電位 只是只是變量變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù)的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維滿足一維拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,CUCU環(huán)形導電媒質(zhì)塊環(huán)形導電媒質(zhì)塊r1hr2 0J2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院55電流密度電流密度00UJEe兩電極之間的兩電極之間的電流電流21002001d()d ()lnrS

53、rUU hrIJSee her故故沿沿 方向的兩電極之間的方向的兩電極之間的電阻電阻為為0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院56本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位 3.3.3 電感電感 3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量 3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院570HJB微

54、分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構(gòu)關系：本構(gòu)關系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若若分界面分界面上不存在面電流，即上不存在面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院58 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標

55、與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標量量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對，可以對A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范庫侖規(guī)范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位

56、 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院59 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：AB0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達式磁矢位的表達式JB直角坐標系下直角坐標系下,xyzeee都是常矢量都是常矢量2222xxxxxxxxe AeAA eA e 即即202020 xxyyzzAJAJAJ 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院60由于兩組方程形式相同，因此 三個標量P

57、oisson方程的解可以參照電位解直接寫出：帶電體的電位帶電體的電位Cdq rrV141體電荷 dV面電荷 SdS線電荷 dlldqCdV rrJAV4 444zVzzyVyyxVxxCdV rrJACdV rrJACdV rrJA體體電電流流的的矢矢量量位位 314 ()4VVBAJ r dV; RJ rRdVR rrR 2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院61關于矢量位關于矢量位A 的補充說明的補充說明面電流面電流線電流線電流C l d rrIAl4Cd rrJAS4SS 線電流的矢量位與電流方向一致，求解比較簡單線電流的矢量位與電流方向一致，求解比較簡

58、單 對體分布電流，需要直接從泊松方程求解，其過程比較復雜對體分布電流，需要直接從泊松方程求解，其過程比較復雜 引入矢量位引入矢量位A是為了簡化求解磁場，但只有對復雜問題才能是為了簡化求解磁場，但只有對復雜問題才能顯示出其優(yōu)越性，對于簡單問題，還是直接求解磁場為宜顯示出其優(yōu)越性，對于簡單問題，還是直接求解磁場為宜2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院62 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件 利用磁矢位計算磁通量利用磁矢位計算磁通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ1122dddCCSBSAlAlCSSlASASBddd0dSSA

59、2t1tAA 2n1nAA其中其中C1、C2為閉合小柱面的上底面和下底面的邊界為閉合小柱面的上底面和下底面的邊界2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院63 例例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位矢量磁位與與磁場磁場。小圓形回。小圓形回路的半徑為路的半徑為a ，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均矢量磁位和磁場均與與 無關，計算無關，計算 xO z 平平面上的矢量磁位與磁場面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。選將不失一般性。選取球坐標。取球坐標。(sin

60、cos )rxzre rr ee(cossin)rxyre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIPO2021-11-19中南大學信息科學與工程學院中南大學信息科學與工程學院64對于遠區(qū)，有對于遠區(qū)，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在由于在 = 0